1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（六大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点3 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 题型一 直线的方向向量 1．（多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 2．已知空间直角坐标系中的点，平面过点并且与直线垂直，动点是平面内的任意一点，则直线的一个方向向量为 ，点的坐标满足的条件为 ． 3．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 4．已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则 ， . 5．如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：    (1)； (2)． 6．如图，已知长方体中，，，，建立空间直角坐标系，分别求直线与AC的方向向量． 题型二 平面的法向量 7．已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知空间中三点，则正确的有（    ） A．与是共线向量 B．的一个单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 9．已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则实数a＝ . 10．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 11．已知是平面内的两个不共线的向量，，求平面的一个法向量． 12．在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 13．在长方体中，，，.以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，求平面的法向量. 题型三 证明异面直线的平行与垂直 14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 15．如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 16．在正方体中，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 17．在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 18．（多选）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 19．（多选）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 题型四 证明直线与平面的平行与垂直 20．已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 21．已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 23．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 24．如图，在长方体中，，，分别的中点．    (1)求证：平面； (2)判断与平面是否垂直，并说明理由． 25．如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    26．如图，在棱长为1的正方体中，与交于点E，与交于点F．    求证：平面. 题型五 证明平面与平面的平行与垂直 27．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 28．为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（多选）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A．存在，使得平面 B．当时，存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 30．（多选）在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．，，，四点共面 D．平面平面 31．已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 32．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 33．如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 题型六 已知平行与垂直，求其它 34．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 35．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 36．（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的点，四棱锥的体积为定值； B．对于任意的点，平面被正方体所截得的截面形状为五边形； C．存在点，使得平面； D．存在点，使得平面； 37．正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 38．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 39．已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 40．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 41．如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足． (1)求证：平面平面； (2)若，且平面，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, (1)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. (2)取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 ①如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 ②如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 知识点2 平面的法向量 1．平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 2．平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: (1)直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. (2)待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 知识点3 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 知识点4 空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 题型一 直线的方向向量 1．（多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 2．已知空间直角坐标系中的点，平面过点并且与直线垂直，动点是平面内的任意一点，则直线的一个方向向量为 ，点的坐标满足的条件为 ． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】直线的一个方向向量为， 由题意知，因为，所以， ， 则，即， 所以. 故答案为：；. 3．如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 4．已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则 ， . 【答案】 －20 12 【详解】∵直线的方向向量平行， ∴， ∴， 故答案为：；. 5．如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知可得，长方体顶点A，B，，的坐标分别为 ，，，． 因为向量，所以直线的一个方向向量为． （2）因为向量，所以直线的一个方向向量为． 6．如图，已知长方体中，，，，建立空间直角坐标系，分别求直线与AC的方向向量． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：以点为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 故， 所以直线与AC的方向向量分别为. 题型二 平面的法向量 7．已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图由已知得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取得. 故选：D. 8．（多选）已知空间中三点，则正确的有（    ） A．与是共线向量 B．的一个单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】BC 【详解】由题意知，，因为，所以与不是共线向量，即A错误； 的单位向量为，所以的单位向量为或，即B正确； ，所以与夹角的余弦值为，即C正确； 设平面的一个法向量为，则即， 令，则，所以，即D错误, 故选：BC. 9．已知平面α内有两点M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则实数a＝ . 【答案】2 【详解】因为M(1，－1，2)，N(a，3，3)，所以＝(a－1，4，1).因为平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，所以n⊥，则n＝6(a－1)－3×4＋6＝0，解得a＝2. 10．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【答案】9 【详解】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内， 所以，所以， 所以，解得． 故答案为：9. 11．已知是平面内的两个不共线的向量，，求平面的一个法向量． 【答案】 【详解】解法一（待定系数法）：设是平面的一个法向量， 由直线与平面垂直的判定定理知 即 不妨设，得解得 ∴平面的一个法向量． 解法二（矢量积法）：设是平面的一个法向量， 由矢量积法可知平面的一个法向量 ． 12．在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 【答案】 【详解】由题得， 因为是平面的一个法向量，所以，从而， 即， 所以， 整理可得，即为所求. 13．在长方体中，，，.以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，求平面的法向量. 【答案】（答案不唯一） 【详解】如图，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系， 则，得， 设为平面的一个法向量， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为. 题型三 证明异面直线的平行与垂直 14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 15．如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误； 对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确；    对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确； 对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误； 故选：D. 16．在正方体中，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 所以，， ，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 17．在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 【答案】D 【详解】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 设正方体棱长为1， 则， 所以， 若，则， 即，方程有无数组解， 故选：D 18．（多选）如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D．不是平面的一个法向量 【答案】BD 【详解】由为正方体， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则､. 对于选项，，则，故错误； 对于选项，，则，故正确； 对于选项，，故，故错误； 对于选项，，故不是平面的一个法向量，故正确. 故选：. 19．（多选）已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于：∵，所以正确； 对于：， ∴，所以不垂直， 所以不正确； 对于：， ， 所以正确； 对于：，， 而， ∴不平行于；所以不正确. 故选：. 题型四 证明直线与平面的平行与垂直 20．已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，解得． 故选：. 21．已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为且， 所以，则，即， 所以，解得，所以. 故选：B 22．已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【答案】C 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 23．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，， 又因为分别为和的中点，可得， 又由向量为平面的一个法向量，且, 由此可得，又因为直线平面，所以平面. 24．如图，在长方体中，，，分别的中点．    (1)求证：平面； (2)判断与平面是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不垂直，理由见解析. 【详解】（1）在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    由，，分别的中点，得， ，显然平面的一个法向量， 则，于是，有平面，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，，则有，而， 于是向量与向量不垂直，即直线与不垂直，而平面， 所以与平面不垂直. 25．如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    【答案】证明见解析 【详解】因为，平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴， 过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 可得，，，， 因为是的中点，则， 则，因为，， 可得， 因为平面BCD的法向量可取为， 则，且平面BCD， 所以PQ平面BCD． 26．如图，在棱长为1的正方体中，与交于点E，与交于点F．    求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】以点为原点，分别以方向为轴，建立空间直角坐标系如图所示：    则， 所以，，， 有且， 所以且， 而，平面， 所以平面. 题型五 证明平面与平面的平行与垂直 27．已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意或. 故选：B. 28．为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】因为 不重合，， 对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确； 对③，若 ，故③错误； 对④，，故④正确. 故选：C. 29．（多选）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ）    A．存在，使得平面 B．当时，存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【答案】ACD 【详解】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：    设，则，则， 又点分别是的中点， 所以， A：设平面的一个法向量为，， 所以，取，解得， 设，，若平面，则， 所以， 所以当或（舍）成立，此时为的中点；故A正确； B：延用A中的解答，，若平面，则， 则，当且仅当时成立，故B错误； C：   当与D重合时，因为，且面，面，此时平面平面，故C正确； D：延用A中的解答，，则，因为， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 故选：ACD 30．（多选）在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．，，，四点共面 D．平面平面 【答案】AD 【详解】如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则, 则, 则， 故，即， 而平面，故平面，A正确； 由于，且没有倍数关系， 即两向量不共线，故不平行，B错误； 由于平面，平面，, 故为异面直线，则，，，四点不共面，C错误； 由于平面， 故平面，又平面，故平面平面，D正确， 故选：AD 31．已知单位正方体中，为的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【详解】证法一：建立如图的空间直角坐标系，则、、、， 于是，，， 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 设平面的法向量为． 由，，得，． 令，则，∴． 故， 因此，故面面． 证法二：设的中点为，则， 平面的法量为．易知，这说明与共线， ∴平面，又平面，故平面． 32．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 33．如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 题型六 已知平行与垂直，求其它 34．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 35．在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 36．（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，是线段（不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．对于任意的点，四棱锥的体积为定值； B．对于任意的点，平面被正方体所截得的截面形状为五边形； C．存在点，使得平面； D．存在点，使得平面； 【答案】AC 【详解】对A：因为正方形的面积为4，点到平面的距离为， 所以，即四棱锥的体积为定值，故选项A正确； 对B：把截面补形为四边形，易得， 故平面被正方体所截得的截面多边形为四边形，故选项B错误； 对C：以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，设， 设平面的一个法向量为，因为，， 所以，即，令，则，，所以， 若平面，，则，解得， 所以存在点G，使平面．故选项C正确； 对D：设平面的一个法向量为，因为，， 所以，即，令，则，，所以， 若平面，，则， 则，，分别解得，， 显然和不平行，所以不存在点G，使平面．故选项D错误． 故选：AC． 37．正方体的棱长为，分别为上的点，，分别为上的动点．若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为 ． 【答案】 【详解】建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，， ，．设，，， 又，则， 解得． 再根据如图2所示，作的平行线，分别为，，的中点，连接， 因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直平面的垂线上． 连接，根据球心到球面上任何一点的距离都相等，故，故， 由题可设，，所以， 又，所以，解得， 所以，所以， 所以球的表面积为． 故答案为：. 38．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 39．已知正方体的棱长为1，在棱上运动，在线段上运动，直线与平面交于点．    (1)当为中点时，证明：平面； (2)若平面，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为， 【详解】（1）以为坐标原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，    则， 设， 当E，F为中点时，，有， 所以，，，有，， 所以，又平面， 所以平面． （2）由（1）可得，，， 若平面，则，，所以， 设，则， 由平面ACE，所以， 当时，，有，当时，等号成立， 所以，即， 综上，的最大值为，． 40．已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，为的四等分点（靠近）. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是矩形，平面，则直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，令， 于是， 因此，即， 所以. （2）由（1）知，，假定存在点满足条件， 设，， 设平面的法向量为，则，令，得， 要平面，显然平面，则只需，即，解得， 所以在线段上存在点，使得平面，点为靠近点的线段的四等分点. 41．如图，在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点，点F满足． (1)求证：平面平面； (2)若，且平面，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【详解】（1）如图，连接，因为，所以．所以A，E，D，F四点共面． 因为在三棱锥中，和都是正三角形，E是的中点， 所以，．因为平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）如图，记的中心为O，连接， 由（1）平面，而平面，故， 又平面，故平面平面， 而平面平面，平面，故平面， 过作直线，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为是正三角形，，所以，，． 所以，，，，． 所以，． 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，，所以． 因为，， 所以． 因为平面，所以， 即，解得， 此时．故DF的长为6． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$