专项提优训练卷(四)等腰三角形与最短陈径问题-【千里马·单元测试卷】2024-2025学年八年级上册数学（人教版 黑龙江专版）

见此图标像料著微信扫问A灯件学助平在线著疑解张 LEIN=LECN (214,40.-40,(-2,-2).C18.0) 8= AC=取 (33 同准= ∠1=41， (2)明：F0 ,解：(1：5看直平分C 女限=0=OE 22=∠3 4上5F■∠A=60,∠AF宝=∠CB-6 左D=D累=E靠 ma城 LAMC-6r, 4AE事分尊边二角毛 又，■4，.En4 A《1)解？4A方等边三用形 3■ (3)解：环=以 又：an:的周长为1s, ∠B=0, 又LH年” 理曲：LA:,∠Cn 点+G=n, 在∠A军=上P,春= =2E=2×244 42G=∠E=209 0=5 “■0 AB -AC.AE-AF. (2∠AW=0. ∠A限=∠A=, +Ai-AE=A-,軍= ∠A3=0 在E和么0中 ∠E■LPC. (2)①解：补全图形如容丽周元 AE=,球=F 父：作属直平分C 2用：？凸4G为等连三角形 PD-PD. 的罗 六∠买”. 行∠B■∠G4∠餐60四 &≌△WGA5) 明=EF ”∠C30 “伊 六H= 在△E和△EFC中。 上E=∠EFE 又：上▣∠C=30°.LA2=10 ∠A。∠AP 1W+T呢+W官= FC 六∠4e-0, ∠AV-∠B·上0P-∠C 敏管+心的量小值为 ÷&we△CsA5》 六LA=Ir-CC-EAC= 4通苍国 即∠4情。∠Q4 22.(1)H明：△A和A然影是等边三角用 江（差期：片AF平分∠， “点Q,“关于直线C对斥 第十三章能力提升娄 ∠AF=2CAF ∠QC■∠uG,AQAu L.A1A1G4D多I7,C8.B9p AF和. 百∠PA信=∠C,AP✉Af A0CEGA4CD 乘宜半分1：312条19 ÷AiF=LB,∠C心iF=∠4 ,∠HE∠C+∠"C=LB+LC=60 (2)证明：ABCEGA4B 4.是特△①关于)轴对称，考向上平移3个单位长度同 六∠AMB=∠N, △A为等选三角用。 列6所容案和理一) AN. -∠际=之MAG .P=. 5.01s,15.17.61报35 :△AC品等把三角形 ∠W■∠C市P 话解：族直升机享整向机场作老行无意白 想：∠行=， (2}解e:∠4B=L指=0 理由：如喜图，过点G作①1作于点D, 42元.13 六乙a6=1 4LBEF=∠CH 女A4=9".∠AG=P 由轴对移的性质，即∠EFC一∠EC', Lg=∠C+∠n=1 又年=AG, 4∠6L=∠F-LFC=10-0■的 “浴平经LCB ；Ac△ 餐C 24c:号∠MEw :乙A请=乙G 合GA格 AF&BC. (3)解：△FW是等边三角 TAEB既， 六∠AGC=10-乙若=1P-4-= 南题意可得8=H国km 理商+f生，∠=的 41=∠0=， G=201n.C沙=料 二凸程是等诗三角瓶 s22=10-∠1=1i 共(【)证目：△C是等边三角形 女000. 韩解：1)您答据所常.64，在，G审为所作 iLG=上从g=四 专项提优阵拳（四） 008明.EC, 一孩直升机能棱有机场飞行无径烫 前解：(1》妇有闲.感长CD聚点后.棱附=D.连接E交 等腰三角形与最短路径问厨 ∠0E。LABC=',∠F0=∠A容=60 ÷△E是等由三角形 0子点P,到点P镜是所作的点 LG【解所①当这木角为通得对，盛周▣(0=)4 (}解：的球■ )如答丽，挂接P,述点发作 1阳：士准途个属是且青时，属岛两4，面商为y- 用由甘平分L%,上A= 别上，交的因长线于底用 ×=,整上，共传两个内角的度积为，风 L40=LB0=3 ∠4N=∠A=0° 0o/A8. ,D88. 2.解2-1)“角阳(3-5)"角是库个素角时， 六∠雀CA=r =2∠1=1 红-1=Jz-5,解得1n3, 乙W∠. ”0G=27.E=2u .三个内分对是4，，2 B八年极{上缺！ 宴与(2红-2)角是爽角时2x-2+2(3r-51=10, A=AC,乙∠A= 正明：如答道，过点D作F的平行线交于点G 解得x■24， 六上W=上，诸■∠4i ..CPzCV. 三个为角分别是格°6)°，67( 指=C, 二，G=f 名当3-5)角是要角时小x-5+2(2士-2)=10， 六∠AEa∠B 维证明：荐图，延长D交于点 解得x=2打， ,乙A-乙w ,AD是∠M:的平分凭 一三个内角升别是6“，52°，2 太DG=B ÷∠B=∠n 等上这个等覆三角形三平内角的发数登别为4,4“ 3超荐附1 BDCF. :∠NE■∠B+∠BB 172减46°，67”行线24,52,2 年等圈2，当高山在△AC外算时 2.DGmFC CAE=CE4E·∠Cn, 3.解：(1)设起边长为am,国腰长为2a 4A,∠A=, 在△成和△FE中 c&■LEC, 等要三角那服的周长是书弹， 懈204n.,∠G=10 ∠G= 六∠DN省=∠球 +2a++a=25,0=5-2a相， LEGD ZECF. AE-FE. 4等要三角甲的兰边长为0有，0国手 峰上所这，这个等塑三角形的装角岭度数是减) nG-FC. ED1AD. (2)①看边长为6， 长解：年三种抽议：当点k在此2样上利： △HE&FCEL AAS). 球平分∠AF且 牛A6=AG 渊能长为(5-6)+2=93m, 2.DEsEF. 11,11)正用：若阁.在上越0=4 六三迹长为6用，复5同，从5群.龙时能局域三角形： 复(1》解：中A山平分∠含C 贴平∠A, 2春是长为6m则院边长为2丝-6×2=日(a)。 K承直平分AN .∠&=∠BC A4AE=∠D 六三通长为m,6m,15n,武习不能将减=角形国处 上EA=EB∠ABE=∠比 山成F, ,1=的， 其能两边长为线，5m9.5m LG·LARE=∠C ,∠AC=∠F,2&D=上F无 在△架和△E中 4.指：设A成■C=年m,忙y口 4B+A0+C=7m 2·4C-m-49 ∠F里LFG nE,E 点AG= ÷8A598msS1. 六五+y=27 解特∠及=32 CF=64Ce2 部是AC道上的中发 2当点素在线登心以锋蓬长线上利，同理可得 .AC=f-F=f-AG=6-2=4 48-AC. 六AD室 2-(30-28C-宁(180-281C, (2}延明：年答周，作#☆域交E的彩长线于点晨 二.2C=4AC=36", 当6w-C=3m时，甲4- 解得∠BG=152: “6C, C2=出. 2a+y=27, 不当点君在线级AC的延长现上时，风理可再 名LN∠M上 ÷∠729 l-y3, E是C的中盛， .CE-CD. 解每户， 28G--2). BC Iv:7. 解荐∠县G一等 上春=上求， 因hC=0n,=》m 蜂上所连，∠汇的度数为边"成1经境然 在△G和△r中 E■， 当m-C2e=3m时，厚y-= 1.解1如容开重.作WA信交干点是.号得 LG=上法r r24+y2, r=1,△AFa△w ,△G白△4s1) Ly-x3. EF■2- 六6=C 挂第溶语 11再卧2 朝则/8， sA山NEF 2)解：情论：=8E,AE理：如用2，在4， Ly=1, ,∠1■∠f64,22=f 上分制额重F■，则=E,连接，F, 目AN=0=4群，=1 ∠1■∠2， Anfe△w, a上所述.△A各边的长为0m,0m,7m减B 六.∠B=∠F m.lfm. 1四许 , ∠nC-0”.AB=4G 5,解：经若置们.当高0在△内部时.乙A配=50 2济2，作w交于点.同米料3 六∠m∠， 4∠A'=乙C■40°， 乙后=，期么A■ 综上，5的长为1成1 ·55. 见此图标像料著最信扫问A灯件学助平在线著疑解张 4∠FE=CN=乙EM= B=0,C1=D 4信=C, +球：短 边蓝谓：在鱼6助和ACE中， 4=D LD-CE. 4CA=∠CE, :∠E.∠G+∠EE 在△G△DG中， 6.-BC. .A42o豹△CE(L1 4上A-∠A0=2ACB-∠.AE, 4上EF▣∠C=, 4=D 本∠A的=∠C结 口2-∠EW. 4EF=F,:.配=F+F=E+E △C△ss} 女∠n限+∠AW=0 5想= 以.证调：如器闭，在B上截取FA比，生接AP 六EN和.∠N ∠H根+∠情， (27A0= 设2n=2n, (2解：△40e△K 乙悬G=0, 4∠AD=∠m 品LE=∠A港=@ 5∠想1。∠AN=0, .AC 4上AEC■∠AFW L证明：：点0在∠C的平分线上，AC,E上n 7∠C山+40=∠0= ∠4R=129 ∠A+∠0=∠50=2a, BE -81.R4-B ,限=M,∠E0-4C0=圆 木∠CAE∠A E=2,∠E■∠0E ∠即·4 5上-1w-20g-L4 在△F和△CE中 女之AD=之E+∠DE △0程△C中 E=地， s∠D=上UG r∠B=∠E4, 六∠R=∠球=， 一D ∠AF■人CB 占△程成为等边三角形. ,△0G△NAs4). ÷L日嘴=CE Lu:c. 2 DEBE12 INEINC ,Dm指， 人4F边8E科As) 由1)避，垂直平分边， 丝延明：BE9An 4∠带=CE即 NP P-PD, D8CT∠BC A∠RD=∠DBC ,=2E PE++L A=∠ :整平分∠配 口.C[解新]和茶围，作AF是于A的时林A,电绿 :E+P4第AL优点P,4E共线时取等号) 在AA配程△D中。 A=L0, 25.解：1)补光表格T半： EF,附EFP=EF,过虚B作明⊥AC十五.R.B=C 行盛P运超找众时.紫+特与紫+的值最小 C-DC. AD⊥，∴0玉D=高。÷高P在新上= 量小雀为24. △4C△CAAs). 限+E了=E+EF,系格垂底提录粗可，备BE, 五△E的增长星时，点P与点青重合 Ma 长线，重AP与友M重合时，能+F的佳最小，最小信 △DE国长的最值为2斜+12=36 解：在△4中，∠n的”，∠G=4 2)容在和摆发浅的规律，得 =2,解a=9 期中综合测试卷 .C丛G=13-∠B-∠C=10r-6-54▣60 .存在…个正丸边形，能使其中的人每=如型 山平分∠品北 162G3,量4日头66p7,非NA象 (3)不存在.用由如下 0总定性11-2129 在上0∠0-x-3w 裂设作在王：边形枪科∠：2.期如 AC。F答室不明一) 古∠A根=知-∠春0-上N 14(L,5,I》5.十二165 =150-30-0°✉4" 好特世= 里.01w重234 行∠A■0-∠4滑=10°-利■6 :。是正整数 1攻解：年暮围.8甲为作 成平分∠C 二不存在王边形提科乙：21 关于轴对常的点的象标分制为“《一1，一3 么E-士z0c-子x0-8, 2丝.解1如容周 4G解]周，试AB作EAC于E,义AD于 -4,3).-1.1) A'FLD,AG⊥D, 点，大时F+审取得最小流凸A是等过天周 ∠BETE晴+∠A茶 形，A5=C,E◆直平登AG,:AF=C.∠FA0 =4◆+4推=32 =∠L:A山之等边△A的m:逢去的令我 A证明：()5∠ABC-2MB 六∠1+∠事=0 。∠W=∠C0-°，.4F0F=30.t4C 古退=G :4'睿工出， 5(11明：连接4n,如咨闲 =AG 4之1+k2=0 ?点A关干W的对称有为B 在△AD和△A不中 ∠A=∠A. 44243 +Y属直平分0 国理溶闲 0=A, .56.B八年极{上#！ 学 专项提优训练卷（四） 角度3与中线有关的分类诗论 。类型二构造等腰三角形的常用方法 4在△48C中，AB=AC.周长为27m,且AC边上的中线D把 方法】利用平行线”“构造 等腰三角形与最知路径问趣 △C分成周长差为5m的两个三角形.求△C各边 &知图，在△A忙中，4B=AC,点D在B上，点F在AC的延长 [若常：] 的长 线上.几D=GF,连接DF交C于点E求证：DE=EF ·类型一与等腰三角形有关的分类讨论 角虞1与角度有关的分类讨论 1.若等授三角形的一个内角是40，则这个等腰三角形的其触 内角的瘦数为 A.40°，100 B.70°，70 C.40°.1或70.7 以上都不对 角度4与高有关的分类计论 2已知一个等膜三角形的两个内角分别为(2红-2)和(3一 5《大我林句悬中1一个等展三角形一覆上的高与另一腰的 5)“,求这个等限三角形各内角的度意 亮角品5，求这个等题三角形的底角的度数 方法2利用角平分提+平行线构造 9.图.在△ABC中，AD平分∠BG交C边于点D,点B是 C边的中点，战段EF∥D交线段B于点G,交线段CA的 角度5与线搜垂直平分有关的分类讨论 施长线于点F 直在△C中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,文直线 (1}若CF=6,4G=2.求4C的长： 角度2与边有关的分类付论 AG于点E若∠EC=2”,米∠B4G的度数 (2)求证：G=CF 3一个等腰三角形的周长为25m ()已如鞭长是底边长的2督，求各边的长： (2)已知其中一边的长为6m,求其他两边的长 角度6与点的位置有关的分类讨论 1.己知0为等边三角形AD的边D的中点，A=4,E,F分 别为射线5,4上的动点.且∠F=12若AF=1,求 E的长 ·19. 见此图标像料著最信扫妈A灯件学助平在线著疑解张 方法3利用”角平分线+垂线”构造 方法5利用”倍角关系”购道 15如图.∠AN=,点C为解线Y上一定点，E为线段AB IQ.已知：图.AD是∠RAC的平分线，∠B=∠EAC,ED工AD 12如图.已如E为△Am内军一点，AE延长线交边C于点 延长线上一定友，且E=AB=2,点A关于N的对称点 于点求证：E平分∠AEH. D,连接B5,CE,∠BD=LR4C=2LE比若AC=A出，求 为) f:85=24 (I)证明：∠G=∠DC: (2)若P为直线C上一个动点，求△B的周长最小时， 点P所在的位置，并求出△然周长的最小值 5超周 方法4利用载长补短”构造 II.已知在△ABC中，AB=AC:E平分∠ABC交边AG于点E (1)如图①，当∠C=I08时.求证：C=AH+CE: (2)知图2，当∠BG=时，(1)中的结论还成立吗？若 不成立，是香有其他两条线段之和等干C:若有请写出 结论并完成证明。 。类型三最短浩轻同题 10w1 13.如图，等腰△AC中，AB=AC,E是高AD上任一友，F是根 AB上任一点，AC=5,BD=3.AD=4,那么E◆EF的最小 1I超州 是相2 值是 45 B,3 )题周 4题围 14如图，A0是等边△AC的C边上的中线，F是AD边上的 动点，E是AC边上的动点，当EF+(GF取得最小值时， ∠ECF的度数为 A.15 B.22.5 .30 1D.459 ·20·