第五讲 有理数综合 讲义 2024-2025学年 暑假 苏科版七年级数学上册

第五讲 有理数综合 教学目标： 1.能够灵活运用有理数的运算规则 2.能够阅读并解析包含有理数运算的数学材料，提取关键信息并解决实际问题。 3.探究有理数运算中的规律，如分配律、结合律等，并能灵活应用这些规律进行计算简化。 4.理解数轴的概念，掌握绝对值的计算方法，以及在数轴上表示动点位置和运动轨迹，进行相关问题的综合分析。 教学重难点： 1.有理数运算规则的灵活运用 2.阅读材料中隐含条件的识别与应用 3.动点问题的综合分析与解决。 【知识积累】 设数轴上两点点A和点B所表示的数分别为a和b 1.A、B两点间的距离： 能确定左右位置：右－左 无法确定左右位置： 2.A、B的中点： ； 3.运动三要素:起点，运动方向，运动距离 终点表示的数＝起点表示的数±运动距离（向右用＋，向左用－） 4.数轴动点问题主要步骤： （1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； （2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； （3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； （4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 【考点一 新定义中的有理数运算】 1.对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|． （1）计算：2⊙（﹣3）的值； （2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b． 2.现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，都有a*b＝，例如：5*3＝，由此算出2*（－4）＝_________． 3.定义一种新运算：a⊗m＝a×|m|． 如5⊗（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8⊗4＝﹣8×|4|＝﹣32． （1）计算：65⊗0＝　 　，﹣43⊗|﹣2|＝　 　； （2）若n＜0，化简48⊗（﹣3n）； （3）若a，m，n为任意有理数，等式a⊗（m＋n）＝a⊗m＋a⊗n一定成立吗？请说理由． 【考点二 阅读材料中的有理数运算】 4.阅读下列材料：对于排好顺序的三个数：，，称为数列，，．将这个数列如下式进行计算：，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列，，的“理想数值”．例如：对于数列1，－2，3，因为1，1－（－2）＝3，1－（－2）＋3＝6，所以数列1，－2，3的“理想数值为6，进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“理想数值”，如：数列－2，1，3的“理想数值”为0……而对于“1，－2，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“理想数值”的最大值为6. (1)数列－5，4，－3的“理想数值”为 ； (2)将－5，4，－3这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是 ，取得“理想数值”的最大值的数列是 ； (3)将“－1，7， ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是10，求的值，并写出取得“理想数值”最大值的数列． 5.【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程： 解：设S＝1＋2＋3＋…＋100， ① 则S＝100＋99＋98＋…＋1．② ①＋②，得（即左右两边分别相加）： 2S＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（100＋1）＝100×101． 所以，S＝． 所以，1＋2＋3＋…＋100＝5050． 后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题： (1)计算：1＋2＋3＋…＋101； (2)猜想：1＋2＋3＋…＋n＝　　； (3)利用（2）中的结论，计算：1001＋1002＋…＋2000． 6.阅读理解 材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立． 材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：，． (1)计算：______． (2)试说明：当q能够被3整除时一定能够被6整除． 【考点三 有理数中的规律探究】 7.观察下面算式的演算过程：                       …… （1）根据上面的规律，直接写出下面结果： ______________．     ____________． _________________．（为正整数） （2）根据规律计算： ． 8.请观察下列算式，找出规律并填空． ，，，． 则第10个算式是________，第个算式是________． 根据以上规律解读以下两题： （1）求的值； （2）若有理数，满足，试求：的值． 9.点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为    （        ） A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009 【考点四 数轴与绝对值、动点的综合探究】 10.阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离可以表示为． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______． (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______． (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若，则x＝______． (4)求代数式的最小值是______，并直接写出这时x的值为______． 11.如图，数轴上点为原点，点所表示的数为，点所表示的数为，且、满足． (1)请直接写出点所表示的数：______，点所表示的数：______． (2)如图1，点从出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点运动的同时，点从出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点到点、原点的距离始终相等，设点到点之间的距离为，求的值． (3)如图2，在（2）的条件下，当点、之间的距离等于时，从点出发（点所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时、仍按原速度、原方向运动，当与、都未相遇之前，是否存在点，使点到点、距离之和等于点到原点距离，若存在，求点所表示的数，若不存在，请说明理由． 12.已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：． 若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． （1）如图1， ①若点P在点A左侧，化简_________； ②若点P在线段上，化简_________； ③若点P在点B右侧，化简_________； ④由图可知，的最小值是_________． （2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________． （3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【习题】 1.完成下列各题． （1）定义新运算：对于任意有理数、，都有．计算如下：． 求的值． （2） 对于有理数、，若定义运算：，求的值． 2.每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如，真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（，），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组． 如：对于假分数，则， ， ， ， 所生成的自然数组为{3，1，4，2}． 请根据上述阅读材料填空： (1)由假分数生成的自然数组是{_______}； (2)已知某个假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}，那么这个假分数是_______． 3.由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)_________； (2)_________； (3)计算：． 4.已知：a是－1，且a，b，c满足，请回答问题： （1）请直接写出b，c的值：______，______； （2）在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x： ①当点P在A与B之间运动时，请化简式子：； ②若点Q为数轴上另一动点，点P以每秒2个单位长度从B点出发向右运动，点Q以每秒4个单位长度从C点出发向左运动，两点同时出发，当两点相遇时，点Q马上以同样速度往反方向运动，P点继续按原方向运动，在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后，，求t的值． 参考答案 第五讲 有理数综合 【考点一 新定义中的有理数运算】 1. 解：（1）根据题中的新定义得：2⊙（﹣3）＝|2＋（﹣3）|＋|2﹣（﹣3）|＝1＋5＝6； （2）从a，b在数轴上的位置可得a＋b＜0，a﹣b＞0， ∴a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|＝﹣（a＋b）＋（a﹣b）＝﹣2b． 2. 解：由题意得：2*（－4）=． 故答案为：16． 3. 解：（1）65⊗0＝65×|0|＝0，﹣43⊗|﹣2|＝﹣43×2＝﹣86， 故答案为：0，-86． （2）48⊗（﹣3n）＝48×|﹣3n |， ∵n＜0， ∴48×|﹣3n |＝-144 n；即48⊗（﹣3n）＝-144 n； （2）不一定成立； a⊗（m+n）＝a×| m+n |，a⊗m+a⊗n＝a×| m |+a×| n |= a×（| m |+| n |）， 当| m+n |=| m |+| n |时，即m，n为同号或m，n中至少有一个为0时，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n一定成立； 当| m+n |≠| m |+| n |时，即m，n为异号时，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n不成立； 【考点二 阅读材料中的有理数运算】 4. （1） 解：在对数列-5，4，-3运算后得到得数为 -5，-5-4＝-9，-5-4-3＝-12 “理想数值”为-5 故答案为：-5 （2） 将已知数列按不同顺序排列后，可得如下结果： ，， 理想数值 -5，4，-3 -5 -9 -12 -5 -5，-3，4 -5 -2 2 2 4，-3，-5 4 7 2 7 4，-5，-3 4 9 6 9 -3，-5，4 -3 2 6 6 -3，4，-5 -3 -7 -12 -3 故数列的“理想数值”的最大值是9，取得“理想数值”的最大值的数列是4，-5，-3．故答案为：9；4，-5，-3； （3） 由（2）可知，由“两负一正”组成的数列中，取得“理想数值”的最大值的数列是正数、负数、负数的排列方法，此时，“理想数值”是； 在数列“-1，7， ”的任意排列中，取得“理想数值”的最大值的排列方法为： 7，-1，a或7，a，-1 “理想数值”为7＋1＝810（舍去）或7-a＝10 解得：a＝-3 此时的数列为7，-3，-1． 5. （1） 解：设S＝1+2+3+…+100+101① 则S＝101+100+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102． 所以，S＝， 所以，1+2+3+…+100+101＝5151； （2） 解：解：设S＝1+2+3+…+n① 则S＝n+…+3+2+1   ② ①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n． 猜想：1+2+3+…+n＝， 故答案为：； （3） 解：1001+1002…+2000=． 6. (1) 解：13+14+15+53+54+55=204； 故答案为204； (2) 解：设p=10a+b，q=100c+10d+e， ∵q能够被3整除， ∴c+d+e能被3整除， 设c+d+e=3m（m为整数）， ∴=10a+c+10a+d+10a+e+10b+c+10b+d+10b+e， =30 a+30 b+2(c+d+e)， =30(a+b)+6m， ∵30是6的倍数，6m是6的倍数， ∴是6的倍数． 【考点三 有理数中的规律探究】 7. （1）， ， ， 故答案为：，，； （2）原式， ， ， ， ． 8. 解：第10个算式是， 第n个算式是； （1） = = =； （2）∵， ∴a-2=0，b-4=0， ∴a=2，b=4， ∴ = = = = 9. 解:根据题意分析可得:点A₁, A₂，A₃， .. An表示的数为-1，1，-2，2,-3，3,... 依照上述规律，可得出结论:点的下标为奇数时，点在原点的左侧，且为下标加1除以2的相反数;点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2; 即:当n为奇数时，An= 当n为偶数时，An= 所以点A2018表示的数为: 2018÷2= 1009, A2019表示的数为:- (2019+1) ÷2=-1010 故选: B 【考点四 数轴与绝对值、动点的综合探究】 10.（1） 解：． 故答案为：5； （2） 根据材料可知，有理数x与有理数7所对应两点之间的距离可表示为． 故答案为：； （3） 根据A，B两点之间的距离可以表示为，则可以表示数轴上有理数x与有理数﹣8所对应的两点之间的距离， 若，由绝对值的定义可知， 或， 解得或． 故答案为：﹣8，或； （4） 设点A、B、C分别表示-1010，-505，1010，点D表示的数为x， ∴， 如图1所示，当点D在A点左侧时， ； 图1 如图2所示，当点在AB之间时（包括A，不包括B）， ； 图2 如图3所示，当点D在BC之间时（包括B且包括C） （点B、D重合时，） 图3 如图4所示，当点D在C点右侧时， ， 图4 综上所述，当点D与点B重合时，即，AD+BD+CD有最小值， 此时． 故答案为：2020，﹣505． 11. （1） ∵， ∴a=4=0，b-2=0， ∴点表示的数是，点表示的数是2， 故答案为：-4，2． （2） 设点与点的运动时间为秒，由题知：点所表示的数：， 点所表示的数：，点所表示的数：， ①当点在负半轴上时， ∴，， ∴， ②当点在正半轴上，点的左侧时， ∴，， ∴； ③当点在正半轴上，点的右侧时， ∴，， ∴（舍）， 综上所述，的值为4． （3） ∵，且， ∴     （1）当点在点的左侧时， ∴，，， ∴， ∴， ∴点表示的数为： ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴所表示的数为； （2）当点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴ ∴点表示的数为：， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴所表示的数为， 综上所述，所表示的数为或． 12. 解：（1）①∵P在A点左侧时， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵P在线段AB上， ∴， ∴， 故答案为：； ③∵点P在点B右侧， ∴， ∴， 故答案为：； ④由图可知当P在A点左侧时， 由图可知当P在AB之间时， 由图可知当P在B点右侧时， ∴的最小值为3， 故答案为：3； （2）当P点在2的右侧即时， ∴， 当P点在-3的左侧即时， ∴ 当P点在-3和1之间时即时， ∴， ∴此时， 当P点在1和2之间时即时， ∴， ∴此时， ∴综上所述，的最小值为5， 故答案为：5； （3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s， 由题意得：路程之和 当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴此时； 当时， ； 当时， ； ∴此时； ∴s的最小值为1400，此时， ∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m． 【习题】 13.（1） （2） 14. （1） ，， 所生成的自然数组为，1，， 故答案为：，1，； (2) 这个假分数为，理由如下： ∵假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}， ∴， ，，，， 故答案为：． 15. (1) 解：（1）52×62＝ =900=  ， 故答案为：； (2) 解：m2×n2＝(mn)2， 故答案为：(mn)2； (3) 解：（﹣2）2021×（﹣）2022 ＝（﹣2）2021×（﹣）2021×（﹣） ＝ ＝ ＝ ． 16. 解：（1）由题意得： ∵ ∴，， 解得， 故答案为， （2）①由（1）得，可得：，， ②由题意可知 当未相遇时， 运动时间为，则，， 则 由题意可知，解得 当相遇后，在点的左侧时 设经过，相遇，，即，解得，此时 设相遇后，再过秒， 此时，，即 解得 则 当相遇后，在点的右侧时，， 则，解得 ，此时与点重合，满足 综上所述，t的值为秒或秒或秒 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$