专题01 有理数(5大核心考点)-【暑假自学课】2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

专题01 有理数 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、有理数的概念及分类 2、数轴和绝对值 3、有理数的乘方及应用、科学计数法 4、有理数的混合运算 5、有理数的混合运算的应用 一、有理数的相关概念 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 【方法规律】 （1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【方法规律】（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 【方法规律】（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【方法规律】“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 四、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 1.有理数的大小比较 例.比较大小： _______ 解法一：作差法 由于，所以 解法二：倒数比较法：因为 所以 2.分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值 解：因为| x|＝5，所以x为-5或5 因为|y|＝3，所以y为3或-3． 当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2 当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8 当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8 当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2 故（x-y）的值为±2或±8 提升专练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．飞机上升米，实际上就是下降-30米 B．“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义的量 C．“盈利20000元”与“支出1000元”是具有相反意义的量 D．弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量 【答案】D 【分析】利用相反意义量的定义判断即可． 【解析】解：A、飞机上升米，实际上就是下降30米，故错误； B、“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义，但不是量，故错误； C、“盈利20000元”与“支出1000元”不是具有相反意义的量，故错误； D、弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量，故正确； 故选D． 【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，明确什么是相反意义的量． 2．在这五个数中，最小的数为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解析】解：∵-2＜＜0＜＜1， ∴在这五个数中，最小的数为-2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 3．下列各组数中，互为相反数是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据绝对值与相反数的定义进行解答． 【解析】解：A. =，=，两数相等，不互为相反数，此选项不符合； B. =，=，两数不互为相反数，此选项不符合； C. =，=，两数互为相反数，选项符合； D. =，=，两数不互为相反数，此选项不符合； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，相反数定义，关键是正确理解绝对值的性质与相反数的定义． 4．用科学记数法表示289万正确的是（   ） A．2.89×107 B．2.89×106 C．28.9×105 D．2.89×104 【答案】B 【分析】应先把289万整理为用个表示的数，科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中a为2.89，10的指数为整数数位减1． 【解析】解：289万=2 890 000=2.89×106． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 5．数轴上，距离原点3个单位长度的点表示的数是（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】绝对值的意义：一个数的绝对值，即数轴上表示这个数的点到原点的距离． 【解析】解：根据绝对值的意义得：数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的有理数，即绝对值是3的数，是±3． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义和数轴，注意两种情况是解答此题的关键． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出各项结果，即可做出判断． 【解析】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误； 故选C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．若与互为相反数，则a＋b的值为（    ） A．3 B．－3 C．0 D．3或﹣3 【答案】A 【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得a、b的值，再根据有理数的加法，可得答案． 【解析】解：由|与互为相反数，得 a−1＝0，b−2＝0， 解得a＝1，b＝2， a＋b＝1＋2＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数互为相反数得出这两个数为零是解题关键． 8．观察图中的数轴，用字母，， 依次表示点，，对应的数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c，据此进行解答即可. 【解析】解：由图可知-1＜a＜＜＜b＜0＜1＜c， 由-1＜a＜可知，＜-a＜1，则由＜b＜0可得，＜b-a＜1，则1＜3； 由1＜c可得，； 由-1＜a＜、＜b＜0可得，＜-a＜1，0＜-b＜，则0＜ab＜，则＞3； 综上可得，， 故选择C. 【点睛】本题由图得到各数的大小关系及正负性是解题关键，此外各项表达式在整理变形时的数值范围变化需要当心. 9．一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第六次剪去后剩下绳子的长度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】表示出第一次，第二次后剩下的长度，…，归纳总结得到第六次后剩下的长度即可． 【解析】解：第1次后剩下的绳子的长度， 第2次后剩下的绳子的长度为， 第3次后剩下的绳子的长度为， ...， ∴第6次后剩下的绳子的长度为， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了乘方的意义．正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤． 10．观察下列等式：，则的末位数是(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由题中可以看出，以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的，故个位的数字是以4为周期变化的，用，计算一下看看有多少个周期即可． 【解析】解：以2为底的幂的末位数字是2，4，8，6依次循环的， ∵， ∴的个位数字是4． 故选B． 【点睛】此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到以2为底的幂的末位数字的循环规律． 二、填空题 11．用“”，“ ”号连接下列各组数： ； ． 【答案】 ＞， ＞ 【分析】先对比较的两个数进行化简，然后根据有理数的大小比较方法进行求解即可． 【解析】解：，， 有理数规定正数大于负数， ， 两个负数相比，绝对值大的反而小， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，解题的关键在于能够准确化简各数． 12．在，中，最小数的相反数是 ． 【答案】8 【分析】先判断出最小的数为-8，再由相反数的定义即可得出答案． 【解析】解： 所给数据中最小数为-8，-8的相反数为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较及相反数的定义，属于基础题，注意掌握有理数的大小比较法则． 13．将算式写成省略括号和加号的形式： ． 【答案】 【分析】根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，正号可以省略，负数前面的加号省略，把算式写成省略括号和加号的形式即可． 【解析】解：将算式写成省略括号和加号的形式是：． 故答案为：． 【点睛】题目主要考察有理数的加减法法则，熟练掌握应用法则是解题关键． 14．绝对值小于的正整数是 ． 【答案】1，2，3 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解析】解：绝对值小于的正整数有1，2，3， 故答案为：1，2，3． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=-a． 15．已知点A和点B都在同一条数轴上，点A表示3，又知点B和点A相距5个单位长，则点B表示的数是 ． 【答案】﹣2或8/8或﹣2 【分析】根据题意分两种情况，一种是点B在点A的左边，一种是点B在点A的右边，分别进行求解即可． 【解析】解：当点B在点A的左边时，点B表示的数是3﹣5＝﹣2， 当点B在点A的右边时，点B表示的数是3+5＝8， 故点B表示的数是﹣2或8， 故答案为：﹣2或8． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，利用分类讨论的思想是解题的关键． 16．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且|c|＝1，则＋c2－cd的值为 ． 【答案】0 【分析】据倒数与互为相反数的定义，分别得出a+b=0，cd=1，代入求出即可． 【解析】解：∵a，b互为相反数， ∴a＋b＝0． ∵c，d互为倒数， ∴cd＝1． ∵|c|＝1， ∴c2＝1． ∴＋c2－cd＝0＋1－1＝0． 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了倒数与互为相反数的概念及性质．根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．相加和为0的叫互数是互为相反数，求出是解决问题的关键． 17．计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 【答案】1010 【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可． 【解析】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020 ＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020] ＝1+1+…+1 ＝1010， 故答案为：1010． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键． 18．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是＝﹣，﹣的差倒数是＝，已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…．依此类推，则a4＝ ；a1+a2+a3+a4+…+a2023＝ ． 【答案】 2 1013 【分析】根据差倒数的定义计算即可求出a4；再通过计算发现循环规律，计算求解即可． 【解析】解：根据题意可知： a1＝2，a2＝＝﹣1；a3＝＝；a4＝＝2； …．依此类推， 发现2，﹣1，..三个数为一个循环， ∴2023÷3＝674…1， ∵2﹣1＝， 则a1+a2+a3+a4+…+a2023＝674×+2＝1013． 故答案为：2，1013． 【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过计算，找到数字的循环规律是解题的关键． 三、解答题 19．（1）把数，，，，在数轴上表示出来，然后用“＜”把它们连接起来； （2）根据（1）中的数轴，试分别找出大于的最小整数和小于的最大整数． 【答案】（1）数轴见解析，；（2）-3，-1 【分析】（1）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”把它们连接起来即可； （2）在数轴上找出大于的最小整数和小于的最大整数． 【解析】解：（1）如图所示， 由图可知，； （2）由（1）中的数轴可知，大于的最小整数是，小于的最大整数是． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键． 20．计算 （1） （2） （3） −19×(−12) （4） 【答案】（1）-0.7；（2）9；（3）；（4）-15 【分析】（1）先去括号，再计算加减法； （2）先确定结果的符号，将带分数化为假分数，同时将除法化为乘法，再计算乘法即可； （3）将带分数化为整数与分数的和，再利用乘法分配律计算； （4）先计算乘方，再计算加减法． 【解析】解：（1） =1.6-2.7-2.3+2.7 =1.6-2.7+2.7-2.3 =-0.7； （2） = =9； （3） −19×(−12) = = = =； （4） =-9-9+4-1 =-15 【点睛】此题考查有理数的计算法则，正确掌握有理数的加减法计算法则、混合运算法则、乘方法则、乘法分配律是解题的关键． 21．认真阅读材料后，解决问题： 计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：原式的倒数是 ＝ ＝ ＝20﹣3+5﹣12＝10， 故原式＝． 仿照阅读材料计算：． 【答案】 【分析】仿照阅读材料，先求原数的倒数，进而求解即可． 【解析】解：原式的倒数是 ， 故原式． 【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数除法，有理数乘法的分配律，正确理解题意是解题的关键． 22．10月1日这一天下午，警车司机小张在东西走向的江北大道上值勤．如果规定向东为正，警车的所有行程如下（单位：千米）： ，，，，，，， （1）最后，警车司机小张在距离出发点的什么位置？ （2）若警车每行驶10千米的耗油量为升，那么这一天下午警车共耗油多少升？ （3）如现在油价为每升元，那么花费了多少油钱？ 【答案】（1）距离出发点以西4千米；（2）3.2升；（3）23.5元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量乘以行车距离，可得答案； （3）根据油的单价乘耗油量，可得答案． 【解析】解：（1）5-4+3-6-2+10-3-7=-4， 答：小张在距离出发点以西4千米． （2）5+|-4|+3+|-6|+|-2|+10+|-3|+|-7|=40， 40÷10×0.8=3.2（升）， 答：这一天下午警车共耗油3.2升； （3）3.2×7.34≈23.5（元） 答：那么花费了23.5元油钱． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算，有理数的乘法运算． 23．已知， （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）求的值． 【答案】（1）-4或-10；（2）10或-10；（3）-19 【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出x与y的值，再逐一计算求解即可． 【解析】解：∵|x|=3，|y|=7， ∴x=±3，y=±7， （1）当x＜y时，x=3，y=7或x=-3，y=7， 此时x-y=-4或-10； （2）∵xy＞0，∴x与y同号，即x=3，y=7或x=-3，y=-7， 此时x+y=10或-10； （3）由x=±3，y=±7， ∴==-19． 【点睛】此题考查有理数的乘法，有理数的加减法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为： 所以： 问题，计算： ①； ② 【答案】①； ② 【分析】①根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可； ②仿照题目中的例子，先拆项，再化简即可． 【解析】解：① ； ② ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是会用拆项抵消法解答． 25．探索研究： （1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接） ①_________； ②_______； ③________． （2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时与的大小关系．（直接写出结果） （3）根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是________．若，，则________． 【答案】（1）①>；②=；③>；（2）；（3），10或或5或 【分析】（1）根据有理数绝对值的化简方法分别化简、计算后进行比较即可； （2）根据（1）的规律即可得到答案； （3）根据（2）的规律即可得到答案. 【解析】（1）①因为， 所以. ②因为， 所以. ③因为， 所以. 故答案为>，=，>； （2）当a，b异号时，， 当a，b同号时，， 所以； （3）由（2）中得出的结论可知，x与同号， 所以x的取值范围是. 因为， 所以与异号， 则或或5或， 故答案为，10或或5或. 【点睛】此题考查了有理数绝对值的化简：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等于它的相反数，以及绝对值的化简方法的应用. 26．对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”. 例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”. （1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别是C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ； （2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 . 【答案】（1），；（2）①－50或或；②50或70或110. 【分析】（1）题目给定的规律，联盟点必须满足其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，根据规律找出即可（2）已知点A的大小，点B的大小，根据不同的位置分别找出点P的坐标即可. 【解析】解：（1），； （2）① 设点P表示的数为x， 如图，当点在点A左侧时，， 则  30－x＝2（－10－x）， 解得  x＝－50. 所以点表示的数为－50； 如图，当点在线段AB上且时， 则  30－x＝2（x＋10）， 解得  x＝. 所以点表示的数为； 如图，当点在线段AB上且时， 则 x＋10＝2（30－x）， 解得  x＝. 所以点表示的数为. 综上所述，当点P在点B的左侧时，点P表示的数为－50或或. ② 50或70或110. 【点睛】此题重点考查学生对坐标轴上的点的大小的理解，理解数轴上的点的大小是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、有理数的概念及分类 2、数轴和绝对值 3、有理数的乘方及应用、科学计数法 4、有理数的混合运算 5、有理数的混合运算的应用 一、有理数的相关概念 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 【方法规律】 （1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【方法规律】（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 【方法规律】（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【方法规律】“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 四、科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 1.有理数的大小比较 例.比较大小： _______ 解法一：作差法 由于，所以 解法二：倒数比较法：因为 所以 2.分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y的值 解：因为| x|＝5，所以x为-5或5 因为|y|＝3，所以y为3或-3． 当x＝5，y＝3时，x-y＝5-3＝2 当x＝5，y＝-3时，x-y＝5-(-3)＝8 当x＝-5，y＝3时，x-y＝-5-3＝-8 当x＝-5，y＝-3时，x-y＝-5-(-3)＝-2 故（x-y）的值为±2或±8 提升专练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．飞机上升米，实际上就是下降-30米 B．“向东行走”与“向西行走”是具有相反意义的量 C．“盈利20000元”与“支出1000元”是具有相反意义的量 D．弹簧“伸长”与“缩短”是具有相反意义的量 2．在这五个数中，最小的数为（    ） A． B．0 C． D． 3．下列各组数中，互为相反数是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．用科学记数法表示289万正确的是（   ） A．2.89×107 B．2.89×106 C．28.9×105 D．2.89×104 5．数轴上，距离原点3个单位长度的点表示的数是（    ） A．3 B． C． D．6 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若与互为相反数，则a＋b的值为（    ） A．3 B．－3 C．0 D．3或﹣3 8．观察图中的数轴，用字母，， 依次表示点，，对应的数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第六次剪去后剩下绳子的长度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．观察下列等式：，则的末位数是(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 11．用“”，“ ”号连接下列各组数： ； ． 12．在，中，最小数的相反数是 ． 13．将算式写成省略括号和加号的形式： ． 14．绝对值小于的正整数是 ． 15．已知点A和点B都在同一条数轴上，点A表示3，又知点B和点A相距5个单位长，则点B表示的数是 ． 16．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且|c|＝1，则＋c2－cd的值为 ． 17．计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 18．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：3的差倒数是＝﹣，﹣的差倒数是＝，已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…．依此类推，则a4＝ ；a1+a2+a3+a4+…+a2023＝ ． 三、解答题 19．（1）把数，，，，在数轴上表示出来，然后用“＜”把它们连接起来； （2）根据（1）中的数轴，试分别找出大于的最小整数和小于的最大整数． 20．计算 （1） （2） （3） −19×(−12) （4） 21．认真阅读材料后，解决问题： 计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：原式的倒数是 ＝ ＝ ＝20﹣3+5﹣12＝10， 故原式＝． 仿照阅读材料计算：． 22．10月1日这一天下午，警车司机小张在东西走向的江北大道上值勤．如果规定向东为正，警车的所有行程如下（单位：千米）： ，，，，，，， （1）最后，警车司机小张在距离出发点的什么位置？ （2）若警车每行驶10千米的耗油量为升，那么这一天下午警车共耗油多少升？ （3）如现在油价为每升元，那么花费了多少油钱？ 23．已知， （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）求的值． 24．请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为： 所以： 问题，计算： ①； ② 25．探索研究： （1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接） ①_________； ②_______； ③________． （2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时与的大小关系．（直接写出结果） （3）根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是________．若，，则________． 26．对于数轴上的A,B,C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”. 例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A, C的“联盟点”. （1）若点A表示数-2, 点B表示的数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别是C1，C2 ，C3 ，C4，其中是点A,B的“联盟点”的是 ； （2）点A表示数-10, 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A, B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A, B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，写出此时点P表示的数 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$