第08讲 命题与证明（1大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（沪科版）

第08讲 命题与证明（1大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 判断命题真假 题型三 举例说明假(真)命题 题型四 写出命题的题设与结论 题型五 写出命题的逆命题 题型六 定理与证明 题型七 互逆定理 题型八 举反例 题型九 反证法证明中的假设 题型十 用反证法证明命题 题型十一 以代数为背最的推理与论证 题型十二 逻辑推理与论证 知识点01 命题 1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。 2、命题分类 真命题：正确的命题 命题 假命题：错误的命题 3、互逆命题 原命题：如果p，那么q； 逆命题：如果q，那么p。 4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例。 （说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。） 【典型例题一 判断是否是命题】 1．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 2．（23-24七年级下·山东威海·期中）下列语句中，不是命题的是（  ） A．钝角大于直角 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．过点A作直线l的垂线，垂足为B D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形 3．（22-23七年级下·广东东莞·期中）“相等的角是对顶角”是命题． （判断对错） 4．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）（1）你能列举出一些学过的定义吗? （2）分别举出一些是命题和不是命题的语句． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题？ (1)动物需要水； (2)玫瑰花是动物； (3)美丽的天空； (4)相等的角是对顶角； (5)负数都小于0； (6)你的作业做完了吗？ 【典型例题二 判断命题真假】 1．（23-24七年级下·北京·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．对顶角相等 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．实数和数轴上的点是一一对应的 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）对于命题“如果，那么”，能说明这个命题是假命题的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·吉林长春·期中）“如果，则”是 （填写“真命题”或“假命题”） 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）“直角三角形的两个锐角互余”是 命题．（填“真”或“假”） 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题： (1)(a＋b)2＝a2＋b2 (2)若|a|＝|b|，则a＝b (3)两个负数的差一定是负数． 6．（22-23七年级下·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)一个锐角与一个钝角的和是； (2)若，则或； (3)若，则； (4)有公共顶点且相等的角是对顶角； (5)倒数等于它本身的数是1． 【典型例题三 举例说明假(真)命题】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）“若，则”是一个假命题，可以用举反例的方法说明它是假命题，下列选项中恰当的反例是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）说明“若a是实数，则”是假命题，可以举的反例是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ．（填序号） ①；    ②； ③；  ④． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， （请你填一个符合要求的值） 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）“”是真命题还是假命题？请说明理由 6．（23-24七年级下·山西大同·开学考试）（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 【典型例题四 写出命题的题设与结论】 1．（22-23七年级下·山东淄博·期中）命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 3．（23-24七年级下·广东惠州·期中）用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ． 4．（22-23七年级下·安徽芜湖·期中）命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，如果 ，那么 ． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和结论． (1)有两个角为的三角形是等边三角形； (2)两个连续偶数相差2 6．（2023七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 【典型例题五 写出命题的逆命题】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线不平行，同位角不相等 C．同位角不相等，两直线不平行 D．两直线平行，同位角不相等 2．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有三个角相等，那么这个三角形是等边三角形 3．（23-24八年级下·广东河源·期中）写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ． 4．（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为 ． 5．（22-23七年级下·湖北·课后作业）我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成，如果我们把一个真命题的条件变结论，结论变条件，那么所得的命题是不是一个真命题？试举例说明． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 【典型例题六 定理与证明】 1．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 3．（22-23八年级·全国·课后作业）命题由 和 两部分组成，通常写成 形式． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【典型例题七 互逆定理】 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 2．（22-23八年级下·宁夏银川·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 3．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是 ． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【典型例题八 举反例】 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·青海海东·阶段练习）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）为了说明命题“若，则”是假命题，举一个反例：那么a的值可以是 ． 4．（2023·北京西城·二模）用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 ． 5．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）请判断命题“若三条线段、、满足，则这三条线段、、能够组成三角形”的真假性．若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例说明． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断这对命题的真假． (1)三边对应相等的两个三角形全等； (2)若a＝b，则a2＝b2； (3)若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β至少有一个是钝角． 【典型例题九 反证法证明中的假设】 1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应假设这个直角三角形中（    ） A．有一个锐角小于 B．两个锐角都小于 C．两个锐角都大于 D．有一个锐角大于 3．（2024八年级下·全国·专题练习）用反证法证明命题“已知中，；求证：．”第一步应先假设 ． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期中）用反证法证明命题“直角三角形的两个锐角互余”时，应先假设 ． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 6．（22-23八年级上·山东潍坊·期末）（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即 ； （2）写出命题“一次函数，若，，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明． 【典型例题十 用反证法证明命题】 1．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（　　） A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法 3．（20-21八年级上·上海静安·期中）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题 ． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）反证法的一般步骤 （1）假设命题的结论 ； （2）从这个假设出发，经过推理，得出 ； （3）由矛盾判定假设 ，从而得到原命题 ． 5．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角． 6．（2023八年级上·全国·专题练习）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°” 证明：假设所求证的结论不成立，即 ∠A　　60°，∠B　　60°，∠C　　60°， 则∠A+∠B+∠C＞　　． 这与　　相矛盾． ∴　　不成立． ∴　　． 【典型例题十一 以代数为背最的推理与论证】 1．（22-23九年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 2．（2021·山西·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 3．（23-24七年级上·广东江门·开学考试）8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书 本． 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需 分钟． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）由幂的乘方的性质得，类比这个等式，能得到也成立吗？ 6．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜． 温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】 （1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？ （2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？ （3）你可能得到的最高分是多少？ 【典型例题十二 逻辑推理与论证】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·课后作业）在一次1500米的跑步比赛中，有如下的判断：甲说，“丙第一，我第三”；乙说，“我第一，丁第四”；丙说，“丁第二，我第三”．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2024·江苏扬州·二模）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是 打破的． 4．（22-23八年级下·北京海淀·期中）一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是 填“老实人”或“骗子”． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士．一个是工人．现在只知道丙比工人年龄大，甲和护士不同岁，护士比乙年龄小．请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由． 6．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”请判断李四是老实人还是骗子？ 【变式训练1 判断是否是命题】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．直角都相等 C．垂线段最短 D．反向延长射线 2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列语句：①若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等；②相等的角是对顶角；③两直线平行，内错角互补；④垂线段最短；⑤若，则，其中是命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）证明： 的过程称为证明． 4．（22-23八年级上·全国·课前预习）判断一件事情的句子，叫做 ． 5．（22-23七年级下·江苏·单元测试）下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假 (1)如果是实数，则； (2)相等的两个角是对顶角； (3)今天有雨吗？ 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）角平分线上的点到角两边的距离相等． （2）生活在水里的动物是鱼． （3）作两条相交直线． （4）和相等吗？ （5）全等三角形的对应边相等． （6）三个角对应相等的两个三角形全等． （7）画线段． 【变式训练2 判断命题真假】 1．（22-23八年级下·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．既是矩形又是菱形的四边形不一定是正方形 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2．（22-23八年级上·四川成都·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．内错角相等 D．同位角相等 3．（2023·安徽·模拟预测）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，此时的值可以为 ．（写出一个即可） 4．（23-24八年级上·河南周口·期中）命题“在一个三角形中，等边对等角”的题设是“在一个三角形中，如果有两边相等”，结论是“这两边所对的角也相等”，逆命题是“在一个三角形中，等角对等边”，是 命题（填“真”或“假”） 5．（22-23八年级上·四川遂宁·期中）命题“两个连续整数的平方差必是奇数”是真命题还是假命题？若是真命题请证明，若是假命题请举反例． 6．（2023八年级上·全国·专题练习）说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题： （1）如果，那么； （2）如果两个角相等， 那么它们是对顶角． 【变式训练3 举例说明假(真)命题】 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）要证明命题“若为锐角，则”是假命题，下列的度数能作为反例的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知命题“如果，那么”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是（   ） A．4 B． C． D． 3．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是 ． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是 ． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例． 6．（22-23七年级下·福建厦门·期中）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． （1）如果两个角不等，那么这两个角一定不是对顶角； （2）两个锐角的和一定是钝角； 【变式训练4 写出命题的题设与结论】 1．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（　　） A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角的余角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 3．（23-24七年级下·山东泰安·期中）将命题“负数小于零”写成“如果那么”的形式 ． 4．（23-24七年级下·山东威海·期中）把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果……那么……”的形式： ． 5．（22-23七年级下·山东日照·期中）把命题“等角的补角相等”写成“如果……，那么……”的形式． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)同角的余角相等． (2)同号两数相乘，积为正数． 【变式训练5 写出命题的逆命题】 1．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．若，则 C．全等三角形的面积相等 D．两直线平行，同位角相等 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ． 4．（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）命题“如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等”的逆命题是 ． 5．（22-23八年级上·安徽芜湖·阶段练习）一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 6．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1)对顶角相等； (2)如果，那么． 【变式训练6 定理与证明】 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）“两点确定一条直线”这句话是（　　） A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0 3．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）用推理的方法判断为正确的命题叫做 ． 4．（22-23八年级·全国·课后作业）规定一个 和 的含义的句子叫做定义，平行四边形的定义是 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，，，，求证：． 6．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 【变式训练7 互逆定理】 1．（22-23八年级下·四川宜宾·期中）下列定理中，没有逆定理的是（　　）. A．直角三角形的两锐角互余 B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）下列定理中，不存在逆定理的是(   ) A．等边三角形的三个内角都等于60° B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等 3．（22-23八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 4．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 6．（22-23八年级·全国·假期作业）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 【变式训练8 举反例】 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则．”是假命题的反例的是（　　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·山东烟台·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·北京延庆·期末）为了说明“如果，那么”是假命题，则a，b可以取的一组值是 ， ． 4．（22-23七年级下·江苏南京·期末）命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是 ， 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子： 妈妈：小华，听说邻居小芳全家这儿天正在外地旅游． 小华：妈妈，不可能，我昨天和今天上午都还在学校碰到了她和她妈妈呢！ 上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？他是如何推断该命题的正确性的？在你的日常生活中也有类似的例子吗？请举一至两个例子． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 【变式训练9 反证法证明中的假设】 1．（23-24八年级下·山西太原·期中）用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（    ） A．可以有一个角是直角 B．可以有两个角是直角 C．三个角都是直角 D．三个角都不是直角 2．（23-24八年级上·山西临汾·期末）玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（    ） A．有一个内角大于 B．有一个内角大于等于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明“已知，．求证：．”第一步应先假设 ． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设 ． 5．（2023八年级下·江苏·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 【变式训练10 用反证法证明命题】 1．（22-23八年级上·山西临汾·期末）用反证法证明“若，，则”，第一步应假设：（    ） A． B．与垂直 C．与不一定平行 D．与相交 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 3．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 5．（22-23八年级下·宁夏银川·期中）已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？ 【变式训练11 以代数为背最的推理与论证】 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 3．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，现有四位同学有如下理解： 甲：当时，选择这本书； 乙：只有当时，才不能选择这本书； 丙：当，，全是1时，选择这本书； 丁：当时，不选择这本书． 其中理解错误的同学是 ． 4．（2023·北京海淀·三模）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）当，时，有； 当，时，有； 当，时，有； 当，时，有． 得出结论：、为任何数时，． 这个结论正确吗？ 6．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）五年级有4个班，每个班有两个班长，每次召开班长会议时各班派一名班长参加，参加第一次会议的是A，B，C，D；参加第二次会议的是E，B，F，D；参加第三次会议的是A，E，B，G；而H三次会议都没参加．请问每个班的两位班长各是谁？ 【变式训练12 逻辑推理与论证】 1．（22-23七年级下·江苏·周测）下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是（   ） A．只需观察得出 B．只靠经验获得 C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理 2．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）从七年级二班选取四名同学（这四名同学分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，冠军将代表班级参加学校的比赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为： 甲：C得亚军；D得季军； 乙：D得冠军；A得亚军； 丙：C得冠军；B得亚军． 已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠军为（　　） A．A B．B C．C D．D 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）小志和小强进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小志出了6次石头，1次剪刀，3次布：②小强出了4次石头，3次剪刀，3次布：③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小志赢了 次． 4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现有四件原料A、B、C、D，每件原料在每道工序所需的时间（单位：小时）如表： 原料 时间工序 原料A 原料B 原料C 原料D 上漆 15 8 9 6 描绘花纹 7 14 13 15 若由一名工匠单独完成四件原料的描金工作，则完成这四件原料的描金工作需要 小时；若由甲、乙两位工匠完成四件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹，则完成这四件原料的描金工作最少需要 小时． 5．（2023七年级下·江苏·专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 6．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例. (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)等角的余角相等. 1．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）下列语句是命题的有（      ） ①连接；  ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级下·陕西渭南·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知下列命题：①同位角相等；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若，，则，其中逆命题属于假命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（22-23八年级下·山西·阶段练习）在中，，，，且，求证：．在证明这个命题时，如果从已知条件出发，经过推理论证，得出结论是很困难的，于是人们想出了一种证明此类命题的方法.假设，则由勾股定理的逆定理可以得到，这与已知条件产生矛盾，因此，假设是错误的.所以是正确的.古希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》里也曾使用这种方法进行证明，我们将这种证明方法称为（    ） A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法 5．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）A、B、C、D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A、D、C、B；乙：从第一名开始，名次顺序是A、C、B、D.比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，�请写出四个队的名次顺序是（　　） A．B、A、C、D B．B、C、A、D C．D、B、A、C D．B、A、D、C 6．（22-23八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是 ． 7．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）命题：两个锐角的和是锐角．则这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 8．（22-23八年级下·青海西宁·期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是 ，它是 （填“真命题”或“假命题”）． 9．（22-23七年级下·福建福州·期末）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数、，使得，于是， ∴______ ∵是偶数，可得是偶数． ∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数． ∴可设，代入，得______．可得______ ∴______．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号） ①；    ②；    ③是偶数；    ④． 10．（23-24九年级下·北京·阶段练习）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为 ． 题号学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 × √ × √ × × √ × 30 乙 × × √ √ √ × × √ 25 丙 √ × × × √ √ √ × 25 丁 × √ × √ √ × √ √ m 11．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． (1)同位角相等； (2)全等三角形的对应角相等． 12．（22-23九年级·四川雅安·期中）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明： 13．（2023八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 14．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）请你参与亮亮在翻转扑克牌游戏时的思考． （1）亮亮同学把3张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们的朝向．他发现无论经过多少次这样的操作都不能使3张扑克牌的正面全部朝下．他的结论对吗？ （2）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？ （3）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转3张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？若能，至少要经过几次这样的操作？若不能，请说明理由． 15．（22-23八年级·全国·课后作业）如图所示，通过画图可知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？          学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 命题与证明（1大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 判断命题真假 题型三 举例说明假(真)命题 题型四 写出命题的题设与结论 题型五 写出命题的逆命题 题型六 定理与证明 题型七 互逆定理 题型八 举反例 题型九 反证法证明中的假设 题型十 用反证法证明命题 题型十一 以代数为背最的推理与论证 题型十二 逻辑推理与论证 知识点01 命题 1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。 2、命题分类 真命题：正确的命题 命题 假命题：错误的命题 3、互逆命题 原命题：如果p，那么q； 逆命题：如果q，那么p。 4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例。 （说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。） 【典型例题一 判断是否是命题】 1．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：A、对顶角相等，符合命题的概念，故本选项符合题意； B、a，b两条直线平行吗，是问句，未做判断，故本选项不符合题意； C、画一个角等于已知角，不符合命题的概念，故本选项不符合题意， D、过一点画已知直线的垂线，不符合命题的概念，故本选项不符合题意； 故选A． 2．（23-24七年级下·山东威海·期中）下列语句中，不是命题的是（  ） A．钝角大于直角 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．过点A作直线l的垂线，垂足为B D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的定义，根据命题的定义进行判断即可． 【详解】解：A．钝角大于直角是命题，故A不符合题意； B．三个角对应相等的两个三角形全等，是命题，故B不符合题意； C．过点A作直线l的垂线，垂足为B，不是命题，故C符合题意； D．若一个三角形的三边a，b，c满足，那么该三角形是直角三角形，是命题，故C不符合题意． 故选：C． 3．（22-23七年级下·广东东莞·期中）“相等的角是对顶角”是命题． （判断对错） 【答案】对 【分析】根据命题的概念判断即可． 【详解】解：判断一件事情的语句，叫做命题，所以相等的角是对顶角是命题，对 故答案为：对． 【点睛】本题考查了命题与定理，命题是指可以判断真假的陈述语句，加深对相关概念的理解是解此类问题的关键． 4．（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】若，则，是一个命题. 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题. 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）（1）你能列举出一些学过的定义吗? （2）分别举出一些是命题和不是命题的语句． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）分别举出已经学习过的角的定义，三角形的定义即可； （2）命题的定义：对一件事情作出判断的语句，反之，则不是命题，根据命题的定义进行举例即可. 【详解】解：（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角， 三角形的定义：三条线段首尾顺次相连组成的图形叫三角形， （2）命题：①对顶角相等，②如果 那么 不是命题的语句：①明天会下雨吗？②延长线段至 【点睛】本题考查的是定义，命题的含义，掌握“定义，命题的含义”是解题的关键. 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题？ (1)动物需要水； (2)玫瑰花是动物； (3)美丽的天空； (4)相等的角是对顶角； (5)负数都小于0； (6)你的作业做完了吗？ 【答案】(1)(2)(4)(5)是命题 【分析】根据命题的定义，逐个对每句话进行判断是否属于命题即可． 【详解】根据命题的定义(1)(2)(4)(5)都对一件事情做出了判断，因此属于命题，（3）“美丽的天空”不是判断语句，因此不是命题，（6）是疑问句，因此不是命题． 【点睛】本题主要考查的是命题的定义，关键是要对一件事情做出判断． 【典型例题二 判断命题真假】 1．（23-24七年级下·北京·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．对顶角相等 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．实数和数轴上的点是一一对应的 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题真假，熟记相关结论即可. 【详解】解：对顶角相等，故A为真命题，不符合题意； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故B为真命题，不符合题意； 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故C为假命题，符合题意； 实数和数轴上的点是一一对应的，故D为真命题，不符合题意； 故选：C 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）对于命题“如果，那么”，能说明这个命题是假命题的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法．将四个中的值代入验证即可． 【详解】解：A、，此时不但不满足，也不满足不成立，故不符合题意； B、，且，满足“如果，那么”，故不能说明命题为假命题，故不符合题意； C、，且，此时不但不满足，也不满足不成立，故不能说明命题为假命题，故不符合题意； D、，且，此时满足，但不能满足，即意味着命题“如果，那么”不能成立，故符合题意． 故选：D． 3．（22-23八年级上·吉林长春·期中）“如果，则”是 （填写“真命题”或“假命题”） 【答案】真命题 【分析】本题考查了真命题．熟练掌握正确的命题是真命题是解题的关键． 根据正确的命题是真命题判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴命题是真命题， 故答案为：真命题． 4．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）“直角三角形的两个锐角互余”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题主要考查了判断命题真假，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：“直角三角形的两个锐角互余”是真命题， 故答案为：真． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题： (1)(a＋b)2＝a2＋b2 (2)若|a|＝|b|，则a＝b (3)两个负数的差一定是负数． 【答案】(1)见解析； (2) 见解析； (3) 见解析. 【分析】（1）可以取a=1,b=-1说明命题是假命题； （2）可以取a=1,b=-1说明命题是假命题； （3）两个负数可以取-1和-2，说明命题是假命题． 【详解】(1) 命题为假命题，若当a＝1，b＝－1时，(a＋b)2＝0， a2＋b2＝1＋1＝2 (2) 命题为假命题，若a＝1，b＝－1时，满足|a|＝|b|，但a＝b不成立 (3)命题为假命题.若两负数为－1与－2，则－1与－2的差为－1－(－2)＝1 【点睛】本题主要考查假命题的判断，注意只要举出一个反例则就可以说明命题是假命题． 6．（22-23七年级下·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)一个锐角与一个钝角的和是； (2)若，则或； (3)若，则； (4)有公共顶点且相等的角是对顶角； (5)倒数等于它本身的数是1． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题 (3)假命题，理由见解析 (4)假命题，理由见解析 (5)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据锐角和钝角的概念判断； （2）根据有理数的乘法法则判断； （3）根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可； （4）根据对顶角的概念判断； （5）根据倒数的概念判断． 【详解】（1）一个锐角与一个钝角的和是，是假命题，例如：的角是锐角，的角是钝角，，不是； （2）若，则或，是真命题； （3）若，则则是假命题，例如：，而； （4）有公共顶点且相等的角是对顶角，是假命题，90°的角和它的邻补角有公共顶点且相等，但不是对顶角； （5）倒数等于它本身的数是1，是假命题，例如的倒数等于它本身的数是﹣1． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【典型例题三 举例说明假(真)命题】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）“若，则”是一个假命题，可以用举反例的方法说明它是假命题，下列选项中恰当的反例是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查学生对命题的理解，掌握真假命题的判断方法是解题的关键．举反例的含义是符合条件而不符合结论的实例，根据举反例的得到的事实可得答案． 【详解】解：当时，，而， ∴当时，可以说明“若，则”是一个假命题， 故选C． 2．（23-24七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）说明“若a是实数，则”是假命题，可以举的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的乘方法则求出，判断即可． 【详解】解：A、当时，此时，不符合题意； B、当时，此时，不符合题意； C、当时，此时，符合题意； D、当时，此时，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）对于命题“若，则”，下面四组a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是 ．（填序号） ①；    ②； ③；  ④． 【答案】② 【分析】本题考查了举例说明假（真）命题，将四组a，b的值代入命题进行验证即可求解． 【详解】解：①，满足，，不能说明命题是假命题．   ②，满足，但不满足，能说明命题是假命题． ③，满足，，不能说明命题是假命题． ④，不满足，不能说明命题是假命题． 故答案为：②． 4．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， （请你填一个符合要求的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理，熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例即可． 作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求求解即可． 【详解】解：当，时， 有，但，故原命题是假命题. 故答案为：，． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）“”是真命题还是假命题？请说明理由 【答案】假命题，理由见解析 【分析】举出一个反例即可说明“”是假命题． 【详解】解：“”是假命题，理由如下： ∵当时，， ∴“”是假命题． 【点睛】本题主要考查了命题的概念，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可． 6．（23-24七年级下·山西大同·开学考试）（1）判断下列语句是不是命题，若是，写成“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题还是假命题． ①同位角相等，两直线平行； ②延长到点C； ③同角的补角相等． （2）举反例说明下列命题是假命题： ①相等的角是同位角； ②大于的角为钝角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了命题： （1）先判断命题的真假，若是真命题，写成“如果……那么……”的形式； （2）根据每个命题写出反例即可． 【详解】解：（1）①是命题、且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行． ②不是命题． ③是命题，且是真命题，写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． （2）①反例：对顶角相等，但不是同位角． ②反例：的角不是钝角． 【典型例题四 写出命题的题设与结论】 1．（22-23七年级下·山东淄博·期中）命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 【答案】A 【分析】根据命题用“如果……那么……”的形式叙述进行分析即可． 【详解】题目中的命题用“如果……那么……”的形式叙述为“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”，所以属于题设部分． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的题设和结论，解题的关键是先把命题改写成“如果……那么……”的形式，再分析题设和结论． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 3．（23-24七年级下·广东惠州·期中）用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ． 【答案】如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题；先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：用“如果…那么…”形式将命题“同角的补角相等”可以改写成“如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等”； 故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等． 4．（22-23七年级下·安徽芜湖·期中）命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】命题中的条件是两个角是等角的补角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，放在“那么”的后面，即可得到答案． 本题考查了将原命题写成“如果…那么…”即题设(条件)与结论的形式，解决问题的关键是找出相应的题设和结论． 【详解】解：解：题设为：两个角是对顶角，结论为：它们相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和结论． (1)有两个角为的三角形是等边三角形； (2)两个连续偶数相差2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题内容即可. （1）根据命题内容即可求解； （2）根据命题内容即可求解； 【详解】（1）解：如果一个三角形中有两个角为，那么这个三角形是等边三角形． 题设：一个三角形中有两个角为； 结论：这个三角形是等边三角形． （2）解：如果两个数是连续的偶数，那么这两个数相差2． 题设：两个数是连续的偶数； 结论：这两个数相差2． 6．（2023七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式． (1)两直线平行，内错角相等； (2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和； (3)等腰三角形的两底角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是命题与定理，熟知命题写成“如果…，那么…”的形式，清楚命题的题设与结论是解答此题的关键． 【详解】（1）解：如果两直线平行，那么内错角相等； （2）解：如果一个角是三角形的外角，那么它等于它不相邻的两个内角的和； （3）解：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等． 【典型例题五 写出命题的逆命题】 1．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）命题：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线不平行，同位角不相等 C．同位角不相等，两直线不平行 D．两直线平行，同位角不相等 【答案】A 【分析】 本题考查了逆命题，根据逆命题的定义即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为：同位角相等，两直线平行， 故选A． 2．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（    ） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有三个角相等，那么这个三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据命题的题设与结论解答． 交换命题的题设与结论，写出逆命题即可． 【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 故选：C． 3．（23-24八年级下·广东河源·期中）写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ． 【答案】两直线平行，内错角相等 【分析】考查了命题与与逆命题，熟练掌握知识点是解题的关键． 交换原命题的特设与结论即可写出逆命题． 【详解】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 4．（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为 ． 【答案】如果与互为补角，那么 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的结论与条件互换作为命题的条件和结论即可得到答案． 【详解】解：命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为如果与互为补角，那么． 故答案为：如果与互为补角，那么． 5．（22-23七年级下·湖北·课后作业）我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成，如果我们把一个真命题的条件变结论，结论变条件，那么所得的命题是不是一个真命题？试举例说明． 【答案】详见解析. 【详解】试题分析：交换命题的题设和结论后变为其逆命题，然后判断命题的真假即可． 试题解析：如果我们把一个真命题的条件变结论，结论变条件，那么所得的命题不一定是一个真命题，如：两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，为真命题；对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，为假命题． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理． (2)每个命题都有逆命题． (3)假命题没有逆命题． (4)真命题的逆命题是真命题． 【答案】(1)说法错误，理由见解析 (2)说法正确，理由见解析 (3)说法错误，理由见解析 (4)说法错误，理由见解析 【分析】利用逆定理、逆命题的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：说法错误，理由如下： 每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题； （2）解：说法正确，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （3）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题； （4）解：说法错误，理由如下： 每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题，原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题、逆命题、互逆命题的定义，难度不大． 【典型例题六 定理与证明】 1．（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）“过平面上两点，有且只有一条直线”属于（    ） A．定义 B．定理 C．基本事实 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据定义、定理、基本事实的概念判断即可． 【详解】“过平面上两点，有且只有一条直线”属于基本事实． 故选：C． 【点睛】本题主要考查定义、定理、基本事实的区分，牢记定义、定理、基本事实的概念是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义解答本题．熟练掌握命题与定理的知识是解决此类问题的关键． 【详解】解：A. 每个命题都有逆命题，说法正确； B. 每个定理不一定有逆定理，说法错误； C. 假命题不是定理，说法错误； D. 假命题的逆命题可能是真命题，说法错误； 故选A． 3．（22-23八年级·全国·课后作业）命题由 和 两部分组成，通常写成 形式． 【答案】 题设（或条件） 结论 “如果……那么……” 【分析】根据命题的组成直接填空即可． 【详解】解：命题由题设（或条件）和结论两部分组成，通常写成“如果……那么……”形式． 【点睛】本题考查了命题的组成，属于基础题，牢牢掌握命题的定义及组成是解题的关键． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】见解析． 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 【详解】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 【典型例题七 互逆定理】 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆定理，据此求解即可． 【详解】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故选D． 2．（22-23八年级下·宁夏银川·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 【答案】C 【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意； B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意； C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意； D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 3．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是 ． 【答案】两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了命题与定理，写出命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，据此求解即可． 【详解】定理“内错角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，内错角相等”， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可． 【详解】解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【点睛】本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 【典型例题八 举反例】 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算，再判断即可，本题考查了举反例，正确理解题意是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，且，符合题意； D. ，不满足，不符合题意， 故选C． 2．（23-24七年级下·青海海东·阶段练习）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例判断命题真假，举反例的要满足条件但不满足结论，据此求解即可． 【详解】解：A、满足，也满足，不能作为反例说明原命题是假命题，不符合题意； B、不满足，不能作为反例说明原命题是假命题，不符合题意； C、满足，但不满足，能作为反例说明原命题是假命题，符合题意； D、满足，也满足，不能作为反例说明原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）为了说明命题“若，则”是假命题，举一个反例：那么a的值可以是 ． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】根据负数的平方也为正数，即当时，满足，但不满足，即可填空． 【详解】当时，，但， 故“若，则”是假命题． 故答案为：-4（答案不唯一）． 【点睛】本题考查利用举反例证明命题真假．能够正确的举出反例是解题关键． 4．（2023·北京西城·二模）用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可． 【详解】解：当a=时，a2=，，而＜2， ∴命题“若a>0，则a2>”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）请判断命题“若三条线段、、满足，则这三条线段、、能够组成三角形”的真假性．若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例说明． 【答案】见解析 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，然后举出满足条件但不满足结论的例子即可． 【详解】解：若三条线段a，b，c满足，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段，，满足，但这三条线段不能够组成三角形． 【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断这对命题的真假． (1)三边对应相等的两个三角形全等； (2)若a＝b，则a2＝b2； (3)若∠α＋∠β＝180°，则∠α与∠β至少有一个是钝角． 【答案】(1)逆命题：全等三角形的对应边相等；原命题和逆命题都是真命题；(2)逆命题：若a2＝b2，则a＝b；原命题是真命题，逆命题是假命题；(3)逆命题：若∠α与∠ β中至少有一个是钝角，则∠α＋∠ β＝180°；原命题和逆命题都是假命题． 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，把四个选项中的命题的结论与条件互换可得到逆命题，然后利用全等三角形的判定与性质、反例判断各命题的真假即可． 【详解】(1)逆命题：全等三角形的对应边相等；原命题和逆命题都是真命题； (2)逆命题：若a2＝b2，则a＝b；原命题是真命题，逆命题是假命题，如=， -11； (3) 逆命题：若∠α与∠ β中至少有一个是钝角，则∠α＋∠ β＝180°；原命题是假命题，因为当∠α=∠ β=90°，∠α与∠ β都是直角时，∠α＋∠β＝180°；逆命题是假命题，如110°+80°=190°． 【点睛】本题考查命题与定理. 【典型例题九 反证法证明中的假设】 1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反证法的应用，熟练掌握反证法的一般步骤，理解假设结论不成立即结论的反面成立是解题的关键．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立即结论的反面成立进行解答即可． 【详解】解：用反证法证明“在中，若，则”时，应假设， 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应假设这个直角三角形中（    ） A．有一个锐角小于 B．两个锐角都小于 C．两个锐角都大于 D．有一个锐角大于 【答案】B 【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的第一步，假设结论不成立，是解题的关键． 根据反证法中假定结论不成立，进行判断即可． 【详解】解：至少有一个锐角不小于的反面是两个锐角都小于 故选B． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）用反证法证明命题“已知中，；求证：．”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：第一步应先假设； 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期中）用反证法证明命题“直角三角形的两个锐角互余”时，应先假设 ． 【答案】直角三角形中的两个锐角不互余 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【详解】解：用反证法证明命题“直角三角形的两个锐角互余”时，应先假设直角三角形的两锐角不互余． 故答案为：直角三角形中的两个锐角不互余． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 【答案】证明见解析 【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：要证明在三角形中，至少有一个内角大于或等于， 那么假设在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，即都小于； 那么，这个三角形的三个内角之和就会小于； 这与定理“三角形的三个内角之和等于”相矛盾，原命题正确． 【点睛】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 6．（22-23八年级上·山东潍坊·期末）（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即 ； （2）写出命题“一次函数，若，，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明． 【答案】（1）三角形内角中全都小于；（2）答案见解析． 【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案； （2）利用命题与定理，首先写出逆命题进而得出答案． 【详解】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于”， 先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于， 故答案为：三角形内角中全都小于； （2）逆命题：“一次函数的图象不经过第二象限，则，，” 逆命题为假命题，反例：当时，一次函数图象也不过第二象限（不唯一）． 【点睛】本题考查反证法和判断逆命题的真假．正确的进行假设是反证法的关键，掌握利用举反例的方法是判断命题真假的关键． 【典型例题十 用反证法证明命题】 1．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设结论不成立，即 【详解】∵命题：“在中，，则”， ∴假设为：， 故选：D 【点睛】本题考查了用反证法证明命题，掌握反证法的假设为结论不成立是解决问题的关键 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（　　） A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法 【答案】B 【分析】本题主要考查了反证法的应用，反证法的一般步骤“假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确”是解题的关键． 根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：推理使用的证明方法是：反证法． 故选：B． 3．（22-23八年级上·上海静安·期中）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题 ． 【答案】∵两个不相等的角互为补角，∴这两个角一个角大于90°，一个角小于90°，即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题． 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【详解】∵两个不相等的角互为补角， ∴这两个角一个角大于90°，一个角小于90°，即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题； 故答案为：∵两个不相等的角互为补角， ∴这两个角一个角大于90°，一个角小于90°，即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解答本题的关键是要懂得反证法的意义及步骤． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）反证法的一般步骤 （1）假设命题的结论 ； （2）从这个假设出发，经过推理，得出 ； （3）由矛盾判定假设 ，从而得到原命题 ． 【答案】 不成立 矛盾 不正确 成立 【分析】依据反证法的定义解答即可． 【详解】反证法的一般步骤为： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立， 故答案为：不成立，矛盾，不正确，成立 【点睛】此题考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解答此题的关键． 5．（22-23八年级下·河南郑州·阶段练习）利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角． 【答案】见解析 【分析】假设三角形的三个内角中有两个钝角，不妨设，∠B＞90°，与三角形内角和为相矛盾，由此即可证明． 【详解】证明：假设三角形的三个内角中有两个钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°， ∴，这与三角形内角和为相矛盾， ∴，∠B＞90°不成立， ∴一个三角形中不能有两个角是钝角． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 6．（2023八年级上·全国·专题练习）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°” 证明：假设所求证的结论不成立，即 ∠A　　60°，∠B　　60°，∠C　　60°， 则∠A+∠B+∠C＞　　． 这与　　相矛盾． ∴　　不成立． ∴　　． 【答案】，，，，内角和为，假设，求证的命题正确． 【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：假设所求证的结论不成立，即 ，，， 则． 这与内角和为相矛盾． ∴假设不成立． ∴求证的命题正确． 故答案为： 【点睛】 本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【典型例题十一 以代数为背最的推理与论证】 1．（22-23九年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【答案】A 【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案． 【详解】解：号杯子左侧出口比右侧高， 水先从左侧流出，进入3号杯子， 杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭 水最终会先灌满3号杯子， 故选：A． 【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可． 2．（2021·山西·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 3．（23-24七年级上·广东江门·开学考试）8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书 本． 【答案】28 【分析】假设8个学生为1，2，3，4，5，6，7，8，根据题意列举出所有符合题意的情况，然后计算即可． 【详解】解：假设8个学生为1，2，3，4，5，6，7，8， 因为每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有， 所以有12，13，14，15，16，17，18 ， 23，24，25，26，27，28， 34，35，36，37，38， 45，46，47，48， 56，57，58， 67，68， 78， 即共有本不同的书， 故答案为：28． 【点睛】本题考查了容斥定理，能够根据题意列举出所有符合题意的情况是解题的关键． 4．（22-23七年级上·全国·单元测试）用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需 分钟． 【答案】3 【分析】若先把两只饼煎熟，则在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎． 【详解】应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只并同时熟，共需3分钟． 故答案为3． 【点睛】本题考查了推理与论证，在解答此类题目时要根据实际情况进行推论，既要节省时间又不能造成浪费． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）由幂的乘方的性质得，类比这个等式，能得到也成立吗？ 【答案】不能. 【分析】根据积的乘方性质，几个因式积的乘方等于乘方的积，即可判断. 【详解】解：不能. ∵， ∴不能得到成立. 【点睛】检验教学结论的常用方法有：实验验证、举出反例、推理证明等.实验验证是最基本的方法，它是直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是需要掌握的重点实际上每一个正确的结论都需要经过严格的推理证明才能得出 6．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜． 温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】 （1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？ （2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？ （3）你可能得到的最高分是多少？ 【答案】（1）希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；（2）手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；（3）54分 【分析】(1)根据题意红色牌代表正分，黑色牌代表负分，进而得出答案； (2)利用每人得6张牌的总分为零，即可得出手中牌的总分与同伴手中的总分关系； (3)假设抽到三张红色牌且为8，9，10，进而得出答案． 【详解】解：(1)∵红色代表正分，黑色代表负分， ∴希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走， 故答案为：希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走； (2)∵每人手中6张牌的总分为零， ∴无论多少次后，总分之和为0， 故答案为：手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0； (3)假设抽到的三张牌均为红色牌且为8、9、10时， 可能得到的最高分是：2×(10+9+8)＝54(分)， 故答案为：54分． 【点睛】本题考查了推理与论证，根据题意注意红色牌代表正分得出是解题关键． 【典型例题十二 逻辑推理与论证】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·课后作业）在一次1500米的跑步比赛中，有如下的判断：甲说，“丙第一，我第三”；乙说，“我第一，丁第四”；丙说，“丁第二，我第三”．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了推理与论证，此类题应从假设出发，经过推理，如果得到矛盾，则假设错误，再进一步推理即可．假设甲说的前半句话是正确的，可推出矛盾，然后可知甲说的后半句是正确的，从而推出第一名是谁． 【详解】解：假设甲说的前半句话是正确的，即丙第一，则乙的后半句是正确的，即丁第四，则丙说的后半句应是正确的，出现矛盾，所以必须是甲说的后半句是正确的，即甲第三，所以丙说的前半句是正确的，即丁第二，所以乙说的前半句是正确的，即乙第一． 故选B． 2．（2024·江苏扬州·二模）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，分别假设甲、乙、丙、丁是冠军，然后进行推理，是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：①设获得冠军的是甲，则只有地理老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是甲； ②设获得冠军的是乙，则地理老师、政治老师、语文老师预测正确，与题设矛盾，故获得冠军的不是乙； ③设获得冠军的是丙，则历史老师、政治老师预测正确，与题设相符，故获得冠军的是丙； ④设获得冠军的是丁，则四位老师都预测错误，与题设矛盾，故获得冠军的不是丁； 综合①②③④得：故获得冠军的是丙． 故选：C． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是 打破的． 【答案】乙 【分析】本题须分别分析甲、乙、丙三人说的话，再根据三人中只有一人说的是真话，进行推理即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的 ∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话 甲说：“是丙打破的”也是假话， 则丙说：“甲说谎”是真话， ∴玻璃是乙打破的符合题意 故答案为乙 【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键． 4．（22-23八年级下·北京海淀·期中）一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是 填“老实人”或“骗子”． 【答案】骗子 【分析】先根据成员座位得出成员人数为偶数，然后判断张三李四说的话的真假，从而判断是老实人还是骗子． 【详解】解：根据“俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”可知俱乐部总人数为偶数， 所以张三答：“共有45人．”为假话，即张三为骗子， 所以李四说：“张三是老实人．”也为假话，即李四是骗子． 故答案为：骗子． 【点睛】本题主要考查逻辑推理的应用，推断出成员人数为偶数是解题关键． 5．（22-23七年级下·全国·单元测试）甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士．一个是工人．现在只知道丙比工人年龄大，甲和护士不同岁，护士比乙年龄小．请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由． 【答案】乙是教师，理由见解析 【分析】根据年龄关系推出丙是护士，再根据年龄大小得到乙是教师． 【详解】解：乙是教师， 理由如下：∵甲和护士不同岁，护士比乙年龄小， ∴甲、乙都不是护士， ∴丙是护士， ∵护士比工人年龄大，护士比乙年龄小， ∴乙不是工人， ∴乙是教师． 【点睛】本题主要考查的是推理和论证，根据题意推出丙是护士是解题的关键． 6．（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”请判断李四是老实人还是骗子？ 【答案】李四也是骗子 【分析】此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理．本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论． 【详解】解：∵圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人， 如图： ∴老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数， ∵张三说有45人是奇数， ∴说明张三说了假话，张三是骗子， ∴李四却说张三是老实人，也说了假话， 即李四也是骗子． 【变式训练1 判断是否是命题】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．直角都相等 C．垂线段最短 D．反向延长射线 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念；根据判断一件事情的语句，叫做命题，根据命题的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、如果，那么，是命题，本选项不符合题意； B、直角都相等，是命题，本选项不符合题意； C、垂线段最短，是命题，本选项不符合题意； D、反向延长射线，不是命题，本选项符合题意； 故选：D． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列语句：①若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等；②相等的角是对顶角；③两直线平行，内错角互补；④垂线段最短；⑤若，则，其中是命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念； 根据判断一件事情的语句，叫做命题，进行判断即可． 【详解】解：①若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等，是命题； ②相等的角是对顶角，是命题； ③两直线平行，内错角互补，是命题； ④垂线段最短，是命题； ⑤若，则，是命题， 其中是命题的个数是5个， 故选：D． 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）证明： 的过程称为证明． 【答案】演绎推理 【解析】略 4．（22-23八年级上·全国·课前预习）判断一件事情的句子，叫做 ． 【答案】命题 【解析】略 5．（22-23七年级下·江苏·单元测试）下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，判断命题的真假 (1)如果是实数，则； (2)相等的两个角是对顶角； (3)今天有雨吗？ 【答案】(1)是命题，且是真命题 (2)是命题，是假命题 (3)不是命题 【分析】（1）根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之为假命题，要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （2）根据命题的定义，即可判断是否为命题，再根据结论判断是否为真命题，反之为假命题，要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （3）根据命题的定义即可判断是否为命题． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题，理由如下： 是实数， ， ， 是命题，且是真命题． （2）解：是命题，是假命题，理由如下，如图：    已知两直线平行， ． 和不是对顶角， 相等的两个角不一定是对顶角， 是命题，是假命题． （3）解：是问题，不是命题，理由如下： 命题的要求是有条件和有结果， 是问题，不是命题． 【点睛】本题考查命题的定义，正确记忆命题的定义是解题关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）角平分线上的点到角两边的距离相等． （2）生活在水里的动物是鱼． （3）作两条相交直线． （4）和相等吗？ （5）全等三角形的对应边相等． （6）三个角对应相等的两个三角形全等． （7）画线段． 【答案】（1）、（2）、（5）、（6）是命题；（3）、（4）、（7）不是命题． 【分析】根据命题的概念，逐个判断即可． 【详解】根据命题的概念，可得（1）、（2）、（5）、（6）是命题，（3）、（4）、（7）不是命题； 【点睛】本题考查了命题的概念，一个命题有两个必不可少的要素：（1）条件；（2）结论．掌握命题的概念是解题的关键．命题的概念∶一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 【变式训练2 判断命题真假】 1．（22-23八年级下·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．既是矩形又是菱形的四边形不一定是正方形 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用矩形的判定方法及性质、正方形的判定、直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C．既是矩形又是菱形的四边形一定是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故原命题正确，是真命题，符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级上·四川成都·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．内错角相等 D．同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查真命题的概念．真命题是指正确的命题，假命题是指错误的命题，逐项判定即可． 【详解】解：A. 对顶角相等，是正确的命题，是真命题，此项符合题意； B. 同旁内角互补，是错误的命题，前提是两直线平行，此项不符合题意； C. 内错角相等，是错误的命题，前提是两直线平行，此项不符合题意； D. 同位角相等，是错误的命题，前提是两直线平行，此项不符合题意． 故选：A． 3．（2023·安徽·模拟预测）用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，此时的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题的真假，由题意得或时，均有，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：当或时，均有， ∴的值可以为，此时能够说明说明命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·河南周口·期中）命题“在一个三角形中，等边对等角”的题设是“在一个三角形中，如果有两边相等”，结论是“这两边所对的角也相等”，逆命题是“在一个三角形中，等角对等边”，是 命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查命题与定理，能根据等腰三角形的判定判断命题的真假是解题的关键． 【详解】解：“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是：“在同一个三角形中”，等角对等边，是真命题； 故答案为：真． 5．（22-23八年级上·四川遂宁·期中）命题“两个连续整数的平方差必是奇数”是真命题还是假命题？若是真命题请证明，若是假命题请举反例． 【答案】真命题；证明见解析 【分析】设两个连续整式为n、n+1，根据平方差公式计算，即可得到答案． 【详解】设两个连续整式为n、n+1 ∴ ∵是奇数 ∴两个连续整数的平方差必是奇数 ∴命题“两个连续整数的平方差必是奇数”是真命题． 【点睛】本题考查了命题和平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 6．（2023八年级上·全国·专题练习）说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题： （1）如果，那么； （2）如果两个角相等， 那么它们是对顶角． 【答案】（1）条件：；结论：，它是真命题； （2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角，它是假命题． 【分析】根据命题的“如果”后面是条件，“那么”后面是结论，得出命题的条件和结论，然后得出命题的真假． 【详解】解：（1）条件：，结论：；它是真命题； （2）条件：两个角相等，结论：这两个角是对顶角；它是假命题；反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角． 【点睛】本题主要考查了命题的条件和结论，判断命题的真假，解题的关键是理解要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例． 【变式训练3 举例说明假(真)命题】 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）要证明命题“若为锐角，则”是假命题，下列的度数能作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的命题的真假判断，举反例的方法理解，掌握举反例要明确：举例要满足条件，而不满足结论，从而可得答案． 【详解】解：证明命题“若为锐角，则”是假命题， 的度数能作为反例的是， 故选A 2．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知命题“如果，那么”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．选取的a的值不满足“如果，那么”的即可． 【详解】解：A、当时，不满足，但满足，所以不可以作为说明命题“如果，那么”是假命题的一个反例． B、当时，不满足，也不满足，所以不可以作为说明命题“如果，那么”是假命题的一个反例． C、当时，不满足，也不满足，所以不可以作为说明命题“如果，那么”是假命题的一个反例． D、当时，满足，但不满足，所以可作为说明命题“如果，那么”是假命题的一个反例． 故选：D． 3．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）说明命题“a的平方是正数”是假命题的反例是 ． 【答案】 【分析】本题考查了判定命题真假的方法，平方的非负性；掌握举反例是说明命题为假命题的方法是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 此时a的平方不是是正数， 命题“a的平方是正数”是假命题； 故答案：． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键；本题要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例． 【答案】不是，见解析 【分析】通过画图说明命题为假命题． 【详解】解：不是真命题．例如，下图中的是直线，被直线截得的同位角，但它们不相等． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．（22-23七年级下·福建厦门·期中）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． （1）如果两个角不等，那么这两个角一定不是对顶角； （2）两个锐角的和一定是钝角； 【答案】（1）真命题；（2）假命题；反例：两锐角为30度和40度，和为70度不是钝角． 【详解】试题分析：先根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，再举出反例即可． （1）是真命题；（2）是假命题；反例：两锐角为30度和40度，和为70度不是钝角． 考点：真假命题 点评：解题的关键是掌握有关性质与定理，对命题的真假进行判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 【变式训练4 写出命题的题设与结论】 1．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（　　） A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】根据命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角的余角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选D． 【点睛】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成． 3．（23-24七年级下·山东泰安·期中）将命题“负数小于零”写成“如果那么”的形式 ． 【答案】如果一个数是负数，那么它小于零 【分析】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．再结合原命题的题设与结论改写即可． 【详解】解：将命题“负数小于零”写成“如果那么”的形式为： 如果一个数是负数，那么它小于零． 故答案为：如果一个数是负数，那么它小于零． 4．（23-24七年级下·山东威海·期中）把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果……那么……”的形式： ． 【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等 【分析】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，把原命题的条件放在如果的后面，把结论放在那么的后面，据此求解即可． 【详解】解：把命题“全等三角形的面积相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等 故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等 ． 5．（22-23七年级下·山东日照·期中）把命题“等角的补角相等”写成“如果……，那么……”的形式． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 【分析】命题中的条件是两个角是等角，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在 “那么”的后面． 【详解】解：题设为：两个角是等角；结论为：这两个角的补角相等，故写成“如果……，那么……”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等． 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)同角的余角相等． (2)同号两数相乘，积为正数． 【答案】(1)如果两个角都是另外一个角的余角，那么这两个角相等 (2)如果两个数的符号相同，那么它们的积为正数． 【分析】根据“如果”后面是条件，“那么”后面是结论把原命题改写成“如果……那么……”的形式即可． 【详解】（1）解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果……那么……”的形式为，如果两个角都是另外一个角的余角，那么这两个角相等； （2）解：命题“同号两数相乘，积为正数”，改写成“如果……那么……”的形式为，如果两个数的符号相同，那么它们的积为正数． 【点睛】本题主要考查了把命题改写成“如果……那么……”的形式，熟知“如果”后面是条件，“那么”后面是结论是解题的关键． 【变式训练5 写出命题的逆命题】 1．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】把一个命题的条件和结论互换即可得到其逆命题． 【详解】解：“若，则”的条件是“”，结论是“”，其逆命题是“若，则”． 故选：C． 【点睛】此题考查命题与定理，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 2．（22-23八年级下·陕西榆林·期中）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．若，则 C．全等三角形的面积相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】分别写出各命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：A：逆命题为：相等的两个角是对顶角，为假命题，不符合题意； B：逆命题为：若，则．取，可知为假命题，不符合题意； C：逆命题为：面积相等的三角形一定全等．一个直角三角形的面积可以和一个钝角三角形的面积相等，可知为假命题，不符合题意； D：逆命题为：同位角相等，两直线平行．根据平行线的判定定理可知为真命题，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查命题的逆命题以及判定命题的真假．熟记相关数学结论是解题关键． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ． 【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此求解即可． 【详解】解；命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形， 故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形。 4．（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）命题“如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等”的逆命题是 ． 【答案】“如果两个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形全等”， 【分析】 本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的结论和条件互换，写出对应的命题即为原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等”的逆命题是“如果两个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形全等”， 故答案为：“如果两个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形全等”． 5．（22-23八年级上·安徽芜湖·阶段练习）一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”： （1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式； （2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假． 【答案】（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 【分析】（1）首先判断出命题的条件和结论，然后改写成“如果……那么……”的形式即可； （2）首先根据逆命题的定义求解，然后判定逆命题是否正确即可． 【详解】解：（1）∵原命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， ∴命题“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． （2）“对顶角相等”的逆命题是：“相等的角是对顶角”， ∵相等的角不一定是对顶角， ∴它是假命题． 【点睛】此题考查了逆命题的概念以及真假命题的判断，解题的关键是熟练掌握逆命题的概念以及真假命题的定义． 6．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1)对顶角相等； (2)如果，那么． 【答案】(1)相等的角是对顶角；假命题 (2)如果，那么；真命题 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假： （1）根据逆命题的定义写出逆命题，再根据判断命题的真假即可求解； （2）根据逆命题的定义写出逆命题，再根据判断命题的真假即可求解； 熟练掌握根据原命题写出逆命题是解题的关键． 【详解】（1）解：对顶角相等的逆命题：相等的角是对顶角，是假命题． （2）如果，那么的逆命题：如果，那么，是真命题． 【变式训练6 定理与证明】 1．（22-23七年级下·全国·课后作业）“两点确定一条直线”这句话是（　　） A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义 【答案】B 【分析】两点确定一条直线是个陈述句，是事实存在的，属于基本事实． 【详解】解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实； 故选B． 【点睛】此题考查了命题与定理、公理，要熟悉课本中的性质定理是解题的关键，是一道基础题． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0 【答案】D 【分析】由于a≤0的反面为a＞0，则假设命题“a≤0”不成立，则有a＞0． 【详解】解：假设命题“a≤0”不成立，则a＞0． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）用推理的方法判断为正确的命题叫做 ． 【答案】定理． 【分析】本题考查定理的定义． 【详解】解：定理是用推理的方法判断为正确的命题，故用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. 故答案为定理。 【点睛】本题考查了定理，掌握定理的定义是解题的关键，定理是用推理的方法判断为正确的命题． 4．（22-23八年级·全国·课后作业）规定一个 和 的含义的句子叫做定义，平行四边形的定义是 ． 【答案】 名称 术语 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 【分析】根据“定义”的概念和平行四边形的定义直接填空即可． 【详解】解：规定一个名称和术语的含义的句子叫做定义； 平行四边形的定义是有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【点睛】本题考查了对命题、定理及平行四边形定义等知识点的考查，熟记“定义”及平行四边形的定义是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，然后根据SAS，得到，然后得到结论成立. 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是得到. 6．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠2＝∠3， ∴CD∥EF， ∴AB∥EF， ∴∠B＋∠F＝180°； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【变式训练7 互逆定理】 1．（22-23八年级下·四川宜宾·期中）下列定理中，没有逆定理的是（　　）. A．直角三角形的两锐角互余 B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方 【答案】C 【分析】分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A、直角三角形两锐角互余逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形； B、同位角相等，两直线平行逆定理是两直线平行，同位角相等； C、对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题是假命题； D、直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方逆定理是两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，关键是写出四个选项的逆命题，然后再判断真假． 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）下列定理中，不存在逆定理的是(   ) A．等边三角形的三个内角都等于60° B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】根据逆命题的定义先写出各选项中原命题的逆命题,再对得到的逆命题判断真假. 【详解】A的逆命题：三个内角都是60°，那么这个三角形是等边三角形，正确； B的逆命题：在同一个三角形中，如果两角相等，那么它们所对的边也相等，正确； C的逆命题：两直线平行，同位角相等，正确； D的逆命题：对应角相等，两个三角形全等，错，是相似； 故答案为D 【点睛】本题考查命题与定理-原命题、逆命题、互逆命题. 3．（22-23八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【分析】写出任意一个存在逆定理的定理即可． 【详解】“两直线平行，同位角相等”的逆定理为“同位角相等，两直线平行” 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【点睛】本题考查逆定理，熟记各种定理是解题的关键． 4．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三角形的两边之和大于第三边． 【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补 (2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形 【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论； （2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论． 【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题， 故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补； （2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题， 故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形． 【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理． 6．（22-23八年级·全国·假期作业）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 【答案】证明见解析 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【详解】证明：两个不相等的角互为补角， 这两个角一个角大于，一个角小于， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题. 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【变式训练8 举反例】 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则．”是假命题的反例的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证；判断一个命题是假问题，只需举出一个反例即可．反例要满足命题的条件，不符合命题的结论． 【详解】解： A．，这个例子与命题的条件，结论一致，故该选项错误； B．，这个例子既不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故该选项错误； C．，这个命题符合反例的要求，故该选项正确； D．，这个例子与命题的条件，结论一致，故该选项错误； 故选C． 2．（22-23七年级下·山东烟台·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反例的定义，举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例即可求解． 【详解】解：、当时，，则，与原命题不符，故错误，不符合题意； 、当时，，则，与原命题不符，故错误，不符合题意； 、当时，，则，不是反例，故错误，不符合题意； 、当时，，则，故选项是反例，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判定，掌握反例的定义是解题的关键． 3．（22-23七年级下·北京延庆·期末）为了说明“如果，那么”是假命题，则a，b可以取的一组值是 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：当，时，有， 但， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法． 4．（22-23七年级下·江苏南京·期末）命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是 ， 【答案】 （答案不唯一） 0（答案不唯一） 【分析】本题考查了举反例：符合命题条件，不符合命题结论的例子；根据题意，取a与b的值，满足，但不满足的反例即可． 【详解】解：取，则，但； 故答案为：．（答案不唯一） 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子： 妈妈：小华，听说邻居小芳全家这儿天正在外地旅游． 小华：妈妈，不可能，我昨天和今天上午都还在学校碰到了她和她妈妈呢！ 上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？他是如何推断该命题的正确性的？在你的日常生活中也有类似的例子吗？请举一至两个例子． 【答案】见解析 【分析】小华要告诉妈妈的命题是：小芳全家这几天正在外地旅游是不可能的．利用举反例说明即可． 【详解】解：小华要告诉妈妈的命题是：小芳全家这几天正在外地旅游是不可能的． 他是举反例说明的． 举例：妈妈：小华，听说小芳昨天去了北京． 小华：妈妈，不可能，我今天上午还在学校碰到了她呢! 【点睛】本题考查反证法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 【答案】见解析． 【分析】假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角，不妨设，则，这与三角形内角和为相矛盾，不成立，由此即可证明． 【详解】证明：假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角， 不妨设，则， 这与三角形内角和为相矛盾，不成立， 所以一个三角形中不能有两个直角． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 【变式训练9 反证法证明中的假设】 1．（23-24八年级下·山西太原·期中）用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（    ） A．可以有一个角是直角 B．可以有两个角是直角 C．三个角都是直角 D．三个角都不是直角 【答案】B 【分析】本题考查了用反证法证明命题的方法．熟记反证法的步骤，然后进行判断． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应先假设这个三角形中可以有两个角是直角． 故选：B． 2．（23-24八年级上·山西临汾·期末）玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（    ） A．有一个内角大于 B．有一个内角大于等于 C．每一个内角都大于 D．每一个内角都小于 【答案】C 【分析】本题考查了反证法 ，“至少有一个”的否定为“没有一个”，据此即可求解． 【详解】解：∵“至少有一个”的否定为“没有一个”， ∴应假设这个三角形中没有一个内角小于或等于， 即：这个三角形中每一个内角都大于， 故选：C 3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明“已知，．求证：．”第一步应先假设 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是反证法的证明用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可 【详解】解： “已知，，．求证：”．第一步应先假设． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时，第一步应假设 ． 【答案】是直角三角形． 【分析】本题考查的是反证法，根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知，在中，AC为最长边，且．求证：不是直角三角形．”时， 第一步应假设：是直角三角形， 故答案为：是直角三角形． 5．（2023八年级下·江苏·专题练习）用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【分析】 利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【详解】 证明：连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即和不可能互相平分． 【点睛】 此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了反证法的知识，根据反证法的步骤，先假设都小于，可得，与三角形的内角和定理矛盾，即假设错误，进而得到三角形中至少有一个角不小于，掌握反证法的步骤：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立；是解题的关键． 【详解】证明：假设都小于，则， 即，这与三角形的内角和定理矛盾， 故都小于不成立， 所以三角形中至少有一个角不小于． 【变式训练10 用反证法证明命题】 1．（22-23八年级上·山西临汾·期末）用反证法证明“若，，则”，第一步应假设：（    ） A． B．与垂直 C．与不一定平行 D．与相交 【答案】D 【分析】根据用反证法证明的方法，首先从命题结论的反面出发，假设命题的不正确，可以直接得出答案． 【详解】解：∵反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”， ∴一步应假设a与b不平行，即：a，b相交． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了用反证法证明的基本步骤，在中考中经常以这种题型出现． 2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案． 【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 3．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ． 【答案】 【分析】根据反证法的特点，假设结论的相反意义成立即可． 【详解】在中，若，则，则应假设， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反证法，正确理解反证法的证明思想是解题的关键． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 【答案】③④①② 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 5．（22-23八年级下·宁夏银川·期中）已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于． 【答案】见解析 【分析】用反证法证明即可． 【详解】解：假设，则（两直线平行，同位角相等），这与相矛盾， 假设不成立， 不平行于． 【点睛】本题主要考查了反证法和平行线的性质，熟知反证法是解题的关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？ 【答案】一个队至少要积7分才能保证出线 【详解】试题分析：易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可． 试题解析：解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线． 故一个队至少要积7分才能保证出线． 点睛：本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点． 【变式训练11 以代数为背最的推理与论证】 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 3．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（，为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“，，”的书，现有四位同学有如下理解： 甲：当时，选择这本书； 乙：只有当时，才不能选择这本书； 丙：当，，全是1时，选择这本书； 丁：当时，不选择这本书． 其中理解错误的同学是 ． 【答案】乙 【分析】根据题意的值要么为1，要么为0，当关键词出现在书中时，元素，否则（i，j为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可． 【详解】解：根据题意的值要么为1，要么为0， 甲：∵， ∴，，， ∴关键词“，，”同时出现在书中， ∴选择这本书，故甲表述正确； 乙：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书， ∴当或或时，不能选择这本书，故乙的说法错误； 丙：∵当，，全是1时，，，， ∴关键词“，，”同时出现在书中， ∴选择这本书，故丙表述正确； 丁：当时，则、、是必有值为0的，即关键词“，，”不同时具有，从而不选择这本书，故丁表述正确； 综上分析可知，说法错误的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键． 4．（2023·北京海淀·三模）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下： 原料 时间 工序 原料 原料 原料 上漆 描绘花纹 则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时． 【答案】 【分析】根据分析，甲按、、的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可． 【详解】甲按、、的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要（小时）， 故答案为：． 【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）当，时，有； 当，时，有； 当，时，有； 当，时，有． 得出结论：、为任何数时，． 这个结论正确吗？ 【答案】不正确． 【分析】根据题意设特殊值即可证明结论错误. 【详解】不正确．当时，． 【点睛】本题考查了演绎证明，通过取特殊值证明结论是否正确是常用的解题方法，需要掌握. 6．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）五年级有4个班，每个班有两个班长，每次召开班长会议时各班派一名班长参加，参加第一次会议的是A，B，C，D；参加第二次会议的是E，B，F，D；参加第三次会议的是A，E，B，G；而H三次会议都没参加．请问每个班的两位班长各是谁？ 【答案】B和H，A和F，C和E，D和G 【分析】本题主要考查了同学们的逻辑推理能力，根据每次开会时到会的班长排除两个班长同班的情况，根据三次会议总的到会情况判断出同班的班长即可． 【详解】解：因为B参加了三次，而H一次都没有参加， 所以B和H一定同班， 因为每次开会一个班只有一个班长参加，根据第一次会议可以判断出A、C不同班、A、D不同班， 所以A只能与E、F、G同班， 根据第三次会议可以判断出A与E、G不同班， 所以A与F一班； 剩下的C、D、E、G、中，根据第一次会议看出C、D不同班，第二次会议看出D、E不同班，第三次会议看出E、G不同班， 所以C与E一个班，D与G一个班． 综上所述，班长同班的情况是：B和H，A和F，C和E，D和G． 【变式训练12 逻辑推理与论证】 1．（22-23七年级下·江苏·周测）下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是（   ） A．只需观察得出 B．只靠经验获得 C．通过亲自实验得出 D．必须进行有根据的推理 【答案】D 【分析】要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验，观察或实验是不够的，必须每一步都要有根有据地进行推理． 【详解】解：经验，观察或实验只能为数学活动提供思路，要想得到正确结论，每一步都要有严密的逻辑推理过程， 故选：D． 【点睛】本题考查了数学结论是怎样得到的，必须有严密的逻辑证明过程． 2．（22-23七年级下·山东济南·阶段练习）从七年级二班选取四名同学（这四名同学分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，冠军将代表班级参加学校的比赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为： 甲：C得亚军；D得季军； 乙：D得冠军；A得亚军； 丙：C得冠军；B得亚军． 已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠军为（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】假设甲前半句正确，则后半句错误，推出矛盾，假设不成立，可知D得季军，再根据乙、丙的预测得到答案． 【详解】解：假设甲前半句正确，则后半句错误，即C得亚军；D不是季军，则乙的前半句正确，后半句错误，即D得冠军；A不是亚军；则丙的前半句错误，后半句正确，即C不是冠军；B得亚军， 产生矛盾，假设不成立，即D得季军， 即由甲的预测得到D得季军，由乙的预测可知A得亚军，由丙的预测可知C得冠军， 故选：C 【点睛】此题考查了逻辑推理与论证，假设甲前半句正确，则后半句错误是解题的关键． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）小志和小强进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小志出了6次石头，1次剪刀，3次布：②小强出了4次石头，3次剪刀，3次布：③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小志赢了 次． 【答案】6 【分析】本题考查的是推理论证，根据已知条件做出正确分析，注意每一步都有根据和理由． 因为10次对决中没有平局，那么小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，这6局中小志赢3局；同理，小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，这4局中小志赢3局，由此推断出结论． 【详解】解：∵10次对决中没有平局， ∴小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布， ∴这6局中小志赢3局， 同理，小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头， ∴这4局中小志赢3局， ∴小志共赢了局． 故答案为：6． 4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现有四件原料A、B、C、D，每件原料在每道工序所需的时间（单位：小时）如表： 原料 时间工序 原料A 原料B 原料C 原料D 上漆 15 8 9 6 描绘花纹 7 14 13 15 若由一名工匠单独完成四件原料的描金工作，则完成这四件原料的描金工作需要 小时；若由甲、乙两位工匠完成四件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹，则完成这四件原料的描金工作最少需要 小时． 【答案】 87 55 【分析】本题主要考查了推理判断，根据单独完成不能重复直接计算即可，再根据描绘花纹的时间都花费，且开始上漆时间最短即可． 【详解】由一名工匠单独完成四件原料的描金工作需要（小时）；甲工人给原料D上漆需要6小时，之后甲工人再给原料C上漆需要9小时，同时乙工人给原料D描绘花纹，接下来甲工人给原来A上漆需要15小时，同时乙工人给原料C描绘花纹，然后甲工人给原料B上漆，同时乙工人给原料A描绘花纹，最后乙工人给原料B描绘花纹需要14小时.共需要（小时）． 故答案为：87，55． 5．（2023七年级下·江苏·专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 【答案】(1)3 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论； （2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论． 【详解】（1）解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确， 针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的得分为2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第5题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的， 针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分， 针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，五道题的正确选项分别是：， 如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道， 即：他的答案可能是或或或等， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 6．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例. (1)绝对值相等的两个数一定相等； (2)等角的余角相等. 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题，反例见解析 (2)如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判断真假； （2）分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题， 反例：知，但； （2）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题． 1．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）下列语句是命题的有（      ） ①连接；  ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，据此逐一判断即可． 【详解】解：①连接，不是命题； ②等边对等角，是命题； ③同角的余角不相等，是命题； ④作线段的垂直平分线，不是命题； ⑤你来吗？不是命题； ∴命题有2个， 故选：B． 2．（22-23七年级下·陕西渭南·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例． 【详解】解：当时，满足条件，但不能得出的结论， 能说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知下列命题：①同位角相等；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若，，则，其中逆命题属于假命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题和逆命题．先写出各命题的逆命题，再判断真假． 【详解】解：①同位角相等的逆命题是相等的两个角是同位角，是假命题； ②有一个内角是直角的三角形的逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有一个内角是直角，是真命题； ③若，，则的逆命题是：若，则，，是假命题；例：，但； 综上，逆命题属于假命题的有2个； 故选：C． 4．（22-23八年级下·山西·阶段练习）在中，，，，且，求证：．在证明这个命题时，如果从已知条件出发，经过推理论证，得出结论是很困难的，于是人们想出了一种证明此类命题的方法.假设，则由勾股定理的逆定理可以得到，这与已知条件产生矛盾，因此，假设是错误的.所以是正确的.古希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》里也曾使用这种方法进行证明，我们将这种证明方法称为（    ） A．综合法 B．反证法 C．举反例法 D．数学归纳法 【答案】B 【分析】假设命题反面成立，从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾，从而得出假设命题不成立，题目描述符合反证法的特点． 【详解】题目描述符合反证法的特点， 故选B． 【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键． 5．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）A、B、C、D四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是A、D、C、B；乙：从第一名开始，名次顺序是A、C、B、D.比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一名是B队，�请写出四个队的名次顺序是（　　） A．B、A、C、D B．B、C、A、D C．D、B、A、C D．B、A、D、C 【答案】A 【详解】设甲猜对了第二名，则正确的名次为：B、D、A、C，乙一个名次都没有猜对和已知条件矛盾，假设不成立；设甲猜对了第三名，则正确的名次为：B、A、C、D，乙猜对了第第四名，假设成立；设甲猜对了第四名，则第四名为B与已知条件矛盾，假设不成立．故正确的四个队的名次顺序为：B、A、C、D． 故选A． 6．（22-23八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】根据命题的概念判断即可． 【详解】①钝角大于90°，是命题； ②两点之间，线段最短，是命题； ③明天可能下雨，没有对一件事情作出判断，不是命是题； ④作AD⊥BC，没有对一件事情作出判断，不是命题； ⑤同旁内角不互补，两直线不平行，是命题； 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句叫做命题是解题的关键． 7．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）命题：两个锐角的和是锐角．则这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】举反例，进行证明即可得出结论． 【详解】解：两个锐角的和可能是锐角，可能是直角，可能是钝角，例如：， ∴，两个锐角的和为直角， ∴两个锐角的和是锐角，这个命题为假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握反例法判断命题的真假，是解题的关键． 8．（22-23八年级下·青海西宁·期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是 ，它是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】 如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等； 假命题 【分析】依据逆命题的定义及真假命题的判断方法可得 【详解】“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的条件是两个实数相等，结论是它们的绝对值相等，因此该命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等”； 比如，但，所以是假命题 故答案为：如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；假命题 【点睛】本题考查了逆命题的定义：把原命题的条件当结论，把结论当条件得到的命题就是该命题的逆命题，要说明一个命题是假命题举一个反例即可，掌握相关的定义、定理等是解题关键． 9．（22-23七年级下·福建福州·期末）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数、，使得，于是， ∴______ ∵是偶数，可得是偶数． ∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数． ∴可设，代入，得______．可得______ ∴______．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号） ①；    ②；    ③是偶数；    ④． 【答案】②①④③ 【分析】根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，等式两边平方得到，由此可得可得是偶数，则p为偶数，可设，则，即可证明q也是偶数，这与假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数、，使得，于是， ∴， ∵是偶数，可得是偶数． ∵只有偶数的平方才是偶数， ∴也是偶数． ∴可设，代入，得．可得 ∴是偶数．这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 故答案为：②①④③． 【点睛】本题主要考查了用假设法证明，熟知假设法是解题的关键． 10．（23-24九年级下·北京·阶段练习）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m的值为 ． 题号学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 × √ × √ × × √ × 30 乙 × × √ √ √ × × √ 25 丙 √ × × × √ √ √ × 25 丁 × √ × √ √ × √ √ m 【答案】30 【分析】本题主要考查了推理论证，由乙丙的答案和得分可知第2，5题答案正确，进而判断其余6道题目的答案，再根据正确的答案判断丁的得分即可． 【详解】∵乙丙的第2，5题答案相同，且总分都是25分， ∴第2，5两题答案正确． 又∵甲得30分，且第2，5题错误， 可知其余6题答案均正确， 可知这8道题目的答案为：×，×，×，√，√，×，√，×， 可知丁的第2，8两题错误， ∴得分为，则． 故答案为：30． 11．（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． (1)同位角相等； (2)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． （1）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后判断原命题与逆命题不是互逆定理； （2）交换命题的题设与结论即可得到逆命题，然后判断原命题与逆命题不是互逆定理． 【详解】（1）解：逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同位角； 由于原命题及逆命题均为假命题，因此原命题和逆命题不是互逆定理； （2）解：逆命题是：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形． 由于逆命题为假命题．因此原命题和逆命题不是互逆定理； 12．（22-23九年级·四川雅安·期中）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明： 【答案】见解析. 【分析】先写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，再根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理得出，代入即可求出，即，即可推出答案． 【详解】逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知，如图，中，D是AB边的中点，且， 求证：是直角三角形 证明：是AB边的中点，且， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 是直角三角形． 【点睛】此题考查的是命题与定理，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用是解题的关键． 13．（2023八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数． （2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案． 【详解】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴a必为负数； （2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为， 则， ∵， ∴假设不成立， ∴的整数k不能化为两个整数的平方和． 【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键． 14．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）请你参与亮亮在翻转扑克牌游戏时的思考． （1）亮亮同学把3张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们的朝向．他发现无论经过多少次这样的操作都不能使3张扑克牌的正面全部朝下．他的结论对吗？ （2）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？ （3）把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转3张，改变它们朝向，经过若干次操作，能否使4张扑克牌的正面都朝下呢？若能，至少要经过几次这样的操作？若不能，请说明理由． 【答案】（1）正确（2）能（3）能，至少4次 【详解】试题分析：（1）根据3个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时，才能使3张牌的牌面都向下，而每次翻动2张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数，进而得出答案； （2）根据4个奇数的和是偶数，所以翻动的总张数为偶数时，才能使4张牌的牌面都向下，而每次翻动2张，故翻动的总张数都是偶数，进而得出答案； （3）可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下，要想使4张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次，进而得出答案． 试题解析：（1）正确． 3个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时，才能使3张牌的牌面都向下， 而每次翻动2张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数， 所以无论他翻动多少次，都不能使3张牌画面都向下，故他的结论正确； （2）能． 因为把4张正面都朝上的扑克牌每次都翻转2张，最少两次即可做到将4张牌全部正面都朝下； （3）能，至少4次． 理由：利用4个奇数的和是偶数，所以翻动的总张数为偶数时，才能使4张牌的牌面都向下； 而每次翻动3张，至少要经过4次这样的操作使4张扑克牌的正面都朝下．   点睛：此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下，根据“奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数”进行解答即可． 15．（22-23八年级·全国·课后作业）如图所示，通过画图可知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？          【答案】不正确 【分析】通过题意举出反例证明结论错误即可. 【详解】解:对于如图所示的等腰直角△ABC, 该三角形三条边的垂直平分线的交点在该三角形斜边AC的中点O处,并不在三角形的内部,故“任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部”的结论是错误的. 故答案为不正确 【点睛】对于本题,首先要判断该结论是否正确,若该结论正确,则给出证明;若该结论错误,只需举出反例即可;判断本题所给结论的关键是考虑问题要全面,即:该三角形是锐角三角形,钝角三角形,直角三角形的情况都要考虑到.通过对等腰直角三角形三条边的垂直平分线的交点在斜边AC的中点O处,即可举出反例,从而使本题解答. 学科网（北京）股份有限公司 $$