精品解析：福建省泉州科技中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

泉州科技中学2023—2024学年第二学期八年级阶段限时训练 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各式：中，属于分式共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. ( ) A. B. C. D. 3. 下列命题中，真命题（ ） A. 有一组邻边相等的菱形是正方形 B. 有一个角是直角的矩形是正方形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 对角线互相垂直的菱形是正方形 4. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 下列二次根式能与合并的是(　　) A. B. C. D. 6. 如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的25倍 B. 扩大到原来的5倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 7. 如图，菱形对角线，，则菱形高长为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 9. 图①②中涂色部分面积分别为S1，S2，a＞b＞0，设k=，则有（ ） A. 0＜k＜ B. ＜k＜1 C 1＜k＜2 D. k＞2 10. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )． A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11 计算：=_____ 12. 分解因式：______． 13. 如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为______． 14. 使式子有意义的x的取值范围是______． 15. 已知，，，，，，，则___． 16. 如图是重型卡车的立体图，右图是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面从重型卡车车上卸载的平面示意图．已知重型卡车车身高度，卡车卸货时后面支架AB弯折落在地面，经过测量．现有木箱长，高，宽小于卡车车身的宽度，当木箱底部顶点G与坡面底部点重合时，则木箱上部顶点E到地面的距离为__________． 三、解答题（共9小题，第17-21小题每题8分，第22、23小题每题10分，第24小题12分，第25小题14分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：其中． 19. 如图，的对角线相交于点O．E，F是上的两点，且，连接．若，判断四边形的形状，并说明理由， 20. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 21. 下面是小亮化简分式的部分运算过程： 解：原式…第一步． …第二步． …… （1）小亮运算过程中第______步出现了错误； （2）请写出正确且完整的解答过程． 22. 如图是由边长为 1 的 10×14 的正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）如图 1，△ ABC 的顶点在格点上，完成下列问题： ①用无刻度直尺画出在格点上点 D，使 CD⊥AC 且 CD=AC； ②直接写出△ ACD 的面积是 ，AC 长 ； （2）如图 2，△ MNP 的顶点在格点上，用无刻度直尺画出在射线 MP 上的格点 Q， 使∠PNQ=45°． 23. 定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD． （1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1：　 　；性质2：　 　． （2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形． 24. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 25. 综合与实践 ：折出，，等角 一副三角尺有，，的角，，因此通过一副三角尺是可以画出，，的角，如果我们身旁没有量角器或三角尺，只有矩形的纸片，又需要作，，等大小的角呢？ 【做一做】 （1）我们知道：折叠是一种轴对称变换，折叠前后对应线段相等，对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分，准备好一张矩形纸片，不用任何测量工具，在这张矩形纸片上你能折出一个什么度数的角？请动手做一做，并说明理由； 【试一试】 （2）在一张矩形纸片上，能否用折纸的方法折出的角呢？请你先思考，编一道题目将你的发现表达出来． 【议一议】 （3）折出角的方法，思考另外用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？并进行总结：用一张矩形纸片折出角和其它角如∶、、、、等折叠的方法和理由； 【用一用】 （4）用矩形纸片怎样折出一个等边三角形？怎样折出的等边三角形才是最大的？请说明折叠法，并辅以图形示范． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州科技中学2023—2024学年第二学期八年级阶段限时训练 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各式：中，属于分式的共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：和的分母中含有字母，是分式；和的分母中不含字母，是整式，所以属于分式的共有2个． 故选：B． 2. ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 有一组邻边相等菱形是正方形 B. 有一个角是直角的矩形是正方形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 对角线互相垂直的菱形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查正方形的判定定理，熟记判定定理及与菱形、矩形的区别即可正确解答．根据正方形的判定判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，原命题是假命题； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，原命题是假命题； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题； D、对角线相等的菱形是正方形，原命题是假命题． 故选：C． 4. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ； 在和中， ， ， ， ； ， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半是解决问题的关键． 5. 下列二次根式能与合并的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把和化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行求解，即可得到答案． 【详解】∵，， ∴与是同类二次根式，能进行合并． 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，解题的关键是知道二次根式的定义：几个二次根式都化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式；同类二次根式可以合并． 6. 如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（　　） A. 扩大到原来的25倍 B. 扩大到原来的5倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】分别用5x和5y去代换原分式中x和y即可得出结果. 【详解】当x、y都扩大到原来的5倍， 分子5xy扩大了25倍，分母x+y扩大了5倍， 所以原分式扩大了5倍. 故选B. 7. 如图，菱形对角线，，则菱形高长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，然后利用勾股定理列式求出，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高两种方法列式计算即可得解． 【详解】解：菱形对角线，， ， ， ， 根据勾股定理，， 菱形的面积， 即， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，根据菱形的面积的两个求解方法列出方程是解题的关键． 8. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和十字相乘法分解因式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．根据十字相乘法得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 9. 图①②中涂色部分的面积分别为S1，S2，a＞b＞0，设k=，则有（ ） A. 0＜k＜ B. ＜k＜1 C. 1＜k＜2 D. k＞2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形表示出S1，S2，再根据k= ，求出k范围即可． 【详解】解：根据题意得：S1=a2-b2，S2=a（a-b）， 则k= == =1+ ∵a>b>0，∴0< <1，即1<1+ <2， 则1<k<2， 故选C 【点睛】1、分式混合运算时，要注意运算顺序，（1）在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减.（2）有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意：最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.2利用平方差公式． 10. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作正方形，且点在矩形内，连接，则的最小值为( )． A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，过点作，分别与、交于点、点，证明，得，，设根据勾股定理用表示，进而求得的最小值． 【详解】解：过点作于点，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， 设则 ， 当时，有最小值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，确定点运动的轨迹． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 计算：=_____ 【答案】1 【解析】 【分析】根据同分母的分式加减法则进行计算即可． 【详解】解：原式==1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是分式的加减法，即同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为______． 【答案】7 【解析】 【分析】直接根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c， ∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4， ∴， ∵， ∴正方形C的面积为7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 14. 使式子有意义x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式，分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，分母不为0．根据二次根式，分式有意义的条件可得，且，再求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得：且， 故答案为：且． 15. 已知，，，，，，，则___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算和规律探寻，正确找到规律是解题的关键．先计算，，从而找到规律：（n为正整数），再根据规律求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴， ， ， ∴（n为正整数）， ∴； 故答案为：． 16. 如图是重型卡车的立体图，右图是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面从重型卡车车上卸载的平面示意图．已知重型卡车车身高度，卡车卸货时后面支架AB弯折落在地面，经过测量．现有木箱长，高，宽小于卡车车身的宽度，当木箱底部顶点G与坡面底部点重合时，则木箱上部顶点E到地面的距离为__________． 【答案】4.5## 【解析】 【分析】作于点，于点，于点，根据“两条平行线之间的距离处处相等”可知，，设，根据勾股定理得，则，于是，，再证明，得，，则，再证明，得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图2，作于点，于点，于点， ，， ，， ，，，， 设， ，且，， ， 解得， ，， 四边形是长方形，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 木箱上部顶点到地面的距离为， 故答案为：4.5． 【点睛】此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、全等三角形的判定与性质、运用勾股定理和全等三角形的性质解决实际问题等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共9小题，第17-21小题每题8分，第22、23小题每题10分，第24小题12分，第25小题14分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质和绝对值的性质分别化简各项，再作加减法． 【详解】解： = = 【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 18. 先化简，再求值：其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 19. 如图，的对角线相交于点O．E，F是上的两点，且，连接．若，判断四边形的形状，并说明理由， 【答案】四边形是矩形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，先由平行四边形的性质，得，，结合，得出，证明四边形是平行四边形，再结合对角线相等的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：四边形是矩形．理由如下： 四边形是平行四边形， ，． ， ， ， 四边形是平行四边形． ∵ 是矩形． 20. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】解：如图所示： ∴，， 则原式 ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 21. 下面是小亮化简分式的部分运算过程： 解：原式…第一步． …第二步． …… （1）小亮运算过程中第______步出现了错误； （2）请写出正确且完整的解答过程． 【答案】（1）二 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键． （1）逐一检查每一步，发现错误，写出原因； （2）根据分式混合运算的法则计算即可． 【小问1详解】 解：第二步出现错误，原因是分子相减时未变号， 故答案为：二． 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 如图是由边长为 1 的 10×14 的正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）如图 1，△ ABC 的顶点在格点上，完成下列问题： ①用无刻度直尺画出在格点上点 D，使 CD⊥AC 且 CD=AC； ②直接写出△ ACD 的面积是 ，AC 长 ； （2）如图 2，△ MNP 的顶点在格点上，用无刻度直尺画出在射线 MP 上的格点 Q， 使∠PNQ=45°． 【答案】（1）①见解析；②，；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①由勾股定理得出AC=，再根据格点的位置作图即可； ②由①的结论，根据三角形的面积公式直接求解即可； （2）如图，作出以PN为边的正方形PEFN，延长对角线NE与射线 MP 的交于点 Q，格点Q满足∠PNQ=45°． 【详解】（1）①如图所示，点 D即为所作； ②AC=， △ ACD 的面积是：； 故答案为：，； （2）如图所示，作出以PN为边正方形PEFN，延长对角线NE与射线 MP 的交于点 Q，格点Q满足∠PNQ=45°． 点 Q即为所作； ． 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 23. 定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．且AC垂直平分BD． （1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1：　 　；性质2：　 　． （2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD为菱形． 【答案】（1）对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由筝形的定义即可得出结论； （2）由垂直平分线的性质得出AB=AD，BO=DO，同理：BC=DC，由AS证明△AOB≌△CDO，得出AB=CD，因此AB=CD=BC=AD，即可得出四边形ABCD为菱形． 【详解】解：（1）由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC⊥BD；是轴对称图形，对称轴为AC； 故答案为对角线互相垂直，是轴对称图形； （2）∵AC垂直平分BD， ∴AB＝AD，BO＝DO， 同理：BC＝DC， ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠ODC， 在△ABO和△CDO中， ， ∴△AOB≌△CDO（ASA）， ∴AB＝CD， ∴AB＝CD＝BC＝AD， ∴四边形ABCD为菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、筝形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握筝形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24. 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； （2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． （3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求的最小值． 【答案】（1）假分式 （2）或 （3）27 【解析】 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）化简，根据分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，得出，求出，代入中，得出，根据，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得：分式是假分式， 故答案为：假分式； 【小问2详解】 解：， ∵的值为整数，且为整数； 的值为或； ∴的值为或． 【小问3详解】 解： ， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为27． 25. 综合与实践 ：折出，，等角 一副三角尺有，，的角，，因此通过一副三角尺是可以画出，，的角，如果我们身旁没有量角器或三角尺，只有矩形的纸片，又需要作，，等大小的角呢？ 【做一做】 （1）我们知道：折叠是一种轴对称变换，折叠前后对应线段相等，对应角相等，对应点的连线被折痕垂直平分，准备好一张矩形纸片，不用任何测量工具，在这张矩形纸片上你能折出一个什么度数的角？请动手做一做，并说明理由； 【试一试】 （2）在一张矩形纸片上，能否用折纸的方法折出的角呢？请你先思考，编一道题目将你的发现表达出来． 【议一议】 （3）折出角的方法，思考另外用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？并进行总结：用一张矩形纸片折出角和其它角如∶、、、、等折叠的方法和理由； 【用一用】 （4）用矩形纸片怎样折出一个等边三角形？怎样折出的等边三角形才是最大的？请说明折叠法，并辅以图形示范． 【答案】（1）在矩形纸片上能折出一个的角；理由见解析（答案不唯一）（2）能用折纸的方法折出的角；见解析（答案不唯一）；（3）还可以折叠出，，，，，，，，，，角；理由见解析；（4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质进行解答即可； （2）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，则的度数为； （3）根据解析（2）的折叠方法进行分析即可得出答案； （4）根据解析（2）的折叠方法，可以得出等边三角形，找出最大的等边三角形即可． 【详解】解：（1）在矩形纸片上能折出一个的角；理由如下： 将一个矩形的一个角折叠，使矩形的两条邻边重合，则折痕将这个直角平分，因为矩形的一个内角为，所以折痕与这两条边之间的夹角为．（答案不唯一） （2）能用折纸的方法折出的角； 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，则的度数为； 设交于点H，连接， 由折叠可知，，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． （3）还可以折叠出，，，，，，，，，，角；理由如下： 根据解析（1）可得折出角的方法，根据解析（2）可得折出角的方法； 采用解析（2）的折叠方法，则； ∵， ∴； 在解析（2）的折叠基础上，将矩形折叠，使与重合，得到折痕；展开矩形纸片，再继续折叠，使与折痕重合，得到折痕；展开矩形纸片，再继续折叠，使与重合，得到折痕，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵， ∴，， ∴，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （4）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，连接，延长交于点P，如图所示： 根据解析（2）可知：，，，， ∴， ∴为等边三角形； ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴当足够长，点在上时，是最大的． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$