2.3等腰三角形的性质定理 自主学案 2023-2024学年浙教版数学八年级上册

浙教版数学八年级上册自主学案 第2章　特殊三角形 2.3　等腰三角形的性质定理 第1课时　等腰三角形性质定理1及推论 教材的地位 和作用 　等腰三角形的性质是对等腰三角形认识的提升,也是全等三角形和轴对称的续篇,为今后学习四边形、相似形奠定基础.等腰三角形的两个底角相等的性质,可以实现一个三角形中边相等与角相等之间的转化,也是今后证明两角相等的重要依据之一 教 学 目 标 知识与技能 　1.掌握等腰三角形性质定理1及推论,并能进行简单的推理、判断、计算和作图. 　2.探索等边三角形的性质 过程与方法 　经历根据等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形性质的探究过程,进一步养成多角度思考问题的习惯,提高分析问题和解决问题的能力 情感、态度 与价值观 　通过对等腰三角形的观察、实验、猜想、论证,体验数学活动充满着探索性和创造性 教学 重点 难点 重点 　等腰三角形的两个底角相等的性质 难点 　在证明等腰三角形的两个底角相等的性质时需添加辅助线,添加辅助线的思路较难形成 易错点 　在不明确等腰三角形的顶(底)角的情况下,未分类讨论 知识点一　等腰三角形性质定理1 　　等腰三角形的两个底角相等,也可以说成在同一个三角形中,　等边对等角　.  1.若等腰三角形的一个底角为40°,则这个等腰三角形的顶角为 (C) A.40° B.80° C.100° D.100°或40° 知识点二　等腰三角形性质定理1的推论 　　等边三角形的各个内角都等于　60°　.  2.如图2-3-1,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD=　30　°.  图2-3-1 类型一　等腰三角形性质定理1的应用 例1 (教材补充例题)等腰三角形中有一个角是80°,求它的一条腰上的高线与底边的夹角. 解:若80°的角是顶角,则底角是50°,腰上的高线与底边的夹角为40°;若80°的角是底角,则腰上的高线与底边的夹角为10°. 综上可得,等腰三角形中有一个角是80°,它的一条腰上的高线与底边的夹角是40°或10°. 【归纳总结】 等腰三角形中有关内角的分类讨论: (1)若已知角为锐角,则要分两种情况讨论:①已知角为顶角;②已知角为底角.同时不要忽视“三角形内角和为180°”这个隐含条件. (2)若已知角为钝角或直角,则该角只能为顶角. 例2 (教材补充例题)如图2-3-2所示,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD,AC=CD,求∠B的度数. 图2-3-2 解:∵AB=AC,AD=BD,AC=CD, ∴∠B=∠C=∠BAD,∠ADC=∠DAC. 设∠B=x,则∠BAD=∠C=x,∠ADC=∠B+∠BAD=2x, ∴∠DAC=∠ADC=2x. 在△ABC中,有∠B+∠C+∠BAC=x+x+3x=180°, 解得x=36°,∴∠B=36°. 【归纳总结】 求多个等腰三角形组合图中角的度数的方法: 先将边的关系转化为角的关系,再利用三角形的内角和定理与外角性质通过列方程求解. 类型二　等腰三角形性质定理1的推论的应用 例3 (教材补充例题)如图2-3-3,已知△ABC和△ADE都是等边三角形. 求证:BD=CE. 图2-3-3 证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形(已知), ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°(等边三角形的性质), ∴∠BAD=∠CAE(等式的性质). 在△BAD与△CAE中, ∵ ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等). 例4 (教材补充例题)如图2-3-4,△ABC是等边三角形,D是BC延长线上的点,BE,CE分别平分∠ABC和∠ACD,求∠BEC的度数. 图2-3-4 解:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠ACD=180°-60°=120°. ∵BE,CE分别平分∠ABC和∠ACD, ∴∠EBD=∠ABC=30°,∠ECD=∠ACD=60°, ∴∠BEC=∠ECD -∠EBD =60°-30°=30°. 【归纳总结】 等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的所有性质,解题时不要忘记其特殊性. [推理能力]如图，在△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到点A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到点A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；在边A3E上任取一点F，延长A2A3到点A4，使A3A4＝A3F，得到第4个△A3A4F……按此作法继续下去，第2 023个三角形中以A2 023为顶点的内角度数为(　B　) A.2 021×75° B．×75° C.2 023×75° D．2 024×75° 【解析】 ∵在△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB， ∴∠BA1C＝＝75°. ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°. 同理可得∠EA3A2＝×75°，∠FA4A3＝×75°， ∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数为－1×75°， ∴第2 023个三角形中以A2 023为顶点的内角度数为×75°. 第2课时　等腰三角形性质定理2 教材的地位 和作用 　等腰三角形“三线合一”的性质是今后证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的依据,在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位 教 学 目 标 知识与技能 　掌握等腰三角形性质定理2,并能进行简单的推理、判断、计算和作图 过程与方法 　经历等腰三角形性质定理2的探究过程,进一步养成多角度思考问题的习惯,提高分析问题和解决问题的能力 情感、态度 与价值观 　通过对等腰三角形的观察、实验、猜想、论证,体验数学活动充满着探索性和创造性 教学 重点 难点 重点 　等腰三角形“三线合一”的性质 难点 　应用等腰三角形“三线合一”的性质证明较复杂的问题 易错点 　应用等腰三角形“三线合一”的性质未在“等腰三角形”的前提之下 知识点　等腰三角形性质定理2 　　等腰三角形的　顶角平分线　、　底边上的中线　和　高线　互相重合,简称等腰三角形三线合一.  [几何语言] 如图2-3-5所示. (1)∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC,BD=CD. (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC. (3)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠CAD,BD=CD. 图2-3-5 图2-3-6 1.如图2-3-6,在△ABC中,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,则下列结论中不正确的是 (D) A.△ABD≌△ACD B.∠B=∠C C.AD平分∠BAC D.△ABC是等边三角形 2.如图2-3-7,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是 (C) 图2-3-7 A.等边对等角 B.垂线段最短 C.等腰三角形“三线合一” D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 类型一　利用等腰三角形“三线合一”探索线段之间的关系 例1 (教材例3针对训练)已知:如图2-3-8,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,AO的延长线交BC于点D.求证:AD⊥BC,BD=CD. 图2-3-8 　　证明:在△ABO与△ACO中, ∵ ∴△ABO≌△ACO(SSS), ∴∠BAO=∠CAO. 又∵AB=AC, ∴AD⊥BC,BD=CD. 【归纳总结】 “三线合一”性质的应用: (1)等腰三角形“三线合一”的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系既重要又简便的方法. (2)等腰三角形“三线合一”的性质是其特有的性质,它实际是一组定理.应用过程中,在等腰三角形的前提下,只要知道“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线”其中的“一线”,就可以说明这“一线”是其他的“两线”. (3)当题目中出现等腰三角形时,要善于发现可以补全等腰三角形“三线合一”基本图形的条件,利用“三线合一”基本图形是解决与等腰三角形有关问题的一种重要思路. 类型二　“三线合一”在解决与等边三角形有关的问题中的运用 例2 (教材补充例题)如图2-3-9,已知等边三角形ABC,D是AC的中点,连结BD.点E在BC的延长线上,且CE=CD.若DM⊥BC,垂足为M.求证:M是BE的中点. 图2-3-9 　　证明:∵△ABC是等边三角形,D是AC的中点, ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=∠ACB. ∵CE=CD, ∴∠E=∠CDE=∠ACB,∴∠E=∠CBD. 在△BMD和△EMD中, ∵ ∴△BMD≌△EMD, ∴BM=EM,即M是BE的中点. 【归纳总结】 三角形的性质: (1)一般三角形的性质:三角形任意两边的和大于第三边;三角形三个内角的和等于180°;三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. (2)等腰三角形的性质:等边对等角;“三线合一”. (3)等边三角形特有的性质:三个内角都等于60°. 　图2-3-10 已知:如图2-3-10,在等腰三角形ABC中,AB=BC,AD⊥BC于点D,∠CAD=28°,求∠BAC的度数. 解:因为在等腰三角形ABC中,AD⊥BC, 所以由等腰三角形“三线合一”的性质,得∠BAD=∠CAD=∠BAC, 所以∠BAC=2∠CAD=2×28°=56°. 以上解答过程正确吗?若不正确,请说明理由,并给出正确的解答过程. 解:不正确.理由:因为等腰三角形“三线合一”指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合,但对于底角平分线、腰上的中线、腰上的高线却不一定互相重合.不要盲目运用“三线合一”的性质解题. 正解:因为AD⊥BC,∠CAD=28°, 所以∠C=180°-90°-28°=62°. 又因为AB=BC,所以∠BAC=∠C=62°. 学科网（北京）股份有限公司 $$