11.1 三角形的高、中线与角平分线（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 第二课时 三角形的高、中线与角平分线 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 放、 靠、 过、 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画. 思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 情景导入 如图，线段AD是BC边上的高. 注意：标明垂直的记号和垂足的字母. B A C 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高. D 1.三角形的高 新知探究 探究角度1：锐角三角形的三条高 问题3 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 问题4 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 交流探究 A B C E F D 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; (2) AC边上的高是 ; A B C (1) 画出直角三角形的三条高, AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 探究角度2：直角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条 高吗？ A B C D E F (2) AC边上的高呢？ AB边上呢？ BC边上呢？ BF CE AD 探究角度3：钝角三角形的三条高 A B C D F (3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高 不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形的三条高所在直线交于一点. 三条高所在直线的 交点的位置 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 概念归纳 例1.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 典例剖析 1.在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是( ) A B C D A D C B A D C B A D C B A D C B C 练一练 例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 典例剖析 2.如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3，AB=6时，求AB边上的高的长度. 解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC. (2)设AB边上的高为x， ∵S△ABC= BC·AE= AB·x ∴BC·AE=AB·x，8×3=6x 解得x=4. 练一练 例3.如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°， ∴∠B＝50°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 典例剖析 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median). AE是BC边上的中线. 三角形的“中线” B A C A E 2.三角形的中线 新知探究 几何语言：BE =EC = BC． (1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线. 你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系? 三条中线， 交于一点 议一议 如图，三角形的三条中线相交于一点.三角形三 条中线的交点叫做三角形的重心. B A C D E F · 取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心. 例4.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________. 提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差. 7cm 典例剖析 例 5 如图所示，AD 是△ABC 的中线，已知△ABD 的周长为25cm，AB 比AC 长6 cm，则△ACD 的周长为(　　) A.19 cm　 B.22 cm　 C.25 cm 　D.31 cm 解：∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD =CD， ∴△ABD 和△ACD 周长的差 =(AB +BD +AD )–( AC +CD +AD )=AB –AC. ∵△ABD 的周长为25 cm，AB 比AC 长6 cm， ∴△ACD 的周长为25–6=19(cm). A 典例剖析 　3.如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． (1)AC = AE ，AE=_____； CD = ； AF = AB； (2)若S△ABC = 12 cm2， 则S△ABD = ． (3)若AB=4，AC=3，则△ABD的周长与△ACD的周长之差是___. 2 BD 6 cm² A B C D E F G EC 1 练一练 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫做三角形的中线. 2.三角形的重心：三角形三条中线的交点. 3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部. 4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图：AD为中线，则S△ABD=S△ACD. 5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.△ABD的周长–△ACD的周长=AB–AC. 概念归纳 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗? 3.三角形的角平分线 新知探究 B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. A B C A D 三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是一条线段. ∠1=∠2 概念归纳 几何语言：∠1=∠2= ∠BAC 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角 形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系 ? 做一做 三角形的三条角平分线交于同一点. 三角形角平分线的性质 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中， ∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－36°－34°＝110°. 例6.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. A B D C 典例剖析 4.如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则： ∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB = 2 . A B C D E F 1 2 3 4 1 2 3 4 ∠2 ∠ABC ∠4 练一练 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= ½BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC 总结归纳 5.在直角三角形中，有两条高是它的________，另一条高在这个三角形的________．锐角三角形的三条高的交点在______________，直角三角形的三条高的交点在____________________，钝角三角形的三条高所在直线的交点在_______________． 直角边 内部 三角形的内部 两直角边的交点处 三角形的外部 练一练 6.如图，AD, BE, CF是△ ABC的三条角平分线，则∠1+ ∠2 + ∠3=_____. 90° B C ︶ ︶ 1 2 D E F A ︶ 3 7.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　) A．形状相同的三角形 　 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 　 D．周长相等的三角形 B 练一练 8.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是(　　) A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．不能确定 A 9．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 练一练 10．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 练一练 11.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有 （ ） （ A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 12.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边上的高 ( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D B D 练一练 13.填空： （1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE= ＿＿ (2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______. 图① 图② AF DC ∠2 2∠4 AC ∠ABC 练一练 课本练习 1.如图，（1）（2）和（3）中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ 解： （1）中∠B为锐角，（2）中∠ABC为直角，（3）中∠ABC为钝角. （1）中 AD在三角形的内部，（2）中 AD 是三角形的边，（3）中AD 在三角形外部. 课本练习 2.填空 如下页图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． （1）AB =2 BD = ； AE = ； （2）如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则： ∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB =2 . ∠2 AF（或BE） DC ∠ABC ∠4或∠ACF AC 课本练习 作垂线 垂足 线段 D 分层练习-基础 分层练习-基础 顶点 对边 对边 ADC 分层练习-基础 分层练习-基础 平分线 对边 顶点与对边交点 线段 D 分层练习-基础 D D 分层练习-巩固 B 分层练习-巩固 AB 高 ABC 角平分 AC 中 1∶2 BD∶BC 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 A 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 课堂小结 知识点一：三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边 ，顶点和 间的 叫做三角形的高． 1．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是(　　) 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)画出AB边上的高CD； (2)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB边上的高CD的长． 解：(1)画图略； (2)∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CD，∴3×4＝5CD，∴CD＝2.4. 知识点二：三角形的中线 在三角形中，连接一个 和它的 的中点的线段叫做三角形的中线． 3．如图所示，在△ABC中，BD＝DE＝EC，则AD、AE分别是△ 、△ 的中线． 4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长． 解：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD.∵△ADC的周长－△ABD的周长＝5，∴AC－AB＝5.又AB＋AC＝11，∴AC＝8.即AC的长是8cm. 知识点三：三角形的角平分线 三角形的一个角的 与这个角的 相交，连接 的 叫做三角形的角平分线． 5．如图所示，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　　) A．AD是△ABC的角平分线　　　 B．CE是△ACD的角平分线 C．∠3＝eq \f(1,2)∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 7．△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则有以下等式：①∠BAD＝∠CAD，②∠ABE＝∠CBE，③BD＝DC，④AE＝EC.其中正确的是(　　) A．①和②　 B．③和④　 C．①和④　 D．②和③ 8．(杭州中考)若线段AM、AN分别是△ABC的BC边上的高和中线，则(　　) A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN 9．下列说法正确的是(　　) ①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形的三条高都在三角形的内部． A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 10．如图，在△ABC中，当∠ADC＝90°时，CD是△ABC的边 上的 ；当∠1＝∠2时，AE是△ 的 线；当AF＝FC时，BF是△ABC的边 上的 线． 11．如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B、C重合)，连接AD.(1)当点D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ABC＝ ；(2)当点D是BC边上任意一点时，S△ABD∶S△ABC＝ (用图中已有线段表示)． 12．如图，在△ABC中，请作图： (1)过点A画出△ABC的一条角平分线； (2)画出△ABC中AC边上的中线； (3)画出△ABC中BC边上的高． 解：如图，AE是一条角平分线，BF是AC边上的中线，AD是BC边上的高. 13．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F.试问：EF是△BDE的角平分线吗？说明理由． 解：EF是△BDE的角平分线．理由如下：∵AD是角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD，∵EF∥AD，∴∠BEF＝∠BAD，∠FED＝∠EDA，又∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠CAD， ∴∠FED＝∠CAD＝∠BAD，∴∠BEF＝∠FED，∴EF是△BDE的角平分线． 14．如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长． 解：∵AD是△ABC的边BC的中线，∴BD＝CD，∴S△ABD＝S△ACD.∵S△ABD＝6，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝12.∴eq \f(1,2)·BC·3＝12，∴BC＝8. 15．如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝4cm2，求阴影部分的面积S△BEF. 解：∵D是边BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×4＝2cm2，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝eq \f(1,2)S△ABD＝1cm2，S△CDE＝eq \f(1,2)S△ACD＝1cm2，∴S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝2cm2，又∵F是CE的中点，∴S△BEF＝eq \f(1,2)S△BEC＝1cm2. 会识别三角形的高、中线与角平分线． 【例1】如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高．其中正确的个数为(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．0 【思路分析】由∠1＝∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①不正确；同样BE虽然经过△ABD边AD的中点G，但BE也不是△ABD内的线段，因此②也不正确；由于CH⊥AD于点H，由三角形高的定义知CH是△ACD边AD上的高，故③正确． 能解有高、中线的综合题． 【例2】如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°，试求： (1)AD的长； (2)△ABE的面积； (3)△ACE和△ABE的周长的差． 【思路分析】直角三角形的面积等于两直角边的长的积的一半，又等于斜边与斜边上高的积的一半，三角形的中线把三角形的面积等分． 【规范解答】(1)∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC＝eq \f(1,2)BC·AD，∴AB·AC＝BC·AD，即6×8＝10×AD，∴AD＝4.8(cm)； (2)S△ABE＝eq \f(1,2)BE·AD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)BC·AD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×10×4.8＝12(cm2)； (3)C△ACE－C△ABE＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2(cm). $$