1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（七大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 知识点1 空间距离及向量求法 1. 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2. 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点2 空间角及向量求法 1. 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 题型一 点到直线的距离 1．在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，，，（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 4．如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 5．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 6．在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点. (1)求证：点，，，共面； (2)求点到的距离. 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 题型二 点到平面及异面直线的距离 8．在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 9．正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 10．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 11．已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 12．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 13．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，、分别为棱，的中点，求异面直线与之间的距离． 14．已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 15．如图，正方体的棱长为2，M是棱AB的中点，P是棱上的点.    (1)求直线DB1与平面所成角的正弦值. (2)当点Р在何处时，点P到平面的距离最小?最小值是多少? 题型三 异面直线所成的夹角 16．如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 17．已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．CE与OF所成角的余弦值为 C．四点共面 D．的面积为 19．在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 . 20．如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 21．如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. (1)求证: (2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 22．如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，. (1)求证：平面； (2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值. 题型四 直线与平面所成的夹角 23．人教版选择性必修第一册教材页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点.由，可得，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 24．（多选）如图所示，设，分别是正方体的棱上两点，且，与，两点均不重合，且，，其中正确的命题为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角为 25．如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是 ． 26．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 27．在棱长为2的正方体中，在线段上运动，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 28．在三棱柱中，平面平面，为正三角形，、分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 29．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 30．如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)若为上的一点，且，求证； (2)在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 题型五 平面与平面所成的夹角 31．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 32．如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（多选）如图，平面，，，，，，，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 34．已知正四棱柱的底面边长与侧棱长之比为，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 35．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为 ． 36．如图，在四棱锥中，底面，. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角. 37．如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，，． (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 38．如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）． (1)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (2)求锐二面角的余弦值的取值范围． 题型六 已知空间角求其他量 39．如图所示，可以将钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 40．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 41．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 42．如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 . 43．如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 44．如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)证明直线平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 45．如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点． (1)证明：平面； (2)当二面角的大小为时，求线段的长度． 46．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上． (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正切值为5，求BQ的长． 题型七 线段点的存在性问题 39．如图所示，可以将钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 40．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 41．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 42．如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 . 43．如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 44．如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)证明直线平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 45．如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点． (1)证明：平面； (2)当二面角的大小为时，求线段的长度． 46．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上． (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正切值为5，求BQ的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 知识点1 空间距离及向量求法 1. 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2. 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 知识点2 空间角及向量求法 1. 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 题型一 点到直线的距离 1．在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， . 故选：A. 2．AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，则，， 所以. 故选：B 3．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 【答案】/ 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因动点在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为， 又因为， 所以面积的最小值. 【点睛】关键点点睛：求出点到直线的距离的最小值是解决本题的关键. 4．如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【答案】 【详解】 以A为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则， 则， 所以点E到直线PD的距离. 5．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 6．在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点为棱上靠近的三等分点，点在棱上靠近点的三等分点. (1)求证：点，，，共面； (2)求点到的距离. 【答案】(1)参见解析 (2) 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 由已知可得：， 所以，所以，即向量共线， 所以点共面. （2）由（1）可得：， 设向量的夹角为，则， 所以，又 所以点到直线的距离. 【点睛】本题考查空间向量在空间几何中的应用，最为关键的是建立合理的空间直角坐标系，找出相关点的坐标，求出相关向量，通过向量运算的结果说明几何元素的位置关系或大小. 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且点E，F分别为AB和PD中点. (1)求异面直线AF与EC所成角的余弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 【答案】(1). (2) 【详解】（1）解：因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD， 所以以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，0，1），E（2，1，0），P（0，0，2），C（0，2，0）. 所以=（2，0，1），=（2，1，0）， 设异面直线AF与EC所成角为α，则=， 所以异面直线AF与EC所成角的余弦值为. （2）因为=（2，1，0），所以直线EC的一个方向向量. 又=（0，2，1），||=， 所以点F到直线EC的距离d===. 题型二 点到平面及异面直线的距离 8．在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故A错误； 对于B，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故B错误；     对于C，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故C错误；     对于D，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故D正确. 故选：D. 9．正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 设平面法向量为， 则，取，则， 故到平面的距离为， 而, 故, 故， 故选：B 10．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 11．已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 故选：B 12．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      13．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，、分别为棱，的中点，求异面直线与之间的距离． 【答案】 【详解】因为底面是边长为的正方形，侧棱， 所以四棱锥为正四棱锥， 如图，以底面正方形的中心为原点，以平行于底边的直线及为，，轴建立直角坐标系， 则，所以， 则，，，，    ∵，， 设为与公垂线的一个方向向量，则， 令，则，，所以， ∵， ∴异面直线与之间的距离． 14．已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 15．如图，正方体的棱长为2，M是棱AB的中点，P是棱上的点.    (1)求直线DB1与平面所成角的正弦值. (2)当点Р在何处时，点P到平面的距离最小?最小值是多少? 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设直线与平面所成的角为，平面的法向量为． 易知，， 由，即，解得， 即直线与平面所成角的正弦值为． （2）设，，点P到平面的距离为d，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， ， 当，即点P与点重合时，．    题型三 异面直线所成的夹角 16．如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则 ， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 17．已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 18．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．CE与OF所成角的余弦值为 C．四点共面 D．的面积为 【答案】AC 【详解】 如图，以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 对于A项，因,则, 即，故A项正确； 对于B项，因，则, 设CE与OF所成角为，则，故B项错误； 对于C项，因,则, 易得，即为共面向量，故四点共面，即C项正确； 对于D项，因，则，记， 则，故， 故的面积为，故D项错误. 故选：AC. 19．在空间四边形ABCD中，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为， 则， 所以 ，是以为斜边的等腰直角三角形， 取中点，连接，则，， 所以即为二面角的平面角， 如图： 以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设直线与所成角为， 则， 又，所以，则， 所以. 故答案为：. 20．如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，E为棱的中点，M为棱的中点． (1)证明：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面，平面， 所以， 而， 所以、、两两互相垂直， 不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、，， ，， 因为，所以，则； （2），， ， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 21．如图，在正四棱柱 中， M是棱上任意一点. (1)求证: (2)若M是棱的中点，求异面直线AM与BC 所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则，， 可得，则， 所以，即. （2）是棱的中点，故，则， 设异面直线与所成角的大小为，， 则， 所以， 故异面直线与所成角的正切值为. 22．如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且是等边三角形，. (1)求证：平面； (2)若是等腰三角形，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）因为底面是平行四边形，且是等边三角形， 所以四边形是菱形，则有， 又平面，平面， 所以， 又，平面，平面， 所以平面； （2）设， ∵是等腰三角形， ∴，， 以O为坐标原点，射线，分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系， 如图， 则，，，， 所以，， 设与所成角为， 所以 ， 即与所成角的余弦值为. 题型四 直线与平面所成的夹角 23．人教版选择性必修第一册教材页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点.由，可得，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面的方程为， 所以平面的一个法向量为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成角为， 则，则， 即直线与平面所成角的余弦值为． 故选：A． 24．（多选）如图所示，设，分别是正方体的棱上两点，且，与，两点均不重合，且，，其中正确的命题为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角为 【答案】AD 【详解】以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，设，则，（）， A选项，为定值，故A对； B选项，正方体中，，即有， 异面直线与所成的角与直线与所成的角为同一个角， 即异面直线与所成的角的平面角为，故B错； C选项，，，， ，，， 则，，平面的法向量为， 设直线与平面所成的二面角的平面角为， 则， 则，故C错； D选项，由C选项可知直线与平面所成的角为，故D对. 故选：AD. 25．如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由P的运动速度是的2倍，得，即， 则，显然平面的法向量， 于是， ，因此， 显然当时，，当时，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 26．已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】因为点在底面的射影为中点H，则平面， 又因为四边形为正方形， 以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为平面，平面，则， 因为，，则， 则、、、， 所以， 易知平面的一个法向量为， ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：. 27．在棱长为2的正方体中，在线段上运动，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 . 【答案】 【详解】以为正交基地，建立空间直角坐标系， 则，设， 则， 设面的法向量为， 则，取得， 设直线与平面所成角为， 则， 当时，，则. 故答案为：. 28．在三棱柱中，平面平面，为正三角形，、分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接、， 则且，             在直三棱柱中，且， 又为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，     又平面，平面，                 所以平面. （2）由于平面平面，且交线为， 又，平面， 因此平面，                   又平面，故， 又，，，平面， 故平面                        故可建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴， 则由题意， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 则，即，           令，所以，                 设直线与平面所成的角为， 则，   所以直线与平面所成的角的正弦值为． 29．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在正方体中，因为，且， 所以四边形为平行四边形． 所以． 又平面，所以平面． （2）不妨设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系， 则． 所以． 设平面的法向量为，则即， 令，则， 于是． 设直线与平面所成的角为， 则 30．如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)若为上的一点，且，求证； (2)在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）法一：取中点，连接，有， 因为，所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 因为平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为为的四等分点，为的中点， 所以， 因为，所以直棱柱的侧面是正方形，所以， 又因为，，所以，又，，平面， 所以面，而面， 所以，即． 法二：取中点，连接，连接交于点，连接 因为，所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 因为平面平面，平面，， 所以平面， 因为，所以直棱柱的侧面是正方形， 所以， 如图以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系 设，，，，，，， 所以，即． （2）连接，因为分别是的中点，所以， 所以异面直线与所成的角为与所成的角，因此 所以， ，，，， ，， ， 设平面的法向量为， 则即 则的一组解为 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 题型五 平面与平面所成的夹角 31．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 32．如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 故选：A. 33．（多选）如图，平面，，，，，，，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【详解】因为平面，， 由题意，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，，，，，， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 设为平面的一个法向量，则， 即，令，可得， 依题意，，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为，故C正确； 设直线与平面所成角为，， 则，故D错误. 故选：BC. 34．已知正四棱柱的底面边长与侧棱长之比为，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】如图，以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 正四棱柱的底面边长为，则， 所以 则， 设平面与平面的法向量分别为， 则，令，则， ，令，则， 设向量的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 35．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】在直三棱柱中，取的中点E，连接AE，由，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，平面，平面，则，， 又平面且相交，因此平面，直线两两垂直， 以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 而，又， 解得，则，的中点， 则，，设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的一个法向量，则，令，得， 则，所以二面角的正弦值为. 故答案为： 36．如图，在四棱锥中，底面，. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：在四边形中作于于，如图       ， 四边形为等腰梯形，， 故，，. 又平面平面，， 又，平面 平面. 又平面，. （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系. 由（1）可得，则， 则， 设平面的法向量， 则有，令，则，即， 取平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成夹角的余弦值为， 所以平面与平面的夹角为. 37．如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，，． (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面，又平面，． ，． 又平面，平面． 又平面，． （2）由题及（1）可知两两相互垂直，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则根据题意可得：， ， 设平面和平面的法向量分别为， 则，. 取， 平面和平面夹角的余弦值为： ． 38．如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）． (1)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (2)求锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，依题意可知平面，由于平面， 所以， 由于三角形是等边三角形，所以，， 又， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 又，故，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故，又， 所以点到平面的距离为. （2）设，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故可设， 设锐二面角为， 则， 令， 所以，设， 则， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增， 所以当时，该二次函数有最小值， 当时，该二次函数有最大值， 所以，即. 即锐二面角的余弦值的取值范围. 题型六 已知空间角求其他量 39．如图所示，可以将钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系． 设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为， 考察到这个时间段， 设时刻，侧面，内的钟的分针的针点的位置分别为，， 设，其中， 则， 由已知可得，则， 因为，故的取值为，，，， 即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为4， 因此，从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为8． 故选：D． 40．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 41．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 42．如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】连接交于点，平面，平面，则， 因为四边形为菱形，则， ，、平面，平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 易知平面的一个法向量为， 因为平面，所以，， 设点，其中，则， 由已知可得， 因为，解得，即点， 设点，则， 因为，则，可得，且，可得， 所以，点， 因为平面，、平面，，， 且， 所以，. 故答案为：. 43．如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为为等边三角形，为线段的中点，所以，又， 因为四边形为直角梯形，，所以是平面上的两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面； （2）因为四边形为直角梯形，，， 所以，过作，垂足为， 由，得，所以，， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，设直线与平面所成角为， 则，解得，即. 44．如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)证明直线平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2)M位于PA中点 【详解】（1）如图所示，连接BD， ∵E，F分别为PB、PD的中点， ∴在中，EF为其中位线，即BD， 又BD面AFE，EF面AFE， ∴直线面AEF； （2）分别以 为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得 设直线与平面所成的角为， 则，解得： 所以，即M位于PA中点. 45．如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点． (1)证明：平面； (2)当二面角的大小为时，求线段的长度． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【详解】（1）依题意，所以， 所以，所以，则， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面. （2）由（1）可知两两相互垂直，由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，设， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 依题意，二面角的大小为， 所以， 整理得， 解得或（舍去），所以， 所以. 46．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上． (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正切值为5，求BQ的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）取的中点M，连接MP，MB，如图， 在四棱台中，四边形是梯形，， 又点M，P分别是棱的中点，所以，且． 在正方形ABCD中，，又，所以． 从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面； （2）在平面中，作于O． 因为平面平面ABCD，平面平面，， 平面，所以平面ABCD． 在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则． 以为正交基底，建立空间直角坐标系． 因为四边形是等腰梯形，，所以 又，所以． 易得， 所以． 设，所以． 设平面PDQ的法向量为，由，得， 令，可得，另取平面DCQ的一个法向量为． 设二面角平面角为，由题意得． 又，所以， 解得（舍负），因此． 所以当二面角的正切值为5时，BQ的长为1． 题型七 线段点的存在性问题 39．如图所示，可以将钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从8：00到10：00这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系． 设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为， 考察到这个时间段， 设时刻，侧面，内的钟的分针的针点的位置分别为，， 设，其中， 则， 由已知可得，则， 因为，故的取值为，，，， 即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为4， 因此，从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为8． 故选：D． 40．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以，整理得，又z＝2，所以. 故选:A. 41．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 42．如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】连接交于点，平面，平面，则， 因为四边形为菱形，则， ，、平面，平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 易知平面的一个法向量为， 因为平面，所以，， 设点，其中，则， 由已知可得， 因为，解得，即点， 设点，则， 因为，则，可得，且，可得， 所以，点， 因为平面，、平面，，， 且， 所以，. 故答案为：. 43．如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为为等边三角形，为线段的中点，所以，又， 因为四边形为直角梯形，，所以是平面上的两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面； （2）因为四边形为直角梯形，，， 所以，过作，垂足为， 由，得，所以，， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，设直线与平面所成角为， 则，解得，即. 44．如图，四棱锥的底面为正方形，底面分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)证明直线平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点的位置. 【答案】(1)证明见解析 (2)M位于PA中点 【详解】（1）如图所示，连接BD， ∵E，F分别为PB、PD的中点， ∴在中，EF为其中位线，即BD， 又BD面AFE，EF面AFE， ∴直线面AEF； （2）分别以 为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，，设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得 设直线与平面所成的角为， 则，解得： 所以，即M位于PA中点. 45．如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点． (1)证明：平面； (2)当二面角的大小为时，求线段的长度． 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【详解】（1）依题意，所以， 所以，所以，则， 由于平面，平面，所以， 由于平面，所以平面. （2）由（1）可知两两相互垂直，由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，设， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 故可设， 依题意，二面角的大小为， 所以， 整理得， 解得或（舍去），所以， 所以. 46．如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上． (1)若，证明：平面； (2)若二面角的正切值为5，求BQ的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）取的中点M，连接MP，MB，如图， 在四棱台中，四边形是梯形，， 又点M，P分别是棱的中点，所以，且． 在正方形ABCD中，，又，所以． 从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面； （2）在平面中，作于O． 因为平面平面ABCD，平面平面，， 平面，所以平面ABCD． 在正方形ABCD中，过O作AB的平行线交BC于点N，则． 以为正交基底，建立空间直角坐标系． 因为四边形是等腰梯形，，所以 又，所以． 易得， 所以． 设，所以． 设平面PDQ的法向量为，由，得， 令，可得，另取平面DCQ的一个法向量为． 设二面角平面角为，由题意得． 又，所以， 解得（舍负），因此． 所以当二面角的正切值为5时，BQ的长为1． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$