6.2.3平面向量的数乘运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课前准备： 练透、笔记本、草稿纸、笔 不甘平庸又不思进取，清醒的堕落最为可怕 1 6.2.3平面向量的数乘运算 1.向量的加法运算： ①三角形法则： ②平行四边形法则： 2.向量的减法运算： 首尾相接，首指向尾 起点相同，对角为和 猜测：向量乘法运算该如何定义呢？运算结果是什么量呢？ 共起点，后指前 -a a a -a a a -a -a P B =3a =-3a O A 问题1 作出和 的方向与的方向相同， 的长度是的长度的倍， 即 的方向与的方向相反， 的长度是的长度的倍， 即 请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化? 这些变化与那些因素有关? 4 特别地，当λ=0或= 时，λ = ． （2）方向当λ>0时，λ的方向与 方向相同； 当λ<0时，λ的方向与方向相反； （1）长度 |λ|=|λ|·|| 定义：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ． 它的长度和方向规定如下： 向量数乘的几何意义是什么? 几何意义：将a的长度扩大（或缩小） |λ|倍，改变（不改变）a的方向，就得到了λa． 追问：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 5 向量共线定理：向量（ ≠ ）共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 思考：向量共线定理中为什么规定≠ ？ ①若将≠ 去掉，则当时，显然向量 共线; ②当，若，则不存在实数，使成立，此时不共线 ③当，若，则对一切的实数，都有，与“唯一一个实数”矛盾 ①λ(μa)=(λμ)a 运算律：设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有： ②(λ+μ)a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb 结合律 第一分配律 第二分配律 证明:① 证：当或或时，上式显然成立. 当且或时，由向量数乘运算的定义，得： ， 所以. 当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同； 当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反. 特别地，我们有 (-λ)=-(λ)=λ(-)， λ(- )=λ-λ． 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算． 向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1±μ2)=λμ1 ±λμ2 ． 例1 计算： （1）(-3)×4a； （2）3(a+b)-2(a-b)-a； （3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c)． 例2 如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，　 　 ，用a，b表示 ， ， 和 ． 解：在中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 例3 如图，已知任意两个非零向量，，试作向量, , ,猜想，，三点之间的位置关系，并证明你的猜想。 分别作向量, , ，过点，作直线 (如图 )． 观察发现，不论向量，怎样变化， 点始终在直线上，猜想，，三点共线． 事实上，因为 ; 所以，， 因此，，，三点共线，． 解： $$