精品解析：陕西省安康市高新中学、安康中学高新分校2024届高三下学期4月联考模拟预测（理科）数学试题

理科数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（ ） A. 样本中层次的女生比相应层次的男生人数多 B. 估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小 C. 层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等 D. 样本中层次的学生数和层次的学生数一样多 7. 某几何体的三视图如图所示，其中每个网格是由边长为1的小正方形组成，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 9. 已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 11. 2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级： 声源 与声源的距离（单位：） 声强级范围 内燃列车 20 电力列车 20 高速列车 20 设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 若，则（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，直线与曲线相切，则__________． 14. 二项式的展开式中，含项的系数为，则__________． 15. 已知的内角所对的边分别为，且，则的外接圆的周长为__________． 16. 已知抛物线上的点到焦点的距离为4，过点作直线交抛物线于两点，延长交准线于点两点在准线上的射影分别为，若，则的面积为__________． 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17. 已知正项数列满足，等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 如图，在底面为正方形的四棱台中，平面平面，已知． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 19. 新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． （1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 20. 已知函数． （1）若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值； （2）若函数的最小值为，求的值． 21. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线分别与椭圆交于点．设的面积分别为．求证：为定值． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，直线的方程为：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）①若直线上的动点与定点满足，求以为参数的直线的参数方程； ②求曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线的交点为，求弦长的值． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 理科数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式化简集合B，再由集合的补集、交集的运算求解即可. 【详解】或， ． 故选：． 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用的性质化简，再利用复数的四则运算与共轭复数的定义，结合复数的概念即可得解. 【详解】因为，所以， 由， ，其虚部为. 故选：A. 3. 在中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点所在位置，结合平面向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】因为，所以为线段上靠近的三等分点，如下图所示： 故． 故选：C． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简所求式，再将其化弦为切计算即得. 【详解】因为． 故选:D． 5. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，求得不等式对应的解集，再根据选项进行选择. 【详解】等价于，即， 因为可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，其它选项均不满足； 所以“”的一个必要不充分条件是． 故选：B． 6. 某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（ ） A. 样本中层次的女生比相应层次的男生人数多 B. 估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小 C. 层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等 D. 样本中层次的学生数和层次的学生数一样多 【答案】B 【解析】 【分析】频率分布直方图，得女生学业达成在各层次的频率，对选项中的频率频数问题进行判断. 【详解】对于AC，设女生学业达成频率分布直方图中的组距为， 由，得， 所以女生学业达成频率分布直方图中层次频率为，层次频率为， 层次频率为，层次频率为，层次频率为， 因为男､女生样本数未知，所以层次中男､女生人数不能比较，即A选项错误； 同理，层次女生在女生样本数中频率与层次男生在男生样本数中频率相等，都是， 但因男､女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C选项错误； 对于D，设女生人数为，男生人数为，但因男､女生人数可能不相等， 则层次的学生数为， 层次的学生数为， 因为不确定，所以与可能不相等，即D选项错误； 对于B，女生两个层次的频率之和为， 所以女生的样本学业达成的中位数为B，C层次的分界点， 男生两个层次的频率之和为，显然中位数落在C层次内， 所以样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小，B选项正确． 故选：B． 7. 某几何体的三视图如图所示，其中每个网格是由边长为1的小正方形组成，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，还原实物图，再根据直观图，利用几何关系，得出各个侧面均为直角三角形，即可求出结果. 【详解】由三视图知，该几何体为四棱锥，其直观图如图所示，其底面是边长为的正方形，侧棱底面， 因为底面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得，且， 则该几何体的侧面积为， 故选：C． 8. 若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且， 由圆的圆心为， 圆心到的距离为， 圆心到：的距离为， 所以，整理得到， 由，所以． 故选：D． 9. 已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出两点坐标，得，焦点到渐近线的距离求出，由求出的值，再由求出的值，可求双曲线的离心率. 【详解】设，则， 过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限， 由解得，所以． 由双曲线可得渐近线为， 由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离， 所以． 因为，所以，解得． 由，则，得，所以离心率为． 故选：． 10. 已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的对称中心是 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，根据最小正周期得到，得到函数解析式，求出A错误；B选项，整体法求解出函数的对称中心；C选项，求出，C错误；D选项，平移得到，D正确. 【详解】A选项， ， 因为函数的最小正周期为，解得，所以， 当时，，故A错误； B选项，令，即， 函数的对称中心是，故B错误； C选项，时，， 显然在其上不单调，故C错误； D选项，的图象向右平移个单位长度， 得到，故D正确． 故选：D． 11. 2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级： 声源 与声源的距离（单位：） 声强级范围 内燃列车 20 电力列车 20 高速列车 20 设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据声强、声强级之间的关系确定基准声强级，即可判断A；计算可得大小关系，即可判断B，D；计算可得大小关系，即可判断. 【详解】对于：因为声强时，声强级， 所以，解得，故错误； 对于B：因为， 所以，即，故B正确； 对于C：， 所以，即，故C不正确； 对于D，， 所以，即，故D不正确． 故选：B． 12. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据选项构造两个函数，，再利用导数思想，来研究在上是否是单调函数，即可作出选项判断. 【详解】令，则，令，则恒成立， 即在定义域上单调递增，且， 因此在区间上必然存在唯一，使得， 所以当时单调递减，当时单调递增，故，B均错误； 令，当时， 在区间上为减函数， ，即选项C正确，D不正确． 故选：C． 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，直线与曲线相切，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设切点坐标为，求导由斜率可得的值，从而代入曲线方程与切线方程可得，即可得的值. 【详解】设切点坐标为，对函数求导得， 则切线斜率，得， 所以，且， 则，即． 故答案为：2. 14. 二项式的展开式中，含项的系数为，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二项式定理的通项公式得到方程，求出答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式， 令得， 故的系数为，故，解得（负值舍）. 故答案为：1 15. 已知的内角所对的边分别为，且，则的外接圆的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形内角和消去，由和差角的余弦公式计算整理得，再运用正弦定理化边为角，求得三角形外接圆半径即得. 【详解】由可得，即， 展开得，即． 又因为，由正弦定理（其中为的外接圆的半径）可得 ，解得，则的外接圆的周长为． 故答案为：. 16. 已知抛物线上的点到焦点的距离为4，过点作直线交抛物线于两点，延长交准线于点两点在准线上的射影分别为，若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助焦半径公式可得，借助抛物线定义与相似三角形的性质计算可得，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】由抛物线过点，且， 得，准线方程为， 如图．因为，所以，所以， 连接，又，所以为等边三角形， 因为，所以，得， 得，所以， 由，解得， 所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助相似三角形的性质，得到系列等式，以解出、. 三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17. 已知正项数列满足，等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到，由等比数列的定义及通项公式，可求得，再根据条件，建立数列的首项与公差的方程，求得，即可求出； （2）分组求和，转化成公式法求和及裂项求和，即可求出结果. 【小问1详解】 由，得． 由，可得，又，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，得到，所以， 设等差数列的首项为，公差为，则，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 ． 18. 如图，在底面为正方形的四棱台中，平面平面，已知． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1） 平面平面，且平面平面平面， 则平面，而平面， 所以． （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得. （2）由已知结合（1）证明平面，以为原点建立空间直角坐标系，由直角梯形求出，求出相关点的坐标，利用线面角的向量求法计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，而，平面，则平面， 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 过作于点，则四边形是矩形，则， ，由，得， 又四棱台的底面为正方形，，则， 则，， ， 设是平面的一个法向量，则，取，得， 设直线与平面所成角为，有， 则，， 所以直线与平面所成角的正切值为2． 19. 新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． （1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； （2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 【答案】（1）； （2）①3274人；②不可信. 【解析】 【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果； （2）①根据参考数据求得，再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得，估计成绩高于410分的人数，即可判断. 【小问1详解】 甲､乙两名学生必选语文､数学､外语． 若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种， 在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门， 则有种，共种； 若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种． 所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为． 【小问2详解】 ①设此次网络测试的成绩记为，则． 由题知， 则， 所以． 所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人． ②不可信． ， 则， 4000名学生中成绩大于410分的约有人， 这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分． 所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信． 20. 已知函数． （1）若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值； （2）若函数的最小值为，求的值． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得切线方程，再根据三角形面积，即可求得结果； （2）通过二次求导，求得的最小值，结合的隐零点，即可求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 则，又， 所以函数在处的切线方程为． 由题意，显然，令得，令得， 所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为， 所以，解得或． 【小问2详解】 由（1）知，令， 所以，当时，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 因为，所以当时，， 又 所以在上必存在唯一零点，使得． 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增． 所以在处取得最小值， 即，且，即， 所以． 设，所以， 当时，单调递增，， 当时，，单调递减，， 又，所以函数在上存在唯一的，使得成立， 所以，所以，即． 【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是能够通过二次求导，求得的隐零点，从而判断的单调性，进而求得最小值. 21. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线分别与椭圆交于点．设的面积分别为．求证：为定值． 【答案】（1） （2） 证明：设，则，即． 由（1）得． 可设直线的方程为，其中， 联立方程整理得， 则，同理可得． 则 ， 所以是定值． 【解析】 【分析】（1）由离心率可得，则有，将点代入椭圆方程，求出，可得椭圆的标准方程； （2）设，通过直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示根与系数的关系，代入三角形面积算式中，化简即可. 【小问1详解】 由题意可得，又，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 椭圆方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，直线的方程为：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）①若直线上的动点与定点满足，求以为参数的直线的参数方程； ②求曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线的交点为，求弦长的值． 【答案】（1）① （为参数）；②； （2）8. 【解析】 【分析】（1）①根据直线过点及其倾斜角，直接写出参数方程即可；②由，结合曲线的极坐标方程，即可求得直角坐标方程； （2）联立直线的参数方程和曲线的直角坐标方程，得到的一元二次方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求得弦长. 【小问1详解】 ①直线过点，倾斜角为，则其以为参数的参数方程为（为参数）． ②曲线的极坐标方程为，有， 由得曲线的直角坐标方程为． 【小问2详解】 将（为参数）代入曲线的方程，得， 即，由于， 故可设是方程的两个不同的实根，故两点对应的参数分别为， 所以，． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，将其转化为分段函数，再分类讨论解不等式即可； （2）利用绝对值不等式的性质求的最小值，从而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 令． 当时，即，， 当时，，解得，此时； 当时，不成立，此时无解； 当时，，解得，此时． 综上，的解集为． 【小问2详解】 ，即， ，当且仅当时等号成立， ，即． 解得． 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $