第15讲 直线与圆的位置关系（思维导图+3知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第15讲 直线与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征； 2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断； 3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等. 知识点 1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有共同点． 2、判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 知识点 2 直线与圆相交弦长 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为：． 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． 知识点 3 直线与圆相切 1、圆的切线的条数 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线． 2、过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程． 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可． 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程． 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 4、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为． 考点一：直线与圆的位置关系判断 例1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】C 【解析】圆，即， 其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆的位置关系为相切.故选：C 【变式1-1】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【解析】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·福建福州·期中）设，则直线l：与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交 【答案】C 【解析】直线可化为， 由可得，，所以直线恒过点. 又，即点在圆上， 所以，过点的直线与圆相交或相切.故选：C. 【变式1-3】（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】由点在圆外，可得， 求得圆心到直线的距离， 故直线和圆C相交，故选:A. 考点二：根据直线与圆的位置关系求参数 例2. （23-24高二下·河南·月考）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为.故选:C. 【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相交， 所以圆心到直线的距离， 即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：B. 【变式2-2】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知圆的圆心坐标为，半径为1. 因为直线与圆有公共点，所以直线与圆相切或相交， 所以圆心到直线的距离，解得. 其必要不充分条件是把的取值范围扩大， 所以选项中只有是的必要不充分条件.故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，， 又圆上恰有3个点到l的距离为1， 所以圆心到直线的距离等于半径减去1， 则圆心到直线l的距离为，解得.故选：D. 考点三：求圆的切线方程 例3. （23-24高二上·河北承德·月考）过点引圆的切线，其方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】根据题意，圆，即， 其圆心为，半径；过点引圆的切线， 若切线的斜率不存在，切线的方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设其斜率为，则有，即， 则有，解得，此时切线的方程为，即． 综上：切线的方程为和．故选：C． 【变式3-1】（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】将圆化为标准方程， 则圆心，， 当切线的斜率不存在时，切线的方程为， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为， 即， 由题意知，.解得. 此时切线的方程为. 综上，切线的方程为或.故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或故选：B 【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】已知过点的直线与圆相切， 将点代入圆恒成立， 则点在圆上．即过点的直线与圆相切的切线只有一条， 令过点的切线的方程为，即， 由此切线与平行，两直线的斜率相等且轴截距不等， 可得且； 由圆心到切线的距离等于圆的半径， 可得圆的半径，，即.故选：B． 考点四：与切线长有关的问题 例4. （23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【解析】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是.故选：A. 【变式4-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以点在圆外， 设圆心为，点为点，切点为， 圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 在中，，所以， 故， 由圆的切线的性质可得， 所以.故选：A. 【变式4-2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题意知，圆C：的圆心,半径， 因为与是圆C：的两条切线，所以， ,则， 当最小时，也最小, 又点是直线上一动点， 故圆心到直线的距离，为的最小值，此时， 则此时四边形的面积也最小，最小值为.故选：C. 【变式4-3】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 设，则， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故选：C. 考点五：切点弦及其方程应用 例5. （23-24高三上·云南曲靖·月考）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以．故选：B． 【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点． 因为,，则， 所以直线的方程为． 故答案为：. 【变式5-2】（22-23高三上·广东·开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得，所以直线的方程为. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高二上·江西上饶·期末）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 考点六：直线与圆相交弦问题 例6. （23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【解析】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为.故选：C． 【变式6-1】（23-24高二下·山西运城·开学考试）直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（    ） A．1：2 B．1：3 C．1：5 D．3：5 【答案】A 【解析】设直线与圆的两个交点为，圆心为，过点作交于, 如图所示 设，所以圆心到直线的距离为. 在中， 因为，所以， 由圆的性质知，， 所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比， 等于．故选：A. 【变式6-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线l的一个方程 ． 【答案】或（写出一个即可） 【解析】由题意，圆心到直线l的距离， 当直线l的斜率不存在时，方程为满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，则， 即，解得，此时直线l的方程为. 故答案为：或（写出一个即可） 【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ． 【答案】或 【解析】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，解得，此时直线：， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 考点七：过定点直线的最短弦长 例7. （23-24高二下·四川成都·月考）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线， 即，由，解得， 设，由于，所以在圆内， 圆的圆心为，半径，如图： 当时，最短，， 所以弦长的最小值为.故选：C 【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由得，圆心坐标是，半径是 直线：过定点，且在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由解得.故选:B. 【变式7-2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以点在圆内． 且圆的圆心为，半径为， 则，当时，取得最小值，且最小值为．故选：D 【变式7-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）过点的直线与圆交于，两点，则当弦长最短时的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径，记为点，， 即点在圆内，则当时，弦长最短， 此时， 所以的面积.故选：A 考点八：直线与半圆的相交问题 例8. （23-24高二下·上海·月考）已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围 . 【答案】或 【解析】因为曲线，所以， 解得，曲线可化为， 两边同时平方有，，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分， 而直线，所以直线的斜率为1，画图象如下： 由于直线与曲线只有一个公共点， 当直线过时，即，解得， 当直线过时，即，解得，由图象可知， 当直线与圆相切时：，解得或， 而即为在轴上的截距，由图象可知， 综上：或. 故答案为：或. 【变式8-1】（23-24高二下·重庆·月考）直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，直线过定点， 曲线是以为圆心，半径为1的半圆（如图所示）， 曲线的下端点为. 要使直线与曲线有两个交点，则直线应位于直线和切线之间（可以与重合）， 此时直线的斜率存在，且，即且圆心到直线的距离小于半径. 由得，由得，所以.故选：B. 【变式8-2】（23-24高二上·河南许昌·月考）直线与曲线有两个交点，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由曲线得，表示以原点为圆心，半径为1的半圆， 当直线与半圆相切时，，则， 此时直线为； 当直线过点时，，此时直线为， 要使直线与曲线有两个交点，则取值范围为.故选：C. 【变式8-3】（23-24高二上·四川南充·月考）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知直线过定点， 曲线是以为圆心，2为半径的圆的左半部分弧，， 作出它们的图形，如图， 直线的斜率为，当直线斜率不存在时，它与该半圆相切， 由图可知，它们有两个交点时，，故选：C． 一、单选题 1．（23-24高二上·天津滨海新·月考）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】圆：的圆心，半径， 故圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，故选：A 2．（23-24高二上·河南焦作·月考）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 【答案】A 【解析】方法一：直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线与圆相交.选A. 方法二：因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交.故选A. 方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x并整理，得， 则，所以直线与圆相交.故选A.故选：A. 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】圆的标准方程为,直线过圆心, 所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4.故选:B． 4．（23-24高二下·广东茂名·月考）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线.恒过定点， 圆的圆心为，半径为，且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.故选：D. 5．（22-23高二上·重庆北碚·月考）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆， 所以圆的圆心为，半径为， 因为与圆相切，切点为B， 所以，则， 因为， 所以.故选：B. 6．（23-34高二上·广东珠海·期末）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意画出图形，如图所示: 由题意可得，曲线的图象为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过， 由图当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得； 当直线过点时，直线的斜率， 则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的取值范围为.故选:C. 二、多选题 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【解析】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为2， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离，解得.故选：AB 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点的直线和圆：，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得最短弦长为 C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为 D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【解析】因为圆：，所以圆的圆心为，半径为4. 选项A：因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交，选项A正确； 选项B：设圆心到直线的距离为，弦长为，则， 又因为圆心到直线的最长距离， 所以，故选项B正确； 选项C：直线与被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 故，解得，故直线方程为， 综上满足题意的直线方程为或，故选项C不正确； 选项D：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个； 当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分， 由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线的距离为2， 那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2. 当圆心到直线的距离为时，此时圆心到直线的距离最大， 又因为半径为4，且，所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2， 所以不存在，所以选项D正确.故选：ABD. 三、填空题 9．（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 10．（21-22高二上·福建宁德·期中）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是 ． 【答案】 【解析】设切点分别为，因为点在圆上， 所以以为切点的切线方程分别为：， 而点在两条切线上，所以， 即点P满足直线. 故答案为：. 11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或，解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 四、解答题 12．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程： (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程. 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）据点可设直线方程为. 圆的方程可化为， 故点到所求直线的距离为，从而. 所以， 得. 这就说明或，所以所求直线的方程为或. （2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为， 所以该圆的方程是，即. 而该圆被直线截得的弦长为， 故该圆圆心到直线的距离为. 所以，解得. 故所求的圆的方程为或. 13．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知圆及内部一点，过点作倾斜角为的直线，与圆交于两点. (1)当时，求弦长； (2)当弦的长度最小时，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，则， 所以直线的方程为，即， 圆的标准方程为，即， 可得圆的圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 可得弦长为. （2）由圆的弦长公式，可得， 当圆心到直线的距离最大时，此时弦的长度最小， 即时，弦的长度最小， 因为，所以， 所以的方程为，即. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 直线与圆的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征； 2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断； 3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等. 知识点 1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有共同点． 2、判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． 知识点 2 直线与圆相交弦长 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为：． 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． 知识点 3 直线与圆相切 1、圆的切线的条数 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线． 2、过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程． 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可． 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程． 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． 4、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为 （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为． 考点一：直线与圆的位置关系判断 例1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【变式1-1】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【变式1-2】（23-24高二上·福建福州·期中）设，则直线l：与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交 【变式1-3】（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 考点二：根据直线与圆的位置关系求参数 例2. （23-24高二下·河南·月考）若直线与圆相切，则圆的半径为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点三：求圆的切线方程 例3. （23-24高二上·河北承德·月考）过点引圆的切线，其方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆，过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（    ） A．2 B． C． D． 考点四：与切线长有关的问题 例4. （23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【变式4-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知点是直线上一动点，与是圆C：的两条切线，M、N为切点，则四边形的最小面积为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【变式4-3】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点五：切点弦及其方程应用 例5. （23-24高三上·云南曲靖·月考）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【变式5-2】（22-23高三上·广东·开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为 ． 【变式5-3】（23-24高二上·江西上饶·期末）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 考点六：直线与圆相交弦问题 例6. （23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【变式6-1】（23-24高二下·山西运城·开学考试）直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（    ） A．1：2 B．1：3 C．1：5 D．3：5 【变式6-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线l的一个方程 ． 【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ． 考点七：过定点直线的最短弦长 例7. （23-24高二下·四川成都·月考）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【变式7-2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）过点的直线与圆交于，两点，则当弦长最短时的面积为（    ） A． B． C． D． 考点八：直线与半圆的相交问题 例8. （23-24高二下·上海·月考）已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围 . 【变式8-1】（23-24高二下·重庆·月考）直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·河南许昌·月考）直线与曲线有两个交点，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·四川南充·月考）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二上·天津滨海新·月考）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2．（23-24高二上·河南焦作·月考）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（23-24高二下·广东茂名·月考）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·重庆北碚·月考）过点作圆的一条切线，切点为B，则（    ） A．3 B． C． D． 6．（23-24高二上·广东株洲·期末）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点的直线和圆：，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得最短弦长为 C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为 D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2 三、填空题 9．（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 10．（21-22高二上·福建宁德·期中）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是 ． 11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 四、解答题 12．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程： (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程. 13．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知圆及内部一点，过点作倾斜角为的直线，与圆交于两点. (1)当时，求弦长； (2)当弦的长度最小时，求直线的方程. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$