微专题中考核心微专题1 代数式中整体思想的运用-【精彩三年】2024年中考数学精品课堂教师用书配套课件PPT

微专题中考核心微专题 一 代数式中整体思想的运用 第一单元　数与式 [整体思想] 整体思想是研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．应用于代数式求值、因式分解、分式及根式的化简求值． 类型一　代数式求值中的整体思想 1．如果2x－y＝1，那么2y－4x＋2 024＝________． 2．已知x2－3x＋1＝0，则3x2－9x＋5＝_____． 3．已知x2n＝2，则(x3n)2－(x2)2n的值为______． 2022 2 4 类型一　代数式求值中的整体思想 4. 已知实数a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝9，求a2＋b2－ab的值． 类型一　代数式求值中的整体思想 5．已知x满足(x－2 022)2＋(2 024－x)2＝10，求(x－2 023)2 的值． 解：∵(x－2 022)2＋(2 024－x)2＝10， ∴(x－2 023＋1)2＋(x－2 023－1)2＝10， 设x－2 023＝y，则(y＋1)2＋(y－1)2＝10， ∴y2＋2y＋1＋y2－2y＋1＝10， ∴2y2＝8，∴y2＝4，∴(x－2 023)2＝4. 类型二　因式分解中的整体思想 1．若2a－3b＝－1，则代数式4a2－6ab＋3b的值为(　　) A．－1　　　　B．1 C．2 D．3 2．已知a－b＝1，ab＝2，则多项式a3b－2a2b2＋ab3的值为(　　) A．2 B．－2 C．5 D．6 3．若x2＋xy＋y＝14，y2＋xy＋x＝28，则x＋y的值为(　　) A．6 B．7 C．－7 D．6或－7 B A D 类型二　因式分解中的整体思想 【解析】 ∵x2＋xy＋y＝14，① y2＋xy＋x＝28，② ①＋②，得x2＋2xy＋y2＋x＋y＝42， ∴(x＋y)2＋(x＋y)－42＝0， ∴(x＋y－6)(x＋y＋7)＝0， ∴x＋y＝6或x＋y＝－7. 类型二　因式分解中的整体思想 4．分解因式：(1)(2a－b)2－2a＋b＝____________________． (2)4(x＋2y)2－25(x－y)2＝____________________． (3)(a－b)(a－b－2)＋1＝______________． 5．若a＋b＝1，则a2－b2＋2b－2＝________． 6. 已知x－2＝ ，则代数式(x＋1)2－6(x＋1)＋9的值为_____． (2a－b)(2a－b－1) 3(7x－y)(3y－x) (a－b－1)2 －1 2 类型二　因式分解中的整体思想 类型三　分式求值中的整体思想 0 类型三　分式求值中的整体思想 类型三　分式求值中的整体思想 5 类型三　分式求值中的整体思想 5．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： －2或1 7 类型三　分式求值中的整体思想 【解析】 (1)当a＝b时，a2＋2a＝a＋2， a2＋a－2＝0，(a＋2)(a－1)＝0， 解得a＝－2或1. 类型三　分式求值中的整体思想 类型三　分式求值中的整体思想 类型三　分式求值中的整体思想 类型四　根式求值中的整体思想 4 5 类型四　根式求值中的整体思想 类型四　根式求值中的整体思想 类型四　根式求值中的整体思想 请你仿照小芳的分析过程，解决下列问题： 类型四　根式求值中的整体思想 感谢聆听，再见！ 解：∵(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a＋b)2＝1，(a－b)2＝9， ∴ab＝＝＝－2， ∴a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3×(－2)＝1＋6＝7. 7．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．利用公式解决下列问题：若a－b＝，b－c＝，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ac的值． 解：∵a－b＝，b－c＝，∴a－c＝.∵a2＋b2＋c2＝1， ∴ab＋bc＋ac＝a2＋b2＋c2－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2] ＝1－×＝－. 1. 若ab≠0，且2b＝3a，则的值是______． 2．已知－＝1，则的值等于______． 3．若x＋＝且0＜x＜1，则x2－＝________． － 【解析】 ∵0＜x＜1，∴x＜，∴x－＜0. ∵x＋＝，∴＝，即x2＋2＋＝， ∴x2－2＋＝－4，∴＝，∴x－＝－， ∴x2－＝＝×＝－. 4．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3，则a2＋b2 ＝_____，＋＝________. 已知实数a，b同时满足a2＋2a＝b＋2，b2＋2b＝a＋2，求代数式＋的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： (1)当a＝b时，a的值是____________． (2)当a≠b时，代数式＋的值是_____． (2)方程组 ①＋②，得a2＋b2＋2a＋2b＝b＋a＋4， 整理，得a2＋b2＋a＋b＝4，③ ①－②，得a2－b2＋2a－2b＝b－a， 整理，得a2－b2＋3a－3b＝0， (a＋b)(a－b)＋3(a－b)＝0，(a－b)(a＋b＋3)＝0. 又∵a≠b，∴a＋b＋3＝0，即a＋b＝－3.④ 将④代入③，得a2＋b2－3＝4，即a2＋b2＝7. 又∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝9，∴ab＝1， ∴＋＝＝7. 6．已知x2＋3x＋1＝0，求x＋，x2＋，x4＋的值． 解：∵x2＋3x＋1＝0，∴x＋3＋＝0，∴x＋＝－3， ∴＝9，∴x2＋2＋＝9，∴x2＋＝7， ∴＝49，∴x4＋2＋＝49，∴x4＋＝47. 7．已知a＞b＞0，且a2＋b2＝3ab，求÷的值． 解：÷＝÷＝－， ∵a2＋b2＝3ab，∴(a＋b)2＝5ab，(a－b)2＝ab， ∵a＞b＞0，∴a＋b＝，a－b＝， ∴－＝－＝－＝－. 1．已知x＝＋，那么x2－2x的值是______． 2．已知a＋b＝－5，ab＝1，则＋的值为______. 【解析】 ∵a＋b＝－5，ab＝1，∴a＜0，b＜0， ∴＋＝－－＝－＝－. 又∵a＋b＝－5，ab＝1，∴原式＝－＝5. 3．已知a＝＋，b＝－，求a2－ab＋b2. 解：∵a＋b＝2，ab＝1， ∴a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab ＝(2)2－3×1＝12－3＝9. 4．小芳在解决问题“已知a＝，求2a2－8a＋1的值”时的分析与解答如下： ∵a＝＝＝2－， ∴(a－2)2＝3，a2－4a＋4＝3，∴a2－4a＝－1， ∴2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1 ＝－1. 若a＝. (1)求4a2－8a－1的值． (2)求3a3－12a2＋9a－12的值． 解：(1)∵a＝＝＋1， ∴4a2－8a－1＝4a2－8a＋4－4－1 ＝4(a2－2a＋1)－5＝4(a－1)2－5＝4×(＋1－1)2－5＝3. (2)∵a＝＝＋1，∴a2＝3＋2， ∴3a3－12a2＋9a－12＝(3a3＋9a)－(12a2＋12) ＝3a(a2＋3)－12(a2＋1)＝3×(＋1)(6＋2)－12×(4＋2)＝－18， ∴3a3－12a2＋9a－12的值为－18. $$