微素养·专题突破1 平行线的判定与性质的综合应用-【精彩练习】2023-2024学年七年级下册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

微素养·专题突破 一平行线的判定与性质的综合应用 类型　　1　求角的度数 【例1】 如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上，点P为两平行线间一点． (1)求证：①∠APB＝∠DAP＋∠FBP；②∠CAP＋∠APB＋∠EBP＝360°. (2)利用(1)的结论解答： ①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你直接写出∠APB与∠AP1B的数量关系． ②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝80°，求∠AP2B的度数． 解：(1)证明：①过点P作PM∥CD(点M在点P左侧)，则∠APM＝∠DAP. ∵CD∥EF，∴PM∥EF.∴∠MPB＝∠FBP. ∴∠APM＋∠MPB＝∠DAP＋∠FBP， 即∠APB＝∠DAP＋∠FBP. ②略 (2)①∠APB＝2∠AP1B. ②由(1)得∠APB＝∠DAP＋∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2＋∠EBP2.∵AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP， ∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP， ∴∠AP2B＝∠CAP＋∠EBP ＝(180°－∠DAP)＋(180°－∠FBP) ＝180°－(∠DAP＋∠FBP)＝180°－40°＝140°. 　　　　　　　　　　　　　　　 【变式1】 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝(　B　) A．40° B．43° C．45° D．47° 【变式2】 如图，已知AB∥CD，∠ABE＝75°，∠D＝60°，则∠E的度数为__15°__． 变式2图 　　　变式3图 【变式3】 如图，已知AB∥DE，∠1＝18°，∠2＝125°，则∠BCD的度数为__73°__． 类型　　2　折叠问题 【例2】 如图，把一张长方形纸片ABCD(AD∥BC)沿EF折叠后，点D，C分别落在点D′，C′的位置上，ED′交BC于点G，若∠EFG＝60°，求∠1与∠2的度数． 解：∵AD∥BC，∠EFG＝60°， ∴∠DEF＝∠EFG＝60°. 由翻折的性质得，∠DEF＝∠D′EF＝60°， ∴∠1＝180°－60°×2＝60°.∵AD∥BC， ∴∠1＋∠2＝180°， ∴∠2＝180°－∠1＝180°－60°＝120°. 【变式1】 如图，将一个长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处，若∠ABC′＝60°，则∠AED′的度数是(　C　) A．20° B．24° C．30° D．40° 变式1图 　　变式2图 【变式2】 如图所示，折叠一张长方形纸片，已知∠1＝70°，则∠2＝__55°__． 【变式3】 如图所示，一张长方形纸片(其中AB∥CD)，点E，F分别在边AB，AD上．把这张长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H.若∠BEH＝4∠AEF，则∠CHG的度数为__120°__． 【例3】 如图1，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠BFE＝70°，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠，如图2. (1)在图1中，∠AEG＝__40__度． (2)在图2中，小明用量角器量得∠MFH＝40°，试求∠EFN的度数． 解：(2)∵△HMF沿BC折叠得到△MNF， ∴∠MFN＝∠MFH＝40°， ∴∠EFN＝∠BFE－∠NFM＝70°－40°＝30°. 【变式】 将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图1，AD∥BC，ED′∥FC′，设∠AED′＝x°. 　　 (1)∠EFB＝__90°－x°__(用含x的代数式表示). (2)若将图1继续沿BF折叠成图2，则∠EFC″＝__x°－90°__(用含x的代数式表示). 【解析】 (1)∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB. 又∵∠DEF＝∠D′EF，∴2∠DEF＋∠AED′＝180°. 又∵∠AED′＝x°，∴2∠DEF＝180°－x°， ∴∠EFB＝∠DEF＝(180°－x°)＝90°－x°. (2)∵∠EFB＋∠EFC′＝180°， ∴∠EFC′＝180°－＝90°＋x°. 又∵∠EFC′＝2∠EFB＋∠EFC″， ∴∠EFC″＝∠EFC′－2∠EFB ＝90°＋x°－2 ＝x°－90°. 类型3　跨学科应用 【例4】 如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点 C(提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF). (1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数． (2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 解：(1)∵∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE，∠PAD＋∠PAB＋∠BAE＝180°， ∴∠PAB＝180°－32°－32°＝116°. (2)BC∥PA，理由如下： ∵∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE， ∴∠PAB＝180°－2∠BAE. 同理，∠ABC＝180°－2∠ABE. ∵∠BAE＋∠ABE＝90°， ∴∠PAB＋∠ABC＝360°－2(∠BAE＋∠ABE)＝180°. ∴BC∥PA. 【变式1】 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为(　C　) A．2α B．2β C．α＋β D．(α＋β) 变式1图 　　　变式2图 【变式2】 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，则∠GFH的度数为 __25°__． 1．如图，直线AB∥CD，AE⊥CE于点E，若∠EAB＝120°，则∠ECD的度数是(　B　) 　　　　　　　　　　　　　 A．100° B．150° C．120° D．160° 第1题图 　　第2题图 2．将一副三角板(∠A＝30°)按上图所示的方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于(　A　) A．45° B．30° C．65° D．75° 3．如图所示，已知AB∥CD，∠BEG＝58°，∠G＝30°，则∠HFG的度数为(　A　) A．28° B．29° C．30° D．32° 第3题图 　第4题图 4．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现，他把它抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是(　A　) A．38° B．44° C．46° D．56° 5．将一副三角板按下图所示的方式摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为(　D　) A．80° B．60° C．105° D．75° 第5题图 　　第6题图 6．如图，将长方形纸片ABCD沿折痕MN折叠，A，B分别落在对应位置A1，B1处，A1B1交AD于点E，若∠BNM＝70°，则∠A1ME的度数为(　A　) A．40° B．50° C．60° D．70° 7．如图所示，已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB和CD上，EH平分∠AEN，EN∥MF，HE∥FN.若∠N＝114°，则∠MFH的度数为(　A　) A．48° B．58° C．66° D．68° 第7题图 　　第8题图 8．如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE＝70°，EC为∠BEF的平分线，则∠ECD的度数为(　D　) A．125° B．55° C．110° D．145° 9．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则(　C　) A．∠E＝∠F B．∠E＋∠F＝180° C．2∠E＋∠F＝360° D．2∠E－∠F＝180° 【解析】 过点E作EM∥AB，如图， ∵AB∥CD，EM∥AB，∴CD∥EM， ∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM. ∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E， ∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF， ∴∠BED＝∠BEM＋∠DEM＝(∠ABF＋∠CDF). ∵∠ABF＋∠BFD＋∠CDF＝360°， ∴∠ABF＋∠CDF＝360°－∠BFD， ∴∠BED＝(360°－∠BFD)， 整理得2∠BED＋∠BFD＝360°. 10．如图所示，将一张两组对边分别互相平行的纸片ABCD沿EF折叠，折叠后DE与BF相交于点P，如果∠BPE＝128°，有下列结论：①∠AEP＝52°；②∠PEF＝52°；③∠BFE＝64°；④∠EFC＝128°，其中正确的结论是__①③__(填序号). 【解析】 ∵纸片ABCD的两组对边分别互相平行， ∠BPE＝128°，∴∠AEP＝180°－128°＝52°，故①正确． ∵∠AEP＝52°， ∴∠PEF＝＝64°， 故②错误． ∵纸片ABCD的两组对边分别互相平行， ∴∠BFE＝64°，故③正确． ∵∠BPE＝128°， ∴∠BPD＝180°－128°＝52°. ∵DE∥CF，∴∠BPD＝∠CFP＝52°， ∴∠EFC＝∠BFE＋∠CFP＝64°＋52°＝116°，故④错误． 故①③正确． 11．如图，这是一个台灯的示意图，其中灯头连结杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直． (1)当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA的度数． (2)连杆BC，CD可以绕着B，C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请写出α，β，γ之间的数量关系． 解：(1)如图，过点C作CP∥DE，延长CB交FG于点H. ∵DE∥FG，∴CP∥FG. ∴∠PCD＝180°－∠EDC＝60°，∠PCH＝120°－∠PCD＝60°， ∴∠CHA＝∠PCH＝60°. ∵AB⊥FG，∴∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝180°－60°－90°＝30°， ∴∠CBA＝180°－30°＝150°. (2)如图， ∵DE∥FG，∴CP∥FG，∴∠EDC＋∠PCD＝180°，∠FHC＋∠PCH＝180°. ∴∠EDC＋∠DCB＋∠FHC＝360°. ∵AB⊥FG，∴∠BAH＝90°. ∵∠ABH＝180°－∠CBA， ∴∠AHB＝180°－90°－(180°－∠CBA)＝∠CBA－90°， ∴∠FHC＝180°－(∠CBA－90°)＝270°－∠CBA， ∴∠EDC＋∠DCB＋270°－∠CBA＝360°， ∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA＝90°，即α＋β－γ＝90°. 12．已知AB∥CD，试解决下列问题： (1)如图1，∠1＋∠2＝__180°__． (2)如图2，∠1＋∠2＋∠3等于多少度？请说明理由． (3)如图3，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__540°__． (4)如图4，试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n＝__180°(n－1)__． 解：(2)过点E作直线EF∥AB(点F在点E右侧). ∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF， ∴∠1＋∠AEF＝180°，∠FEC＋∠3＝180°， ∴∠1＋∠2＋∠3＝360°. 13．如图，直线AB∥CD，直线l分别与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处． (1)若∠PEF＝48°，求∠EFC的度数． (2)若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数． 解： (1)∵AB∥CD， ∴∠PEF＋∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝132°. (2)分两种情况： 如图1，当点Q在平行线AB，CD之间时， 设∠PFQ＝x，由折叠可得∠EFP＝x. ∵∠CFQ＝∠PFC， ∴∠PFQ＝∠CFQ＝x. ∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°， ∴75°＋x＋x＋x＝180°，∴x＝35°， ∴∠EFP＝35°. 如图2，当点Q在CD的下方时， 设∠CFQ＝x，由∠CFQ＝∠PFC得，∠PFC＝2x， ∴∠PFQ＝3x. 由折叠得，∠PFE＝∠PFQ＝3x. ∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°， ∴2x＋3x＋75°＝180°，∴x＝21°， ∠EFP＝3x＝63°. 综上所述，∠EFP的度数是35°或63°. 学科网（北京）股份有限公司 $$