第06讲 二次函数7种综合问题【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第06讲 二次函数综合 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点精准练 模块四 小试牛刀过关测 1. 初步学会由点的坐标表示线段长，由特殊几何特征转化为线段的数量关系，进而列方程解决问题； 2. 通过具体二次函数动态几何存在性问题的分析，发展分析问题和解决问题的能力，体会类题通法； 3. 初步学会这一类二次函数综合题的解题思路及解题步骤。 二次函数中与几何图形有关的存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：二次函数与角度相关，二次函数中三角形面积最大，二次函数对称轴上一点到两点之间距离和最小或差最大模型，二次函数中与直角（等腰）三角形、相似（全等）三角形、平行四边形及特殊的平行四边形等． 模块三 核心考点精准练 考点一： 二次函数与线段长度综合 例1. 已知抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且抛物线与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．解方程得，，抛物线的对称轴为直线，，连接交直线于，如图，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，再根据点E的横坐标是1，即可得解． 【详解】 解：当时，，解得，， 则，，抛物线的对称轴为直线， 当时，，则， 连接交直线于，如图，则此时的值最小， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，，则， 故答案为：． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】先求出，，，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，证明四边形是正方形，且，即有点O与点T关于直线对称，则有，当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为，问题随之得解． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴； 当时，， 解得：，， ∴，， ∴，； 过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两线交于点T，连接，如图， ∴，， ∵，， ∴四边形是正方形，且， ∴点O与点T关于直线对称， ∴， ∴， ∴当A、P、T三点共线时最小，即最小，最小值为， ∵，， ∴的最小值， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形是正方形，且，得出点O与点T关于直线对称，是解题的关键． 考点二、二次函数与图形面积综合 例2．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)的最大面积为，此时E点坐标为 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，列图形面积的函数关系式，利用二次函数的性质求解面积的最大值，掌握利用二次函数的性质求解最值是解题的关键． （1）把，代入，利用待定系数法求解即可； （2）如图，过作轴交于，首先利用待定系数法求出直线的解析式为，求解，设，则，利用三角形的面积公式得到，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）把，代入得： 解得： 抛物线的解析式为：； （2）如图，过作轴交于，    设过，的直线为： 解得： 直线解析式为 当，则 解得：， 而 设，则 所以当时，的面积最大， 最大面积为： 此时：． ∴． 变式2-1．如图，抛物线交x轴于，，交y轴于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是该抛物线对称轴上一点，且的周长最小，求点E的坐标； (3)直线下方的抛物线上是否存在一点F，使得的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，点F的坐标为 【分析】此题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，三角形周长和面积最大问题， （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，首先求出对称轴为，然后得到当点A，E，C三点共线时，的周长最小，此时点E在直线上，然后求出直线的函数表达式为，将代入求解即可； （3）如图所示，过F作y轴的平行线，交于点D，设点F的坐标为，则，然后表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴将，，代入得， ， 解得， ∴； （2）如图所示，连接， ∵， ∴抛物线的对称轴l是直线， ∵点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴的周长， ∴当点A，E，C三点共线时，的周长最小， ∴此时点E在直线上， 设直线的函数表达式为， 将，，代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入， ∴点E的坐标为； （3）存在． 如图所示，过F作y轴的平行线，交于点D， 设点F的坐标为，则， ∴， ， 当时，的面积最大，此时， 点F的坐标为． 考点三：二次函数与角度综合 例3．如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，交y轴于点 C，点D在抛物线上，且点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为第一象限点D右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接、，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作轴于E，连接，并延长交于点F，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将将代入即可求解； （2）利用即可求解； （3）连接并延长交、于、,利用，证，得出，过点作，交轴于点，先证，再证，得，求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）由点的横坐标为m， 则点坐标为， 当时， 解得：，， 即，， 则， 则， 即； （3）连接并延长交、于、， ∵，， ∴轴， ∵轴， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，交轴于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍）， 代入，得：， 故． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法，二次函数与三角形面积，三角形全等的判定与性质，一元二次方程，矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 变式3-1．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 考点四：二次函数与直角三角形综合 例4．如图，已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于轴上的点，抛物线与轴只有唯一的交点，且．设直线与抛物线的另一个交点为点，已知点为轴上的一个动点，且为直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，先求出，，再根据题意得到点C即为抛物线的顶点，则抛物线解析式为，利用待定系数法求出抛物线解析式为，进而求出点D的坐标，设，则，，，再分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与轴只有唯一的交点， ∴点C即为抛物线的顶点， ∴抛物线解析式为， 把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 设， ∴，， ， 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 整理得，此时方程无解； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或． 变式4-1．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，,根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设，， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为 考点五：二次函数与等腰三角形综合 例5．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点关于抛物线对称轴的对称点为，连接．若点在的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰三角形时，点的坐标为 ．    【答案】，或 【分析】根据函数解析式求出点B、C的坐标和对称轴，然后分，和三种情况，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：当时，， ∴， 令，则，解得，， ∴，， ∵， ∴对称轴为， ∵点关于抛物线对称轴的对称点为， ∴， 设点， 当时， 则， 解得：或（舍去） ∴点，    当时，如图，则    ， 解得：或（舍去）， 点， 当时，如图，则    ， 解得， ∴点， 综上所述，点的坐标为，或， 故答案为：，或． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 变式5-1．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是，抛物线的对称轴交轴于点，连接．点是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点的纵坐标是 ． 【答案】4或或 【分析】利用待定系数法求出函数关系式，再分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求出点坐标即可； 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点，， ，，， ， 当时，则， 解得：（舍去）或4， 即点的坐标为，， 当时，， 解得：， 综上所述，满足条件的点纵坐标为4或 【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，题目综合性较强，属于中考压轴题． 考点六：二次函数与平行四边形综合 例6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； ②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①； (3)存在；点的坐标为或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）①过点作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，则；当最大时，有最大值；设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质，即可；②根据函数解析式，求出点的坐标，则对称轴为：，设点，根据两点间的距离公式，即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）过点作于点，过点作轴交于点， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∴当最大时，有最大值， 设的解析式为， ∴， ∴， 解得：， ∴设的解析式为， 设点且， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴； ②∵， ∴点， ∵点， ∴对称轴为：， 设点， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴．    （3）存在，理由如下： 由（2）得，对称轴为； 设点，， ①当为平行四边形的对角线时 ∴， 解得：， ∴点，； ②当为平行四边形的对角线时； ∴， 解得：， ∴点，； ③当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得：， ∴点，；      综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的几何变换，平行四边形的判定和性质，学会使用数形结合的方法． 变式6-1．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的个数为（    ） ①线段AC的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有3个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质．求出，坐标代入距离公式判断①；根据对称轴判断②；求出解析式得到的值最大时点的坐标为判断③；将边看成平行四边形的一边有3种情况，看成对角线有1种情况，共4种判断④． 【详解】解：①在二次函数中，令，得，令，则，解得，或， ，， ，故①正确； ②在二次函数中，对称轴为，故②正确； ③连接交对称轴为点，此时的值最大， ，设直线的解析式为：，则： ，解得， 直线的解析式为：，令，， 当点的坐标为时，的值最大．故③错误； ④若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，当为边时，共有三个平行四边形； 当为对角线时，共有1个平行四边形． 符合条件的点有4个，故④错误． 故选：C． 变式6-2．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中O为坐标原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18，C为线段的中点，P为直线上的一个动点，连接、，将沿翻折，点A的对应点为．若以、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为 ． 【答案】或， 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为，过点作轴于点，过点作延长线于点，设点，利用，求得的值，得到，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而设，然后分两种情况讨论：①当是平行四边形对角线时；②当是平行四边形对角线时，利用平行四边形的性质，折叠的性质，以及坐标两点的距离公式，分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， ， ， 将代入，得：， 联立①②，解得：， 抛物线解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作延长线于点， 设点， ，，，， 的面积为18， ， 解得：，， 点B在第一象限内， ，则， ， C为线段的中点， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， P为直线上的一个动点， 设， ①如图，当是平行四边形对角线时， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 整理得：， ， 点P的横坐标为； ②如图，当是平行四边形对角线时， 四边形是平行四边形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， 整理得：， ， 点P的横坐标为， 综上可知，点P的横坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行四边形的面积，坐标两点的距离公式等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 考点七：二次函数与菱形综合 例7．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，而，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 又过， 则， 则． 即， 即； （2）解：如图1，过点作轴于点，交于点，作 于点，连接、， 、， 则，， 由点、的坐标得，直线解析式为， ，， ． ， 又， ． ， 则， 当 时，； （3）解：存在，理由： 设点、点， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：； 当或为对角线，由中点坐标公式和或得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：，或； 综上，或或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式；结合对称点解决线段和最小问题；熟悉等腰直角三角形的性质，并应用于点的存在的研究；熟悉菱形的性质，并运用于菱形顶点的存在性研究是解决此题的关键． 变式7-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． （1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出，的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【详解】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，   过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或； 模块四 小试牛刀过关测 1．抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点． (1)求的坐标； (2)若对任意的实数，且当取其范围中的最小值时，代数式的值都不大于． 求出抛物线的解析式； 点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点做轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形，当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)点； (2)抛物线的解析式为； 或． 【分析】（）由得抛物线的对称轴为，再利用即可求解； （）由过，得，则设的值都不大于，，则，求出，因此对任意的实数都成立时取其范围中的最小值，故抛物线的解析式为； 由当点在上方时且在轴左侧时和当点在下方时且在轴右侧时两种情况讨论即可； 本题考查了二次函数的图象及性质和与特殊四边形的关系，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∴，即， 解得：， ∴点； （2）∵过， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∵代数式的值都不大于， ∴， ∵，即， ∴， ∴对任意的实数都成立时，， ∴取其范围中的最小值， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线的解析式为， ∴，，， 如图，当点在上方时且在轴左侧时， ∴解得：， 如图，当点在下方时且在轴右侧时， ∴，解得：， 综上可知：或． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为和，抛物线经过点和点． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)将沿轴向左平移得到，使得四边形是菱形，试判断点、点是否在该抛物线上． (3)在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出此时的最大面积． 【答案】(1) (2)点、点均在该抛物线上 (3)；9 【分析】（1）将点和点代入抛物线，求出、的值即可得到抛物线对应的函数解析式； （2）由坐标两点距离公式可得，再根据菱形的性质，得到，进而得出点、点的坐标，即可求解； （3）利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，设过点且平行于的直线的解析式为，联立直线与抛物线，得到关于的一元二次方程，在利用一元二次方程根的判别式，得出当时，过点的直线与抛物线只有一个交点，点到距离最大，的面积最大，进而得出点的坐标，然后根据的最大面积，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线可得： ，解得：， 抛物线对应的函数解析式为； （2）解：点、点均在该抛物线上，理由如下： ，， ． ∵四边形是菱形， ， ，， ． 当时，； 当时，． ∴点、点均在该抛物线上． （3）解：设直线的解析式为． ∵直线经过点和点， ，解得， ∴直线的解析式为． 是定值， ∴要使的面积最大，则当点到距离最大时，面积最大， 如图，过点作轴，垂足为点， 设过点且平行于的直线的解析式为， 联立方程组，得， 消去，整理得． 当直线与抛物线在点处相切时， ，解得， 此时方程有两个相等的实数根， 此时过点的直线与抛物线只有一个交点，点到距离最大，的面积最大， ∴当时，， ∴点的坐标为， 的最大面积 ． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 3．已知二次函数的图象经过，，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点，若，求的最大值． 【答案】(1) (2)① 【分析】（1）用待定系数法解题即可； （2）①先求出直线的解析式，过点P作轴交于点E，设P点的横坐标为x，则表示的长，根据解题即可；②过点P作轴交于点M，设P点的横坐标为x，表示的长，利用解题． 【详解】（1）解：把，代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①当时，， ∴， 设的解析式为，代入得： ，解得 ∴ 如图，过点P作轴交于点E， 设P点的横坐标为x，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大为； ②如图，过点P作轴交于点M， 设P点的横坐标为x，则，， ∴， ∵轴 ∴ ∴ ∴当时，最大，最大为． 【点睛】本题考查二次函数的解析式、图象和性质，掌握二次函数求最值的方法是解题的关键． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图： 由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图： 此时； ②当在第一象限，在第四象限时， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图： 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 5．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)最大值为 (4)存在， 【分析】（1）先由题意得出的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点， ∴ 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时， ∴, （2）解：∵ ∴ ∴ ∵点为抛物线上一点，且 设， ∴ ∵ ∴ ∵为顶点， ∴ ∴ 解得： ∴或 （3）解：设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 设，则 ∴ 当时，线段的最大值为 （4）存在， ∵抛物线对称轴为直线，设，，又 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：； ∴ ∴ 当为对角线时， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴ 当为矩形的对角线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：或； ∴或； ∴ 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，特殊四边形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本小题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等． （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 7．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案； （3）过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，利用抛物线和直线解析式表示点D和点E，求得的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元二次函数，求该函数的最值即可解得答案； 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为将点，代入得， 解得，则，当时，， 故当的值最小时，点； （3）解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图， 设点，则点，得， ， ∵， ∴当时，， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次函数综合 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点精准练 模块四 小试牛刀过关测 1. 初步学会由点的坐标表示线段长，由特殊几何特征转化为线段的数量关系，进而列方程解决问题； 2. 通过具体二次函数动态几何存在性问题的分析，发展分析问题和解决问题的能力，体会类题通法； 3. 初步学会这一类二次函数综合题的解题思路及解题步骤。 二次函数中与几何图形有关的存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：二次函数与角度相关，二次函数中三角形面积最大，二次函数对称轴上一点到两点之间距离和最小或差最大模型，二次函数中与直角（等腰）三角形、相似（全等）三角形、平行四边形及特殊的平行四边形等． 模块三 核心考点精准练 考点一： 二次函数与线段长度综合 例1. 已知抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且抛物线与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，点E的坐标为 ． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在线段上，则的最小值是 ． 考点二、二次函数与图形面积综合 例2．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及E点的坐标． 变式2-1．如图，抛物线交x轴于，，交y轴于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是该抛物线对称轴上一点，且的周长最小，求点E的坐标； (3)直线下方的抛物线上是否存在一点F，使得的面积最大？如果不存在，说明理由；如果存在，求点F的坐标． 考点三：二次函数与角度综合 例3．如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，交y轴于点 C，点D在抛物线上，且点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为第一象限点D右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接、，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作轴于E，连接，并延长交于点F，若，求点P的坐标． 变式3-1．如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 考点四：二次函数与直角三角形综合 例4．如图，已知直线与轴相交于点，与抛物线相交于轴上的点，抛物线与轴只有唯一的交点，且．设直线与抛物线的另一个交点为点，已知点为轴上的一个动点，且为直角三角形，则点的坐标为 ． 变式4-1．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 考点五：二次函数与等腰三角形综合 例5．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点关于抛物线对称轴的对称点为，连接．若点在的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰三角形时，点的坐标为 ．    变式5-1．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标是，点的坐标是，抛物线的对称轴交轴于点，连接．点是抛物线的对称轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形，则点的纵坐标是 ． 考点六：二次函数与平行四边形综合 例6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； ②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-1．已知二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．下列说法正确的个数为（    ） ①线段AC的长度为；②抛物线的对称轴为直线；③P是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P点坐标为时，的值最大；④若M是x轴上的一个动点，N是此抛物线上的一个动点，如果以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M点有3个． A．4 B．3 C．2 D．1 变式6-2．如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中O为坐标原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18，C为线段的中点，P为直线上的一个动点，连接、，将沿翻折，点A的对应点为．若以、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，则点P的横坐标为 ． 考点七：二次函数与菱形综合 例7．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 变式7-1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 模块四 小试牛刀过关测 1．抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点． (1)求的坐标； (2)若对任意的实数，且当取其范围中的最小值时，代数式的值都不大于． 求出抛物线的解析式； 点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点做轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形，当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为和，抛物线经过点和点． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)将沿轴向左平移得到，使得四边形是菱形，试判断点、点是否在该抛物线上． (3)在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出此时的最大面积． 3．已知二次函数的图象经过，，与轴交于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点． ①求面积的最大值； ②连接交于点，若，求的最大值． 4．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．综合与探究 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点、两点，且点的坐标为，与轴交于点， (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，且，则点的坐标为______； (3)点为线段上任意一点，过点作轴于点，直线交抛物线于点，求线段的最大值； (4)点是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 7．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$