第01讲 集合的概念与表示（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第01讲 集合的概念与表示（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集合 题型三 判断元素与集合的关系 题型四 根据元素与集合的关系求参数 题型五 利用元素的互异性求参数 题型六 描述法表示集合 题型七 列举法表示集合 题型八 根据集合中元素的个数求参数 题型九 列举法求集中元素的个数 题型十 集合元素互异性的应用 题型十一 集合的分类 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【典型例题一 判断元素能否构成集合】 1．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 3．（23-24高一上·江苏·课前预习）一般地，一定范围内某些 ， 的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的 ，简称元，集合中元素的具有 、 、 . 4．（22-23高一上·全国·课后作业）由下列对象组成的集体属于集合的是 (填序号). ①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数. 5．（23-24高一·全国·课后作业）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它． （1）小于的自然数； （2）某班所有个子高的同学； （3）不等式的整数解． 【典型例题二 判断是否为同一集合】 1．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二下·广西·学业考试）设集合，则下列集合中与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 （填序号） ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合； ④集合与表示同一个集合． 4．（23-24高一·全国·课后作业）判断正误． （1）接近于0的数可以组成集合．( ) （2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．( ) （3）一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) 5．（23-24高一·全国·课后作业）有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}； （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自含义是什么？ 【典型例题三 判断元素与集合的关系】 1．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的概念:一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 4．（2024高一上·全国·专题练习）已知，问：三个数中，的元素是 . 5．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）设是实数集，满足若，则，，且. (1)若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素. (2)集合中能否只含有一个元素?请说明理由. 【典型例题四 根据元素与集合的关系求参数】 1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ． 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 5．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合A含有两个元素和，若，求实数a的值. 【典型例题五 利用元素的互异性求参数】 1．（23-24·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知集合，若，则实数 . 4．（22-23高三上·陕西商洛·期中）设集合，若，则实数 ． 5．（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 【典型例题六 描述法表示集合】 1．（23-24高一上·河北·阶段练习）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）集合 “正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（  ） A．} B． C． D． 3．（23-24高一上·全国·专题练习）所有正偶数组成的集合是 ． 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 5．（22-23高一·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有因数组成的集合． 【典型例题七 列举法表示集合】 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用列举法表示集合可以是 ． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，用列举法表示A. 【典型例题八 根据集合中元素的个数求参数】 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）方程和方程的所有实数解组成的集合为，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 3．（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 5．（23-24高一上·江苏·课后作业）如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围. 【典型例题九 列举法求集中元素的个数】 1．（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 3．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）设集合且，则集合中元素个数为 . 5．（23-24高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 【典型例题十 集合元素互异性的应用】 1．（2023高三·全国·专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知,则实数为（    ） A． B． C．或 D．或或 3．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）若，则实数 . 5．（23-24高一上·河北·阶段练习）设，已知，求x的值. 【典型例题十一 集合的分类】 1．（22-23高一上·河南·阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 2．（23-24高一·全国·专题练习）下列集合中有限集的个数是（    ） ①不超过π的正整数构成的集合； ②平方后等于自身的数构成的集合； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合； ④所有小于2的整数构成的集合． A．1 B．3 C．2 D．4 3．（23-24高一·全国·课后作业）集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为 、 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列集合中 是有限集， 是无限集(填序号). （1）由小于8的正奇数组成的集合； （2）大于5小于20的实数组成的集合. 5．（23-24高一·湖南·课后作业）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数； (3)我们班身高大于1.7m的同学． 【变式训练1 判断元素能否构成集合】 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（22-23高一上·安徽合肥·期中）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 3．（23-24高一·上海·课后作业）由下列对象组成的集体属于集合的是 (填序号). ①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题； ③中国的大城市； ④平方后等于自身的数； ⑤某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生. 4．（23-24高一·上海·课后作业）下列所给对象不能构成集合的是 . （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某一班级16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生； （5）1，2，3，1. 5．（2023高一·江苏·专题练习）考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过20的非负数； (2)方程在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)的近似值的全体. 【变式训练2 判断是否为同一集合】 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）下列集合中，不同于另外三个集合的序号是 . ①；②；③；④. 4．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 5．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 【变式训练3 判断元素与集合的关系】 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南·阶段练习）设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 3．（23-24高一上·天津南开·期中）设集合，若，则 ． 4．（23-24高一上·天津·阶段练习）若，用列举法表示集合 . 5．（22-23高一上·全国·课后作业）记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素． 【变式训练4 根据元素与集合的关系求参数】 1．（2023高二上·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 3．（23-24高一上·山西太原·期中）已知集合，若，则实数值为 . 4．（22-23高一上·重庆万州·期中）已知集合，且，则实数的值为 . 5．（23-24高一上·天津静海·阶段练习）若求实数a的值． 【变式训练5 利用元素的互异性求参数】 1．（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）设集合，，集合，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（23-24高一·全国·专题练习）设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 3．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）用描述法表示如图中阴影部分的点（含边界）的集合： ． 4．（22-23高一·全国·随堂练习）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 . 5．（22-23高一·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)大于1的所有偶数组成的集合； (2)不等式的解集. 【变式训练6 描述法表示集合】 1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）一次函数与的图象交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 4．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 5．（22-23高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于13的所有偶数组成的集合； (2)由1~15以内的所有质数组成的集合. 【变式训练7 列举法表示集合】 1．（23-24高一上·安徽宣城·阶段练习）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）若关于x的方程的解集中只有一个元素，则实数a的所有取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·西藏林芝·期末）集合中只有一个元素，则实数的值是 . 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合中的元素满足：，且，又集合中恰有三个元素，则整数 ，集合中的元素是 ． 5．（2014高三·全国·专题练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 【变式训练8 根据集合中元素的个数求参数】 1．（22-23高三下·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则集合中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知集合，，则中所含元素的个数为（    ） A．6 B．12 C．16 D．20 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为 . 4．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合，，则中所含的元素个数为 ． 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知a，，求使关于x的方程有实数解得有序实数对的个数． 【变式训练9 列举法求集中元素的个数】 1．（23-24·重庆·模拟预测）已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 3．（23-24高三上·吉林·阶段练习）设集合，，且，中有唯一的公共元素9，则实数的值为 ． 4．（23-24高一上·河北石家庄·期末）集合，，若，则 ． 5．（23-24高一·全国·课后作业）设，，已知，，求的值． 【变式训练10 集合元素互异性的应用】 1．（22-23高二下·河南焦作·期末）有下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是空集；②集合有两个元素； ③若，则；④集合是有限集. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是有限集 D．方程的解集只有一个元素 3．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列集合是有限集还是无限集． （1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合； （2）所有正方形组成的集合； （3）直线上的所有点组合的集合； （4）不大于9的所有非负整数组成的集合． 5．（23-24高一·江苏·课后作业）判断下列集合是有限集还是无限集： （1）； （2）； （3）（A，B为平面上两个不同的定点，P为动点）. 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则B中元素的最小值为（    ） A． B． C． D．32 4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知集合，若，则 ． 7．（23-24高二下·天津河西·期中）含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 8．（24-25高一上·全国·课前预习）区间的概念与表示 （1）设a，b是两个实数，且a<b，则集合{x|a≤x≤b}也可以用符号 表示，其他类似情况如表，两表中表示集合的符号都称为区间， 定义 符号 数轴表示 （2）这里的实数a，b称为区间的端点，[a，b]称为 ，（a，b）称为 ，[a，b），（a，b]称为 区间，在数轴上表示区间时，用实心点表示属于区间的端点，用空心点表示不属于区间的端点. 定义 符号 数轴表示 9．（2024·山东菏泽·二模）已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 10．（2023高一·全国·竞赛）定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 11．（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 12．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 13．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)二次函数的函数值组成的集合； (2)反比例函数的自变量组成的集合； (3)不等式的解集 (4)绝对值小于0的所有实数组成的集合. 14．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合A中含有三个元素1，0，x，若，求实数x的值． 15．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合的概念与表示（4大知识点+11大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断元素能否构成集合 题型二 判断是否为同一集合 题型三 判断元素与集合的关系 题型四 根据元素与集合的关系求参数 题型五 利用元素的互异性求参数 题型六 描述法表示集合 题型七 列举法表示集合 题型八 根据集合中元素的个数求参数 题型九 列举法求集中元素的个数 题型十 集合元素互异性的应用 题型十一 集合的分类 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点03：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点04：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【典型例题一 判断元素能否构成集合】 1．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 2．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 【答案】B 【分析】结合集合的确定性直接判断即可. 【详解】对A，不超过20的偶数是确定的，可以组成集合； 对B，π的近似值无法确切取到，不能组成集合； 对C，方程的实数根是确定的，就是1，可以组成集合； 对D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合， 故选：B 3．（23-24高一上·江苏·课前预习）一般地，一定范围内某些 ， 的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的 ，简称元，集合中元素的具有 、 、 . 【答案】 特定 确定 元素 确定性 互异性 无序性 4．（22-23高一上·全国·课后作业）由下列对象组成的集体属于集合的是 (填序号). ①不超过的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数. 【答案】①④ 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【详解】①④中的对象是确定的，可以组成集合，②③中的对象是不确定的，不能组成集合. 故答案为：①④ 5．（23-24高一·全国·课后作业）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它． （1）小于的自然数； （2）某班所有个子高的同学； （3）不等式的整数解． 【答案】（1）能，集合为；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为. 【分析】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合； （2）根据集合元素的确定性进行判断即可； （3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合. 【详解】（1）小于的自然数为、、、、，元素确定，所以能构成集合，且集合为； （2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合； （3）由得，因为为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个， 所以用描述法表示为. 【典型例题二 判断是否为同一集合】 1．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 2．（23-24高二下·广西·学业考试）设集合，则下列集合中与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等的定义判断选项. 【详解】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是. 故选：C 3．（23-24高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的有 （填序号） ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合； ④集合与表示同一个集合． 【答案】② 【分析】利用集合的定义和性质逐项分析可得. 【详解】①不正确．单词book中的字母o有重复，共有3个不同字母，因此单词book的所有字母组成的集合的元素个数是3． ②正确．因为a，b，c是集合M中的3个元素，所以a，b，c互不相等，因此的三边长互不相等，故不可能是等腰三角形. ③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的． ④不正确．集合表示数3，4构成的集合，集合中有两个元素，集合表示点集，集合中有一个元素，故集合M与N不是同一个集合． 故答案为：② 4．（23-24高一·全国·课后作业）判断正误． （1）接近于0的数可以组成集合．( ) （2）分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．( ) （3）一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) 【答案】 错误 正确 错误 【详解】（1）接近于0的数不确定是哪些数，对象不确定，所以接近于0的数不能组成一个集合．该结论错误． （2）两个集合的元素完全相同，所以两个集合是相等的．该结论正确． （3）一个集合中的元素互异，不能找到两个相同的元素，该结论错误． 5．（23-24高一·全国·课后作业）有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}； （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自含义是什么？ 【答案】（1）不是；（2）答案见解析. 【解析】（1）由各个集合的特征进行判断； （2）由用描述法表示集合的方法进行判断 【详解】解：（1）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}＝[0，+∞）；②{y|y＝x2+1，x∈R}＝[1，+∞）；③{（x，y）|y＝x2+1}是点集，它们不是相同的集合； （2）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}表示函数的定义域；②{y|y＝x2+1，x∈R}，表示函数的值域；③{（x，y）|y＝x2+1}表示点的集合. 【典型例题三 判断元素与集合的关系】 1．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把集合A用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项. 【详解】 故选：B 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】A 【分析】由元素和集合的关系判断. 【详解】由解得， 因为，， 故，且， 故选：A 3．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的概念:一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 【答案】 集合 元素 【分析】利用集合的概念求解即可. 【详解】集合的概念是“一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.” 故答案为集合、元素. 4．（2024高一上·全国·专题练习）已知，问：三个数中，的元素是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合元素与集合间的关系，即可求解. 【详解】令，解得，则，所以 令，解得，则，所以 令，解得，则，所以 所以是A的元素. 故答案为：. 5．（22-23高一上·重庆万州·阶段练习）设是实数集，满足若，则，，且. (1)若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素. (2)集合中能否只含有一个元素?请说明理由. 【答案】(1)至少还有两个元素-1和 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据题意逐个代入验证即可求得A中的元素； （2）用反证法假设集合中只含有一个元素，然后利用方程无解即可证明. 【详解】（1），，，， 因此A中至少还有两个元素：和； （2）不能.用反证法证明： 如果集合中只含有一个元素，则，整理得，该方程无实数解，故在实数范围内，集合中不可能只含有一个元素 【典型例题四 根据元素与集合的关系求参数】 1．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【详解】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 2．（23-24高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ． 【答案】 【分析】直接根据求解即可. 【详解】， ， 解得. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】0或 【分析】根据元素与集合关系得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，解得或. 故答案为：0或. 5．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知集合A含有两个元素和，若，求实数a的值. 【答案】0或-1 【分析】分与两种情况，进行求解，检验后得到答案. 【详解】若，则，此时，满足要求， 若，解得，此时，满足要求， 综上：或-1 【典型例题五 利用元素的互异性求参数】 1．（23-24·全国·模拟预测）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合元素与集合的关系计算即可得. 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 2．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 3．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知集合，若，则实数 . 【答案】0 【分析】讨论、求参数，结合集合的性质确定参数值. 【详解】若，则，而，不满足集合元素的互异性； 若，则，故，满足题设， 所以. 故答案为：0 4．（22-23高三上·陕西商洛·期中）设集合，若，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据题意，利用集合元素的互异性，分类讨论即可求解. 【详解】当时，，此时，不符合条件； 当时，，此时，符合条件； 若，即，无实根，不符合条件． 所以． 故答案为：2. 5．（22-23高一上·上海静安·期中）已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性原则分类讨论即可. 【详解】分情况讨论： ①若，则，，，不符合集合元素的互异性原则； ②若，则，，， 此时，符合题意； ③若，则或， 当时，，，不符合集合元素的互异性原则； 当时，，，不符合集合元素的互异性原则. 综上：. 【典型例题六 描述法表示集合】 1．（23-24高一上·河北·阶段练习）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】直接利用集合的描述法得到答案. 【详解】表示平面内第二象限的点构成的集合为且. 故选：D. 2．（23-24高一上·甘肃白银·阶段练习）集合 “正偶数的全体”，用描述法表示，正确的为（  ） A．} B． C． D． 【答案】A 【分析】由正偶数定义，应用描述法写出对应集合“正偶数的全体”. 【详解】正偶数的全体为，故集合 “正偶数的全体”可描述为. 故选：A 3．（23-24高一上·全国·专题练习）所有正偶数组成的集合是 ． 【答案】 【分析】直接根据正偶数的定义得到集合． 【详解】 所有正偶数组成的集合是． 故答案为：． 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合的表示方法，可得被4除余3的所有自然数组成的集合为. 故答案为：. 5．（22-23高一·全国·随堂练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有因数组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，分别用描述法表述即可． 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有因数组成的集合为． 【典型例题七 列举法表示集合】 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算，直接得出集合B. 【详解】由题意知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 故选：D 3．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用列举法表示集合可以是 ． 【答案】 【分析】根据限制条件写出集合的元素即可. 【详解】. 故答案为：. 4．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，,则 （用列举法表示）. 【答案】 【分析】根据集合的元素特征直接列举出即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，用列举法表示A. 【答案】. 【分析】根据集合的描述，应用列举法写出集合即可. 【详解】由，则， 所以，，，，，，， 则列举法表示A为. 【典型例题八 根据集合中元素的个数求参数】 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）方程和方程的所有实数解组成的集合为，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意解方程求集合，即可结果. 【详解】对于方程，解得或； 对于方程，解得或； 所以集合，有3个元素. 故选：C. 2．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 【答案】C 【分析】根据集合为单元素集，可得方程只有一个实根，对分类讨论即可求解. 【详解】若集合为单元素集，则方程只有一个实根. 当,可得，满足题意； 当时，,解得. 故的取值是0或1. 故选:C. 3．（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由可知在数轴上集合A的端点关于点1对称，则A中的三个整数为，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称， 从而A中的三个整数为， 所以，且，解得． 即实数a的取值范围为 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【答案】 【分析】分和讨论，当时，利用判别式即可求解. 【详解】当时，由方程解得，集合A只有一个元素； 当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得. 综上，实数的取值的集合为. 故答案为： 5．（23-24高一上·江苏·课后作业）如果集合至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求参数范围. 【详解】若，此时，符合题意； 若，要使集合至多有一个元素，则，故， 综上，. 【典型例题九 列举法求集中元素的个数】 1．（23-24高一上·四川成都·期末）已知集合，集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的运算即可利用列举法求解. 【详解】设， 故，故有6个元素， 故选：C 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则集合B中所含元素个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】根据的值分类讨论，即可求出集合B中所含元素个数． 【详解】当时，有，6个元素； 当时，有，5个元素； 当时，有，4个元素； 当时，有，3个元素； 当时，有，2个元素； 当时，有，1个元素， 综上，一共有21个元素． 故选：B． 3．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）设集合且，则集合中元素个数为 . 【答案】 【分析】 解出绝对值不等式，可得及的可能取值，即可得解. 【详解】 可得，又， 故可为、、、、、、共七个数， 可得，又， 故可为、、、、、、、、共九个数， 集合中元素个数为. 故答案为：. 5．（23-24高一·湖南·课后作业）已知集合，，求集合中元素的个数． 【答案】9 【分析】理解集合B中元素的特点，可以列举出它的所有元素. 【详解】，， ，共9个元素. 【典型例题十 集合元素互异性的应用】 1．（2023高三·全国·专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知,则实数为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】分别将,,三种情况代入集合中,看是否满足集合的三个性质即可选出结果. 【详解】解:由题知, 当时,集合可化为,符合题意; 当时,集合可化为, 不符合元素的互异性,故舍去; 当时,解得或(舍), 若,集合可化为,符合题意, 综上: 实数为0或1. 故选:C 3．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 4．（23-24高一·全国·课后作业）若，则实数 . 【答案】4或 【分析】分三种情况讨论即得. 【详解】∵， ∴，即，此时符合题意； ，即，此时，不满足元素的互异性，故舍去； ，即，经检验符合题意； 综上，或. 故答案为：4或. 5．（23-24高一上·河北·阶段练习）设，已知，求x的值. 【答案】 【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】（i）若，解得， 则，此时，不成立； （ⅱ）若，整理得，解得或， ①当时，则，此时，符合题意； ②当时，则，此时，不成立； 综上所述：. 【典型例题十一 集合的分类】 1．（22-23高一上·河南·阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【答案】C 【分析】根据集合的性质、有限和无限集定义，结合各选项的描述判断对应集合是否符合要求即可. 【详解】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误； B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误； C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确； D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误. 故选：C 2．（23-24高一·全国·专题练习）下列集合中有限集的个数是（    ） ①不超过π的正整数构成的集合； ②平方后等于自身的数构成的集合； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合； ④所有小于2的整数构成的集合． A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】分别分析给定四个集合中元素个数是否有限，进而可得答案． 【详解】①不超过π的正整数构成的集合为{1，2，3}为有限集； ②平方后等于自身的数构成的集合为{0，1}为有限集； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合为有限集． ④所有小于2的整数构成的集合为无限集， 故选：B． 3．（23-24高一·全国·课后作业）集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为 、 . 【答案】 有限集 无限集 【详解】略 4．（23-24高一·全国·课后作业）下列集合中 是有限集， 是无限集(填序号). （1）由小于8的正奇数组成的集合； （2）大于5小于20的实数组成的集合. 【答案】 （1） （2） 【分析】根据有限集和无限集的概念可得答案. 【详解】（1）因为小于8的正奇数有1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集. （2）因为大于5小于20的实数包括整数、小数等，有无数个，所以其组成的集合是无限集. 故答案为：（1）；（2）. 【点睛】本题考查了有限集和无限集的概念，属于基础题. 5．（23-24高一·湖南·课后作业）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数； (3)我们班身高大于1.7m的同学． 【答案】(1)能；有限集； (2)能；无限集； (3)能；有限集. 【分析】根据集合的基本概念即得. 【详解】（1）因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集； （2）因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集； （3）因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集. 【变式训练1 判断元素能否构成集合】 1．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性、无序性和定义逐一判断即可. 【详解】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确； ②因为好听的歌标准不确定， 所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确； ③因为高一（1）班所有姓氏是确定的， 所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的； ④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确， 因此正确的个数为1， 故选：B 2．（22-23高一上·安徽合肥·期中）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 【答案】B 【分析】根据集合中元素的确定性逐个判断即可. 【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误； 对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确； 对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误； 对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误 故选：B 3．（23-24高一·上海·课后作业）由下列对象组成的集体属于集合的是 (填序号). ①不超过π的正整数； ②高一数学课本中所有的难题； ③中国的大城市； ④平方后等于自身的数； ⑤某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生. 【答案】①④⑤ 【分析】直接由集合中元素的确定性逐一核对五个命题得答案． 【详解】解：①不超过的正整数的全体是确定的，能构成集合，选项①正确； ②高一数学课本中的所有难题是不确定的，构不成集合，选项②不正确； ③中国的大城市是不确定的，选项③不正确； ④平方后等于自身的实数是0和1，确定，选项④正确； ⑤高一（2）班中考500分以上的学生的全体是确定的，能构成集合，选项⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了集合中元素的特性，属于基础题． 4．（23-24高一·上海·课后作业）下列所给对象不能构成集合的是 . （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某一班级16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生； （5）1，2，3，1. 【答案】（1）（3）（5） 【分析】直接由集合中元素的确定性和互异性逐一核对五个命题得答案． 【详解】解：（1）高一数学课本中的所有难题是不确定的，构不成集合，选项（1）不正确； （2）某一班级16岁以下的学生是确定的，故能构成集合； （3）某中学的大个子是不确定的，选项（3）不正确； （4）某学校身高超过1.80米的学生是确定的，选项（4）正确； （5）1，2，3，1.不满足集合元素的互异性，故（5）错误； 故答案为：（1）（3）（5）． 【点睛】本题考查集合元素的性质，属于基础题. 5．（2023高一·江苏·专题练习）考察下列每组对象能否构成一个集合. (1)不超过20的非负数； (2)方程在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)的近似值的全体. 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)不能 【分析】根据集合的定义和特征依次判断即可. 【详解】（1）对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合. （2）方程在实数范围内的解是或，所以方程能构成集合. （3）“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合. （4）“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合. 【变式训练2 判断是否为同一集合】 1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由题意. 故选：D. 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定. 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 63．（23-24高一·全国·课后作业）下列集合中，不同于另外三个集合的序号是 . ①；②；③；④. 【答案】③ 【解析】利用集合的定义即可得到答案. 【详解】由集合的含义知：， 而集合表示由方程组成的集合，故填③. 故答案：③ 【点睛】本题主要考查集合的定义，属于简单题. 4．（2023高一·全国·课后作业）下列语句中： （1）和表示同一集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解组成的集合是； （4）区间是有限集， 其中正确的是 .（填入所有正确的语句序号） 【答案】（2）（3） 【分析】根据集合的相关概念即可结合选项逐一求解. 【详解】对于（1），表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合； 对于（2），集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或； 对于（3），方程的所有解组成的集合是； 对于（4），区间中有无限多个元素，所以是无限集， 故答案为：（2）（3） 5．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误 【分析】（1）根据元素的无序性可知两集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 【详解】（1）集合元素具有无序性，与元素完全相同，故为同一集合，正确 （2）两集合为点集，与表示的点不同     两集合表示的不是同一集合，命题错误 （3）与均表示大于的所有实数的集合     即两集合表示的是同一集合，命题正确 （4）为数集；为点集 两集合表示的不是同一集合，命题错误 【点睛】本题考查同一集合的判定，关键是明确只有元素完全相同时，两集合为同一集合；易错点是忽略点集和数集的区别. 【变式训练3 判断元素与集合的关系】 1．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系，列式求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一上·河南·阶段练习）设集合，若，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系得出两种情况，再分别检验即得. 【详解】由集合，因，则或， 当时，，此时，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，当时，满足．故． 故选：B． 3．（23-24高一上·天津南开·期中）设集合，若，则 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为且， 所以或，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意. 故答案为： 4．（23-24高一上·天津·阶段练习）若，用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】由集合的含义解方程可得结果. 【详解】由题意可知，是方程的一个根，则， 代入方程，即，解得或， 所以， 故答案为： 5．（22-23高一上·全国·课后作业）记方程的解构成的集合为，若，试写出集合中的所有元素． 【答案】 【分析】先由题意得是的解，代入求得，再将代回方程解之即可. 【详解】因为，所以，解得． 解方程，即，得或． 故M含有两个元素． 【变式训练4 根据元素与集合的关系求参数】 1．（2023高二上·新疆·学业考试）数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据集合的互异性即可得结果. 【详解】由集合的互异性可得，即， 所以不能取的数值的集合是， 故选：D. 2．（23-24高一·全国·课后作业）由，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可. 【详解】对A，当时，，，不满足题意； 对B，当时，，不满足题意； 对C，当时，，，满足题意； 对D，当时，，不满足题意； 故选：C 3．（23-24高一上·山西太原·期中）已知集合，若，则实数值为 . 【答案】-1 【分析】由题意分析元素与集合的关系，分别讨论和再根据元素互异性排除从而求得值. 【详解】由题意可知或，当时，.与互异性矛盾，当时，符合题意（舍）. 故答案为：-1. 4．（22-23高一上·重庆万州·期中）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】1或2 【分析】分别讨论或,并根据元素的互异性检验即可 【详解】因为集合，且， 所以或，解得或， 当，集合，满足题意； 当，集合，满足题意； 故答案为：1或2 5．（23-24高一上·天津静海·阶段练习）若求实数a的值． 【答案】． 【分析】由，分别等于求得，并检验可得． 【详解】由题意，则，此时不合题意， ，解得或，其中不合题意， 时，，满足题意， 所以． 【变式训练5 利用元素的互异性求参数】 1．（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）设集合，，集合，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据描述法理解求解集合. 【详解】当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 所以，中所有元素之和为7. 故选：C. 2．（23-24高一·全国·专题练习）设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】D 【分析】先依据集合A限制条件判定其为是有限集；再依据集合B限制条件判定其为无限集，进而得到正确答案. 【详解】集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个． 所以为有限集． 集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个， 所以为无限集． 故选：D． 3．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）用描述法表示如图中阴影部分的点（含边界）的集合： ． 【答案】 【分析】根据区域内点的特征，利用描述法表示即可. 【详解】依题意图中阴影部分的点（含边界）的集合为. 故答案为： 4．（22-23高一·全国·随堂练习）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 . 【答案】 【分析】用描述法表示集合即可. 【详解】由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 故答案为：. 5．（22-23高一·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)大于1的所有偶数组成的集合； (2)不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出偶数，即可表示大于1的所有偶数组成的集合； （2）解不等式，即可求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意， 设大于1的偶数为x，并且满足条件 ，，. 因此，这个集合表示为：. （2）由题意， ，解得， ∴不等式的解集为：. 【变式训练6 描述法表示集合】 1．（23-24高一上·湖北·阶段练习）一次函数与的图象交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立两函数方程求出交点，用点的集合表示即可. 【详解】因为，解得， 所以两函数图象交点组成的集合为. 故选：C. 2．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据，求得的所有取值，从而得解. 【详解】因为集合，， 当时，； 当时，的取值为； 当时，的取值为； 所以， 则中元素的个数是. 故选：C. 3．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 【答案】 【分析】根据题意可知为的约数，求得的取值，用列举法表示集合即可. 【详解】由可知为的约数，所以， 因为，所以，此时， 集合为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·全国·期末）定义运算，若集合，则 . 【答案】 【分析】根据给定运算，利用列举法计算即得. 【详解】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 5．（22-23高一·全国·课堂例题）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于13的所有偶数组成的集合； (2)由1~15以内的所有质数组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找出大于1且小于13的所有偶数，即可用列举法表示出集合； （2）找出1~15以内的所有质数，即可用列举法表示出集合. 【详解】（1）由题意， 设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为A， ∴. （2）由题意， 设由1~15以内的所有质数组成的集合为B， ∴. 【变式训练7 列举法表示集合】 1．（23-24高一上·安徽宣城·阶段练习）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出集合A，进一步得到m的范围. 【详解】由题意可知，可得. 故选：D 2．（23-24高一上·北京·期中）若关于x的方程的解集中只有一个元素，则实数a的所有取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论或，使方程的根只有一个，即可求解. 【详解】解：时，，解集中只有一个元素，故符合题意， 时，，解得：，故符合题意， 故选：D. 3．（23-24高一上·西藏林芝·期末）集合中只有一个元素，则实数的值是 . 【答案】 【分析】根据已知条件可得出，即可解得实数的值. 【详解】因为集合中只有一个元素， 则，解得. 故答案为：. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合中的元素满足：，且，又集合中恰有三个元素，则整数 ，集合中的元素是 ． 【答案】 6 3，4，5 【分析】根据集合元素的特征和的范围可得，进而可得集合的元素. 【详解】由题意知， 又，，且集合P中恰有三个元素，所以， 此时集合P中的元素是3，4，5． 故答案为：6；3，4，5. 5．（2014高三·全国·专题练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 【答案】(1) (2)的值为或，当时，当时 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）A中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根； （3）A中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合； （3）由可知，当中至多有一个元素时，或， 的取值范围为：. 【变式训练8 根据集合中元素的个数求参数】 1．（22-23高三下·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则集合中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合交集的定义与运算，求得集合，由此得出集合中的元素个数. 【详解】因为结合， 根据集合交集的运算，可得， 所以集合中元素的个数为3个. 故选：C. 2．（22-23高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知集合，，则中所含元素的个数为（    ） A．6 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】列举法分类列出B中所有元素. 【详解】B中元素： x=1，y=2，3，4，5 即：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5） x=2，y=1，3，4，5 即：（2，1）、（2，3）、（2，4）、（2，5） x=3，y=1，2，4，5 即：（3，1）、（3，2）、（3，4）、（3，5） x=4，y=1，2，3，5 即：（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，5） x=5，y=1，2，3，4 即：（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4） 所以B中元素共有20个. 故选：D. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为 . 【答案】 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以当时，由， 当时，由， 时，，不满足 综上所述：中元素的个数为， 故答案为： 4．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合，，则中所含的元素个数为 ． 【答案】 【分析】采用列举法表示出集合，由此可得元素个数. 【详解】， ， 中共有个元素. 故答案为：. 5．（23-24高一·全国·课后作业）已知a，，求使关于x的方程有实数解得有序实数对的个数． 【答案】13 【分析】分a＝0和a≠0两种情况情况讨论一次方程和二次方程根的个数﹒ 【详解】①当时，b可以取值－1、0、1、2，方程是一次方程，此时方程均有解； ②当时，方程是二次方程，有解则，即， 若时，b可以取值－1、0、1、2； 若时，b可以取值－1、0、1； 若时，b可以取值－1，0． 故满足条件的有序实数对共有13个﹒ 【变式训练9 列举法求集中元素的个数】 1．（23-24·重庆·模拟预测）已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件分析a，b取值即可判断作答. 【详解】集合，， 则当时，有，当时，或，当时，或， 所以，集合B有中5个元素. 故选：A 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 【答案】C 【分析】根据或，求出，保留符合元素互异性的值即可. 【详解】 若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，即（舍去）或时，， 故. 故选：C. 3．（23-24高三上·吉林·阶段练习）设集合，，且，中有唯一的公共元素9，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】先通过已知可得或，解方程求出，然后带入集合验证，满足互异性即可. 【详解】∵，，且，中有唯一的公共元素9， ∴或． 当时，，此时，，，中还有公共元素，不符合题意； 当时，，若，，集合违背互异性． 若， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合中元素的互异性，是基础题. 4．（23-24高一上·河北石家庄·期末）集合，，若，则 ． 【答案】 【解析】根据集合的互异性原则,可知.令,再由集合的互异性及可得,即可解方程求得的值,进而求得的值. 【详解】因为,,且 因为在集合A与集合B中,是等价的 所以由可知, 不妨设 则, 而由可知 由集合互异性和集合可知 所以 而 所以解得,,或 根据集合互异性可知或符合要求 即此时 故答案为: 【点睛】本题考查了集合互异性原则的应用,属于基础题. 5．（23-24高一·全国·课后作业）设，，已知，，求的值． 【答案】且且且 【分析】根据，结合集合元素的互异性求得参数a的取值. 【详解】由知，，即， 解得且 又集合元素具有互异性，知，即 解得且 综上所述，a的取值为且且且 【变式训练10 集合元素互异性的应用】 1．（22-23高二下·河南焦作·期末）有下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是空集；②集合有两个元素； ③若，则；④集合是有限集. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系判断． 【详解】对于①，{0}中有一个元素0，不是空集，不正确； 对于②，解，得，所以，因此集合只有一个元素，不正确； 对于③，当时，且，不正确； 对于④，集合是有限集，正确. 故选：B. 2．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．0与的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合是有限集 D．方程的解集只有一个元素 【答案】D 【分析】根据集合的定义及性质判断A、B的正误，由集合的描述及有限集的定义判断C的正误，求方程的解即可判断D的正误. 【详解】A：0是元素，表示集合，故意义不同，错误； B：“文明市民”的描述不够明确，不符合集合元素的确定性，不能组成集合，错误； C：且在坐标系中有无数个对应点，故不是有限集，错误； D：，其解集为，只有一个元素，正确. 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课前预习）集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 【答案】 有限集 无限集 空集 【分析】略 【详解】略 4．（23-24高一·全国·课后作业）判断下列集合是有限集还是无限集． （1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合； （2）所有正方形组成的集合； （3）直线上的所有点组合的集合； （4）不大于9的所有非负整数组成的集合． 【答案】 有限集 无限集 无限集 有限集 【分析】根据集合的元素一一判断即可； 【详解】解：（1）年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人只有有限个，故年龄超过60岁且户籍所在地为上海的人组成的集合为有限集； （2）正方形有无数多个，故所有正方形组成的集合为无限集； （3）直线上有无数个点，故直线上的所有点组合的集合为无限集； （4）不大于9的所有非负整数组成的集合，故不大于9的所有非负整数组成的集合为有限集； 故答案为：有限集；无限集；无限集；有限集； 5．（23-24高一·江苏·课后作业）判断下列集合是有限集还是无限集： （1）； （2）； （3）（A，B为平面上两个不同的定点，P为动点）. 【答案】（1）有限集；（2）无限集；（3）无限集. 【分析】（1）由已知得可得出集合A中的元素，由此可得结论； （2）由已知得该集合的元素有，由此可得结论； （3）由表示线段AB上的点组成的集合可得结论. 【详解】解：（1）因为 所以集合A中的元素为，所以集合A是有限集； （2）因为中的元素有无限个元素，所以集合是无限集； （3）因为表示线段AB上的点组成的集合，线段AB上有无数个点，所以集合为无限集. 1．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为. 故选：B. 3．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则B中元素的最小值为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，， 所以B中元素的最小值为. 故选：A 4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得． 故选：A 5．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的定义可得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：A. 6．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知集合，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故答案为：. 7．（23-24高二下·天津河西·期中）含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则 ． 【答案】1 【分析】利用相等集合的元素关系，即可求解. 【详解】因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为， 所以，，即， 则，即或， 当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾， 故，， . 故答案为：1． 8．（24-25高一上·全国·课前预习）区间的概念与表示 （1）设a，b是两个实数，且a<b，则集合{x|a≤x≤b}也可以用符号 表示，其他类似情况如表，两表中表示集合的符号都称为区间， 定义 符号 数轴表示 （2）这里的实数a，b称为区间的端点，[a，b]称为 ，（a，b）称为 ，[a，b），（a，b]称为 区间，在数轴上表示区间时，用实心点表示属于区间的端点，用空心点表示不属于区间的端点. 定义 符号 数轴表示 【答案】 全闭区间 全开区间 半开半闭区间 【分析】略 【详解】略 9．（2024·山东菏泽·二模）已知，集合．则集合中所有元素之和为 ． 【答案】5 【分析】根据题意，求出，即可得集合中所有元素之和． 【详解】由题意，得， 则集合中所有元素之和为. 故答案为：5 10．（2023高一·全国·竞赛）定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【答案】26 【分析】根据定义得到，求出答案. 【详解】． 故答案为：26 11．（23-24高一上·新疆·期中）用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据描述法的书写格式作答即可. 【详解】（1）解不等式得， 所以，原不等式的解集用描述法表示为. （2）所有的偶数组成的集合为. 12．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可. 【详解】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 13．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)二次函数的函数值组成的集合； (2)反比例函数的自变量组成的集合； (3)不等式的解集 (4)绝对值小于0的所有实数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次函数的性质，结合值域的定义，可得答案； （2）根据反比例函数的性质，结合值域的定义，可得答案； （3）利用一元不等式的求解，结合解集的表示，可得答案； （4）根据绝对值的定义，可得答案. 【详解】（1）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为. （2）反比例函数的自变量为x ∴反比例函数的自变量组成的集合为. （3）由，得，∴不等式的解集为. （4）不存在绝对值小于0的实数，集合为或用描述法表示为. 14．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知集合A中含有三个元素1，0，x，若，求实数x的值． 【答案】 【分析】利用集合的互异性确定的范围，再由给定元素与集合A的关系列式求解即得. 【详解】依题意，且，于是，并且， 由，得，解得， 所以实数x的值为. 15．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$