3.3一元一次不等式　自主学案　2024—2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第3章 一元一次不等式 3.3 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的概念 教材的地位 和作用 本课时是通过类比一元一次方程来学习和掌握一元一次不等式的有关概念,学生明确了不等式的解以及解在数轴上的表示后,为下课时顺利地解不等式打下良好的基础 教 学 目 标 知识与技能 1.理解一元一次不等式及其解的概念. 2.会用不等式的基本性质解简单的一元一次不等式. 3.会在数轴上表示一元一次不等式的解 过程与方法 通过在数轴上表示不等式的解的过程,进一步提高运用数形结合的能力;在探究过程中积累解决问题的经验和方法 情感、态度 与价值观 经历把实际问题抽象为数学模型的过程,进一步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用;通过探索求不等式的解的过程,体验数学活动充满着探索与创新 教学 重点 难点 重点 一元一次不等式及其解的概念 难点 不等式的解的概念的理解 易错点 不等式两边都乘(或都除以)同一个负数时,忘记改变不等号的方向;移项忘记变号 知识点一 一元一次不等式及其解的概念 不等号的两边都是整式,而且只含有 一 个未知数,未知数的最高次数是 一次 ,这样的不等式叫做一元一次不等式. 能使不等式成立的未知数的值的 全体 叫做不等式的解集,简称为不等式的解. 1.下列式子中属于一元一次不等式的是 (C) A.-3>-100 B.5x-2>y+1 C.2x+1>3+ D.-2x2-1<0 2.下列说法中正确的是 ① (只填序号). ①y=5不是y-7>6的一个解; ②x=4是不等式x+3≤5的一个解; ③所有正整数都是不等式x+1<2的解. 知识点二 解一元一次不等式 利用不等式的基本性质解一元一次不等式与解一元一次方程的方法类似,移项法则在解不等式中同样适用. 3.不等式x-2≥1的解是 x≥3 . 类型一 解简单的一元一次不等式 例1 (教材补充例题)解下列一元一次不等式,并把解表示在数轴上. (1)6-3x>-3; (2)2x+4≤3x-6. 解:(1)两边都减去-6,得-3x>-3-6. 合并同类项,得-3x>-9. 两边都除以-3,得x<3. 不等式的解表示在数轴上如图所示. (2)先在不等式的两边都加上-3x,再在不等式的两边都加上-4,得2x-3x≤-4-6. 合并同类项,得-x≤-10. 两边都除以-1,得x≥10. 不等式的解表示在数轴上如图所示. 【归纳总结】 解不等式的依据是不等式的基本性质.在使用不等式的基本性质3时,要注意不等号方向的变化情况.在数轴上表示不等式的解时,要注意“空心圆圈”与“实心圆点”的区别. 类型二 一元一次不等式的特殊解 例2 (教材例2针对训练)求不等式2x-3≤5的正整数解. 解:移项,得2x≤5+3. 合并同类项,得2x≤8. 两边都除以2,得x≤4. 所以不等式的正整数解为1,2,3,4. 【归纳总结】 求不等式的特殊解的步骤: (1)先解不等式; (2)再从不等式的解中找出符合条件的特殊解,在寻找特殊解时可以结合数轴进行判断. 类型三 方程(组)和不等式的综合应用 例3 (教材补充例题)已知关于x,y的方程组的解满足不等式x+y<3,求实数a的取值范围. 解: ①+②,得3x=6a+3, 解得x=2a+1. 将x=2a+1代入①,得y=2a-2. 因为x+y<3, 所以2a+1+2a-2<3. 移项,得2a+2a<3-1+2. 合并同类项,得4a<4. 两边都除以4,得a<1. 【归纳总结】 解决此类一元一次不等式与方程(组)的综合题时,先把方程(组)中的未知字母(例如本题中的a)当成常数解方程(组),再把题干中提供的关于未知数的不等式转换成关于未知字母的不等式去求解. 1.已知关于x的不等式-2x+a≥2的解如图所示,则a的值为( A ) 第1题图 A.0 B.2 C.-2 D.-4 【解析】 ∵-2x+a≥2, ∴x≤. 由数轴可知,不等式的解为x≤-1, ∴=-1,∴a=0. 2.若2a-3x2+a>1是关于x的一元一次不等式,则该不等式的解为( A ) A.x<-1 B.x>-1 C.x<- D.x>- 【解析】 由题意,得2+a=1,∴a=-1,∴2a-3x2+a>1可化为-2-3x>1,解得x<-1. 3.若关于x的不等式3m-2x<5的解为x>2,则实数m的值为_3_. 【解析】 解不等式,得x>. 又∵不等式的解为x>2, ∴=2,解得m=3. 4.下面是小明同学解不等式的过程,请你认真阅读并回答问题: 解不等式:2x<5x-9. 解:不等式的两边都减去5x,得2x-5x<5x-9-5x.(第一步) 合并同类项,得-3x<-9.(第二步) 不等式的两边都除以-3,得-3x (-3)<(-9) (-3).(第三步) 解得x<3.(第四步) (1)①第一步是依据_不等式的性质2_来变形的. ②小明的解法错在了第_三_步,错误的原因是_不等式的两边同时除以同一个负数,不等号的方向未改变_. (2)写出本题的正确结果. 解:(2)x>3. 5.若关于x的方程2x+2=m-x的解为负数,求m的取值范围. 解:∵2x+2=m-x, ∴x=. 又∵方程的解为负数, ∴<0,解得m<2. 6.已知等腰三角形的周长为10,且它的边长为正整数,求满足条件的等腰三角形的个数. 解:设这个等腰三角形的腰长为x,则这个等腰三角形的底边长为10-2x. 根据底边长为正数,得 10-2x>0,解得x<5. 根据三角形的三边关系,得 2x>10-2x,解得x>. 又∵x为正整数, ∴x可取3,4, 故满足条件的等腰三角形的个数为2. 第2课时 一元一次不等式的解法 教材的地位 和作用 本课时通过类比一元一次方程的解法步骤,让学生掌握一元一次不等式的解法,是解决实际生活中的一些不等关系的问题的基础 教 学 目 标 知识与技能 会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解 过程与方法 掌握解一元一次不等式的一般步骤,并会用一般步骤解一元一次不等式 情感、态度 与价值观 通过参与一元一次不等式解法的探索过程,渗透类比思想,并逐步提升运用知识解决问题的能力 教学 重点 难点 重点 运用解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式 难点 解形如教材中例4的不等式 易错点 去分母时,漏乘不含分母的项或忽视分数线的“括号”功能 知识点 解一元一次不等式 解一元一次不等式的一般步骤和根据如下: 步 骤 根 据 1 去分母 不等式的基本性质3 2 去括号 单项式乘多项式法则 3 移项 不等式的基本性质2 4 合并同类项,得ax>b, 或ax<b(a≠0) 合并同类项法则 5 两边同除以a或乘 不等式的基本性质3 1.解不等式≤+1时,去分母步骤正确的是 (D) A.1+x≤1+2x+1 B.1+x≤1+2x+6 C.3(1+x)≤2(1+2x)+1 D.3(1+x)≤2(1+2x)+6 2.不等式2x-3≤5(x-3)的解为 x≥4 . 类型一 解一元一次不等式 例1 (教材例4针对训练)解不等式: (1)≥3(x-1)-4; 解:去分母,得x+1≥6(x-1)-8. 去括号,得x+1≥6x-6-8. 移项,得x-6x≥-6-8-1. 合并同类项,得-5x≥-15. 两边都除以-5,得x≤3. (2)>2(x+1)-. 解:去分母,得2(2-x)>12(x+1)-3(7x-2). 去括号,得4-2x>12x+12-21x+6. 移项,得-2x-12x+21x>12+6-4. 合并同类项,得7x>14. 两边都除以7,得x>2. 类型二 根据一元一次不等式的解的意义求未知字母的值或取值范围 例2 (教材补充例题)已知不等式x+8>4x+m(m是常数)的解是x<3,求m的值. 解:移项,得x-4x>-8+m. 合并同类项,得-3x>-8+m. 两边都除以-3,得x<. ∵不等式的解是x<3,∴=3, 解得m=-1. 【归纳总结】 根据解确定不等式中未知字母的值(或取值范围)的步骤: (1)将未知字母看作常数,解原不等式; (2)根据求得的解与已知解的关系,建立关于未知字母的方程(或不等式); (3)解方程(或不等式),求出字母的值(或取值范围). 1.已知关于x的方程x-=的解为非负数,则自然数a的值为( C ) A.0或1 B.1或2 C.0或1或2 D.1或2或3 【解析】 解方程,得x=. ∵关于x的方程x-=的解为非负数, ∴≥0,解得a≤, ∴自然数a的值为0或1或2. 2.对实数a,b,定义新运算“※”:a※b=3a+2b.如2※4=3 2+2 4=14.不等式x※3≤0的解为_x≤-2_. 【解析】 不等式x※3≤0可化为3x+6≤0,解得x≤-2. 3.解不等式-≤1,把它的解在数轴上表示出来,并求出这个不等式的负整数解. 解:去分母,得2(2x-1)-3(5x+1)≤6. 去括号,得4x-2-15x-3≤6. 移项,得4x-15x≤6+2+3. 合并同类项,得-11x≤11. 两边都除以-11,得x≥-1. 解在数轴上表示如答图. 第3题答图 这个不等式的负整数解为x=-1. 4.(1)解不等式5(x-2)+8<6(x-1)+7. (2)若(1)中的不等式的最小整数解是关于x的方程2x-ax=3的解,求a的值. 解:(1)去括号,得5x-10+8<6x-6+7. 移项、合并同类项,得-x<3. 两边都除以-1,得x>-3. (2)由(1)可知,不等式的最小整数解为x=-2, ∴2 (-2)-a (-2)=3, 解得a=. 5.整式3的值为P. (1)当m=-2时,求P的值. (2)若P的取值范围如图所示,求m的负整数值. 第5题图 解:(1)由题意,得P=3=3 =7. (2)由数轴,得P≤7, 即3≤7,解得m≥-2. 又∵m为负整数, ∴m=-1或-2. 第3课时 一元一次不等式的应用 教材的地位 和作用 本课时是通过类比一元一次方程解决实际问题的过程与方法,利用题目中的不等关系列出不等式,运用不等式的解法求出不等式的解,根据实际问题的意义写出答案,从而把不等式的有关知识应用到实际问题中 教 学 目 标 知识与技能 会根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式,会利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题 过程与方法 通过小组间的合作交流,学会找到实际问题中存在的量与量之间的不等关系 情感、态度 与价值观 通过自主探索,激起学生学数学的好奇心与求知欲,能积极参与数学学习活动,锻炼克服困难的意志,增强自信心 教学 重点 难点 重点 利用一元一次不等式解决简单的实际问题 难点 挖掘题目中的不等关系 易错点 未能准确地找到不等关系列不等式;忽视实际问题对不等式的解的影响 知识点 列一元一次不等式解决实际问题 列一元一次不等式解决实际问题的步骤: (1)审:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题目中的不等关系,要抓住题设中的关键词语,如大于、小于、不小于、不大于等; (2)设:设出适当的未知数; (3)列:根据题中的不等关系列出不等式; (4)解:解不等式,求出所列不等式的解; (5)答:检验所得解是否符合实际,并正确、完整地写出答案. 1.某段隧道全长9 km,一辆汽车以不高于80 km/h的速度通过该隧道,则该车通过隧道所用的时间可能是 (D) A.4 min B.5 min C.6 min D.7 min 2.某商场去年的利润为800万元,要求今年的利润不低于1000万元,则该商场今年利润的增长率不小于 25% . 类型一 一元一次不等式的应用 例1 (教材补充例题)某城市每天产生垃圾700吨,由甲、乙两垃圾处理厂处理.已知甲厂每小时可处理垃圾55吨,需费用550元,乙厂每小时可处理垃圾45吨,需费用495元.若规定该市每天处理垃圾的费用不超过7370元,则甲厂每天至少应处理多少吨垃圾? 解:设甲厂每天处理x吨垃圾.依题意,得 x+ (700-x)≤7370, 解不等式,得x≥330. 答:甲厂每天至少应处理330吨垃圾. 【归纳总结】 用不等式解决实际问题时的“取整”方法有“四舍五入”法,也有“进一”或“去尾”法,具体见下表: 解 临界数 取整结果 x>a a为正有理数 “进一”法,即取大于a的最小正整数 x≥a a为正分数 a为正整数 a x<a a为正有理数 “去尾”法,即取小于a的最大正整数 x≤a a为正分数 a为正整数 a 类型二 方程和不等式的综合应用 例2 (教材补充例题)某校计划购买一批篮球和足球,已知购买2个篮球和1个足球共需320元,购买3个篮球和2个足球共需540元. (1)求每个篮球和每个足球的售价; (2)如果学校计划购买这两种球共50个,总费用不超过5500元,那么最多可购买多少个足球? 解:(1)设每个篮球和每个足球的售价分别为x元,y元. 根据题意,得 解得 则每个篮球和每个足球的售价分别为100元,120元. (2)设购买a个足球,则购买(50-a)个篮球. 根据题意,得120a+100(50-a)≤5500, 整理,得20a≤500,解得a≤25. 故最多可购买25个足球. 【归纳总结】 解此类问题的关键是找出问题中的相等关系和不等关系,利用相等关系列出方程或方程组,利用不等关系列一元一次不等式.此类问题的特点是通常有两问,且第(2)问要用到第(1)问所得的结果. 1.某工厂为了在规定期限内完成加工2 160个零件的任务,安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数),开工6天后,其中3人外出培训.若剩下的工人每人每天多加工2个零件,仍不能在21天内完成这次任务,则a的最大值为( B ) A.4 B.6 C.8 D.9 【解析】 由题意,得15 6a+(15-3) (21-6)(a+2)<2 160, 解得a<,即a的最大值为6. 2.某爱心企业在政府的支持下投入资金,准备修建一批室外简易的足球场和篮球场,供市民免费使用.已知修建1个足球场需要3.5万元,修建1个篮球场需要5万元.若该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个,投入资金不超过90万元,则至少要修建_7_个足球场. 【解析】 设修建足球场x个,则修建篮球场(20-x)个. 由题意,得3.5x+5(20-x)≤90, 解得x≥6, 即至少要修建7个足球场. 3.某单位准备购买文化用品,现有甲、乙两家超市进行促销活动,该文化用品在两家超市的标价均为10元/件,甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠,超过400元的部分按标价的六折售卖.乙超市全部按标价的八折售卖. (1)若该单位需要购买30件这种文化用品,则在甲超市的购物金额为_300_元,乙超市的购物金额为_240_元. (2)假如你是该单位的采购员,你认为当购买数量超过_80_件时,选择甲超市支付的费用较少. 【解析】 (2)设购买x件这种文化用品. 当0<x≤40时,在甲超市的购物金额为10x元,在乙超市的购物金额为0.8 10x=8x(元). 又∵10x>8x, ∴选择乙超市支付的费用较少. 当x>40时,在甲超市的购物金额为400+0.6(10x-400)=(6x+160)(元), 在乙超市的购物金额为0.8 10x=8x元. 若6x+160<8x,则x>80, ∴当购买数量超过80件时,选择甲超市支付的费用较少. 4.有大小两种货车,3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18 t,2辆大货车与6辆小货车一次可以运货17 t. (1)求1辆大货车和1辆小货车一次各可以运货多少吨. (2)目前有34 t货物需要运输,货运公司拟安排大、小货车共10辆,若全部货物必须一次运完,则至少要安排多少辆大货车? 解:(1)设1辆大货车一次可以运货x(t),1辆小货车一次可以运货y(t),由题意,得 解得 答:1辆大货车一次可以运货4 t,1辆小货车一次可以运货1.5 t. (2)设货运公司安排大货车m辆,则安排小货车(10-m)辆, 由题意,得4m+1.5(10-m)≥34, 解得m≥7.6. 答:至少要安排8辆大货车. 学科网(北京)股份有限公司 $$