专题13 计数原理（理） （三大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

专题13 计数原理（理） 考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势 考点1：利用二项式定理求项的系数 2024年北京高考数学真题 2022年新高考全国I卷数学真题 2022年新高考天津数学高考真题 2023年天津高考数学真题 2024年天津高考数学真题 2024年高考全国甲卷数学（理）真题 2024年上海夏季高考数学真题 今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当． 考点2：利用二项式定理求系数和问题 2022年新高考浙江数学高考真题 2022年新高考北京数学高考真题 考点3：排列组合综合运用 2024年上海夏季高考数学真题 2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题 2022年新高考全国II卷数学真题 2023年高考全国甲卷数学（理）真题 2023年高考全国乙卷数学（理）真题 考点1：利用二项式定理求项的系数 1．（2024年北京高考数学真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 2．（2022年新高考全国I卷数学真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】-28 【解析】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 3．（2022年新高考天津数学高考真题）的展开式中的常数项为 . 【答案】 【解析】由题意的展开式的通项为， 令即，则， 所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 4．（2023年天津高考数学真题）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【解析】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 5．（2024年天津高考数学真题）在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【解析】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【解析】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 7．（2024年上海夏季高考数学真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 【答案】10 【解析】令，，即，解得， 所以的展开式通项公式为，令，则， ． 故答案为：10． 考点2：利用二项式定理求系数和问题 8．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式，则 ， ． 【答案】 【解析】含的项为：，故； 令，即， 令，即， ∴， 故答案为：；． 9．（2022年新高考北京数学高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 考点3：排列组合综合运用 10．（2024年上海夏季高考数学真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329 【解析】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选， 根据分步乘法这样的偶数共有， 最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：329． 11．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 13．（2022年新高考全国II卷数学真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 14．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【解析】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【解析】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 计数原理（理） 考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势 考点1：利用二项式定理求项的系数 2024年北京高考数学真题 2022年新高考全国I卷数学真题 2022年新高考天津数学高考真题 2023年天津高考数学真题 2024年天津高考数学真题 2024年高考全国甲卷数学（理）真题 2024年上海夏季高考数学真题 今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当． 考点2：利用二项式定理求系数和问题 2022年新高考浙江数学高考真题 2022年新高考北京数学高考真题 考点3：排列组合综合运用 2024年上海夏季高考数学真题 2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题 2022年新高考全国II卷数学真题 2023年高考全国甲卷数学（理）真题 2023年高考全国乙卷数学（理）真题 考点1：利用二项式定理求项的系数 1．（2024年北京高考数学真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（2022年新高考全国I卷数学真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 3．（2022年新高考天津数学高考真题）的展开式中的常数项为 . 4．（2023年天津高考数学真题）在的展开式中，项的系数为 ． 5．（2024年天津高考数学真题）在的展开式中，常数项为 ． 6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 7．（2024年上海夏季高考数学真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 考点2：利用二项式定理求系数和问题 8．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式，则 ， ． 9．（2022年新高考北京数学高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 考点3：排列组合综合运用 10．（2024年上海夏季高考数学真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 11．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 13．（2022年新高考全国II卷数学真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 14．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$