1.3.5&1.3.6探索三角形全等的条件：一线三等角模型&手拉手模型（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.3.5&1.3.6 探索三角形全等的条件： 一线三等角模型&手拉手模型 题型一 一线三等角的垂直模型 1．如图，在等腰三角形中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为　　 A． B．9 C．18 D．36 2．如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是　　． 3．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，、为两个排污口．已知，，，，点、、在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 4．如图，在中，，是过点的直线，于，于点； （1）若、在的同侧（如图所示）且．求证：； （2）若、在的两侧（如图所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 5．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 题型二 一线三等角的一般模型 1．如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为　　． 2．如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　； （2）若，试说明． 3．在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是　　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 题型三 手拉手模型 1．如图，在和中，，，，连接、，则与之间的大小关系是　　 A． B． C． D．大小关系不确定 2．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）请判断、有何大小、位置关系，并证明． 1．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 2．已知，在中，，，，三点都在直线上，． （1）如图①，若，则与的数量关系为　　，，与的数量关系为 　　． （2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的与的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 4．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：　　，　　； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 5．在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是　　，的度数为　　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.5&1.3.6 探索三角形全等的条件： 一线三等角模型&手拉手模型 题型一 一线三等角的垂直模型 1．如图，在等腰三角形中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为　　 A． B．9 C．18 D．36 【详解】解：如图，过作于，过作于， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 的面积． 故本题选：． 2．如图，在四边形中，，，．过点作，垂足为点．若，，则四边形的面积是　　． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形的面积的面积的面积 ． 故本题答案为：40． 3．如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂和，、的长表示两个工厂到河岸的距离，其中是进水口，、为两个排污口．已知，，，，点、、在同一直线上，米，米，求两个排污口之间的水平距离． 【详解】解：，，， ， ，，， ，， 在与中， ． ， ，， 又米，米， （米）， 答：两个排污口之间的水平距离为500米． 4．如图，在中，，是过点的直线，于，于点； （1）若、在的同侧（如图所示）且．求证：； （2）若、在的两侧（如图所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），理由如下： 同理（1）可得：． ，， ， ，即， ． 5．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【详解】（1）①证明：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ； ②证明：由（1）知：， ，， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 题型二 一线三等角的一般模型 1．如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为　　． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 故本题答案为：2． 2．如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点，重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　； （2）若，试说明． 【详解】解：（1）， ， ，， ， ， 故本题答案为：25，65，小； （2），， ， ， ， ， 在和中， ， ． 3．在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是　　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【详解】解：（1），理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， 故本题答案为：； （2）仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ，， ． 题型三 手拉手模型 1．如图，在和中，，，，连接、，则与之间的大小关系是　　 A． B． C． D．大小关系不确定 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ． 故本题选：． 2．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）请判断、有何大小、位置关系，并证明． 【详解】证明：（1）， ， ， 在和中， ， ； （2），，理由如下： 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， 则． 1．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【详解】解：（1）①，， ， ，， ， 在和中， ， ； ②， ，， ； （2）证明：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：， 理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 2．已知，在中，，，，三点都在直线上，． （1）如图①，若，则与的数量关系为　　，，与的数量关系为 　　． （2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的与的值；若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， ，， ， ， 故本题答案为：，； （2）成立，，，理由如下： 同（1）得：， ，， ， ； （3）存在，理由如下： 当时，，， ， ， ， ； 当时， ，， ， ； 综上，存在，使得与全等，，或，． 3．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【详解】解：如图，延长交于点，交于点， ， ， ， ，， ，故①正确； ，，故③正确； ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ， ， ， ，即，故④正确； 综上，其中不正确的有0个． 故本题选：． 4．综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：　　，　　； （2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【详解】解：（1），，理由如下： 如图1，设与交于点， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故本题答案为：，30； （2），，理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 5．在和中，，，，连接，． 【发现问题】如图①，若，延长交于点，则与的数量关系是　　，的度数为　　． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点，，在同一条直线上，过点作，垂足为点，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【详解】解：（1），，理由如下： 如图1，设与交于点， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故本题答案为：，； （2），，理由如下： 如图2， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，， ， ； （3）【拓展延伸】，理由如下： 如图3， ， ，即， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$