期末强化练10 统计概率大题6种常见考法归类（57题）-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练10 统计概率大题6种常见考法归类（57题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 互斥事件的概率加法公式 题型二 古典概型及其概率计算公式 题型三 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 题型四 频率分布直方图及其应用 题型五 众数、中位数、平均数 题型六 方差与标准差 题型一 互斥事件的概率加法公式 1．（2023秋•江西期末）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”，事件：“两个数均为偶数”． （Ⅰ）写出该试验的基本事件空间，并求事件发生的概率； （Ⅱ）求事件发生的概率； （Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率． 题型二 古典概型及其概率计算公式 2．（2024春•虹口区期末）某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示． 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 （1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； （2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率． 3．（2023秋•博罗县期末）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色． 写出该试验的样本空间； 设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由． 4．（2023秋•道里区期末）新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科．某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科． （1）从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； （2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率． 5．（2023秋•江西期末）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 6．（2023秋•汉台区期末）某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到，两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （1）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 7．（2023春•青秀区校级期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4，5的5个小球，除标号外没有其他差异． （1）从袋中不放回依次摸出2个球．若摸出的两个球标号和为质数，则甲胜，反之，则乙胜；你认为该游戏是否公平？说明你的理由． （2）甲、乙两人轮流摸球，每次有放回地摸取一球，每人至多摸两次，由甲先开始．甲、乙约定：先摸出标号1者获胜，随后游戏终止．求甲获胜的概率． 8．（2023春•和平区期末）一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为． （1）写出试验的样本空间； （2）设事件 “两次取出球的编号之和小于4”，事件 “编号”，分别求事件，，发生的概率（A），（B），． 9．（2023春•金安区校级期末）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有4道不同的题目，其中选择题2道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）． （1）甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 10．（2023春•湘阴县期末）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单的随机抽样，获得数据如表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案1的概率． 11．（2023春•嘉定区期末）某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，、，、，、，、，、，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，已知甲同学的成绩在，，乙同学的成绩在，，求甲乙至少一人被抽到的概率． 12．（2022秋•临翔区校级期末）2021年起，部分省实行“”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分、、、、共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如表： 等级 等级排名占比 赋分区间 ， ， ， ， ， 现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为： 分组 ， ， ， ， ， ， 频率 0.10 0.15 0.15 0.25 0.05 （1）求表中的值； （2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的等级以上（含等级）？（结果保留整数） （3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在，与，内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在，内的概率． 题型三 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 13．（2024春•南京期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是． （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率． 14．（2024春•濮阳期末）甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛采用七局四胜制，即率先取得4局胜利的人最终获胜，且该场比赛结束． （Ⅰ）求前3局乙恰有2局获胜的概率； （Ⅱ）求到比赛结束时共比了5局的概率； （Ⅲ）若乙在前4局中已胜3局，求还需比2局或3局才能结束比赛的概率． 15．（2023秋•汉台区期末）本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为、、，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为、、，三人租车时间都不会超过40分钟． （1）求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率； （2）求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率． 16．（2023春•南关区校级期末）在安全常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关安全常识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．设每人回答问题正确与否相互独立的． （1）求乙，丙各自答对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题的概率． 17．（2023春•金安区校级期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲轮空． （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率； （3）求甲最终获胜的概率． 18．（2023春•香坊区校级期末）已知甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲、乙两人的射击互相独立．求： （1）甲、乙两人同时击中目标的概率； （2）甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率； （3）甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率． 19．（2022秋•岳阳楼区期末）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响． （1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率； （2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率． 20．（2023秋•合江县校级期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束． （1）求； （2）求事件“且甲获胜”的概率． 21．（2023春•达州期末）某超市将若干个问题印在质地、大小相同的小球上，顾客每次随机抽出1个小球并回答上面的问题．若顾客第一次答对，则获得购物券并结束活动：若顾客第一次答错，就再抽一次，答对获得购物券并结束活动，答错结束活动．顾客对不同题目的回答是独立的． （1）顾客乙答对每道题目的概率为0.6，若无放回的抽取，求乙获得购物券的概率； （2）顾客丙首次答对每道题目的概率为0.6，对相同题目答对的概率为1．若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为0.1，求丙第二次获得购物券的概率． 22．（2023春•天心区校级期末）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同． （1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； （2）求甲获得冠军的概率； （3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率． 23．（2023春•固始县校级期末）某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分．如果两轮总积分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响． （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 24．（2023春•崂山区校级期末）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 25．（2023春•余姚市期末）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响． （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 26．（2023春•邵阳期末）杭州2022年第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组． （1）若，在淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 27．（2023春•渭滨区期末）为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题．已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是．若各同学回答是否正确互不影响． （1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率． 题型四 频率分布直方图及其应用 28．（2024春•浠水县校级期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”．阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组，，，，，其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰的同学，仅留的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 29．（2024春•宁波期末）为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在，，将得分数据按照，，，，，，分成7组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到； （3）若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计：竞赛得分在，内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在，内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差． 30．（2024春•普陀区校级期末）某校在高二期末考试，从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在，和，内的学生中共抽取8人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在，内的概率； （3）已知落在，的平均成绩，方差，落在，的平均成绩，方差，求落在，的平均成绩，并估计落在，的成绩的标准差（结果精确到． 31．（2024春•连云区校级期末）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 32．（2024春•溧阳市期末）某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 33．（2023春•锡山区校级期末）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，，，并整理得到频率分布直方图如图所示． （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）估计测评成绩的分位数； （3）已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生．从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立？请证明你的结论． 34．（2021春•临沂期末）如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题： （1）求成绩在这一组的频数； （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数； （3）从成绩是50分以下和90分以上（包括90分）这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率． 35．（2023秋•牡丹江校级期末）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间，的概率； 36．（2023秋•北海期末）居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成，，，，，，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在这100名业主中，求评分在区间，的人数与评分在区间，的人数之差； （2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和分位数； （3）若小区物业服务满意度（满意度低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） 37．（2023秋•屏山县期末）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值和第25百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年在，和，内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在，内的概率． 38．（2023秋•化州市期末）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，，第二组：，，第三组：，，第四组：，，第五组：，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者． （ⅰ）若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 39．（2023秋•密山市期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数． 40．（2023秋•朝阳期末）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分．上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，得到频率分布直方图如图所示． （1）估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率． 41．（2024春•武强县校级期末）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组（第一组：，，第二组：，，第三组：，，第四组：，，第五组：，，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人． （1）求； （2）求抽取的人的年龄的分位数（结果保留整数）；（3）以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想． 42．（2023春•建邺区校级期末）本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，，，，，，，，，，得到如图所示频率分布直方图． （1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在，的概率． 43．（2023春•十堰期末）为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9． （1）在这500个家庭中月均用水量在，内的家庭有多少户？ （2）求，的值； （3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 44．（2023春•五家渠校级期末）从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘成频率分布直方图（如图）． （Ⅰ）由图中数据求的值； （Ⅱ）若要从身高在，，，，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，则从身高在，内的学生中选取的人数应为多少？ 45．（2023春•青秀区校级期末）南宁三中强调学科阅读，为了解学生的学科阅读情况，计划对学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了100名学生进行检测，现将所得的成绩按照，，，，，，，，，，，分成6组，并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）根据样本数据估计该校学生阅读素养成绩的分位数以及平均数． 46．（2023春•临夏州期末）某旅游景点，“五一”假期吸引了众多游客，为了解游客“五一”假期旅行支出情况，在该景点随机抽取了部分游客进行问卷调查，从中统计得到游客旅行总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示． （1）利用分层抽样在，，，，，三组中抽取6人，应从这三组中各抽取几人？ （2）从（1）抽取的6人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率； （3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该景点游客旅行支出的平均值． 47．（2023春•靖远县校级期末）某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25 元千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，以便做出合理的促销方案．现从果园内随机采摘200个蜜桔进行测重，其质量分别在，，，，，，，，，，，（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示． （1）求的值； （2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表） （3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元百个进行销售，试问该果园的收益是否会更高？ 48．（2023春•大武口区校级期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本每天阅读时间的第75百分位数； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，，和，的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于，的概率． 49．（2023春•喀什市期末）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，，，，，，，，，，后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）； （3）估计这次考试的平均分． 50．（2023春•阿克苏市校级期末）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在至之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示． （1）求的值； （2）求被调查用户中，用电量大于的户数： （3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：的建议，并简要说明理由． 51．（2023春•上虞区期末）2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数； （2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数； （3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率． 52．（2023春•楚雄市校级期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，，，，，，，，分组的频率分布直方图如图示． （1）求直方图中的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为，，，，，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在，的用户中应抽取多少户？ 题型五 众数、中位数、平均数 53．（2024春•涉县校级期末）在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界．在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站） 80 82 78 93 组（柏林站） 80 86 99 86 （1）请写出这10个分数的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； （2）请你根据所学的统计知识，分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？并说明理由． 54．（2023春•永登县校级期末）某学校记录了某学期40名学生期中考试的数学成绩和期末考试的数学成绩，得到的频数分布表如下： 期中考试的数学成绩频数分布表 数学成绩 ， ， ， ， ， 频数 4 14 16 4 2 期末考试的数学成绩频数分布表 数学成绩 ， ， ， ， ， 频数 6 10 12 8 4 （1）估计这40名学生期中考试的数学成绩小于110分的概率； （2）估计这40名学生期末考试的数学成绩的平均分比期中考试数学成绩的平均分提高多少分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 题型六 方差与标准差 55．（2023秋•安徽期末）某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和． （单位： 60 50 45 60 70 80 80 80 85 90 （单位： 40 60 60 80 80 55 80 80 70 95 （1）求，，，； （2）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由． 56．（2023秋•阳江期末）古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务．为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数，从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，，得到如表所示的频数分布表． 样本分数段 ， ， ， ， ， ， 频数 5 10 20 25 10 （1）求频数分布表中的值，并求样本成绩的中位数和平均数； （2）已知落在，的分数的平均值为56，方差是7；落在，的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 57．（2024春•山东期末）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）． 质量指标 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在，内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在，内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练10 统计概率大题6种常见考法归类（57题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 互斥事件的概率加法公式 题型二 古典概型及其概率计算公式 题型三 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 题型四 频率分布直方图及其应用 题型五 众数、中位数、平均数 题型六 方差与标准差 题型一 互斥事件的概率加法公式 1．（2023秋•江西期末）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”，事件：“两个数均为偶数”． （Ⅰ）写出该试验的基本事件空间，并求事件发生的概率； （Ⅱ）求事件发生的概率； （Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率． 【解析】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共有36个基本事件， 事件：“两数之和为8”，事件包含的基本事件有： ，，，，，共5个基本事件， 事件发生的概率为（A）． 事件：“两数之和是3的倍数”， 事件包含的基本事件有12个，分别为： ，，，，，，，，，，，， 事件发生的概率（B）． 事件与事件至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为： ，，，，，，，，，，， 事件与事件至少有一个发生的概率为． 【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型二 古典概型及其概率计算公式 2．（2024春•虹口区期末）某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示． 花费时间（分钟） 时间等级 一级 二级 三级 （1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； （2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）现从这20人中随机抽取男、女生各一人，设事件为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”，假设这20个人上学互不影响，求事件发生的概率． 【解析】（1）这10名女生上学路上花费时间从小到大排列为：18，23，24，24，26，32，36，42，45，55， 所以极差为，中位数为； （2）因为以性别分层抽样，抽取了男生、女生各10人， 所以高二年级200人中男生100人，女生100人， 茎叶图中男生上学路上花费时间不超过40分钟的有8人，概率为， 所以全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为人； （3）根据题意可知男生在一、二、三等级的概率分别是，，， 女生在一、二、三等级的概率分别是，，， 则现从这20人中随机抽取男、女生各一人，被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级的概率为（A）． 【点评】本题考查古典概型、相互独立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（2023秋•博罗县期末）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色． 写出该试验的样本空间； 设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【解析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，，， 因为，，为两两互斥事件， 由已知得， 解得， 盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，； 由得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则， 所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平． 【点评】本题主要考查了样本空间的定义，考查了古典概型的概率公式，属于中档题． 4．（2023秋•道里区期末）新高考实行“”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科．某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科． （1）从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； （2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率． 【解析】（1）由题意可知，所有选科组合为： 物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政，共12种， 记事件 “所选组合符合该大学某专业报考条件”， 则事件包含的组合为：物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，共5种， 所以（A）； （2）记事件 “甲符合该大学某专业报考条件”，事件 “乙符合该大学某专业报考条件”， 事件 “甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”， 由（1）可知，， 所以． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 5．（2023秋•江西期末）有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 【解析】根据题意，设四名同学的书包为，，，，则全部基本事件有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共24种， （1）其中恰有两名同学拿对了书包有6种，则恰有两名同学拿对了书包的概率为； （2）至少有两名同学拿对了书包有7种，则至少有两名同学拿对了书包的概率为； （3）书包都拿错了有9种，则书包都拿错了的概率为． 【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题． 6．（2023秋•汉台区期末）某市疫情防控常态化，在进行核酸检测时需要一定量的志愿者．现有甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到，两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （1）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 【解析】（1）甲、乙、丙3名志愿者被随机地分到，两个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． 基本事件（甲乙，丙），（甲丙，乙），（丙乙，甲），（丙，甲乙），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共有6个，其中甲乙两人同时参加岗位服务的是（甲乙，丙）只有1个， 故甲、乙两人同时参加岗位服务的概率为； （2）甲乙两人不在同一岗位有：（甲丙，乙），（丙乙，甲），（乙，甲丙），（甲，丙乙）共4个， 故甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率为． 【点评】本题主要考查古典概型，属于基础题． 7．（2023春•青秀区校级期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4，5的5个小球，除标号外没有其他差异． （1）从袋中不放回依次摸出2个球．若摸出的两个球标号和为质数，则甲胜，反之，则乙胜；你认为该游戏是否公平？说明你的理由． （2）甲、乙两人轮流摸球，每次有放回地摸取一球，每人至多摸两次，由甲先开始．甲、乙约定：先摸出标号1者获胜，随后游戏终止．求甲获胜的概率． 【解析】（1）游戏公平，理由如下． 摸出的两个球标号和为质数的组合有，，，，种，即两个球标号和为质数的事件数为，实验总的事件数为， 所以甲胜的概率为，游戏公平； （2）甲获胜的事件有①甲第一次就摸到1号球，②甲第一次未摸到1号球，乙第一次未摸到1号球，甲第二次摸到1号球，所以甲获胜的概率为． 【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属中档题． 8．（2023春•和平区期末）一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为． （1）写出试验的样本空间； （2）设事件 “两次取出球的编号之和小于4”，事件 “编号”，分别求事件，，发生的概率（A），（B），． 【解析】（1）由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为，，，，，， ，，，，，，，，，； （2）由题意可知事件，，，共三个结果，故， 事件，，，，，，共六个结果，故， 事件包含的结果有一个，故． 【点评】本题主要考查古典概型及其概率公式，属于中档题． 9．（2023春•金安区校级期末）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有4道不同的题目，其中选择题2道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）． （1）甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 【解析】（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件， 记两道选择题分别为、，两道判断题分别为、， 所有的基本事件有：，、，、，、，、，、，、，、，、，、，、，、，，共12种， 其中事件包含的基本事件有：，、，、，、，，共4种， 由古典概型的概率公式可得； （2）记事件：甲、乙二人中至少有一人抽到选择题， 则事件包含的基本事件有：，、，、，、，、，、 ，、，、，、，、，，共10种， 由古典概型的概率公式可得． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 10．（2023春•湘阴县期末）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单的随机抽样，获得数据如表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200人 400人 300人 100人 方案二 350人 250人 150人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案1的概率． 【解析】（1）设该校男生支持方案一为事件，该校女生支持方案一为事件， 则（A），（B）， （2）设这3人中恰有2人支持方案一为事件，则事件包含2名男生支持方案一和1名男生1名女生支持方案一两种情况， 所以（C）． 【点评】本题考查古典概型，属于基础题，分类讨论是解题关键． 11．（2023春•嘉定区期末）某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，、，、，、，、，、，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，已知甲同学的成绩在，，乙同学的成绩在，，求甲乙至少一人被抽到的概率． 【解析】（1）由题意可得，解得：； （2）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为． 其中，分数段有人， ，分数段有人， 所以在，分数段中抽取人， ，分数段抽取人， 设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为， 则（A），（B）， 则甲乙至少一人被抽到的概率为． 【点评】本题考查频率分布直方图求频数、频率，分层抽样，相互独立事件的概率，是基础题． 12．（2022秋•临翔区校级期末）2021年起，部分省实行“”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分、、、、共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如表： 等级 等级排名占比 赋分区间 ， ， ， ， ， 现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为： 分组 ， ， ， ， ， ， 频率 0.10 0.15 0.15 0.25 0.05 （1）求表中的值； （2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的等级以上（含等级）？（结果保留整数） （3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在，与，内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在，内的概率． 【解析】（1），． （2）由已知等级达到级及以上所占排名等级占比为， 设原始分数不少于分可达到赋分后的级及以上，由题意知， 所以，． 所以估计该校本次化学成绩原始分不少于54分才能达到赋分后的等级以上（含等级）． （3）设 “抽取2人中恰好有1人原始成绩在，内” 由题设可知，原始得分在，和，内频率分别为0.10和0.15， 则抽取的5人中，得分在，内的有2人，得分在，内的有3人． 记得分在，内2位同学为，，得分在，的三位同学位，，．则从5人中任取2人， 样本空间为： ，，，，，，，，，， 共包含10个样本点，，，，，，共包含6个样本点． 所以，， 故这2个人中恰好有1人原始成绩在，内的概率为． 【点评】本题考查频率、概率的求法，考查频率分布表、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型三 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 13．（2024春•南京期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是． （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率． 【解析】（1）甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节， 他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是． 甲考生通过某校强基招生面试的概率为． （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： ． （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： ． 【点评】本题考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．（2024春•濮阳期末）甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛采用七局四胜制，即率先取得4局胜利的人最终获胜，且该场比赛结束． （Ⅰ）求前3局乙恰有2局获胜的概率； （Ⅱ）求到比赛结束时共比了5局的概率； （Ⅲ）若乙在前4局中已胜3局，求还需比2局或3局才能结束比赛的概率． 【解析】（Ⅰ）每局比赛乙获胜的概率均为， 故前3局乙恰有2局获胜的概率为． （2）第一种情况，比赛结束时恰好打了5局且甲获胜， 则概率为， 第二种情况，比赛结束时恰好打了5局且乙获胜， 则概率为， 比赛结束时共比了5局的概率为． （3）乙在前4局中已胜3局，概率为， 还需3局才能结束比赛，可能最终甲获胜，也可能最终乙获胜， 若最终甲获胜，则第5，6，7局甲获胜，概率为， 若最终乙获胜，则第5，6局甲获胜，第7局乙获胜，概率为， 综上，若乙在前4局中已胜3局，还需比2局或3局才能结束比赛的概率为． 【点评】本题考查二项分布、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．（2023秋•汉台区期末）本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为、、，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为、、，三人租车时间都不会超过40分钟． （1）求甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率； （2）求甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率． 【解析】（1）当租车时间不足20分钟，三人租车费用相同的概率为， 当租车时间在分钟，三人租车费用相同的概率为， 当租车时间在分钟，三人租车费用相同的概率为， 所以三人租车费用相同的概率为； （2）甲、乙、丙三人的租车费用和为11元，则其中两人租车时间达到分钟，另一人为分钟， 若甲，乙租车分钟，三人的租车费用和为11元的概率为， 若甲，丙租车分钟，三人的租车费用和为11元的概率为， 若乙，丙租车分钟，三人的租车费用和为11元的概率为， 所以甲、乙、丙三人的租车费用和为11元的概率为． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属中档题． 16．（2023春•南关区校级期末）在安全常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关安全常识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．设每人回答问题正确与否相互独立的． （1）求乙，丙各自答对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题的概率． 【解析】（1）设 “甲答对，” “乙答对”， “丙答对” ，， 又， ，， 又， （2）甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题，分两种情况： 甲、乙、丙三人中，有两个人答对一个人答错，概率为； 三个人都答对，概率为， 所以，甲、乙、丙三人中，至少有两人答对这道题的概率为： ． 【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，属于基础题． 17．（2023春•金安区校级期末）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立．经抽签，第一场比赛甲轮空． （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率； （3）求甲最终获胜的概率． 【解析】（1）记事件为甲胜乙，则，则， 事件为甲胜丙，则，， 事件为乙胜丙，则，， 则丙被淘汰可用事件来表示， 所以前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为： ； （2）若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ， 所以只需四场比赛就决出冠军的概率为： ． （3）由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为，且乙胜丙和丙胜乙的概率也相等，均为， 第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙丙为同一人，设甲胜为事件，甲轮空为事件， 所以甲最终获胜的概率 ． 【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了互斥事件的概率加法公式，属于中档题． 18．（2023春•香坊区校级期末）已知甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲、乙两人的射击互相独立．求： （1）甲、乙两人同时击中目标的概率； （2）甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率； （3）甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率． 【解析】（1）甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲、乙两人的射击互相独立， 设事件表示“甲命中”，事件表示”乙命中“， （A），（B）， 则甲、乙两人同时击中目标的概率为： （A）（B）； （2）甲、乙两人中至少有一个人击中目标的对立事件是甲、乙都没有击中目标， 甲、乙两人中至少有一个人击中目标的概率为： ． （3）甲、乙两人中恰有一人击中目标的概率为： ． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19．（2022秋•岳阳楼区期末）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响． （1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率； （2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率． 【解析】（1）依题意记甲队总得分为1分为事件，甲队总得分为2分为事件， 则（A）． （B）． 所以甲队总得分为1分的概率为，2分的概率为． （2）依题意甲队总得分为0分的概率为． 得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为； 乙队总得分为0分的概率为，得1分的概率为． 得2分的概率为，得3分的概率为． 则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率． 【点评】本题住哟考查相互独立事件的概率，属于基础题． 20．（2023秋•合江县校级期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束． （1）求； （2）求事件“且甲获胜”的概率． 【解析】（1）根据题意，就是某局双方打成平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分， 故； （2）“且甲获胜”，就是某局双方打成平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分， 则所求概率为且甲获胜）． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题． 21．（2023春•达州期末）某超市将若干个问题印在质地、大小相同的小球上，顾客每次随机抽出1个小球并回答上面的问题．若顾客第一次答对，则获得购物券并结束活动：若顾客第一次答错，就再抽一次，答对获得购物券并结束活动，答错结束活动．顾客对不同题目的回答是独立的． （1）顾客乙答对每道题目的概率为0.6，若无放回的抽取，求乙获得购物券的概率； （2）顾客丙首次答对每道题目的概率为0.6，对相同题目答对的概率为1．若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为0.1，求丙第二次获得购物券的概率． 【解析】（1）设乙获得购物券的概率， 顾客乙答对每道题目的概率为0.6，则答错每道题目的概率为， 若无放回的抽取，则乙获得购物券的概率； （2）设丙第二次获得购物券的概率， 若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为0.1， 则顾客丙第二次抽到不同题目的概率为， 所以求丙第二次获得购物券的概率． 【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 22．（2023春•天心区校级期末）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同． （1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率； （2）求甲获得冠军的概率； （3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率． 【解析】（1）甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示， 其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”， 第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同． 乙获连负两场，所以1、4均负， 所以乙获连负两场的概率为． （2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜， 所以甲获得冠军的概率为：． （3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况： 甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜， 所以甲与乙在决赛相遇的概率为：， 若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种： 乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜， 若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为： ，丁与丙相同， 所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：． 【点评】本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 23．（2023春•固始县校级期末）某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从类的5个问题中选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分．如果两轮总积分不低于60分则晋级复赛．小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5．在类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4．他们回答任一问题正确与否互不影响． （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【解析】（1）对类的5个问题进行编号：，，，，，第一轮从类的5个问题中任选两题作答， 则有，，，，，，，，，共10种，设小明只能答对4个问题的编号为：，，，， 则小明在第一轮得40分，有，，，，，共6种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； （2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分， 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ， ； 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ， ； 当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ， ； 当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用． 24．（2023春•崂山区校级期末）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 【解析】（1）因为甲每轮猜对的概率为， 所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对1个，乙猜对2个， 所以所求概率为． 【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 25．（2023春•余姚市期末）某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响． （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 【解析】（1）设事件表示“甲家庭回答正确这道题”，事件表示“乙家庭回答正确这道题”， 事件表示“丙家庭回答正确这道题”， 由题意得：， 解得乙家庭回答正确这道题的概率（B）， 丙家庭回答正确这道题的概率（C）． （2）甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为： ． 【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 26．（2023春•邵阳期末）杭州2022年第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组． （1）若，在淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ （2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【解析】（1）记，拿到冠军分别为事件，， 淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此， 对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜，中的胜者， 因此； （2）记淘汰赛赛制和双败赛制下获得冠军的概率分别为，， 则， 而双败赛制下，获得冠军有三种可能性： ①直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军， 因此， 显然， ，， 则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于， ， 若时，即， 则双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小， 若时，即， 则双败赛制下，队伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大， 综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低， 更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的． 【点评】本题主要考查了独立事件的乘法公式，属于中档题． 27．（2023春•渭滨区期末）为了增强学生爱党爱国主义情怀，某中学举行二十大党知识比赛活动，甲、乙、丙三名同学同时回答一道有关党的知识问题．已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两名同学都回答错误的概率是，乙、丙两名同学都回答正确的概率是．若各同学回答是否正确互不影响． （1）求乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三名同学中不少于2名同学回答正确这道题的概率． 【解析】（1）记“甲同学回答正确这道题”，“乙同学回答正确这道题”，“丙同学回答正确这道题”分别为事件，，， 则（A），，（B）（C）， 所以（C），（B）， 所以乙、丙两名同学各自回答正确这道题的概率为和． （2）有0名同学回答正确的概率， 有1名同学回答正确的概率， 所以不少于2名同学回答正确这道题的概率． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用． 题型四 频率分布直方图及其应用 28．（2024春•浠水县校级期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”．阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组，，，，，其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰的同学，仅留的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【解析】（1）由题意知，所以， 解得， 又， 解得． 所以，； （2）成绩落在，内的频率为：， 落在，内的频率为：， 设第80百分位数为，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理； （3）， 故， 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：． 【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数、平均数和方差的定义，属于中档题． 29．（2024春•宁波期末）为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在，，将得分数据按照，，，，，，分成7组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到； （3）若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计：竞赛得分在，内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在，内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差． 【解析】（1）由频率分布直方图可知，估计该校参加竞赛学生成绩的平均分为： （分； （2）前4组频率和为，第5组频率为， 故第75百分位数在，内， 即第75百分位数为 （分； （3）竞赛得分在，内学生的答卷数为，分数记为，，，，其平均数记为，方差记为， 竞赛得分在，内学生的答卷数为，分数记为，，，，其平均数记为，方差记为， 把“强国少年”得分的平均数记为，方差记为， 根据方差的定义，总样本方差为： ， 由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为：， 把已知的平均数和方差的取值代入可得：， 据此估计该学校“强国少年”得分的方差约为80． 【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数和百分位数的定义，以及分层随机抽样的均值和方差公式，属于中档题． 30．（2024春•普陀区校级期末）某校在高二期末考试，从全年级的等级考化学成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在，和，内的学生中共抽取8人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在，内的概率； （3）已知落在，的平均成绩，方差，落在，的平均成绩，方差，求落在，的平均成绩，并估计落在，的成绩的标准差（结果精确到． 【解析】（1），解得； （2）由原始分在，和，中的频率之比为， 故抽取的8人中，原始分在，中的有人，在，中的有人， 则从8人中抽取2人，恰有一人原始成绩在，内的概率； （3）， ． 【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，以及分层随机抽样的均值和方差公式，属于中档题． 31．（2024春•连云区校级期末）为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【解析】（1）由，解得， 因为，，，，，对应的频率分别为0.05，0.15，0.3， ， 即该样本的60百分位数在区间，， 设该样本的60百分位数为， 则，解得， 即该样本的60百分位数为74； （2）， 故本次数学测试成绩的平均分为71； （3）设受嘉奖的学生分数不低于分，因为，，，对应的频率分别为0.15，0.1， 所以，解得． 故受嘉奖的学生分数不低于88分． 【点评】本题考查频率分布直方图，属于中档题． 32．（2024春•溧阳市期末）某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率． 【解析】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以， 解得， 所以前两组的频率之和为， 即，所以； 平均数为， （2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有10种情况，分别为： ，，，，，．，，，， 其中选出的两人来自同一组的有： ，，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． 【点评】本题考查频率分布直方图以及古典概型相关知识，属于基础题． 33．（2023春•锡山区校级期末）某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，，，并整理得到频率分布直方图如图所示． （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）估计测评成绩的分位数； （3）已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生．从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立？请证明你的结论． 【解析】（1）解：由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为： ，则分数小于60的频率为， 从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率为0.2； （2）解：由频率分布直方图可得分数在区间，的频率最高， 则随机抽取的100名学生的众数的估计值为75， 由频率分布直方图可得分数小于70的频率为0.4，分数小于80的频率为0.8， 则测试成绩的分位数落在区间，上， 估计测评成绩的分位数为：； （3）“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件不独立． 证明：由已知可得分数小于30的学生有2人，其中1名男生，1名女生， 30分到40分的学生有3人，其中2名男生，1名女生， 设“抽到的学生分数小于30”为事件，“抽到的学生是男生”为事件， 则从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，“抽到的学生分数小于30”的概率为， 从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，“抽到的学生是男生”的概率为， 则从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人， “抽到的学生分数小于30”且“抽到的学生是男生”的概率为， 则有（A）（B）， 则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件不独立． 【点评】本题考查概率、频数、众数、分位数、频率分布直方图等基础知识，属于基础题． 34．（2021春•临沂期末）如图所示，在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛，将其成绩（均为整数整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题： （1）求成绩在这一组的频数； （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数； （3）从成绩是50分以下和90分以上（包括90分）这两个分数段的学生中选2人，求他们不在同一分数段的概率． 【解析】（1）由频率分布直方图的性质知，， ， 这一组的频率为，频数为． （2）这次竞赛成绩的平均数为． 因为的频率为，这一组的频率为， 所以，40百分位数在这一组内，且在本组内需要找到频率为0.15的部分， 所以40百分位数为； （3）记选出的2人不在同一分数段为事件，之间的人数为人，设为，，，； 之间有人，设为1，2． 从这6人中选出2人，有： ，，，，，，，，， ，，，，，共15个样本点， 其中事件包括： ，，，，，，，，共8个基本事件， 则． 【点评】本题考查频率分布直方图的概念与数字特征，熟练掌握平均数、中位数的计算方法是解题的关键，还考查等可能事件的概率计算，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题． 35．（2023秋•牡丹江校级期末）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图． （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间，的概率； 【解析】（1）根据频率分布直方图，患者的平均年龄为： ． （2）年龄在区间，的概率为：． 【点评】本题主要考查利用频率分布直方图求数据的均值和概率，属于基础题． 36．（2023秋•北海期末）居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成，，，，，，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在这100名业主中，求评分在区间，的人数与评分在区间，的人数之差； （2）估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和分位数； （3）若小区物业服务满意度（满意度低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） 【解析】（1）易知评分在区间，，，的人数分别为，， 所以评分在区间，的人数与评分在区间，的人数之差为（人； （2）易知在频率分布直方图中面积最大的矩形条所在区间为，， 所以业主对物业服务的满意程度给出评分的众数为75（分， 因为在区间，的频率为，在区间，的频率为， 所以业主对物业服务的满意程度给出评分的分位数在区间，内， 不妨设业主对物业服务的满意程度给出评分的分位数为， 此时， 解得； （3）易知业主对物业服务的满意程度给出评分的平均分， 因为， 故物业公司需要对物业服务人员进行再培训． 【点评】本题考查频率分布直方图以及平均数、众数和百分位数的应用，考查了逻辑推理和运算能力． 37．（2023秋•屏山县期末）数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性．苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标．现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的值和第25百分位数； （2）在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年在，和，内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在，内的概率． 【解析】（1）， 因为第一组的频率为，， 第二组的频率为，， 所以第25百分位数在第二组，设为，则， 所以第25百分位数为30． （2）年龄在，的市民人数为，年龄在，的市民人数为， 用分层随机抽样的方法抽取年龄在，的人数为人，年龄在，的人数为人， 设年龄在，的4人为，，，，年龄在，的2人为，， 从这6为市民中抽取两名的样本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中2名年龄都在，内的样本事件有，，，，，种， 所以两名幸运市民年龄都在，内的概率为． 【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查转化能力，属于中档题． 38．（2023秋•化州市期末）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，，第二组：，，第三组：，，第四组：，，第五组：，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者． （ⅰ）若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （ⅱ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【解析】（1）设这人的平均年龄为，则（岁． 设第80百分位数为， 方法一：由，解得． 方法二：由，解得． （2）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙． 对应的样本空间为： ，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），，乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点． 设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”， 则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点． 所以，． 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为． 则，． 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10． 据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，频数与频率关系的应用，百分位数以及平均数的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题． 39．（2023秋•密山市期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中的值； （Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数． 【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知，月均用水量在，的频率为． 同理，在，，，5，，，，，，，，，等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02． 由， 解得． （Ⅱ）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为：． 由以上样本的频率分布， 可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为：． （Ⅲ）设中位数为吨． 前5组的频率之和为： ， 而前4组的频率之和为：， ． 由，解得． 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨． 【点评】本题考查实数值的求法，考查频数、中位数的估计，考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 40．（2023秋•朝阳期末）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分．上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，，第二组，，第三组，，第四组，，第五组，，得到频率分布直方图如图所示． （1）估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （2）该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率． 【解析】（1）由直方图可知，所打分值，的频率为， 所以人数为（人， 答：所打分数不低于60分的患者的人数为65人． （2）由直方图知，第二、三组的频率分布为0.1和0.2， 则第二、三组人数分布为10人和20人， 所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为， 则第二组有2人，记为，；第三组人数有4人，记为，，，， 从中随机抽取2人的所有情况：，，，，，，，，，，，，，共15种， 其中，两人来自不同组的情况有：，，，，，，，，共8种， 所以两人来自不同组的概率为， 答：行风监督员来自不同组的概率为． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，解题中需要理清思路，属于中档题． 41．（2024春•武强县校级期末）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组（第一组：，，第二组：，，第三组：，，第四组：，，第五组：，，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人． （1）求； （2）求抽取的人的年龄的分位数（结果保留整数）；（3）以下是参赛的10人的成绩：90，96，97，95，92，92，98，88，96，99，求这10人成绩的分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想． 【解析】（1）第一组频率为， 所以； （2）分位数即中位数，设其为， 则由图可得，解得， 所以抽取的人的年龄的分位数为32； （3）按照成绩从小到大的顺序排列为：88，90，92，92，95，96，96，97，98，99， 故分位数为， 平均数为， 评价：从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高． 感想：人们对于中国梦的伟大构想的认知程度都普遍偏高． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，频数与频率关系的应用，百分位数以及平均数的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题． 42．（2023春•建邺区校级期末）本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分，并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，，，，，，，，，，得到如图所示频率分布直方图． （1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； （2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在，的概率． 【解析】（1）由频率直方图得，则， 所以高二数学成绩的平均数为， 前3组的频率和为，所以分位数为． 故高二数学平均成绩为75.5，分位数为88． （2）分层抽样6人中，，的有人，记为1，2．，的有人，记为3，4，5，6， 从6人中任取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种， 其中2人分数都在，的有34，35，36，45，46，56共6种， 所以从6人中任取2人，分数都在，的概率为． 【点评】本题主要考查频率分布直方图，属于中档题． 43．（2023春•十堰期末）为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9． （1）在这500个家庭中月均用水量在，内的家庭有多少户？ （2）求，的值； （3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 【解析】（1）由频率分布直方图可知，月均用水量在，内的家庭的频率为0.3， 则在这500个家庭中月均用水量在，内的家庭有户． （2）由频率分布直方图，可得， 则， 因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9， 所以在， 则， 解得，． （3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值为： ． 【点评】本题考查由频率分布直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题． 44．（2023春•五家渠校级期末）从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：厘米）数据绘成频率分布直方图（如图）． （Ⅰ）由图中数据求的值； （Ⅱ）若要从身高在，，，，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，则从身高在，内的学生中选取的人数应为多少？ 【解析】（Ⅰ）由直方图得，解得， （Ⅱ）身高在，，，，，三组内的学生人数比为， 故从身高在，内的学生中选取的人数人 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样方法的合理运用 45．（2023春•青秀区校级期末）南宁三中强调学科阅读，为了解学生的学科阅读情况，计划对学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了100名学生进行检测，现将所得的成绩按照，，，，，，，，，，，分成6组，并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）根据样本数据估计该校学生阅读素养成绩的分位数以及平均数． 【解析】（1）由图可知：， 解得． （2）因为， 所以分位数在第四组，设第分位数为， 所以有， 即， 解得， 所以第分位数为73． 平均数为． 【点评】本题考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 46．（2023春•临夏州期末）某旅游景点，“五一”假期吸引了众多游客，为了解游客“五一”假期旅行支出情况，在该景点随机抽取了部分游客进行问卷调查，从中统计得到游客旅行总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示． （1）利用分层抽样在，，，，，三组中抽取6人，应从这三组中各抽取几人？ （2）从（1）抽取的6人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率； （3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该景点游客旅行支出的平均值． 【解析】（1）由频率分布直方图可得，组的频率为， ，组的频率为，，组的频率为， 故利用分层抽样在，，，，，三组中抽取6人， ，组抽取人数为， ，组抽取人数为， ，组抽取人数为； （2）设，组3人为，，，，租的2认为，，，组的1人为， 从这6人中随机选出2人，共有，，，，，，，， ，，，，，，共15种抽法， 其中2人不在同一组的抽法有，，，，，，，，，，共11种， 故这2人不在同一组的概率为； （3）由题意得估计该景点游客旅行支出的平均值为： （百元）． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题． 47．（2023春•靖远县校级期末）某果园大约还有5万个蜜桔等待出售，原销售方案是所有蜜桔都以25 元千克的价格进行销售，为了更好地促进销售，需对蜜桔质量进行质量分析，以便做出合理的促销方案．现从果园内随机采摘200个蜜桔进行测重，其质量分别在，，，，，，，，，，，（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示． （1）求的值； （2）估计该果园这200个蜜桔的平均质量为多少克个；（同一组的数据以该组区间的中点值为代表） （3）以样本估计总体，若低于55克的蜜桔以140元百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元百个进行销售，试问该果园的收益是否会更高？ 【解析】（1）根据题意得， 解得． （2）该果园这200个蜜桔的平均质量约为克个， （3）依题意可估计该果园这5万个蜜桔的总质量为万克千克， 若按原销售方案进行销售，则可获得的收益约为元； 若低于55克的蜜桔以140元百个进行销售，不低于55克的蜜桔以160元百个进行销售， 则可获得的收益约为元． 因为，所以按新方案进行销售，该果园收益会更高． 【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题． 48．（2023春•大武口区校级期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本每天阅读时间的第75百分位数； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，，和，的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于，的概率． 【解析】（1）， 解得； （2）因为， ， 所以样本每天阅读时间的第75百分位数在，内， 所以， 解得； （3）由图知：，，，和，的比例为， 所以分别抽取1人，3人，1人，分别记为，，，，， 从中任选3人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10种， 则其中恰好有2人每天阅读时间位于，的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，共6种， 所以恰好有2人每天阅读时间位于，的概率． 【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题． 49．（2023春•喀什市期末）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，，，，，，，，，，后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）； （3）估计这次考试的平均分． 【解析】（1）因为各组的频率和等于1， 故第四组的频率： ， 直方图如右所示． （2）成绩在，的频率为： ， 成绩在，的频率为： ， 中位数在，内， 设中位数为， 中位数要平分直方图的面积， ． （3）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 所以，抽样学生成绩的合格率是， 利用组中值估算抽样学生的平均分为： 估计这次考试的平均分是71（分． 【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识． 50．（2023春•阿克苏市校级期末）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在至之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示． （1）求的值； （2）求被调查用户中，用电量大于的户数： （3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：的建议，并简要说明理由． 【解析】（1）由频率分布直方图得： ， 解得； （2）由频率分布直方图得： 被调查用户中，用电量大于的频率为， 被调查用户中，用电量大于的户数为：； （3）由频率分布直方图得： ，的频率为：， ，的频率为， 市政府计划采用阶梯定价，希望使的居民缴费在第一档（费用最低）， 第一档用电标准（单位：为：． 【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于中档题． 51．（2023春•上虞区期末）2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数； （2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数； （3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率． 【解析】（1）由频率分布直方图可知， 成绩在，内的频率为， 则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为人； （2）由频率分布直方图可知，成绩在，内的频率为， 成绩在，内的频率为， 成绩在，内的频率为， 成绩在，内的频率为， 成绩在，内的频率为， 所以成绩在80分以下的学生所占的比例为， 成绩在90分以下的学生所占的比例为， 所以成绩的分位数一定在，内，即， 因此估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数为82.5； （3）因为，，， 所以从成绩在，，，，，内的学生中分别抽取了3人，2人，1人， 其中有3人为航天达人，设为，，， 有3人不是航天达人，设为，，， 则从6人中选择2人作为学生代表， 有，，，，，，，，，，，， ，，共15种， 其中2人均为航天达人为，，共3种， 所以被选中的2人均为航天达人的概率为． 【点评】本题考查频率分布直方图、百分位数、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 52．（2023春•楚雄市校级期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，，，，，，，，分组的频率分布直方图如图示． （1）求直方图中的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为，，，，，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在，的用户中应抽取多少户？ 【解析】（1）根据频率和为1，得 ， 解得； （2）由图可知，最高矩形的数据组为，， 所以众数为； ，内的频率之和为 ； 设中位数为，则， 解得，中位数为224； （3）月平均用电量为，的用户在四组用户中所占的比例为 ， 月平均用电量在，的用户中应抽取（户． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了中位数与众数的计算问题，是基础题． 题型五 众数、中位数、平均数 53．（2024春•涉县校级期末）在2024年世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站和柏林站女子10米台跳水决赛中，全红婵奉献了高水准的精彩表现，在决赛中的五个动作惊艳了全世界．在这两场决赛中，7名裁判给选手的五个跳水动作打分，两站裁判对全红婵的打分记录如下：（为了方便计算，采取分数四舍五入取整） 组（蒙特利尔站） 80 82 78 93 组（柏林站） 80 86 99 86 （1）请写出这10个分数的众数、极差以及，两组各自的平均成绩； （2）请你根据所学的统计知识，分析两站比赛中，哪一站全红婵发挥更稳定？并说明理由． 【解析】（1）易知在这10个分数中，出现最多的是80，所以众数为80， 这10个分数中，最高分为99，最低分为78，所以极差为， ，两组各自的平均成绩分别为， （2）可以用方差来衡量，方差越小，分数越集中，判断发挥越稳定， 设蒙特利尔站和柏林站的方差分别为，， 易知，， 因为，所以蒙特利尔站发挥更稳定． 【点评】本题主要考查众数、极差以及平均数等概念，考查方差在实际问题中的应用，考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力，属于基础题． 54．（2023春•永登县校级期末）某学校记录了某学期40名学生期中考试的数学成绩和期末考试的数学成绩，得到的频数分布表如下： 期中考试的数学成绩频数分布表 数学成绩 ， ， ， ， ， 频数 4 14 16 4 2 期末考试的数学成绩频数分布表 数学成绩 ， ， ， ， ， 频数 6 10 12 8 4 （1）估计这40名学生期中考试的数学成绩小于110分的概率； （2）估计这40名学生期末考试的数学成绩的平均分比期中考试数学成绩的平均分提高多少分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【解析】（1）因为期中考试的数学成绩在，内的学生有16人， 所以期中考试的数学成绩在，内的学生有 （人， 所以期中考试的数学成绩小于100分的学生有（人， 所以估计这40名学生期中考试的数学成绩小于100分的概率为； （2）这40名学生期末考试的数学成绩的平均分为， 这40名学生期中考试的数学成绩的平均分为， 所以估计这40名学生期末考试的数学成绩的平均分比期中考试数学成绩的平均分提高（分． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了平均数的定义，属于基础题． 题型六 方差与标准差 55．（2023秋•安徽期末）某果园试种了，两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记，两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和． （单位： 60 50 45 60 70 80 80 80 85 90 （单位： 40 60 60 80 80 55 80 80 70 95 （1）求，，，； （2）果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适？并说明理由． 【解析】（1）， ， ， ． （2）由可得，两个品种平均产量相等， 又，则品种产量较稳定，故选择品种． 【点评】本题主要考查平均数，方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 56．（2023秋•阳江期末）古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务．为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数，从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，，，，得到如表所示的频数分布表． 样本分数段 ， ， ， ， ， ， 频数 5 10 20 25 10 （1）求频数分布表中的值，并求样本成绩的中位数和平均数； （2）已知落在，的分数的平均值为56，方差是7；落在，的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【解析】（1）由，解得， 由，所以， 由成绩在，的频率为0.3，所以中位数为， 平均数； （2）由表可知，落在，的分数有10个，落在，的分数有20个， 故， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23． 【点评】本题主要考查了平均数、中位数和方差的计算，属于中档题． 57．（2024春•山东期末）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）． 质量指标 产品 60 100 160 300 200 100 80 （1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； （2）设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在，内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在，内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？ 【解析】（1）由题可知 ， ； （2）由知，， 则， 该抽样数据落在，内的频率约为， 又， 该抽样数据落在，内的频率约为， 可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功． 【点评】本题考查了样本的数字特征，属于中档题． $$