专题1.11 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.11 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】一般形式：（其中是未知数，是已知数，）. 【知识点2】一元二次方程的解法： （1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. （2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【知识点3】一元二次方程的根的判别式： （1）当时方程有两个不相等的实数根； （2） 当时方程有两个相等的实数根； （3）当时方程没有实数根； （4）当时方程有两个实数根 【知识点4】一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则, . 【知识点5】实际问题与一元二次方程 （1）列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数） ③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一元二次方程及相关概念 【例1】（23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 【变式1】（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【变式2】（2023九年级上·江苏·专题练习）方程是关于的一元二次方程，则的值是　　 A．3 B． C． D．以上答案都不对 【题型2】选择合适（指定）的方法解一元二次方程 【例2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1) （用配方法） (2)（用公式法） 【变式2】（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2) 【题型3】配方法的应用 【例3】（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； （3）小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【变式1】（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【变式2】（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 【题型4】根的判别式 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·广西百色·期中）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【变式2】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）若实数x满足， 则＝ ． 【题型5】根与系数的关系与根的判别式综合 【例5】（2023·湖北孝感·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， （1）求的取值范围： （2）若，试求的值． 【变式1】（2022·湖北荆州·三模）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（    ） A．或4 B．4 C． D．或1 【变式2】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，，当k取到最小整数时，此时代数式的值为 ． 【题型6】实际问题与一元二次方程 【例6】（23-24八年级下·浙江金华·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【变式2】（2024·山西朔州·一模）为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 ．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【例2】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，若点在直线上，且为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（21-22九年级下·浙江·期末）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（    ） A． B． C．1 D．4 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.11 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】一般形式：（其中是未知数，是已知数，）. 【知识点2】一元二次方程的解法： （1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. （2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【知识点3】一元二次方程的根的判别式： （1）当时方程有两个不相等的实数根； （2） 当时方程有两个相等的实数根； （3）当时方程没有实数根； （4）当时方程有两个实数根 【知识点4】一元二次方程根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根，则, . 【知识点5】实际问题与一元二次方程 （1）列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 （2） 常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数） ③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一元二次方程及相关概念 【例1】（23-24九年级上·湖南·阶段练习）化简求值：，其中m是方程的根 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解的概念根据分式的混合运算法则把原式化简，根据一元二次方程的解的定义，得出代入计算即可． 解：原式， ， ， ． ∵m是方程的根， ∴ 即 ∴原式 【变式1】（2024·福建泉州·三模）若a是一元二次方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义得到，即，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 解：把代入，得，即， ， 故答案为6． 【变式2】（2023九年级上·江苏·专题练习）方程是关于的一元二次方程，则的值是　　 A．3 B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据关于的方程是一元二次方程，可得，，进一步求解即可． 解：根据题意，得，， 解得． 故选：B． 【点拨】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，特别要注意的条件． 【题型2】选择合适（指定）的方法解一元二次方程 【例2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法）； (2)（用配方法）； (3)（用求根公式法）； (4)（用因式分解法）. 【答案】(1)； (2)；(3)；(4) 【分析】（1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． （1）解： 开平方得，， ∴或， 解得； （2） 解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． （3） ∵， ∴， ∴， ∴； （4） 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得 【点拨】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． 【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1) （用配方法） (2)（用公式法） 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）配方法解方程即可；（2）公式法解方程即可． （1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）， ， ∴， ∴， ∴，． 【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1) ； (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可． （1）解：， 因式分解得，， ∴， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴，． 【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【题型3】配方法的应用 【例3】（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； （3）小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4； (2)4；(3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． （1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 【变式1】（23-24八年级下·四川眉山·期中）已知、是实数，，．则、的大小关系是（　　） A． B． C．＜ D．＞ 【答案】B 【分析】判断、的大小关系，把进行整理，判断结果的符号可得、的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大． 解：， ，， ， ， 故选：B 【变式2】（2024·山东滨州·一模）对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 【答案】方程没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式，计算方程根的判别式，判断其符号即可，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． ∵， ∴ ， ∴不论k为何值，，即， ∴方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根． 【题型4】根的判别式 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式． （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值． （1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根 ∴， 解得； （2）解：∵是方程的一个实数根，则，则， 则，即， 解得：（舍去）或． 故的值为． 【变式1】（23-24八年级下·广西百色·期中）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数之间的关系是解本题的关键．分情况①当，即时，②当，即时两种情况，前者是一元一次方程，必定有解，后者根据一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可． 解：①当，即时，原方程化为，解得：， 即符合题意； ②当，即时， 关于的方程有实数根， 且， 综上所述：m的取值范围是． 故选：D 【变式2】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）若实数x满足， 则＝ ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值．解题的关键是掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程．设，原方程化为，解这个一元二次方程，可得 的值是或，用判别式是非负数排除，得，最后整体代入求值即可． 解：设， ∵，即：， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 当时，即：， ∵， ∴此时无解，舍去； ∴， 故答案为：． 【题型5】根与系数的关系与根的判别式综合 【例5】（2023·湖北孝感·一模）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， （1）求的取值范围： （2）若，试求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键． （1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围； （2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k． （1）解：方程中， ，，， 由题意可知：， 解得：； （2）∵是关于x的一元二次方程的根， ∴，即， ∵， ∴，即：①． ∵②， 联立①②解得： ∴， 解得：． 【变式1】（2022·湖北荆州·三模）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为（    ） A．或4 B．4 C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的方程，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，．根据方程的两实数根的平方和为12，得△，，，然后根据列方程求解即可． 解：根据题意可知，该方程为， 方程的两实数根的平方和为12， ， ， 设两实数根为，，则，， ， 整理得：， 解得：，， ， ， 故选：C 【变式2】（23-24八年级下·浙江温州·期中）若关于x的一元二次方程的两根为，，当k取到最小整数时，此时代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，．也考查了根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围，可得，将代入方程得到，根据根与系数的关系得到即可． 解：方程有两个实数根， 根的判别式， 解得， 取到的最小整数为， 方程为， ． 故答案为：． 【题型6】实际问题与一元二次方程 【例6】（23-24八年级下·浙江金华·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【答案】(1)30，1050； (2)每件衬衫应降价20元；(3)无法达到，理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答． （2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 解：（1）根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）． 故答案为：30，1050； （2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （3）设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润无法达到 【变式1】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 【变式2】（2024·山西朔州·一模）为了喜迎元旦，某区筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块正方形的广场空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为6米，中间空白的面积为216平方米，若设正方形空地的边长为x米，则可列方程 ．    【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程． 解：根据题意，得， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出，把字母和数代入求出的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出的值． （1）解：， ∵有两个不相等的实数， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个根为，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 即：． 【点拨】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【例2】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，若点在直线上，且为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图像上的点的特征、等腰三角形的定义、解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．设，分、、三种情况，构建方程即可解决问题． 解：∵，， ∴， 设，如下图， ①当时时，点在线段的垂直平分线上， 此时； ②当时时，可有， 整理可得， ∵， ∴该方程无解，即不符合题意； ③当时，可有， 整理可得， 解得或， ∴ 或． 综上所述，满足条件的点有3个， 故选：B． 【例2】（21-22九年级下·浙江·期末）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程有正实数根与判别式的关系、一元二次方程根与系数的关系，由等式整理得到关于的方程，根据存在正实数，，求出的最大值即可；熟知这些知识点是关键． 解： 或① 或 解得，② 故的取值范围是： 的最大值是， 故选：A． 在和中， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ，， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得： (不合题意，舍去)， ． 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$