专题05 圆周运动-【上好课】2025年高考物理一轮复习知识清单

专题05 圆周运动 常考考点 真题举例 判断哪些力提供向心力以及向心力的计算 2024·广东·高考真题 匀速圆周运动 2024·甘肃·高考真题 通过牛顿第二定律求解向心力 2024·江西·高考真题 传动问题 2024·辽宁·高考真题 ①掌握圆周运动的分析方法，各物理量之间的关系； ②学会分析圆周运动向心力的来源，掌握临界问题分析； ③学会三种不同平面内圆周运动的分析； ④能解释生活中与圆周运动有关的问题，会应用所学知识解决实际问题。。 核心考点01 圆周运动 一、圆周运动 3 二、向心力 3 三、向心加速度 4 四、匀速圆周运动 5 五、变速圆周运动 5 六、不同的传动模式 6 七、解题思路 7 核心考点02 三种平面内的圆周运动问题的分析 8 一、水平平面内的圆周运动 8 二、竖直平面内的圆周运动 9 三、斜面平面上的圆周运动 12 核心考点03 生活中的圆周运动 13 一、火车转弯问题 13 二、汽车过拱形桥 14 三、航天器失重现象 14 四、离心运动和近心运动 15 核心考点01 圆周运动 一、圆周运动 1、描述圆周运动的物理量 物理量 定义/物理意义 表达式 线速度 质点通过的弧长s与所用时间t的比值。 描述物体圆周运动快慢。 v＝＝ 角速度 质点通过的角度θ与所用时间t的比值。 描述物体转动快慢。 ω＝＝ 周期 物体沿圆周运动一周所用的时间。 描述物体转动快慢 T＝ 频率 单位时间内完成周期性变化的次数。 描述物体转动快慢 f=1/T 转速 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数。 描述物体做圆周运动的快慢。 n=f=1/T 【注意】圆周运动物理量之间的关系如下 二、向心力 1、作用效果 产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 【注意】向心力的作用效果是改变速度方向，不改变速度大小。向心力不是作为具有某种性质的力来 命名的，而是根据力的作用效果命名的，它可以由某个力或几个力的合力提供。 2、大小 F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。 3、方向 方向时刻与运动（v）方向垂直，始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 【注意】不是质点做圆周运动才产生向心力，而是由于向心力的存在，才使质点不断改变其速度 方向而做圆周运动。 4、来源： 向心力是按力的作用效果命名的，不是某种性质的力，既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力。也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力。 【注意】几种常见的圆周运动向心力的来源如下： 实例分析 图例 向心力来源 在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力 用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力 物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力 用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力 小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力 三、向心加速度 1、定义 由于匀速圆周运动的速度方向时刻改变，因此做匀速圆周运动的质点一定具有加速度。这种加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，方向始终指向圆心，因此叫做向心加速度。 2、物理意义 描述速度方向变化的快慢（向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小）。 3、大小 。 4、方向 总是沿半径指向圆心，始终与线速度方向垂直，时刻变化，是变量。 5、适用范围 向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v即为那一位置的线速度，且无论 物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。 6、向心加速度与半径的关系 角速度一定时，向心加速度与半径成正比，如下图所示： 线速度一定时，向心加速度与半径成反比，如下图所示： 四、匀速圆周运动 1、定义 做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 2、性质 一种变加速的变速运动。 【注意】在匀速圆周运动中，线速度的大小（速率）不变、方向时刻改变，不是恒矢量，所以匀速圆周运动是一种变速运动。向心加速度大小不变、方向始终指向圆心，时刻改变，是变加速（非匀变速）曲线运动（加速度是变化的）。角速度、周期、转速都恒定不变。向心力大小恒不变，但方向时刻改变，是变力。匀速圆周运动中的“匀速”是“匀速率”的意思。 3、周期性 由于圆具有中心对称的特点，故物体每转一周，该物体又回到原处，所以物体在某处出现所需的时间应为周期的整数倍，解题时，应注意圆周运动的多解问题。 4、条件 当物体所受的合外力大小恒定、方向始终与速度方向垂直且指向圆心（是变力）时，物体做匀速圆周运动，此时向心力由物体所受合外力提供。当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力。 【注意】匀速圆周运动是加速度变化的变加速曲线运动（非匀变速曲线运动）。因为对某一确定的匀速圆周运动来说，m、r、v、ω、T的大小都是不变的，所以向心力和向心加速度的大小不变，但方向却时刻改变。 五、变速圆周运动 1、受力特点 当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。合外力不等于向心力，合外力一般产生两个效果。 下图表示小物体加速转动的情况。O是轨迹的圆心，F是绳子对小物体的拉力。 可以把F分解为与圆周相切的Ft和指向圆心的Fn： 跟圆周相切的分力Ft，只改变线速度的大小，Ft＝mat，产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢； 跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn，只改变线速度方向，Fn＝man，产生向心加速度。此加速度描述线速度方向变化快慢。 【注意】变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切 向加速度。 2、一般的曲线运动求解方法 曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理：合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大；合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小。 六、不同的传动模式 方式 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上，到圆心的距离不同。 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点。 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点。 图例 特点 A、B两点角速度、周期相同 A、B两点线速度相同 A、B两点线速度相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 七、解题思路 基本思想：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力。而物体所受外力的合力充当向心力。 ①明确研究对象，即做圆周运动的物体，确定圆周运动的轨道所在的平面，找到圆心的位置和半径。 ②分析研究对象在某个位置所处的状态，进行具体的受力分析，并作出受力图，分析哪些力提供了向心力，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。 ③列方程：沿径向，垂直于径向建轴，正交分解，沿径向列牛顿第二定律方程Fn＝mrω2＝m＝，垂直于径向列平衡方程。 ④解方程，对结果进行必要讨论。求解向心力问题的关键是找准向心力的来源。 【注意】受力分析，目的是利用力的合成与分解知识，表示出外界所提供的向心力；运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力公式（用运动学量来表示）；几何关系的分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径等。 图（a）为流水线上的水平皮带转弯机，其俯视图如图（b）所示，虚线ABC是皮带的中线。中线上各处的速度大小均为v=1.0m/s；AB段为直线，长度L=4m，BC段为圆弧，半径R=2.0m，现将一质量m=1.0kg的小物件轻放于起点A处后，小物件沿皮带中线运动到C处，已知小物件与皮带间的动摩擦因数为μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）      A．小物件自A点一直做匀加速直线运动到达B点 B．小物件运动到圆弧皮带上时滑动摩擦力提供向心力 C．小物件运动到圆弧皮带上时所受到的摩擦力大小为0.5N D．若将中线上速度增大至3m/s，则小物件运动到圆弧皮带上时会滑离虚线 【答案】C 【详解】A．设小物件自A点开始做匀加速直线运动的位移为x，则 说明小物件自A点先做匀加速直线运动后做匀速直线运动到达B点，故A错误； BC．当小物件运动到圆弧皮带上时，有： 说明小物件运动到圆弧皮带上时静摩擦力提供向心力，其所受到的摩擦力大小为0.5N，故B错误，C正确； D．若将中线上速度增大至3m/s，则： 说明小物件运动到圆弧皮带上时仍然是静摩擦力提供向心力，不会滑离虚线，故D错误。 故选C。 核心考点2 三种平面内的圆周运动问题的分析 一、水平平面内的圆周运动 1、描述 此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。 2、求解方法 ①选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象；②分析物体受力情况，其合外力提供向心力；③由Fn＝m=mrω2列方程求解。 3、水平平面内圆周运动的临界问题 问题的描述：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键 【注意】绳子的拉力出现临界条件的情形有：①绳恰好拉直意味着绳上无弹力；②绳上拉力恰好为最大承受力等。 物体间恰好分离的临界条件是：物体间的弹力恰好为零。 水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是：物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力。 分析方法：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。 如图所示，一不可伸长的轻质细绳，一端固定在O点，另一端挂接小球，用手把小球拉离最低点，保持细绳拉直，给小球初速度，第一次小球在甲水平面内做匀速圆周运动，运动过程中细绳与竖直轴线夹角为，第二次小球在乙水平面内做匀速圆周运动，运动过程中细绳与竖直轴线夹角为，重力加速度为g，小球两次做圆周运动的周期之比等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对运动的小球进行受力分析，其受到小球的重力以及细绳的拉力，小球在这两个力的合力作用下做圆周运动，设其细绳与竖直方向的夹角为，细绳的长度为L，对其由牛顿第二定定律有 整理有：由题意可知，第一次其夹角为，第二次其夹角为，将角度数据带入，整理有：，故选D。 二、竖直平面内的圆周运动 1、拱桥模型 受力特征：下有支撑，上无约束。 临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝。过最高点条件：v≤。讨论分析：v≤时：mg－FN＝m，FN＝mg－m<mg（失重）v>时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。 2、轻绳模型 受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零。 临界特征：FN＝0 ，mg＝m即vmin＝。过最高点条件：在最高点的速度v≥。讨论分析：过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN；不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 3、轻杆模型 受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。 临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小；当v＝时，FN＝0；当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。 4、两种模型的比较 两种模型的对比如下表所示： 模型 绳子模型 杆模型 图例 受力分析 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 过最高点的临界条件 小球恰好通过轨道最高点、恰好能做完整的圆周运动，隐含着小球运动到最高点时绳或轨道对小球的作用力恰好为零。由mg＝m得v小＝ 由小球恰能运动到最高点得v临＝0。 讨论分析 若通过最高点时v>，则绳、轨道对球产生一个向下的弹力F，由F＋mg＝m可得F随v的增大而增大； 不能过最高点时v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 当mg＝m即v＝时，FN＝0此时杆或管道对小球恰好没有作用力； 当0<v<时，球受到向上的支持力，由mg－FN＝m可得FN随v的增大而减小； 当v>时，球受到向下的拉力， 由 FN＋mg＝m可得FN随v的增大而增大； 当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心。 5、竖直面内圆周运动的求解思路 确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。 确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说FN表现为支持力或者是拉力的临界点。 确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。 进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。 进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。 6、小球的不脱轨问题 如下图所示，该问题包含两种情景：①小球没有通过最高点，但没有脱离圆轨道，这种情况下小球最高上升到与圆心等高位置处然后原路返回；②小球通过最高点并完成圆周运动，这种情况下最高点的速度要满足v>。 某名同学看过“水流星”表演后，用一次性杯子和绳子也制作了一个 “水流星”如图所示，他抡动绳子让杯子在竖直平面内做圆周运动，若杯子和水能做完整的圆周运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．杯子和水经过最低点时处于失重状态 B．杯子和水经过最高点时处于超重状态 C．在最低点时放开绳子，杯子和水做斜上抛运动 D．在最高点时放开绳子，杯子和水做平抛运动 【答案】D 【详解】AB．杯子和水经过最低点时处于超重状态，经过最高点时处于失重状态，故AB错误； CD．在最低点和最高点时放开绳子，杯子和水均做平抛运动，故C错误，D正确。 故选D。 三、斜面平面上的圆周运动 1、分类 静摩擦力控制下的圆周运动；轻杆控制下的圆周运动；轻绳控制下的圆周运动。 2、问题描述 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 3、分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 【注意】斜面内的圆周运动与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。 如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，用两根等长的细线将两个质量均为kg的小球A、B（均看做质点）系在点，两个小球之间连着一根劲度系数为50N/m的轻弹簧，两球静止时两根细线之间的夹角为60°，，则（   ） A．系在小球上细线的拉力为N B．斜面对小球的支持力为15N C．弹簧的形变量为0.2m D．若将弹簧撤去，则撤去瞬间小球的加速度大小为 【答案】B 【详解】A．对整体进行受力分析，整体受到重力、支持力和两根细线的拉力，在沿斜面方向，根据共点力平衡，有：，解得：，A错误； B．对小球B，在垂直于斜面方向，根据共点力平衡有：，B正确； C．对小球B，在平行于斜面方向，根据共点力平衡有：，解得： 根据胡克定律，可知弹簧的形变量为：，C错误； D．若将弹簧撤去，则撤去瞬间小球的加速度大小：，D错误。 核心考点3 生活中的圆周运动 一、火车转弯问题 1、向心力问题 铁路的弯道为内轨道和外轨道一样高，外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的,且由于火车质量很大,故轮缘和外轨间的相互作用力很大,易损坏铁轨。 铁路的弯道为外轨道高于内轨道，则重力和支持力的合力提供向心力，则有：mgtanθ＝m，则v0＝。 【注意】当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用。 二、汽车过拱形桥 1、汽车过拱形桥 受力分析：在最高点时，汽车在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力F。 动力学方程：根据牛顿第二定律F＝ma，有F＝mvr2 ，所以G－FN＝mvr2。 对桥(路面)的压力：F’N＝G－mvr2。 结论：汽车对桥的压力F’N小于汽车所受的重力G，而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越小。 【注意】汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m，FN<mg，汽车处于失重状态。当v＝时，FN＝0；当0≤v<时，0<FN≤mg；当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，易发生危险。 2、汽车过凹形桥 受力分析：在最高点时，汽车在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力F。 动力学方程：根据牛顿第二定律F＝ma，有F＝mvr2 ，所以FN－G＝mvr2。 对桥(路面)的压力：F’N＝G+mvr2。 结论：汽车对桥的压力F’N大于汽车所受的重力G，而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越大。 【注意】汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.此时FN>mg，汽车处于超重状态。 三、航天器失重现象 除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力 FN。引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，即mg－FN＝m，也就是FN＝mg－m，由此可以解出，当v＝时座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于完全失重状态。 在近地圆形轨道上，航天器(包括卫星、飞船空间站)的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝。 质量为m的航天员，受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝。当v＝ 时，FN＝0，即航天员 处于完全失重状态。航天器内的任何物体都处于完全失重状态。 四、离心运动和近心运动 1、离心运动 做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，逐渐远离圆心的运动。 2、原因 向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。 【注意】离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 3、受力特点 如下图所示： 当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动。 当F＝0时，物体沿切线方向飞出。 当F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，做离心运动。 当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆周运动 常考考点 真题举例 判断哪些力提供向心力以及向心力的计算 2024·广东·高考真题 匀速圆周运动 2024·甘肃·高考真题 通过牛顿第二定律求解向心力 2024·江西·高考真题 传动问题 2024·辽宁·高考真题 ①掌握圆周运动的分析方法，各物理量之间的关系； ②学会分析圆周运动向心力的来源，掌握临界问题分析； ③学会三种不同平面内圆周运动的分析； ④能解释生活中与圆周运动有关的问题，会应用所学知识解决实际问题。。 核心考点01 圆周运动 一、圆周运动 3 二、向心力 3 三、向心加速度 4 四、匀速圆周运动 5 五、变速圆周运动 5 六、不同的传动模式 6 七、解题思路 7 核心考点02 三种平面内的圆周运动问题的分析 8 一、水平平面内的圆周运动 8 二、竖直平面内的圆周运动 9 三、斜面平面上的圆周运动 11 核心考点03 生活中的圆周运动 12 一、火车转弯问题 12 二、汽车过拱形桥 13 三、航天器失重现象 13 四、离心运动和近心运动 14 核心考点01 圆周运动 一、圆周运动 1、描述圆周运动的物理量 物理量 定义/物理意义 表达式 线速度 质点通过的 与所用时间t的比值。 描述物体圆周运动快慢。 v＝＝ 角速度 质点通过的 与所用时间t的比值。 描述物体转动快慢。 ω＝＝ 周期 物体沿圆周运动一周所用的 。 描述物体转动快慢 T＝ 频率 单位时间内完成 的次数。 描述物体转动快慢 f=1/T 转速 做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的 。 描述物体做圆周运动的快慢。 n=f=1/T 【注意】圆周运动物理量之间的关系如下 二、向心力 1、作用效果 产生向心加速度，只改变速度的 ，不改变速度的 。 【注意】向心力的作用效果是改变速度方向，不改变速度大小。向心力不是作为具有某种性质的力来 命名的，而是根据力的作用效果命名的，它可以由某个力或几个力的合力提供。 2、大小 F＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝4π2mf2r。 3、方向 方向时刻与运动（v）方向垂直，始终沿半径方向指向 ，时刻在改变，即向心力是一个变力。 【注意】不是质点做圆周运动才产生向心力，而是由于向心力的存在，才使质点不断改变其速度 方向而做圆周运动。 4、来源： 向心力是按力的作用效果命名的，不是某种性质的力，既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力。也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力。 【注意】几种常见的圆周运动向心力的来源如下： 实例分析 图例 向心力来源 在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力 用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力 物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力 用细绳拴住小球在竖直平面内做匀速圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力 小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力 三、向心加速度 1、定义 由于匀速圆周运动的速度方向时刻改变，因此做匀速圆周运动的质点一定具有 。这种加速度只改变速度的 ，不改变速度的 ，方向始终指向圆心，因此叫做向心加速度。 2、物理意义 描述速度方向变化的快慢（向心加速度只改变速度方向，不改变速度大小）。 3、大小 。 4、方向 总是沿半径指向圆心，始终与线速度方向 ，时刻变化，是变量。 5、适用范围 向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v即为那一位置的线速度，且无论 物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。 6、向心加速度与半径的关系 角速度一定时，向心加速度与半径成正比，如下图所示： 线速度一定时，向心加速度与半径成反比，如下图所示： 四、匀速圆周运动 1、定义 做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆 相等，就是匀速圆周运动。 2、性质 一种变加速的 运动。 【注意】在匀速圆周运动中，线速度的大小（速率）不变、方向时刻改变，不是恒矢量，所以匀速圆周运动是一种变速运动。向心加速度大小不变、方向始终指向圆心，时刻改变，是变加速（非匀变速）曲线运动（加速度是变化的）。角速度、周期、转速都恒定不变。向心力大小恒不变，但方向时刻改变，是变力。匀速圆周运动中的“匀速”是“匀速率”的意思。 3、周期性 由于圆具有中心对称的特点，故物体每转一周，该物体又回到原处，所以物体在某处出现所需的时间应为周期的整数倍，解题时，应注意圆周运动的多解问题。 4、条件 当物体所受的合外力大小恒定、方向始终与速度方向垂直且指向圆心（是变力）时，物体做匀速圆周运动，此时向心力由物体所受合外力提供。当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力。 【注意】匀速圆周运动是加速度变化的变加速曲线运动（非匀变速曲线运动）。因为对某一确定的匀速圆周运动来说，m、r、v、ω、T的大小都是不变的，所以向心力和向心加速度的大小不变，但方向却时刻改变。 五、变速圆周运动 1、受力特点 当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是 。合外力不等于向心力，合外力一般产生两个效果。 下图表示小物体加速转动的情况。O是轨迹的圆心，F是绳子对小物体的拉力。 可以把F分解为与圆周相切的Ft和指向圆心的Fn： 跟圆周相切的分力Ft，只改变线速度的大小，Ft＝mat，产生 加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢； 跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn，只改变线速度方向，Fn＝man，产生 加速度。此加速度描述线速度方向变化快慢。 【注意】变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切 向加速度。 2、一般的曲线运动求解方法 曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理：合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大；合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小。 六、不同的传动模式 方式 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上，到圆心的距离不同。 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点。 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点。 图例 特点 A、B两点角速度、周期相同 A、B两点线速度相同 A、B两点线速度相同 转动方向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： ， 周期与半径成正比： 角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶ ， 周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比： 七、解题思路 基本思想：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力。而物体所受外力的合力充当向心力。 ①明确研究对象，即做圆周运动的物体，确定圆周运动的轨道所在的平面，找到圆心的位置和半径。 ②分析研究对象在某个位置所处的状态，进行具体的受力分析，并作出受力图，分析哪些力提供了向心力，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。 ③列方程：沿径向，垂直于径向建轴，正交分解，沿径向列牛顿第二定律方程Fn＝mrω2＝m＝，垂直于径向列平衡方程。 ④解方程，对结果进行必要讨论。求解向心力问题的关键是找准向心力的来源。 【注意】受力分析，目的是利用力的合成与分解知识，表示出外界所提供的向心力；运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力公式（用运动学量来表示）；几何关系的分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径等。 图（a）为流水线上的水平皮带转弯机，其俯视图如图（b）所示，虚线ABC是皮带的中线。中线上各处的速度大小均为v=1.0m/s；AB段为直线，长度L=4m，BC段为圆弧，半径R=2.0m，现将一质量m=1.0kg的小物件轻放于起点A处后，小物件沿皮带中线运动到C处，已知小物件与皮带间的动摩擦因数为μ=0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）      A．小物件自A点一直做匀加速直线运动到达B点 B．小物件运动到圆弧皮带上时滑动摩擦力提供向心力 C．小物件运动到圆弧皮带上时所受到的摩擦力大小为0.5N D．若将中线上速度增大至3m/s，则小物件运动到圆弧皮带上时会滑离虚线 核心考点2 三种平面内的圆周运动问题的分析 一、水平平面内的圆周运动 1、描述 此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小 ，方向总是指向 。 2、求解方法 ①选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象；②分析物体受力情况，其合外力提供向心力；③由Fn＝m=mrω2列方程求解。 3、水平平面内圆周运动的临界问题 问题的描述：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题，确定临界状态是分析临界问题的关键 【注意】绳子的拉力出现临界条件的情形有：①绳恰好拉直意味着绳上无弹力；②绳上拉力恰好为最大承受力等。 物体间恰好分离的临界条件是：物体间的弹力恰好为零。 水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是：物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力。 分析方法：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。 如图所示，一不可伸长的轻质细绳，一端固定在O点，另一端挂接小球，用手把小球拉离最低点，保持细绳拉直，给小球初速度，第一次小球在甲水平面内做匀速圆周运动，运动过程中细绳与竖直轴线夹角为，第二次小球在乙水平面内做匀速圆周运动，运动过程中细绳与竖直轴线夹角为，重力加速度为g，小球两次做圆周运动的周期之比等于（　　） A． B． C． D． 二、竖直平面内的圆周运动 1、拱桥模型 受力特征：下有支撑，上无约束。 临界特征：FN＝0 ，mg＝mv2max，即vmax＝。过最高点条件：v≤。讨论分析：v≤时：mg－FN＝m，FN＝mg－m<mg（失重）v>时：到达最高点前做斜上抛运动飞离桥面。 2、轻绳模型 受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零。 临界特征：FN＝0 ，mg＝m即vmin＝。过最高点条件：在最高点的速度v≥。讨论分析：过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN；不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 3、轻杆模型 受力特征：除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上。 临界特征：v＝0即F向＝0 FN＝mg。过最高点条件：在最高点的速度v≥0。讨论分析：当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心；当0<v<时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小；当v＝时，FN＝0；当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大。 4、两种模型的比较 两种模型的对比如下表所示： 模型 绳子模型 杆模型 图例 受力分析 F弹向下或等于零 F弹向下、等于零或向上 力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 过最高点的临界条件 小球恰好通过轨道最高点、恰好能做完整的圆周运动，隐含着小球运动到最高点时绳或轨道对小球的作用力恰好为零。由mg＝m得v小＝ 由小球恰能运动到最高点得v临＝0。 讨论分析 若通过最高点时v>，则绳、轨道对球产生一个向下的弹力F，由F＋mg＝m可得F随v的增大而增大； 不能过最高点时v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。 当mg＝m即v＝时，FN＝0此时杆或管道对小球恰好没有作用力； 当0<v<时，球受到向上的支持力，由mg－FN＝m可得FN随v的增大而减小； 当v>时，球受到向下的拉力， 由 FN＋mg＝m可得FN随v的增大而增大； 当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心。 5、竖直面内圆周运动的求解思路 确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体。 确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说FN表现为支持力或者是拉力的临界点。 确定研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。 进行受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。 进行过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。 6、小球的不脱轨问题 如下图所示，该问题包含两种情景：①小球没有通过最高点，但没有脱离圆轨道，这种情况下小球最高上升到与圆心等高位置处然后原路返回；②小球通过最高点并完成圆周运动，这种情况下最高点的速度要满足v>。 某名同学看过“水流星”表演后，用一次性杯子和绳子也制作了一个 “水流星”如图所示，他抡动绳子让杯子在竖直平面内做圆周运动，若杯子和水能做完整的圆周运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．杯子和水经过最低点时处于失重状态 B．杯子和水经过最高点时处于超重状态 C．在最低点时放开绳子，杯子和水做斜上抛运动 D．在最高点时放开绳子，杯子和水做平抛运动 三、斜面平面上的圆周运动 1、分类 静摩擦力控制下的圆周运动；轻杆控制下的圆周运动；轻绳控制下的圆周运动。 2、问题描述 在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。 3、分析方法 物体在斜面上做圆周运动时，如下图所示，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，物体运动到斜面任意位置时由斜面内指向圆心方向的合力提供向心力。 【注意】斜面内的圆周运动与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。 如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，用两根等长的细线将两个质量均为kg的小球A、B（均看做质点）系在点，两个小球之间连着一根劲度系数为50N/m的轻弹簧，两球静止时两根细线之间的夹角为60°，，则（   ） A．系在小球上细线的拉力为N B．斜面对小球的支持力为15N C．弹簧的形变量为0.2m D．若将弹簧撤去，则撤去瞬间小球的加速度大小为 核心考点3 生活中的圆周运动 一、火车转弯问题 1、向心力问题 铁路的弯道为内轨道和外轨道一样高，外轨对轮缘的弹力提供 ，由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的,且由于火车质量很大,故轮缘和外轨间的相互作用力很大,易损坏铁轨。 铁路的弯道为外轨道高于内轨道，则 和 的合力提供向心力，则有：mgtanθ＝m，则v0＝。 【注意】当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用。 二、汽车过拱形桥 1、汽车过拱形桥 受力分析：在最高点时，汽车在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力F。 动力学方程：根据牛顿第二定律F＝ma，有F＝mvr2 ，所以G－FN＝mvr2。 对桥(路面)的压力：F’N＝G－mvr2。 结论：汽车对桥的压力F’N小于汽车所受的重力G，而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越小。 【注意】汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m，FN<mg，汽车处于失重状态。当v＝时，FN＝0；当0≤v<时，0<FN≤mg；当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，易发生危险。 2、汽车过凹形桥 受力分析：在最高点时，汽车在竖直方向受到重力G和桥的支持力FN，它们的合力就是使汽车做圆周运动的向心力F。 动力学方程：根据牛顿第二定律F＝ma，有F＝mvr2 ，所以FN－G＝mvr2。 对桥(路面)的压力：F’N＝G+mvr2。 结论：汽车对桥的压力F’N大于汽车所受的重力G，而且汽车的速度越大，汽车对桥的压力越大。 【注意】汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.此时FN>mg，汽车处于超重状态。 三、航天器失重现象 除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力 FN。引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，即mg－FN＝m，也就是FN＝mg－m，由此可以解出，当v＝时座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于完全失重状态。 在近地圆形轨道上，航天器(包括卫星、飞船空间站)的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝。 质量为m的航天员，受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝。当v＝ 时，FN＝0，即航天员 处于完全失重状态。航天器内的任何物体都处于完全失重状态。 四、离心运动和近心运动 1、离心运动 做圆周运动的物体，在所受合外力突然 或 提供圆周运动所需向心力的情况下，逐渐远离圆心的运动。 2、原因 向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。 【注意】离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 3、受力特点 如下图所示： 当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动。 当F＝0时，物体沿切线方向飞出。 当F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，做离心运动。 当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$