专题08 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（40题）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（40道） 【选取沪科版教材地区最新题型】 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③（为任意实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·山东烟台·二模）如图，抛物线过点，与y轴的交点C在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③对于任意实数m，总有； ④． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 6．（2024·山东德州·二模）小红从图所示的二次函数的图象中．观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 8．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图像如图所示，①；②；③；④；上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 10．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数 (、、为常数，且)的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 14．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，函数有最大值；⑤当时，函数值y随x的增大而减小．其中正确的序号有（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．④⑤ D．②④ 16．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2024·湖北襄阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（    ）    A． B． C．，则 D．若，则 18．（2024·四川广元·一模）如图，二次函数的图象的对称轴是，且经过点，与x轴的一交点在和之间，有以下结论：①；②（m为常数）；③若，，在该函数图象上，则；④，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线（是常数，）经过，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③．其中，错误结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（2024·四川达州·三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 21．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④方程必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）． 22．（2024·湖南永州·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 （将所有正确结论的序号都填上）． 23．（2024·吉林长春·一模）函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是 ． 24．（2024·河南·三模）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    25．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x 的不等式的解集为或； ④． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 26．（2024·广东肇庆·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，经过点，对于下列结论，其中正确的为 ． ① ②对任意实数，满足 ③ ④多项式可因式分解为    27．（2024·山东济宁·三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ． 28．（2024·湖北武汉·二模）抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中． 下列结论： ①； ②关于x的一元二次方程一定有一个根在到0之间； ③当时，y随x的增大而增大； ④分式的值小于2． 其中正确的结论是 （填写序号）． 29．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，与y轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（m为任意实数），其中正确的序号为 ． 30．（23-24九年级下·甘肃张掖·期中）二次函数的图象如图所，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号） 31．（2024九年级下·云南·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；，其中正确的结论有填序号 32．（2024·山东淄博·一模）二次函数的图象的一部分如图所示，己知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）．    33．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线（、、是常数，）的对称轴是直线，图象与轴一个交点横坐标在和之间．下列四个结论：①；②；③若点，点在该抛物线上，则；④若一元二次方程的根为整数，则的值有3个．其中正确的结论是 （填写序号）． 34．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④．其中结论正确的是 （填序号）    35．（2024·湖北武汉·一模）已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若是抛物线上两点，若，则； ③若方程有四个根，则这四个根的和为12； ④当时，若，对应y的整数值有4个，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 36．（2024·四川广元·二模）二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有 ．其中正确结论的序号是 ． 37．（2024·广东江门·一模）如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤（的实数）．其中正确结论是 ．（写序号） 38．（2023·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴是直线，且过点，有下列结论：；；；；其中正确的结论为 ． 39．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有下列个结论：； ；；；，是抛物线上两点（），若，则；其中正确的结论有 ． 40．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是 ．（只填写序号） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（40道） 【选取沪科版教材地区最新题型】 【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③（为任意实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置可判断①，根据特殊点可判断②；根据最值可判断③；根据对称性可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴负半轴相交， ∴，，， ∴，故①正确； 根据对称轴为直线得， 由图象可知，当时，， ∴，故②正确； 由图可知，当时，抛物线有最大值为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 由图可知，和满足， ∴和关于对称轴对称， ∴，，即， ∵， ∴，， 则， ∴， 解得，故④正确； 故选C． 2．（2024·山东烟台·二模）如图，抛物线过点，与y轴的交点C在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论： ①； ②； ③对于任意实数m，总有； ④． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数图象得出a，b，c的符号，掌握抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标以及最大值（最小值）与待定系数a、b、c的关系是解题的关键． 根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴，故①错误． 又抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一交点为． ∴． ∴，故②正确． 由函数图象可知， 当时，函数取得最大值， 则对于任意的， 总有， 即（m为实数）． 又，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故③错误． ∵， ∴， 而， ∴， 故④正确． 所以正确的结论有②． 故选：B． 3．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D．若为任意实数，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象判断的符号，根据抛物线与轴的交点即可判断B,C选项，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，得出最小值为，进而即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线的对称轴为直线，则 ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故A选项错误； ∵当时，， ∴ ∴，故B正确 ∵抛物线的对称轴为直线，和时， ∴，故C错误； ∵，对称轴为直线 ∴若为任意实数，则，即，故D错误， 故选：B． 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 5．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 6．（2024·山东德州·二模）小红从图所示的二次函数的图象中．观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．能从函数图象中正确获取信息是解题的关键．观察图象易得，，所以，因此，由此可以判定①②④；当，由点在第二象限可以判定，可以判定③；当时，，由点在第一象限可以判定⑤． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵与y轴交点在x轴的下方， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①错误，②是正确， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴④是错误的； 当，而点在第二象限， ∴ ∴③是正确的； 当时，， 而点在第一象限， ∴ ∴⑤是正确的． 故选：B． 7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线与x轴交点、一元二次方程根与系数关系、对称轴等知识即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D． 【详解】解：A．∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴， 原题结论错误，故此选项不符合题意； B．当时，，抛物线与轴有两个交点，与x轴交于，两点， ∴有两个不相等的实数根分别为， ∴ 原题结论错误，故此选项不符合题意； C．∵对称轴为直线，， ∴， ∴当时， 原题结论错误，故此选项不符合题意； D．当时，为最小值， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项符合题意． 故选：D． 8．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图像如图所示，①；②；③；④；上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出，，，对称轴的关系是解题的关键．由函数图象可知，对称轴，图象与轴的交点位置得，对称轴与直线的位置关系；再由图象可知当时，，即；当时，，即；当时，，即，即可求解． 【详解】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴，图象与轴的交点位置得， ，，， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，，即； 当时，，即； ，即；故③正确； 时，， ，即，故④错误； 故选：A． 9．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数的图象和性质依次判断即可，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴， ，，， ， ①正确． 当时，， ， ②错误． 抛物线过点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ③正确． 如图： 设，， 由图知，时，， 故④正确． 故选：C． 10．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数 (、、为常数，且)的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有(    ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤根据顶点以及开口方向即可求解． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ②抛物线的顶点为， ，， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴， ， ，故②错误； ③抛物线经过点， ，即，故③正确； ④抛物线的顶点为，且开口方向向下， 时，随的增大而减小，即④错误； ⑤抛物线的顶点为，抛物线开口向下， 当时，是最大值， 对于任意实数，总有， 则⑤正确； 综上，正确的共有个． 故选：B． 11．（2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系． 根据图象得出，即可判断①；根据对称轴推出，再根据图象得出当时，函数值大于0，即可判断②；根据二次函数的性质和开口方向得出离对称轴越远函数值越大，即可判断③；根据二次函数的对称性得出抛物线经过，即可判断④． 【详解】解：由图可知，该抛物线开口向上，对称轴在y 左侧，与y轴相交于负半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵其对称轴为直线 ∴，则， 由图可知，当时，函数值大于0， ∴，故②正确，符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点A到对称轴距离为，点B到对称轴距离为，， ∴ ；故③不正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，交y轴于点， ∴抛物线经过， ∴当或时，， 即当或时，，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④，共3个， 故选：C． 12．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质，抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴，得出，可以判断①②，再根据抛物线判断③④． 【详解】解：∵抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴, 即， ∵当时，， ∴, ∴，故③错误； ∵对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，时，则y随x的增大而减小， 故④错误． 故选：B． 13．（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况可解决问题． 【详解】解：由图知开口向下， ， 与交于正半轴， ， 图象关于直线对称， ， ， ，A选项错误； 若抛物线与x轴交于，两点， ，则，故B选项正确； ， ， 由图知，当时，， 不成立，故C选项错误； 当时，有，故D选项错误． 故选：B． 14．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：①由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，则可对①进行判断；②根据抛物线与轴有两个交点，则△，作判断；③利用可得到，再把代入即可作出判断；④根据一元二次方程根的判别式可以作出判断． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ， ， 所以②错误； ③，， ， 把代入得， ， 所以③错误； ④对于方程，， ∵， ∴ 方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确；， 所以④正确； 本题正确的有：①④2个， 故选：C． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，函数有最大值；⑤当时，函数值y随x的增大而减小．其中正确的序号有（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的图象与性质、数形结合是解题的关键． 根据图象开口向下，可得，结合抛物线的对称轴可判断，图象与y轴的交点在x轴的上方，可得，进而可判断①②；根据抛物线的对称性可得当时，，即可判断③；根据抛物线的顶点可判断④；根据抛物线的性质可判断⑤；进而可得答案． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， ∴①说法错误， ∵， ∴， ∴， ∴②说法正确， 由图象可知点关于对称轴的对称点为， ∵当时，， ∴当时，， ∴， ∴③说法错误， ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，y有最大值， ∴④说法正确， ∵开口向下，对称轴为， ∴当时，函数y的值随x的增大而增大， ∴⑤说法错误， ∴正确的为②④， 故选：D． 16．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由二次函数的图象与轴交于两点，得对称轴为直线，从而得，故①正确，当时，，进而得，，故②错误；先求得点，当时，，，当时，，，从而得的值有个，故③正确；由二次函数，得顶点，进而得，再分类讨论即可得解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点， 对称轴为直线， ， ， 故①正确， 当时，， ， ， ， 故②错误； 二次函数， 点， 当时，， ， 当时，， ， 当是等腰三角形时，的值有个， 故③正确； 二次函数， 顶点， ， 若，可得， ， ， 若，可得， ， ， 当是直角三角形时，或， 的值有个， 故④错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，根据二次函数的性质判断各项符号，勾股定理以及等腰三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 17．（2024·湖北襄阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（    ）    A． B． C．，则 D．若，则 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：A、根据函数图像可得当时，，故A错误； B、根据对称轴为直线可得：故，故B正确； C、根据函数图像可得当，则，故C错误； D、根据函数的对称性得：，则，故D错误； 故选：B． 18．（2024·四川广元·一模）如图，二次函数的图象的对称轴是，且经过点，与x轴的一交点在和之间，有以下结论：①；②（m为常数）；③若，，在该函数图象上，则；④，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号， 即可得到的符号； ②求出二次函数的最值，进行判断即可； ③根据二次函数的增减性进行判断即可； ④综合对称轴和的值，以及当时，结合进行判断即可． 【详解】解：①∵抛物线的开口向下，，对称轴为直线， ∴， ∵图象过点， ∴， ∴，故①不符合题意； ②由图象可知，当时，函数取得最大值为， ∴ (为常数)，故②符合题意； ③∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 故③符合题意； ④由图可知，与x轴的一交点在和之间， 当时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故④符合题意； 综上所述，正确的个数为， 故选：C． 19．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线（是常数，）经过，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③．其中，错误结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键． ①当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；②将代入方程，根据根的判别式即可判断；③将代入，求解后即可判断． 【详解】解：①∵抛物线是常数，经过点， ∴， ∴， ∵当时，与其对应的函数值． ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不等的实数根，故②正确； ③， ， ， ， ， 故③正确； 故选：A． 20．（2024·四川达州·三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（　　）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据时，即可判断；③根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；④根据两根之和，可得，可得；⑤根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断． 【详解】抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确， 时，， ，即，故②正确， 的图象过点和， ，，则， ， ，故③正确， ， ， ， ∵， ∴，故④正确， 对于，可得：， 由函数图象交点可知或， ， ， ，故⑤正确， 故选：D． 二、填空题 21．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④方程必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，以及二次函数与一元二次方程之间的联系，结合二次函数的图形与性质，以及二次函数与一元二次方程之间的联系逐项分析即可．掌握二次函数的图像与性质和各项系数之间的关系是解题关键． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为，， ∵， ∴，即： ∴，则，故①正确； 当时，，则，即：， 当时，，则，即：， 故②不正确； 当时，当时，y随x的增大而增大； 当时，当时，y随x的增大而减小； 故③不正确； 方程整理为：， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的结论有①④． 故答案为：①④． 22．（2024·湖南永州·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 （将所有正确结论的序号都填上）． 【答案】 【分析】本题考主要查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y轴的交点可判断①正确；根据图象与x轴交于两点和对称轴的位置可判断②错误；当时，y的值为结合对称轴可判断③错误；根据对称轴；可得，变形可判断④正确. 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ②有函数图像可得当时，，即，故②正确； ③当时，y的值为， 给乘以4，可得， ∵图象与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴在， ∴关于对称轴对称点的横坐标在和之间， 由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值， ∴与0的关系不能确定，故③错误； ④∵， ∴． 故答案：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 23．（2024·吉林长春·一模）函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即 故此选项正确； ②由图象可知：抛物线过点，即当时, 故此选项错误； ③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和， 当时, 当 时, ， ， 故③正确； ④由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方, 即当时, ， 故此选项正确； 故答案为: ①③④. 24．（2024·河南·三模）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．    【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故错误； ②时，函数值小于0，则，故正确； ③与轴交于点和点，则对称轴，则，故，故正确； ④当时，图象位于对称轴右边，随的增大而减小．故正确； 综上所述，正确的为②③④． 故答案为：②③④． 25．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x 的不等式的解集为或； ④． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题综合考查了二次函数的图象和性质，以及不等式的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想是解题的关键．根据，抛物线开口向下， 经过，抛物线与轴交点必然在点上方，当时，，故①正确，符合题意；抛物线过点，得到，抛物线对称轴，因为抛物线过点 ，， 且，设抛物线与轴另外一个交点为，则，得到抛物线对称轴，抛物线对称轴所在范围是：，故②错误；将不等式，变形为，抛物线 与直线 都经过点 和 ，数形结合可得到不等式解集或，故③正确，符合题意；结合图象，将代入可得，，将代入，得到 ，化简得，故④正确，符合题意． 【详解】解： 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，如图所示， ，抛物线开口向下， 经过， 抛物线与轴交点必然在点上方， 当时，，故①正确，符合题意， 抛物线过点， ，即， 抛物线对称轴， ，， ， ， 又 抛物线过点 ，， 且， 设抛物线与轴另外一个交点为，则， 抛物线对称轴， 抛物线对称轴所在范围是：， 故②错误，不符合题意； ， ， 抛物线 与直线 都经过点 和 ， 如图， 结合图象可知，不等式的解集即对应抛物线在直线图象的下方时，对应自变量的取值范围，由图象可知此时或， 原不等式的解集为或， 故③正确，符合题意； 结合图象，当时，的函数值大于零，可得， ， ，即， ，故④正确，符合题意； 故答案为：①③④. 26．（2024·广东肇庆·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，经过点，对于下列结论，其中正确的为 ． ① ②对任意实数，满足 ③ ④多项式可因式分解为    【答案】①②/②① 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；把解析式化成交点式即可判断③；根据函数的最值即可判断④． 【详解】解：抛物线的开口方向下， ； 对称轴为直线， ， 即， 故结论①正确； 当时， ∴，即 故结论③不正确； 抛物线过点，， ， 多项式可因式分解为 ， 故结论④不正确； 当时，， 当时， 有最大值：， 无论为何值时， 则有 故结论②正确， 故答案为：①②． 27．（2024·山东济宁·三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为，即． ∴当时，，故②正确； 当时，由图及对称性可知，x的取值范围为，故③正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④. 28．（2024·湖北武汉·二模）抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中． 下列结论： ①； ②关于x的一元二次方程一定有一个根在到0之间； ③当时，y随x的增大而增大； ④分式的值小于2． 其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 将点坐标代入抛物线解析式可得，根据即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，所以时随的增大先增大后减小，判断③；将时，，即，变形即可判断④． 【详解】解：将点坐标代入抛物线解析式得：， ， ∴，故结论①正确； 令，则， 两根之和，，两根之积，， ∴、均小于0， 当时，，，抛物线开口向下， ∴抛物线有1个根在到0之间， 即，有1个根在到0之间，②正确； ∵，把其中替换成， 即， ∴， ∵， ∴， 当时，y随x的增大先增大后减小；结论③错误； 当时，． ， ， ，， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 29．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，与y轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（m为任意实数），其中正确的序号为 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，由对称轴为直线可判断①；由时，，可判断②；由各点与对称轴的距离可判断③；由抛物线顶点位置可判断④；由二次函数最值可判断⑤．注意数形结合是解题的关键． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， ，故①正确； 抛物线开口向下，与x轴的一个交点在和之间， 当时，， ， ， ，故②正确； ，，， 点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， 又抛物线开口向下， ，故③错误； ，抛物线与y轴交点在和之间， ， ，故④错误； 当时，函数有最大值， m为任意实数时，， （m为任意实数），故⑤正确， 综上可知，正确的有①②⑤， 故答案为：①②⑤． 30．（23-24九年级下·甘肃张掖·期中）二次函数的图象如图所，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当时，，代入即可判断④． 【详解】解：由图象可知：， 又∵对称轴是直线， ∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 31．（2024九年级下·云南·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；，其中正确的结论有填序号 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断，由时可判断，由抛物线对称性及时可判断，由与的数量关系及可得与的数量关系，从而判断，由时取最大值可判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，错误． 时，， ，错误． 抛物线对称轴为直线，时， 时，，正确． ， ， ， ∴ ， ， ∴④错误． 时取最大值， ，即，正确． 故答案为：． 32．（2024·山东淄博·一模）二次函数的图象的一部分如图所示，己知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）．    【答案】①③⑥ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， 抛物线开口向下，， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴ 所以． 故①正确． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以． 故②错误． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即， 所以， 即． 故③正确． 因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 则． 又因为， 所以． 故④错误． 当点在抛物线对称轴的右侧时， 因为抛物线开口向下， 所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小， 即时，． 故⑤错误． 方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标， 因为抛物线经过点， 所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为． 又因为抛物线的对称轴为直线， 所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5， 所以关于x的一元二次方程的两根分别为． 故⑥正确． 故答案为：①③⑥． 33．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线（、、是常数，）的对称轴是直线，图象与轴一个交点横坐标在和之间．下列四个结论：①；②；③若点，点在该抛物线上，则；④若一元二次方程的根为整数，则的值有3个．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查二次函数与图象与系数之间的关系、二次函数上点的坐标特征和判定根的情况，解题的关键是数形结合思想，借助函数图象分析解题． 由对称轴可得a，b之间关系，由c和与x轴的交点可简略画出函数图象，借助函数图象分析四个结论是否正确． 【详解】解：由题意得，抛物线与y轴负半轴相交，且图象与轴一个交点横坐标在和之间，对称轴是直线， ∴开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 由题意可画出大致函数图像，如图： 当时，，故②正确； ∵点A离对称轴的距离为4，点B离对称轴距离为，而， ∴，故③错； 若一元二次方程的根为整数，即二次函数与直线的交点横坐标为整数，横坐标可以为， ∵与，与关于对称， ∴函数值相等， ∴P的值有3个，故④正确． 故答案为：①②④ 34．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④．其中结论正确的是 （填序号）    【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．根据抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，得到，再由抛物线对称轴为，得到，即可判断①②；求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即可根据函数图象判断③；根据当时，，得到，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是，故③正确； ∵当时，， ∴， ∴， ，故④错误， 故答案为：①②③． 35．（2024·湖北武汉·一模）已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论： ①； ②若是抛物线上两点，若，则； ③若方程有四个根，则这四个根的和为12； ④当时，若，对应y的整数值有4个，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．根据题意可得，从而得到a，b异号，但无法判断c的符号，故①错误；根据题意可得，再由，可得，故②正确；根据题意可得，可得这四个根的和为12，故③正确；④分两种情况讨论，可得④错误． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴，即， ∴a，b异号， ∴， ∵无法判断c的符号， 是错误的，故①错误； ②由题意知：， ． ， ． ， ， ， ， ．故②正确． ③， ， 当时，， 当时，， 这四个根的和为12，故③正确； ④（i）当时，若随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ， 的整数值有4个， ， ， （ii）时，若随x的增大而减小， ， 的整数值有4个， ， ， 综上所述：或，，故④错误． 36．（2024·四川广元·二模）二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有 ．其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①④；由时及抛物线的对称性可判断②；由时与时值相等，及与的数量关系可判断③． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误． 由图可知时，， 时，，②正确． ∵把分别代入， ∴ ∵ ∴ ∴，故④正确 ∵对称轴为， 故时，与时所对应的函数值是相等的； ， ∵ ∴，故③正确． 故答案为：②③④． 37．（2024·广东江门·一模）如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤（的实数）．其中正确结论是 ．（写序号） 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴交点位置，判断①；特殊点判断②和③，增减性判断④，最值判断⑤． 【详解】解：由图象可知：中，，， ∴ ∴，故①错误； ∵对称轴为， ∴根据对称性可知当时，所对应的函数值与时函数值相同， 即：，故②正确； ∵当时，所对应的函数值， ∴，故③正确； ∵图象关于对称， ∴所对应的函数值等于所对应的函数值 ∵在范围内，函数值随x的增大而增大，， ∴，故④错误； ∵函数的最大值为当时所对应的函数值，当时，， ∴， ∴（），故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 38．（2023·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴是直线，且过点，有下列结论：；；；；其中正确的结论为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据抛物线的特征可判断①，将代入抛物线可判断②，求出抛物线与轴的另一交点，可得当时，，进而可判断③，由图象可知当时抛物线有最大值为可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，故①正确， 抛物线过点， ， ，故②错误， 对称轴是直线， ， 抛物线过点， 抛物线过点， 当时，， ， ，故③错误， 抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，有最大值为：， ， 即，故④正确， 故答案为：． 39．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有下列个结论：； ；；；，是抛物线上两点（），若，则；其中正确的结论有 ． 【答案】 【详解】题目主要考查二次函数的图象和性质及与一元二次方程的关系，结合图象及性质依次进行判断即可，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 解：由图象可知，，对称轴， 且， ，故不正确； 由图可知当时，， ， ，故正确； 抛物线与轴有两个交点， ，故不正确； ，， ， ，故正确． 是抛物线上两点，若， ， 函数对称轴是直线， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ，故正确． 故答案为：． 40．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据所给图象可以得出， ，再结合对称轴，即可判断；根据二次函数与正比例函数的交点坐标即可判断；由方程根与系数的关系即可判断；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故、正确； ∵二次函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴关于的方程的两根为，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∵ ∴，故正确； ∴正确的是， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$