精品解析：湖南省株洲市渌口区第三中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

株洲市渌口区第三中学2024年上学期高一年级期中考试试题 数学 制卷：易黄利 审卷：何友良、徐关卿 （时量：120分钟 总分：150分） 考生注意： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号等信息填入相应位置内. 2、客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色签字笔书写在答题卷上.考试结束时，只交答题卡，试卷请妥善保管. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义直接得出结果. 【详解】由可得其在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为. 故选：B 2. 若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. π D. 2π 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式可得答案. 【详解】由题意圆锥的体积为 故选：C 3. 利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜二测画法作出直观图，可得结果. 【详解】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）： 故选：C. 4. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B. 5. 在中，下列各式是余弦定理的为 A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察每一项结构形式，与余弦定理的结构形式进行对比，便可得到答案． 【详解】解：A选项：与余弦定理的结构形式一样，正确； B选项：转化得到，与余弦定理的结构形式不一致，故错误； C选项：转化得到，与余弦定理的结构形式不一致，故错误； D.选项似乎是余弦定理的变形式，而余弦定理的变形形式为，故不正确． 本题答案选A． 【点睛】本题考查了余弦定理的结构形式及余弦定理变形形式的识记，解决问题时，对条件进行适当的转化变形是前提． 6. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量加法、减法的运算法则可得结果. 【详解】根据平面向量运算法则可得. 故选：A 7. 学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（ ） A. 12 m B. 8 m C. 2m D. 4 m 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得. 【详解】由于三角形是等腰三角形，所以，且， 由余弦定理得. 故选：D 8. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量夹角定义可得A错误；利用向量加、减法运算法则及模长关系可得B错误，C错误；再利用投影向量定义计算可得D正确. 【详解】由八卦图可知与夹角为，其大小为， 即与的夹角为，所以A错误； 由向量的平行四边形法则可知，即B错误； 易知，又，所以， 而，所以，即C错误； 易知在上的投影向量为，即D正确. 故选：D 二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列复数是纯虚数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用纯虚数定义分析求解即可. 【详解】由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0， 而A，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0， 故，是纯虚数，故B，D正确. 故选：BD 10. 下列几何体中，是棱柱有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据棱柱的定义可解. 【详解】根据立体图形的相关概念，可以判定A,C为棱柱，B为棱台，D为棱锥． 故选：AC． 11. 中，角，，所对的边分别是，，，若，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦定理化简可得：，即得到的可能取值. 【详解】，由正弦定理可得：. ，，， ，或 故选：AD. 12. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若．则存在唯一实数，使得 D. 若点P为所在平面上一点，若，则面积与面积之比为1：4 【答案】BD 【解析】 【分析】A、C注意零向量的情况；B由相等向量传递性判断；D由确定的位置，进而判断面积关系. 【详解】A：当为零向量时不一定成立，错误； B：由条件知：，正确； C：为零向量时中实数不唯一，错误； D：由，易知：为平行于的中位线中点， 则且，故面积与面积之比为1：4，正确. 故选：BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 直径为2的球的体积是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用球的体积公式计算即可得结果. 【详解】由题意可知，球的半径为， 所以该球的体积为. 故答案为： 14. 已知，，且，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，使其数量积为0即可求得结果. 【详解】由，，且可得， 解得. 故答案为：2 15. 在中，已知，，，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式计算. 【详解】由题意可得的面积为. 故答案为： 16. 如图，在等边三角形ABC中，，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案. 【详解】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，，AC中点. 设，则， . ∵在直线上，∴， ∴， ∵，∴当时，的最大值为3. 故答案为：3. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的乘法运算计算可得结果； （2）利用复数的除法运算法则计算出结果. 【小问1详解】 易知； 【小问2详解】 . 18. 已知向量与的夹角为，，，求： （1）； （2）. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的公式计算； （2）利用数量积的运算律计算. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 所以. 19. 已知在中，角的对边分别为 ， ，求和. 【答案】，， 【解析】 【分析】利用正弦定理求；利用三角形内角和定理求；用求 【详解】解：∵， ∴. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵， ∴． 【点睛】熟练运用正弦定理及变形是解题的关键. 正弦定理常见变形： 、 、 、 20. 已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积. 【答案】 【解析】 【分析】易知四面体为正四面体，求出一个三角形面积即可得四面体的表面积. 【详解】 因为四面体的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍， 不妨求的面积，取的中点为，连接； 因为是边长为2的正三角形，易知， 所以. 可得四面体的表面积为. 21. 如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个的养殖场 （1）已知，求的长度 （2）问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大，并求其最大面积 【答案】（1）千米； （2）千米时，取得最大值平方千米. 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理可求出的长度；（2）根据面积公式和余弦定理可求. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得： ，代入数据得 解之：千米； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得 令可得， 所以当且仅当时取得 又 千米时，取得最大值平方千米. 22. 已知=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),且. (1)用k表示数量积; (2)求的最小值,并求此时的夹角θ. 【答案】（1）=.（2）θ=60°. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由平方后可得，可用k表示． （2）由（1）中函数的解析式，由函数的单调性的定义，可分析出的最小值为f(1)，代入向量夹角公式，可得此时与夹角θ的大小． 试题解析：(1)由, 得, . . , , ∴=. (2)由(1),得=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当k=1时, 的最小值为f(1)=×(1+1)=.此时的夹角为θ,则cos θ=,∴θ=60°. 点睛:平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，本题中平方后结合，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市渌口区第三中学2024年上学期高一年级期中考试试题 数学 制卷：易黄利 审卷：何友良、徐关卿 （时量：120分钟 总分：150分） 考生注意： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号等信息填入相应位置内. 2、客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色签字笔书写在答题卷上.考试结束时，只交答题卡，试卷请妥善保管. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. π D. 2π 3. 利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（ ） A B. C. D. 4. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 5. 在中，下列各式是余弦定理的为 A. B. C. D. 6. 等于（ ） A. B. C. D. 7. 学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（ ） A. 12 m B. 8 m C 2m D. 4 m 8. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量） 二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列复数是纯虚数的为（ ） A. B. C. D. 10. 下列几何体中，棱柱有（ ） A. B. C. D. 11. 中，角，，所对的边分别是，，，若，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 12. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若．则存在唯一实数，使得 D. 若点P所在平面上一点，若，则面积与面积之比为1：4 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 直径为2的球的体积是________. 14. 已知，，且，则________. 15. 在中，已知，，，则的面积为________. 16. 如图，在等边三角形ABC中，，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算： （1）； （2）. 18. 已知向量与的夹角为，，，求： （1）； （2）. 19. 已知在中，角的对边分别为 ， ，求和. 20. 已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体，求它的表面积. 21. 如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线为海岸线，，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个的养殖场 （1）已知，求的长度 （2）问如何选取点，才能使得养殖场的面积最大，并求其最大面积 22. 已知=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),且. (1)用k表示数量积; (2)求最小值,并求此时的夹角θ. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $