专题1.1 集合的概念【练习：10大题型】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版必修第一册）

专题1.1 集合的概念（原卷） 内容概览 01：判断元素与集合的关系 1 02：同一集合的判断 2 03：根据元素与集合的关系求参数 3 04：利用集合的互异性求参数 4 05：集合的三种表示方法 5 06：根据两个集合相等求参数 5 07：根据集合中元素的个数求参数 6 08：求集合中元素的个数 6 09：集合元素的互异性的应用 7 10：常用数集或数集关系的应用 7 题组训练 01：判断元素与集合的关系 1．下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 2．给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 5．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 02：同一集合的判断 6．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（多选）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 03：根据元素与集合的关系求参数 11．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 12．已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 13．若，则 ． 14．已知，若，则实数的值为 ． 15．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 04：利用集合的互异性求参数 16．（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 17．已知集合，且，则实数的值为 . 18．已知，则 . 19．举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 20．若，求的取值范围． 05：集合的三种表示方法 21．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 22．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 23．设，方程的解集是 ． 24．若，，用列举法表示 ． 06：根据两个集合相等求参数 25．已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 26．已知集合，其中，则实数 . 27．已知，，若集合，则的值为 ． 28．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 29．已知集合，，若. （1）求实数的值； （2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值. 07：根据集合中元素的个数求参数 30．已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 31．已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 32．若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 33．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 08：求集合中元素的个数 35．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．已知集合，则的元素个数是（    ） A．16 B．8 C．6 D．4 37．已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 38．已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 39．设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 09：集合元素的互异性的应用 40．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 41．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 42．已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 43．（多选）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 44．设，已知，求x的值. 10：常用数集或数集关系的应用 45．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 46．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 47．已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 48．已知集合，则集合为 . 49．，若表示集合中元素的个数，则 ，则 ． 50．（多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合的概念（解析） 内容概览 01：判断元素与集合的关系 1 02：同一集合的判断 4 03：根据元素与集合的关系求参数 6 04：利用集合的互异性求参数 8 05：集合的三种表示方法 11 06：根据两个集合相等求参数 12 07：根据集合中元素的个数求参数 15 08：求集合中元素的个数 17 09：集合元素的互异性的应用 18 10：常用数集或数集关系的应用 20 题组训练 01：判断元素与集合的关系 1．下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是无限集 D．方程的解集有二个元素 【答案】C 【分析】根据元素与集合的定义逐一判断即可. 【详解】A：0是集合的一个元素，因此本选项不正确； B：因为文明市民的标准不确定，所以组成不了集合，因此本选项不正确； C：由，显然给一个自然数的值，都有唯一的一个实数与之对应， 而自然数集是无限集，因此集合是无限集，因此本选项正确； D：， 方程的解集有一个元素，因此本选项不正确， 故选：C 2．给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性、无序性和定义逐一判断即可. 【详解】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确； ②因为好听的歌标准不确定， 所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确； ③因为高一（1）班所有姓氏是确定的， 所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的； ④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确， 因此正确的个数为1， 故选：B 3．下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】直接由元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】①集合中最小数为，故①错误； ②取，则，故②错误； ③若，，则的最小值为2，错误，当时，，故③错误； ④所有的正数组成一个集合，故④正确； 故选：B. 4．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】 根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】 由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 5．设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【详解】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 02：同一集合的判断 6．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 7．已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 8．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与元素的关系，即可作出判断. 【详解】对于A，集合A为数集，集合B为点集，显然二者不等； 对于B，，显然； 对于C，当时，，所以； 对于D，当时，，所以. 故选：C 9．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 10．（多选）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由两个集合中元素的特征，判断两个集合的关系和元素与集合的关系. 【详解】点在函数图像上，有，A选项正确； 集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误； 函数的值域为，则，，C选项正确； 集合B为点集，，D选项错误. 故选：AC. 03：根据元素与集合的关系求参数 11．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 12．已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据1是集合中的一个元素，求得a，进而再解方程求解. 【详解】解：， 集合中的方程为， 解得或， ， 故选：C． 13．若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 14．已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意知集合，利用分类讨论及集合元素的互异性从而可求解. 【详解】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 故答案为：. 15．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 04：利用集合的互异性求参数 16．（多选）已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 17．已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】或0. 【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案. 【详解】若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去 若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：或0. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题. 18．已知，则 . 【答案】 【分析】分别解方程和求得的值，再结合元素互异性即可求解. 【详解】因为，所以或， 解得：或， 当时，，不满足元素的互异性，所以不成立， 当时，集合为，所以符合题意， 故答案为：. 19．举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 20．若，求的取值范围． 【答案】 【分析】由集合的特性列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】 ，得 综上，且 即的取值范围为 05：集合的三种表示方法 21．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断. 【详解】对于①，，，结论①正确； 对于②，，，结论②错误； 对于③，对于任意一个整数，它除以的余数可能是、、、、，，结论③正确； 对于④，整数、属于同一“类”，设、，、、、、，则存在、，使得，，，结论④正确.故选C. 【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题. 22．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 23．设，方程的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定的方程，分段去绝对值符号求解即得. 【详解】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 24．若，，用列举法表示 ． 【答案】 【分析】由集合的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 06：根据两个集合相等求参数 25．已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 26．已知集合，其中，则实数 . 【答案】 【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案. 【详解】①当时，解得， 当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； ②当时，解得， 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； 当时，， 得到，符合题意，所以. 故答案为：. 27．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴. ∴ 故答案为： 28．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等，结合集合的互异性，即可求得，则问题得解. 【详解】要使得有意义，则，由集合， 故可得，此时， 故只需或， 若，则集合不满足互异性，故舍去. 则只能为. 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合相等求参数，以及集合的互异性，属综合基础题. 29．已知集合，，若. （1）求实数的值； （2）如果集合是集合的列举表示法，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据元素与集合的属于关系的定义进行分类讨论进行求解即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】解：（1）∵，∴或者 得或， 验证当 时，集合，集合内两个元素相同，故舍去 ∴ （2）由上得，故集合中，方程的两根为1、-3. 由一元二次方程根与系数的关系，得. 【点睛】本题考查了已知集合与元素属于关系的应用，考查了集合相等的定义，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力. 07：根据集合中元素的个数求参数 30．已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【分析】根据给定条件，按方程是一元一次方程和一元二次方程分类求解即得. 【详解】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或． 故选：C 31．已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 32．若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 33．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得. 【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C 34．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】. 【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 08：求集合中元素的个数 35．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 36．已知集合，则的元素个数是（    ） A．16 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】分别在集合中取，由此可求得所有可能的取值，进而得到结果. 【详解】因为， 所以，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，，所以. 故选：C. 37．已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的运算即可利用列举法求解. 【详解】设， 故，故有6个元素， 故选：C 38．已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对a，b的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当， 当， 当， 当， 当， 当， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B 39．设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【分析】直接根据定义求出集合中的元素即可. 【详解】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 09：集合元素的互异性的应用 40．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【分析】分和两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到答案. 【详解】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 41．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案. 【详解】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或. 故选：C 42．已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件分析a，b取值即可判断作答. 【详解】集合，， 则当时，有，当时，或，当时，或， 所以，集合B有中5个元素. 故选：A 43．（多选）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】BC 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】∵，则有： 若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：或. 故选：BC. 44．设，已知，求x的值. 【答案】 【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】（i）若，解得， 则，此时，不成立； （ⅱ）若，整理得，解得或， ①当时，则，此时，符合题意； ②当时，则，此时，不成立； 综上所述：. 10：常用数集或数集关系的应用 45．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（    ） A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错 【答案】A 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以， 因为，，，所以，故①对； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以； 当时，，，，所以；依次类推， 当时，，，， 所以，则，故②对. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 46．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 47．已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可. 【详解】因为，， 则由题意可设，，其中， 则，且， 故， 故选：D． 48．已知集合，则集合为 . 【答案】 【分析】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案. 【详解】，且， 为15的因数， 或3或5或15，解得或12或10或0， 集合为. 故答案为：. 49．，若表示集合中元素的个数，则 ，则 ． 【答案】 【分析】解不等式可得，再考虑的整数部分，从而的值. 【详解】当时，，故，即，， 由于不能整除3，且， 故从到，3的倍数共有682个， . 故答案为：，. 50．（多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$