精品解析：湖南省三湘名校教育联盟联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

三湘名校教育联盟·2024年上学期高一期中大联考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数学实践课堂上小明将手中的非等腰直角三角形板绕着该直角板的斜边旋转一周，得到的几何体为（ ） A. 圆柱 B. 两个大小相同的圆锥组成的组合体 C. 两个大小不同的圆锥组成的组合体 D. 八面体 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转体定义即可求出结果. 【详解】因为三角形为非等腰直角三角形，所以绕着该直角板的斜边旋转一周后得到的是两个大小不同的圆锥组成的组合体， 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到集合，，然后求交集. 【详解】由题意可得，，所以. 故选：A. 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先由复数的除法运算化简，再结合复数的概念与几何意义即可得结论. 【详解】由题意知，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限， 故选：D. 4. 已知平面向量与共线，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由平面向量共线的坐标表示求出，再由模长公式求答案即可. 【详解】因为与共线，所以，解得， 故， 故选：D. 5. 用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，四边形的面积为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则还原四边形，然后根据各边关系列方程，解方程即可. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原四边形， 设，则，则， ，且为原图形中梯形的高， 故，解得，故. 故选：D. 6. 定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（ ） A. 先单调递减后单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 单调性不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以上单调递增. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】借助二倍角公式与三角函数基本关系将弦化切之后计算即可得. 【详解】由，可知： . 故选：C. 8. 记的内角的对边分别为为上一点，且．，则的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】在中利用正弦定理并结合已知条件可得，再由余弦定理计算可知，代入面积公式可得结果. 【详解】如下图所示： 在中，由正弦定理可知， 由已知可得，联立可得， 由余弦定理可得，解得， 且， 故面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，根据扇形的周长和面积均为列方程式，求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 根据扇形的周长和面积均为，则 ，解得或， 则或. 故选：. 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 11. 当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度和透光率来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 0.6 0.7 0.8 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意计算出，结合对数式的运算法则和对数函数的单调性，即可依次判断各选项. 【详解】由题意可知：，，， 对A，，而在定义域内单调递增，且， 所以，即，所以，故A正确； 对B，， 因为，所以，即，所以，故B错误； 对C，， 因为，所以，即，所以，故C正确； 对D，，， ， ， ， 所以，则有， 又，则，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正数满足，则当取得最小值时，_______，_______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】巧用“1“可得答案. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 13. 由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元次多项式方程有个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数是一元二次方程的一个根，则_______． 【答案】64 【解析】 【分析】根据题意得到是一元二次方程的根，然后利用韦达定理列方程，解方程求解即可. 【详解】由题意可得是一元二次方程的另一个根， 故由一元二次方程的韦达定理可得， 故. 故答案为：64. 14. 已知，函数的值域为，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，求出在对应区间上的值域，分类讨论解不等式即可求出的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增，所以时，； 当时，， 当时，在上单调递减，所以时， 即时，， 因为函数的值域为， 所以时，且. 由不等式，解得 不等式等价于时，， 设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 由不等式，解得， 所以时，的解集为， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据指数函数和二次函数单调性求得该分段函数值域，再利用值域间的包含关系解不等式可得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，为上靠近点的三等分点，设． （1）用分别表示； （2）证明：三点共线． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，利用向量的线性运算，得到，从而得到，即可证明结果. 【小问1详解】 由题知，又因为， 所以， . 【小问2详解】 因为， 又由（1）知，所以， 又与共起点，所以三点共线. 16. 已知复数． （1）若，求的值； （2）在复平面内对应的点能否位于直线上？若能，求；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）能； 【解析】 【分析】（1）根据，求出，求出; （2）在复平面内对应的点为，若该点位于直线上，求出，求 【小问1详解】 因为，所以，解得（舍去）或， 此时，故. 【小问2详解】 在复平面内对应的点为，若该点位于直线上，则， 解得， 故能在直线上，此时. 17. 已知函数的最大值为2． （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程和的单调递增区间． 【答案】（1） （2）对称轴方程，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式可得，即可求得； （2）利用整体代换法解方程可求得对称轴方程，解不等式可得单调增区间. 【小问1详解】 因为， 其中，所以， 解得， 又因为，所以. 故， 【小问2详解】 由正弦函数对称轴方程可得， 解得， 所以曲线的对称轴方程为； 由得， 即的单调递增区间为 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及同角三角函数之间的基本关系计算可得结果； （2）结合三角形形状限定出，再由三角恒等变换可得. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又因为，所以， 可得，即，所以， 所以，又 故可得. 【小问2详解】 由（1）中可得， 在中，因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以， 所以， 可得， 即可得. 19. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求值； （3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【小问1详解】 当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. 【小问2详解】 因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. 【小问3详解】 由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三湘名校教育联盟·2024年上学期高一期中大联考 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数学实践课堂上小明将手中的非等腰直角三角形板绕着该直角板的斜边旋转一周，得到的几何体为（ ） A. 圆柱 B. 两个大小相同的圆锥组成的组合体 C. 两个大小不同的圆锥组成的组合体 D. 八面体 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知平面向量与共线，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，四边形的面积为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（ ） A. 先单调递减后单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 单调性不确定 7 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 记的内角的对边分别为为上一点，且．，则的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 11. 当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度和透光率来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为，其中，是吸光度，为透光率，为入射光强度，为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率： 有机高分子材料 塑料 纤维 薄膜 06 0.7 08 设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正数满足，则当取得最小值时，_______，_______． 13. 由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元次多项式方程有个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数是一元二次方程的一个根，则_______． 14. 已知，函数的值域为，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，为上靠近点的三等分点，设． （1）用分别表示； （2）证明：三点共线． 16. 已知复数． （1）若，求的值； （2）在复平面内对应的点能否位于直线上？若能，求；若不能，说明理由． 17. 已知函数的最大值为2． （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程和的单调递增区间． 18. 在中，角对边分别为，且． （1）求值； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$