第03讲 有理数的加减 -2024年新七年级暑假数学预习课（人教版）

第03讲 有理数的加减 1.掌握有理数的加法和运算律，并能应用于实际问题中； 2.掌握有理数的减法及其实际应用； 3.掌握有理数的加减法混合运算. 1 有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符合，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. (3)一个数同相加，仍得这个数. 2 有理数加法的运算律 (1)加法交换律：; (2)加法结合律：(； 3 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：. 【题型一】 有理数的加法运算及其运算律 相关知识点讲解 1 有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符合，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. (3)一个数同相加，仍得这个数. Eg：，，，. 在加法运算的过程中，要判断好“加法类型”：同号相加，异号相加等； 步骤 (1)判: 判断加法类型 同号相加 异号相加 相反数相加 (2) 定: 确定和的符号 和的符号为:"“ 和的符号为: "+"或"" (3)求: 绝对值加或减 绝对值相加 绝对值相减 (4)结: 求出结果 2 0 方法2 采取“数轴法” 一开始在原点，加一正数相当于向右走，加一负数相当于向左走， 相当于：想象下，一开始我站在一条数轴的原点上，相当于我要往左走步，来到了“”的位置，再加相当于我要再往左走4步，那走到哪里呢？走到的位置，即. 2 有理数加法的运算律 (1)加法交换律：; (2)加法结合律：(； Eg：，，。 应用运算律计算技巧 ① 同号结合：同号的几个数先相加； ② 相反结合：互为相反数的两个数先相加； ③ 凑整结合：能凑成正数、整十、整百的数先相加； ④ 同形结合：同分母的分数先相加; ⑤ 拆项结合：带分数相加时，先拆成整数和分数，再利用加法运算律相加. 【典题1】 下列计算中错误的是(   ) A． B． C． D． 【典题2】下列变形，运用加法运算律错误的是(  ) A． B． C． D． 【典题3】阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 变式练习 1. 把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左(负方向)移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是(  ) A． B． C． D． 2.计算的结果为(   ) A．2 B．4 C． D． 3.计算：正确的结果是(   ) A．2 B． C．8 D． 4. 是应用了(   ) A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 5.，且，则的值为(    ) A．3 B． C．3或5 D． 6.从数5，，6，中，任取三个不同的数相加，所得到的结果中最小的是(   ) A． B．1 C． D．2 7.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型二】 有理数加法在生活中的应用 【典题1】 某市一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是(   )． A． B． C． D． 【典题2】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程(单位：千米)为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 变式练习 1. 某地某一天三次测量气温情况记录如下：早上是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是(  ) A． B． C． D． 2.某公交车上原坐有人，经过个站点时上下车情况如下(上车为正，下车为负)：，，，则车上还有 人． 3. “滴滴”司机王师傅上午在东西方向的道路上营运，共连续运载七批乘客．若规定向东为正，向西为负．王师傅营运七批乘客里程如下：，，，，，，(单位：千米)． (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少？ (2)上午王师傅开车行驶总路程为多少千米？ 【题型三】 有理数减法运算 相关知识点讲解 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：. Eg： 【典题1】将式子省略括号和加号后变形正确的是(   ) A． B． C． D． 【典题2】计算： (1) (2) 变式练习 1. 计算：(   ) A． B．5 C． D．1 2.下列计算错误的是(   ) A． B． C． D． 3.设表示不大于m的最大整数，如，，则(   ) A． B． C． D． 4.已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 5.计算： (1)；(2)． 6.计算 (1) (2) 7.【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【题型四】 有理数加减混合运算 【典题1】 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 变式练习 1. 计算值为( ) A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020 2.计算 (1) (2) (3) (4) (5) 3.计算下列各题： (1) (2) 4.【阅读材料】对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： 【类比运用】(1)把下列式子写成去掉绝对值符号的形式(不用写出计算结果)： ① ；② ； 【深入运用】(2)当时， ；当时， ； 【拓展运用】(3)计算：． 【A组---基础题】 1.将式子省略括号和加号后变形正确的是(  ) A． B． C． D． 2.下列计算中，正确的是(   ) A． B． C． D． 3.已知，b是3的相反数，则的值为(   ) A． B． C．或1 D．1或 4.根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是(　　) A．2 B．0 C．4 D．1 5.规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为(　　) A． B． C． D． 6.且则的值为 ． 7.的值是 ． 8.对种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是含甲的种，含乙的种，含丙的种；含甲、乙的种，含甲、丙的种，含乙、丙的种；含甲、乙、丙的种仅含维生素甲的有 种，不含甲、乙、丙三种维生素的有 种 9.计算 (1)； (2)； (3)； (4) 10.阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 11.已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【B组---提高题】 1.对于若干个数，先将每两个数作差(大数减小数，相等的数差为0)，再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为(   ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2.如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则△-⊙的值为 ．    3.某人从地去地，以每分钟米的速度行进，他先前进米，再后退米，又前进米，再后退米…… (1)小时后他离地多远？ (2)若、两地相距米，他可能到达地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的加减 1.掌握有理数的加法和运算律，并能应用于实际问题中； 2.掌握有理数的减法及其实际应用； 3.掌握有理数的加减法混合运算. 1 有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符合，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. (3)一个数同相加，仍得这个数. 2 有理数加法的运算律 (1)加法交换律：; (2)加法结合律：(； 3 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：. 【题型一】 有理数的加法运算及其运算律 相关知识点讲解 1 有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符合，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. (3)一个数同相加，仍得这个数. Eg：，，，. 在加法运算的过程中，要判断好“加法类型”：同号相加，异号相加等； 步骤 (1)判: 判断加法类型 同号相加 异号相加 相反数相加 (2) 定: 确定和的符号 和的符号为:"“ 和的符号为: "+"或"" (3)求: 绝对值加或减 绝对值相加 绝对值相减 (4)结: 求出结果 2 0 方法2 采取“数轴法” 一开始在原点，加一正数相当于向右走，加一负数相当于向左走， 相当于：想象下，一开始我站在一条数轴的原点上，相当于我要往左走步，来到了“”的位置，再加相当于我要再往左走4步，那走到哪里呢？走到的位置，即. 2 有理数加法的运算律 (1)加法交换律：; (2)加法结合律：(； Eg：，，。 应用运算律计算技巧 ① 同号结合：同号的几个数先相加； ② 相反结合：互为相反数的两个数先相加； ③ 凑整结合：能凑成正数、整十、整百的数先相加； ④ 同形结合：同分母的分数先相加; ⑤ 拆项结合：带分数相加时，先拆成整数和分数，再利用加法运算律相加. 【典题1】 下列计算中错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则逐项计算即可判断求解，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：C． 【典题2】下列变形，运用加法运算律错误的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 【典题3】阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1)； (2)． 【分析】()先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； ()先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】(1)解： ， ； (2)解： ， ． 变式练习 1. 把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左(负方向)移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数与数轴，根据向左移动为减，向右移动为加可知上述过程为，再根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，用算式表示上述过程与结果为， 故选：C． 2.计算的结果为(   ) A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．熟练掌握有理数的加法是解题的关键． 根据有理数的加法求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 3.计算：正确的结果是(   ) A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，属于基础题，解题的关键是掌握加法法则． 【详解】解：， 故选：A． 4. 是应用了(   ) A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 【答案】A 【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，． 【详解】解：是应用了加法交换律， 故选：A 5.，且，则的值为(    ) A．3 B． C．3或5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的减法运算．根据绝对值的性质，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为3或5． 故选：C． 6.从数5，，6，中，任取三个不同的数相加，所得到的结果中最小的是(   ) A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加法运算．熟练掌握有理数的大小比较，有理数的加法运算是解题的关键． 根据所得到的结果中最小的是，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴取三个不同的数相加，所得到的结果中最小的是， 故选：B． 7.计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4)100 (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算： (1)根据有理数的加法法则计算，即可求解； (2)根据有理数的加法法则计算，即可求解； (3)根据有理数的加法法则计算，即可求解； (4)根据有理数的加法运算律计算，即可求解； (5)根据有理数的加法运算律计算，即可求解； (6)根据有理数的加法法则计算，即可求解． 【详解】(1)解：； (2)解： (3)解： ； (4)解： ； (5)解： (6)解： 【题型二】 有理数加法在生活中的应用 【典题1】 某市一天早晨的气温是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是(   )． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据温度上升为正，下降为负列出关系式是解题的关键． 根据温度上升为正，下降为负，然后列出关系式，运算即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 【典题2】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程(单位：千米)为：+8，﹣6，﹣2，+4，﹣5，+2 问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？ ②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油多少升？ 【答案】①最后他们没有回到出发点，在A地的正南方向，距A地1千米；②40.5 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． (1)首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． (2)先算出总路程，再与每千米耗油1.5升相乘，即可作答． 【详解】解：①根据题意可得：南记为正，北记为负， 则距的距离为． 最后他们没有回到出发点，在地的正南方向，距地1千米． ②从地出发，汽车共走了； 故从地出发到收工时耗油量为(升． 变式练习 1. 某地某一天三次测量气温情况记录如下：早上是，中午上升了，半夜又下降了，则半夜的气温是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加减法在实际生活中的应用，根据上升的温度为正，下降的温度为负进行计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得上升为， 下降为， 则， 故选：B． 2.某公交车上原坐有人，经过个站点时上下车情况如下(上车为正，下车为负)：，，，则车上还有 人． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，注意计算的准确性即可. 【详解】解：， ∴经过个站点后，车上还有人， 故答案为： 3. “滴滴”司机王师傅上午在东西方向的道路上营运，共连续运载七批乘客．若规定向东为正，向西为负．王师傅营运七批乘客里程如下：，，，，，，(单位：千米)． (1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少？ (2)上午王师傅开车行驶总路程为多少千米？ 【答案】(1)王师傅位于第一批乘客出发地的西方向，距离为7千米 (2)出发地向西7千米；45千米 【分析】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用，有理数加法的应用，明确正负数的含义及题中的数量关系，是解题的关键． (1)把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在东面，结果为负则在西面； (2)把记录的数字的绝对值相加，即可得答案； 【详解】(1) (千米)； 规定向东为正，向西为负， 王师傅位于第一批乘客出发地的西方向，距离为7千米． (2) (千米)； 答：上午王师傅开车行驶总路程为45千米． 【题型三】 有理数减法运算 相关知识点讲解 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：. Eg： 【典题1】将式子省略括号和加号后变形正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数加减计算化简．根据题意利用“同号得正，异号得负”即可化简该式． 【详解】解：， 故选：C． 【典题2】计算： (1) (2) 【答案】(1)6，(2) 【分析】(1)本题考查的是有理数的减法运算，把减法化为加法运算，再计算即可； (2)本题考查的是有理数的加减混合运算，先把原式化为省略加号的和的形式，再结合运算律进行简便计算即可． 【详解】(1)解： ； (2) 变式练习 1. 计算：(   ) A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】此题主要是考查了有理数的减法法则，能够熟练运用减去一个数等于加上这个数的相反数是解答此题的关键．根据有理数的减法法则进行计算可得结果． 【详解】解： ． 故选：D． 2.下列计算错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加减法法则计算出各项的值，再进行判断即可． 【详解】解：A.，选项A计算正确，不符合题意； B. ，选项B计算正确，不符合题意； C. ，选项C计算正确，不符合题意； D.，选项D计算错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数加减法运算，熟练掌握有理数的加减法运算法则是解答此题的关键． 3.设表示不大于m的最大整数，如，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据的定义求出和，再计算减法即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选B． 4.已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算和有理数的加减，根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 5.计算： (1)；(2)． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算： (1)先通分再进行分数的减法运算即可； (2)先把减法化为加法，再运用加法法则进行运算，即可作答． 【详解】(1)解：； (2)解： ． 6.计算 (1) (2) 【答案】(1)6 (2)0 【分析】(1)根据有理数减法运算法则进行计算即可； (2)根据有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】(1)解： ； (2)解： ． 7.【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【答案】(1)15，9 (2) (3)5、4 (4) (5)或2023 【分析】本题考查的是数轴，相反数，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离； (1)用数轴上两点间的距离计算即可； (2)用数轴上两点间的距离计算即可； (3)先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； (4)先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； (5)求出最小的正整数1，求出与1距离2022的点，然后求相反数即可． 【详解】(1)解：(1)； 故答案为：15，9； (2)解：； 故答案为：； (3)解：， 数轴上表示数9和的两点之间的反距离是， 6的相反数是， 数轴上表示和6的两点之问的反距离是； 故答案为：5、4； (4)解：， 数a和两点之间的反距离是， 故答案为：； (5)解：最小的正整数是1， 则与1距离是2024的点表示的数为：或， 2025的相反数是，的相反数是2023， 或2023． 故答案为：或2023； 【题型四】 有理数加减混合运算 【典题1】 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算等知识点，灵活运用有理数的加减法可以解答本题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． (1)直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； (2)直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； (3)直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； (4)直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； (5)直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可． 【详解】(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 变式练习 1. 计算值为( ) A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020 【答案】D 【分析】根据加法的结合律四个四个一组结合起来，每一组的和都等于-4,共505组,计算即可． 【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2017+2018-2019-2020 =(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+(9+10-11-12)+……+(2017+2018-2019-2020) =(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+……+(-4) =(-4)×505 ＝-2020． 故选D. 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，观察出规律是解题的关键． 2.计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】(1)直接运用有理数减法运算法则即可解答； (2)运用有理数加减混合运算解答即可； (3)运用有理数加法运算律简便运算即可； (4)运用有理数加减混合运算解答即可； (5)运用有理数加减混合运算解答即可. 【详解】(1)解： . (2)解： ， . (3)解： . (4)解： . (5)解： . 3.计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． (1)根据有理数的加减混合运算法则即可求解； (2)根据有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】(1)解： ； (2)解： ． 4.【阅读材料】对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；． 观察上述式子的特征，解答下列问题： 【类比运用】(1)把下列式子写成去掉绝对值符号的形式(不用写出计算结果)： ① ；② ； 【深入运用】(2)当时， ；当时， ； 【拓展运用】(3)计算：． 【答案】(1)①；②；(2)；；(3) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值的化简，正确化简绝对值是解答本题的关键． (1)结合有理数减法运算法则以及绝对值的意义进行化简； (2)根据绝对值的意义进行化简； (3)根据有理数加减运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算． 【详解】解：(1)①， ②， 故答案为：①；②； (2)当时，；当时，； 故答案为：；； (3) ． 【A组---基础题】 1.将式子省略括号和加号后变形正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解：将式子省略括号和加号后变形正确的是， 故选：A． 2.下列计算中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加减法法则进行逐项排除即可． 【详解】、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算正确，符合题意； 故选：． 3.已知，b是3的相反数，则的值为(   ) A． B． C．或1 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，绝对值与相反数，先根据已知条件，求出，的值，然后分别把，的值代入进行计算即可． 【详解】，是3的相反数， ，， 当，时， ； 当，时， ， 综上可知的值为：或1， 故选：C． 4.根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是(　　) A．2 B．0 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算程序图，有理数的加减混合运算，理解有理数的运算程序图是解题关键．根据运算程序图把代入得到，再二次代入进行运算得到4，问题得解． 【详解】解：； ． 故选：C． 5.规定符号表示两个数中较小的一个，规定符号表示两个数中较大的一个，例如：，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了新定义，有理数的加减； 根据新规定求出，然后计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 6.且则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法以及绝对值的概念，由绝对值的概念，即可求解，关键是理解绝对值的意义． 【详解】解：∵且 ∴， ∴， 故答案为：． 7.的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8.对种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是含甲的种，含乙的种，含丙的种；含甲、乙的种，含甲、丙的种，含乙、丙的种；含甲、乙、丙的种仅含维生素甲的有 种，不含甲、乙、丙三种维生素的有 种 【答案】 3 9 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算的应用，解题关键是读懂题意，找出数量关系，根据容斥原理列式计算即可． 根据题意和容斥原理，知含维生素甲的食物的种数=含维生素甲的食物种数-含维生素甲、乙的食物种数-含维生素甲、丙的食物种数+含维生素甲、乙、丙的食物种数；再求出含维生素甲或乙或丙的食物种数，即可求出不含维生素甲、乙、丙的食物种数． 【详解】解：仅含维生素甲的有种， 不含甲、乙、丙三种维生素的有种． 故答案为：，． 9.计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算： (1)根据有理数的加法计算法则求解即可； (2)根据有理数的加减混合计算法则求解即可； (3)根据有理数的加减混合计算法则求解即可； (4)根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 【详解】(1)解： ； (2)解： ； (3)解： ； (4)解： ． 10.阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． (1)根据有理数的加法法则计算； (2)参照(1)的解题思路解题即可． 【详解】(1)解：可以如下计算： 原式， 故答案为： (2)解： 11.已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【答案】(1)B地在数轴上表示的数是14或； (2)点P、点Q到A地的距离相等； (3)经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是80米 【分析】本题考查了数轴，有理数加减混合运算的应用． (1)在数轴上表示的点移动30个单位后，所得的点表示为或； (2)数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可； (3)根据经过100次行进，可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】(1)解：，． 答：地在数轴上表示的数是14或； (2)解：第七次行进后：， 第八次行进后：， 因为点、与点的距离都是4米， 所以点、点到地的距离相等； (3)解：当为100时，它在数轴上表示的数为： ， (米． 答：经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点之间的距离是80米． 【B组---提高题】 1.对于若干个数，先将每两个数作差(大数减小数，相等的数差为0)，再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为(   ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算．理解题意，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键． 根据题意分别求出“非负差值运算”，然后进行判断作答即可． 【详解】解：对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是，①正确，故符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； ∴x，、5的“非负差值运算”的最小值是，②错误，故不符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，③正确，故符合要求； 故选：B． 2.如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，则△-⊙的值为 ．    【答案】或1 【分析】根据题意先得到内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为，进而求出⊙，小圆圈上空白圆圈上数字为，从而求出△或2，即可求出答案． 【详解】解：由题意得， ∴内外两圈上以及横、竖上的4个数字之和都为， ∴⊙， ∴小圆圈上空白圆圈上数字为， ∴△或2， ∴△-⊙或1． 故答案为：或1 【点睛】本题考查了有理数的加法，减法运算，熟知题意，理解“横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等”是解题关键． 3.某人从地去地，以每分钟米的速度行进，他先前进米，再后退米，又前进米，再后退米…… (1)小时后他离地多远？ (2)若、两地相距米，他可能到达地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由． 【答案】(1)小时后，这个人离地米． (2)能到达地，需要分钟． 【分析】本题考查了有理数加法的应用，读懂题意，找出规律，准确进行计算是解答本题的关键． (1)根据题意，小时共行(米)，，当时，，由此得到答案． (2)由，得到他走的总路程是，再由路程、速度、时间的关系，求出答案． 【详解】(1)解：根据题意得： 小时共行(米)， 又， 当时，， (米)， 答：小时后，这个人离地米． (2) ， 他走的总路程是： ， ， ， (米) (分钟)， 答：能到达地，需要分钟． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$