新中考热点问题15 全等三角形存在性问题-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

新中考热点问题15　全等三角形存在性问题 二、图形与几何领域 5．特殊图形或图形关系存在性问题 典例感悟 例 如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6 cm，BC＝10 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，△ABP与△DCP全等． (2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得 △ABP与△PQC全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意知，PC＝10－2t， 当△ABP≌△DCP时，BP＝CP， ∴2t＝10－2t， 解得t＝2.5. 所以当t＝2.5 s时，△ABP≌△DCP. (2)①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ， ∵AB＝6 cm， ∴PC＝6 cm， 解得v＝2.4. 综上所述，当v＝2.4 cm/s或2 cm/s时△ABP和△PQC全等． 触类旁通 1. 如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB＝AC＝10 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，沿BC方向以3 cm/s的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以3 cm/s的速度向点A运动，运动时间是t(s).在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵BP＝CQ＝3t(cm)， 2. 【问题提出】如图1，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E.求证：△ABD≌△CAE. 【变式探究】若图1中的点B，C在直线l的两侧，其他条件不变(如图2所示)，判断△ABD与△CAE是否依然全等，并说明理由． 感谢聆听，再见！ ∴BP＝10－6＝4(cm)，t＝4÷2＝2， ∴2v＝4， 解得v＝2； ②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP， ∵BP＝PC， ∴BP＝PC＝BC＝5(cm)， ∴2t＝5， 解得t＝2.5. ∵CQ＝AB＝6 cm， 即2.5v＝6， ∴当BD＝CP时，△BPD≌△CQP. ∵AB＝10 cm，D为AB的中点， ∴BD＝5 cm， ∴8－3t＝5， 解得t＝1； 当PB＝PC，BD＝CQ时，△BPD≌△CPQ， ∴此方程组无解， ∴不存在△BPD≌△CPQ这种情况， 综上所述，当t＝1时，△BPD≌△CQP. 解：【问题提出】证明：由已知得∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS). 【变式探究】△ABD与△CAE依然全等． 理由：∵∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS). $$