2.6直角三角形　自主学案　2024—2025学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第2章 特殊三角形 2.6 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质 教材的地位 和作用 本节课主要研究直角三角形的两个性质定理,它们的应用广泛,是后续学习的必备基础知识,并且是解决有关几何论证及计算问题的重要依据 教 学 目 标 知识与技能 1.会用几何语言表示直角三角形. 2.掌握直角三角形的两个性质:“两个锐角互余”“斜边上的中线等于斜边的一半”,并能进行简单的推理和计算 过程与方法 通过丰富的实例,感受直角三角形的应用性和进一步学习的必要性,进一步提升发现问题、提出问题、解决问题的能力 情感、态度 与价值观 在直角三角形性质的探索与发现过程中,感受合情推理以及数学结论的确定性 教学 重点 难点 重点 直角三角形的两个锐角互余的性质及其应用 难点 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的探索及应用 易错点 未能把直角三角形和等腰三角形的性质充分地结合起来;对应用直角三角形的性质所要满足的基本条件不够明确 知识点一 直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角 互余 . 1.在Rt ABC中,∠C=90 ,∠B=28 ,则∠A= 62 . 知识点二 直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 . 2.在Rt ABC中,∠C=90 ,AB=8 cm,D是AB的中点,则CD的长为 4 cm . 类型一 直角三角形的两锐角互余 例1 (教材补充例题)如图2-6-1,在Rt ACB中,∠ACB=90 ,CD⊥AB于点D. (1)求证:∠ACD=∠B; (2)若AF平分∠CAB,交CD于点E,交BC于点F,求证:∠CEF=∠CFE. 图2-6-1 证明:(1)∵∠ACB=90 ,CD⊥AB于点D, ∴∠ACD+∠BCD=90 ,∠B+∠BCD=90 , ∴∠ACD=∠B. (2)∵AF平分∠CAB, ∴∠CAF=∠FAD. ∵∠ACB=90 ,CD⊥AB于点D, ∴∠CAF+∠CFE=90 ,∠FAD+∠AED=90 , ∴∠AED=∠CFE. 又∵∠AED=∠CEF, ∴∠CEF=∠CFE. 【归纳总结】 直角三角形+斜边上的高线能得出以下结论:如图2-6-2,∠ACB=90 ,CD⊥AB于点D. 图2-6-2 (1)三个直角三角形: Rt ABC,Rt ACD,Rt BCD. (2)4对互余的角:∠A与∠B,∠A与∠1,∠B与∠2,∠1与∠2. (3)两对相等的锐角:∠1=∠B,∠2=∠A. 类型二 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例2 (教材补充例题)如图2-6-3所示,AD,BE分别为 ABC的边BC,AC上的高线,G是AB的中点,GF⊥DE于点F.试说明:DF=FE. 图2-6-3 解:如图,连结DG,GE. ∵AD,BE分别为 ABC的边BC,AC上的高线, ∴∠ADB=∠AEB=90 . ∵G是AB的中点, ∴DG=AB,GE=AB,∴DG=GE, ∴ DGE是等腰三角形. 又∵GF⊥DE,∴DF=FE. 【归纳总结】 说明两条线段相等的方法: (1)直角三角形斜边上的中线的性质: 图2-6-4 (2)说明两条线段相等,有时还可以借助第三条线段进行等量代换. 1.在 ABC中,若AB=AC=4,∠BAC=150 ,则S ABC=( C ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】 如答图,过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D. 第1题答图 ∵在Rt ACD中,∠CAD=180 -∠BAC=30 , ∴CD=AC=2, ∴S ABC=AB CD= 4 2=4. 2.如图,在 ABC中,AB=AC,∠BAC=120 ,EF为AB的垂直平分线,交AB于点E,交BC于点F.若BF=5,则FC的长为( C ) A.5 B.7 C.10 D.12 第2题图 【解析】 如答图,连结AF. ∵AB=AC,∠BAC=120 , ∴∠B=∠C=30 . ∵EF为AB的垂直平分线, ∴AF=BF=5, ∴∠BAF=∠B=30 , ∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=90 . 又∵∠C=30 , ∴FC=2AF=10. 第2题答图 3.在Rt ABC中,∠ACB=90 ,D为AB的中点,DE⊥AC于点E.若∠A=30 ,DE=4 cm,则AB=_16_cm,CD=_8_cm. 第3题图 【解析】 ∵DE⊥AC,∠A=30 ,DE=4 cm, ∴AD=2DE=8 cm. ∵D为AB的中点, ∴AB=2AD=16 cm, 又∵∠ACB=90 ,∴CD=AB=8 cm. 4.若等腰三角形一腰上的高线长等于腰长的一半,则这个等腰三角形的顶角的度数为_30 或150 _. 【解析】 分情况讨论: ①当 ABC是锐角三角形时,如答图1. ∵BD⊥AC,AB=AC,BD=AB, ∴∠A=30 ; 第4题答图 ②当 ABC是钝角三角形时,如答图2. ∵BD⊥CD,AB=AC,CD=AC, ∴∠DAC=30 , ∴∠BAC=180 -∠DAC=150 . 综上所述,这个等腰三角形的顶角的度数为30 或150 . 5.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,CD是AB边上的中线,DE⊥AB于点D,交AC于点E.求证:∠AED=∠DCB. 第5题图 证明:∵∠ACB=90 ,CD是AB边上的中线, ∴CD=AD=DB, ∴∠B=∠DCB. ∵DE⊥AB, ∴∠A+∠AED=90 . ∵∠ACB=90 , ∴∠A+∠B=90 , ∴∠B=∠AED, ∴∠AED=∠DCB. 6.如图, ABC为等边三角形,BD是AC边上的高线,延长BC至点E,使CE=CD. (1)求证:DB=DE. (2)过点D作DF⊥BE,垂足为F.若CF=3,求 ABC的周长. 第6题图 解:(1)∵ ABC是等边三角形, ∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60 . 又∵BD是AC边上的高线, ∴∠CBD=∠ABC=30 . ∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED. 又∵∠ACB=∠CDE+∠CED, ∴∠CED=∠ACB=30 =∠CBD, ∴DB=DE. (2)∵DF⊥BE, ∴∠CDF=90 -∠ACB=30 , ∴CD=2CF=6. ∵ ABC是等边三角形,BD是AC边上的高线, ∴AC=2CD=12, ∴C ABC=3AC=36. 第2课时 直角三角形的判定 教材的地位 和作用 直角三角形的判定是学习完直角三角形的性质之后的内容,该定理与直角三角形的性质定理互为逆定理,是判定直角三角形的重要方法 教 学 目 标 知识与技能 掌握直角三角形的判定条件,即会用角的数量关系来判断一个三角形是不是直角三角形,并能进行简单应用 过程与方法 经历探索直角三角形的判定条件的过程,理解直角三角形的判定定理 情感、态度 与价值观 提升解决问题的兴趣,体会由直角三角形的性质定理逆向思维所获得的结论 教学 重点 难点 重点 直角三角形的判定定理 难点 运用直角三角形的判定定理解决较复杂的问题 易错点 未弄清判定定理的条件和结论,与性质定理混淆 知识点 直角三角形的判定定理 有一个角是 直角 的三角形是直角三角形. 有两个角 互余 的三角形是直角三角形. 图2-6-6 1.如图2-6-6,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,AD⊥BC于点D,则图中一共有 3 个直角三角形. 2.有四个三角形,它们各自的三个内角的度数之比分别是1∶3∶4,2∶5∶7,1∶3∶5和2∶6∶9,在这四个三角形中,直角三角形有 (B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图2-6-7,在 ABC中,CD⊥AB于点D,∠ACD=∠B.求证: ABC是直角三角形. 图2-6-7 证明:∵CD⊥AB, ∴∠CDA=90 , ∴∠A+∠ACD=90 . ∵∠ACD=∠B, ∴∠A+∠B=90 , ∴ ABC是直角三角形. 类型 直角三角形的判定 例1 (教材补充例题)如图2-6-8,已知CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C.求证: ABD是直角三角形. 图2-6-8 证明:∵CE⊥AD于点E, ∴∠CED=90 , ∴∠C+∠D=90 . ∵∠A=∠C, ∴∠A+∠D=90 , ∴ ABD是直角三角形. 【归纳总结】 判定直角三角形的三种方法: (1)定义法:有一个角是直角的三角形是直角三角形. (2)判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形. (3)推论:①两个内角的和等于第三个内角的三角形是直角三角形; ②一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形. 例2 (教材补充例题)如图2-6-9,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,AB=AC,D是BC的中点,AE=BF.求证: DEF为等腰直角三角形. 图2-6-9 证明:连结AD. ∵AB=AC,∠BAC=90 ,D是BC的中点, ∴AD⊥BC,AD=BD=BC,∠BAD=∠DAE=45 ,∠B=∠C=45 , ∴∠B=∠DAE,∠ADB=90 . 又∵AE=BF, ∴ DAE≌ DBF(SAS), ∴DE=DF,∠ADE=∠BDF, ∴∠ADE+∠ADF=∠BDF+∠ADF, 即∠FDE=∠ADB,∴∠FDE=90 , ∴ DEF为等腰直角三角形. 【归纳总结】 等腰直角三角形斜边上的中线: 等腰直角三角形斜边上的中线可将原三角形分成两个全等的等腰直角三角形.当已知等腰直角三角形斜边上的中点时,可根据实际情况选择添加斜边上的中线作为辅助线. 1.如图,在 ABC中,D是BC边上的一点,AD=AB,E,F分别是BD,AC的中点.若AC=8,则EF的长为_4_. 第1题图 【解析】 如答图,连结AE. ∵AB=AD,E是BD的中点, ∴AE⊥BD,∴ AEC是直角三角形. 又∵F是AC的中点,∴EF=AC=4. 第1题答图 2.已知:如图,BD⊥AC,垂足为E, ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G,∠B=∠C. (1)求证:EG是 CDE的高线. (2)若EG是 CDE的中线,判断 ABE的形状,并说明理由. 第2题图 解:(1)∵BD⊥AC,EF是 ABE的中线, ∴EF=BF=AB, ∴∠B=∠BEF. ∵∠B=∠C,∠AEF=∠CEG,∠BEF+∠AEF=90 , ∴∠C+∠CEG=90 ,∴∠EGC=90 , ∴EG是 CDE的高线. (2) ABE是等腰直角三角形.理由如下: ∵EG是 CDE的中线,EG⊥CD, ∴EG是CD的垂直平分线,∴DE=CE, ∴ DEC是等腰直角三角形, ∴∠B=∠C=∠D=45 , ∴∠A=45 ,∴AE=BE, ∴ ABE是等腰直角三角形. 3.在 ABC中,∠ABC=45 ,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,直线AD交直线BE于点F,连结CF. 第3题图 (1)如图1,若∠BAC是锐角,求证: CDF是等腰直角三角形. (2)如图2,若∠BAC是钝角,则(1)中的结论是否仍成立?请说明理由. 解:(1)∵∠ABC=45 ,AD⊥BC, ∴∠BAD=45 =∠ABC,∴BD=AD. ∵BE⊥AC,AD⊥BC, ∴∠FBD+∠ACB=90 ,∠CAD+∠ACB=90 ,∴∠FBD=∠CAD. 又∵∠BDF=∠ADC=90 ,BD=AD, ∴ BFD≌ ACD(ASA),∴FD=CD. 又∵∠CDF=90 , ∴ CDF是等腰直角三角形. (2)(1)中的结论仍成立.理由如下: 同(1)可证 BFD≌ ACD,∴FD=CD. 又∵∠CDF=90 , ∴ CDF是等腰直角三角形. 4.[模型观念]如图,在 ABC中,∠C=90 ,∠A=30 ,AB=4 cm,动点P,Q分别从A,B两点同时出发,分别在AB,BC边上匀速移动,它们的速度分别为vP=2 cm/s,vQ=1 cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,设点P运动的时间为t(s). (1)当t为何值时, PBQ是等边三角形? (2)当t为何值时, PBQ是直角三角形? 第4题图 解:在 ABC中,∵∠C=90 ,∠A=30 , ∴BC=AB=2 cm,∠B=60 . ∵4 2=2(s),2 1=2(cm), ∴当点P到达点B时,点Q恰好到达点C, ∴0≤t≤2,BP=4-2t,BQ=t. (1)当BP=BQ时, PBQ是等边三角形, 此时4-2t=t,∴t=, 即当t=时, PBQ是等边三角形. (2)分两种情况讨论: ①当∠BQP=90 时,∠BPQ=30 , 此时BP=2BQ, 即4-2t=2t,∴t=1; ②当∠BPQ=90 时,∠BQP=30 , 此时BQ=2BP, 即t=2(4-2t),∴t=. 综上所述,当t=1或时, PBQ是直角三角形. 学科网(北京)股份有限公司 $$