专题09 平面向量（六大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

专题09 平面向量 考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势 考点1：平面向量线性运算 2022年新高考全国I卷数学真题 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点． 考点2：数量积运算 2022年高考全国甲卷数学（理）真题 2023年高考全国乙卷数学（文）真题 2022年高考全国乙卷数学（理）真题 2024年北京高考数学真题 考点3：求模问题 2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题 2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题 2023年北京高考数学真题 2022年高考全国乙卷数学（文）真题 考点4：求夹角问题 2023年高考全国甲卷数学（文）真题 2023年高考全国甲卷数学（理）真题 2022年新高考全国II卷数学真题 考点5：平行垂直问题 2024年上海夏季高考数学真题 2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2022年高考全国甲卷数学（文）真题 2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2024年高考全国甲卷数学（理）真题 考点6：平面向量取值与范围问题 2024年天津高考数学真题 2023年高考全国乙卷数学（理）真题 2022年新高考北京数学高考真题 2022年新高考天津数学高考真题 2022年新高考浙江数学高考真题 2023年天津高考数学真题 考点1：平面向量线性运算 1．（2022年新高考全国I卷数学真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 考点2：数量积运算 2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【答案】 【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【解析】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 5．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 考点3：求模问题 6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【解析】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 8．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】向量满足， 所以. 故选：B 9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D 考点4：求夹角问题 10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 12．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】,,即,解得, 故选：C 考点5：平行垂直问题 13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【解析】，，解得． 故答案为：15． 14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量．若，则 ． 【答案】/ 【解析】由题意知：，解得. 故答案为：. 16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 考点6：平面向量取值与范围问题 18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得 当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值. 当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 20．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 21．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 【答案】 【解析】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则,，设,于是， 因为，所以，故的取值范围是. 故答案为：． 23．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平面向量 考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势 考点1：平面向量线性运算 2022年新高考全国I卷数学真题 平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点． 考点2：数量积运算 2022年高考全国甲卷数学（理）真题 2023年高考全国乙卷数学（文）真题 2022年高考全国乙卷数学（理）真题 2024年北京高考数学真题 考点3：求模问题 2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题 2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题 2023年北京高考数学真题 2022年高考全国乙卷数学（文）真题 考点4：求夹角问题 2023年高考全国甲卷数学（文）真题 2023年高考全国甲卷数学（理）真题 2022年新高考全国II卷数学真题 考点5：平行垂直问题 2024年上海夏季高考数学真题 2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2022年高考全国甲卷数学（文）真题 2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题 2024年高考全国甲卷数学（理）真题 考点6：平面向量取值与范围问题 2024年天津高考数学真题 2023年高考全国乙卷数学（理）真题 2022年新高考北京数学高考真题 2022年新高考天津数学高考真题 2022年新高考浙江数学高考真题 2023年天津高考数学真题 考点1：平面向量线性运算 1．（2022年新高考全国I卷数学真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 考点2：数量积运算 2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点3：求模问题 6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足，，则 ． 7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 8．（2023年北京高考数学真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点4：求夹角问题 10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 考点5：平行垂直问题 13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知，且，则的值为 ． 14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量．若，则 ． 16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 考点6：平面向量取值与范围问题 18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 20．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ． 23．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$