2.7 函数图像（讲义）-2025年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

2.7 函数图像 考点一 作函数图像 【例1】（2024上海·专题练习）由函数图像，画出下列各函数图像. (1)(2)(3)(4)(5)(6) 【一隅三反】 1．（2024高三·全国·专题练习）（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象． ① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）. （2）作出下列函数的图象． ① y＝（）|x|；② y＝|log2（x＋1）|；③ y＝. 考点二 根据解析式选图像 【例2-1】（2024·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2024湖北）函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　) 【一隅三反】 1．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．     D．     3．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（   ） A．B．C． D． 考点三 根据图像选解析式 【例3-1】（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·广东广州·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·二模）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 考点四 函数图像的伸缩平移 【例4-1】（2023·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·江西赣州·二模）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（2024·河南）已知函数，则下列函数图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024浙江）已知函数的周期为1，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京）将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 考点五 函数图像在实际生活应用 【例5-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2024·广东广州）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是　　 A．B．C．D． 【一隅三反】 1．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（2024北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 3．（2024山东济宁）点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O､P两点的距离y与点P所走路程x的函数关系如图所示，那么点P所走的图形是（    ）    A．  B．  C．  D．   4.（2024甘肃）下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为(    ) (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； (2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. A．(1)(2)(4) B．(2)(3)(4) C．(1)(3)(4) D．(4)(1)(2) 考点六 函数图像的应用 【例6-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ． 【一隅三反】 1．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·山东济南·三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为 ． 4．（2023·吉林·一模）已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是 ． 1． 单选题 1．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高三下·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高三上·天津·期末）已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河北·模拟预测）如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（    ）      A． B． C． D． 7．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（2024山东滨州）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（    ）.    A．函数是奇函数 B．对任意，都有 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增 10（2023·河北·模拟预测）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 11．（2024·重庆）设函数，如图是函数及其导函数的部分图像，则（    ）    A． B． C．与y轴交点坐标为 D．与的所有交点中横坐标绝对值的最小值为 3． 填空题 12.已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是________. 13．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ． 14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是 . 4． 解答题 15．（2024山东）已知函数f(x)＝2x，x∈R. (1)当实数m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？ (2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围． 16．（2024·陕西西安·三模）已知函数（其中）．    (1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象； (2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值． 17．（2024河南洛阳·期末）已知函数是定义在R的偶函数，当时，． (1)请画出函数图象，并求的解析式； (2)，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值． 18．（2024云南昆明·期末）已知函数. (1)当时，画出的图象，并判断直线与图象的交点个数； (2)设函数，若对于任意都成立，求的取值范围． 19．（2024北京顺义）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值： (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7 函数图像 考点一 作函数图像 【例1】（2024上海·专题练习）由函数图像，画出下列各函数图像. (1)(2)(3)(4)(5)(6) 【答案】图像见解析 【解析】（1）由于与关于轴对称，可得图象如下： . （2）由于与关于轴对称，可得图象如下： . （3）由于，可得图象如下： . （4）由于为偶函数，可得图象如下： . （5）将向右平移1个单位可得，可得图象如下： . （6）将向左平移1个单位可得， 易得为偶函数，当时，， 所以在轴左侧的图象由的图象关于轴对称而得，如图， . 【一隅三反】 1．（2024高三·全国·专题练习）（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象． ① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）. （2）作出下列函数的图象． ① y＝（）|x|； ② y＝|log2（x＋1）|； ③ y＝. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】解：（1） ① 把f（x）的图象关于y轴对称得到y＝f（－x）的图象，如图． ② 保留f（x）图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y＝f（|x|）的图象，如图． ③ 把f（x）图象向下平移一个单位长度得到y＝f（x）－1的图象，如图． ④ 结合③，保留x轴上方部分，然后把x轴下方部分关于x轴翻折得到y＝|f（x）－1|的图象，如图． ⑤ 把f（x）图象关于x轴对称得到y＝－f（x）的图象，如图． ⑥ 把f（x）的图象向右平移一个单位长度得到y＝f（x－1）的图象，如图． （2） ① 作出y＝（）x（x≥0）的图象，再将y＝（）x（x≥0）的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝（）|x|的图象，如图①中实线部分． ② 将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2（x＋1）|的图象，如图②中实线部分． ③ 因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图③. 　　　　 考点二 根据解析式选图像 【例2-1】（2024·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD， 又，， 设，，则，. 所以在上为增函数，又， 所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B. 故选：A 【例2-2】（2024湖北）函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可能是(　　) 【答案】　A 【解析】当x＝π时，y＝π·cos π＋sin π＝π·(－1)＋0＝－π；当x＝－π时，y＝－π·cos(－π)＋sin(－π)＝－π·(－1)＋0＝π.故函数图象过(π，－π)，(－π，π)两点.故选A. 【一隅三反】 1．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数，排除AB，且，排除D. 故选：C. 2．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．     D．     【答案】A 【解析】由题意得，即，得，且， 所以的定义域为； 又，所以为奇函数， 其图象关于原点对称，排除B，C； 又，所以排除D． 故选：A． 3．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， 又，， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，排除选项A，C． 因为，排除选项B. （另解：当时，，所以，排除选项B）． 故选：D． 考点三 根据图像选解析式 【例3-1】（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于B，当时，，易知，， 则，不满足图象，故B错误； 对于C，，定义域为， 又，则的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项A，满足图中性质，故A正确. 故选：A. 【例3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，用排除法分析： 对于选项A：，当时，有，不符合题意； 对于选项B：当时，，不符合题意； 对于选项D：的定义域为，不符合题意； 故选：C． 【一隅三反】 1．（2024·广东广州·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】观察图象可知函数为偶函数， 对于A，，为奇函数，排除； 对于B，，为奇函数，排除； 同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确. 故选：D 2．（2024·陕西西安·二模）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，不符合题意，排除； 对于C，当时，，不符合图象，排除； 对于D，当时，，不符合图象，排除. 故选：B 3．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数图象可知，的图象不关轴对称, 而，， 即这两个函数均关于轴对称，则排除选项、； 由指数函数的性质可知为单调递增函数，为单调递减函数， 由的图象可知存在一个极小的值，使得在区间上单调递增， 由复合函数的单调性可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由图象可知符合题意， 故选： . 考点四 函数图像的伸缩平移 【例4-1】（2023·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同， 当时，所求函数图象与时图象关于轴对称， 即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求， 当时，，，故A正确，C错误. 故选：A. 【例4-2】（2024·江西赣州·二模）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C. 【例4-3】（2024·河南）已知函数，则下列函数图象关于点对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数，定义域为，则，故函数为奇函数，则关于原点对称，因此函数为函数向右平移一个单位得到，故函数关于对称，且函数关于点对称，因此函数关于点对称， 故选：A. 【一隅三反】 1．（2024浙江）已知函数的周期为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的周期为，则函数的周期为， 所以，A选项正确. BCD选项无法判断. 故选：A 2．（2024·北京）将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象向下平移1个单位长度,可得 再向右平移1个单位长度，可得 所以 故选：D 3．（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【解析】因为，所以，即的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 所以函数的图象关于点对称. 故选：A. 考点五 函数图像在实际生活应用 【例5-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当点在上时，， 当点在上时， ， 当点在上时，， 其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确. 故选：A. 【例5-2】（2024·广东广州）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是　　 A．B．C．D． 【答案】B 【解析】函数是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选B． 【一隅三反】 1．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减， 从点到点的过程中，的值先减后增， 从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增， 所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意， 故选：D. 2．（2024北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式， 故选：C. 3．（2024山东济宁）点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O､P两点的距离y与点P所走路程x的函数关系如图所示，那么点P所走的图形是（    ）    A．  B．  C．  D．   【答案】C 【解析】观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点： ①点运动到周长的一半时，最大；②点的运动图象是抛物线， 设点为周长的一半，如下图所示： 图1中，因为，不符合条件①，因此排除选项A； 图4中，由，不符合条件①，并且的距离不是对称变化的，因此排除选项D； 另外，在图2中，当点在线段上运动时，此时，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项B.    故选：C 4.（2024甘肃）下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为(    ) (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； (2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. A．(1)(2)(4) B．(2)(3)(4) C．(1)(3)(4) D．(4)(1)(2) 【答案】D 【解析】(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； 根据描述，离家的距离先增加，再减少到零，再增加，如此只有图像(4)符合； (2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； 根据描述，离家的距离应该先沿直线上升，然后与x轴平行，最后继续沿直线上升，符合的为图像(1)； (3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. 图像应该先缓慢上升，后快速上升，符合的图像为(2). 故选：D. 考点六 函数图像的应用 【例6-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于轴对称， 因为对任意的，都有成立， 所以， 所以函数的周期为4， 画出函数在区间上的图象，如图所示：        若在区间内方程有5个不同的实数根， 即函数与的图象有5个交点， 显然，则，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D． 【例6-2】（2024·天津红桥·一模）设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围 ． 【答案】 【解析】因为，所以，其图象如图所示， 又有四个实数根，由图知，得到，即，且， 由，得到或，所以， 所以， 令，，易知在区间上单调递增，所以， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【一隅三反】 1．（23-24高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，故， 画出与的图象， 函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点， 则， 解得. 故选：D 2．（2023·山东济南·三模）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】   依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解， 转化为函数与图象由四个交点， 由函数函数可知， 当时，函数为单调递减函数，； 当时，函数为单调递增函数，； 当时，函数为单调递减函数，； 当时，函数为单调递增函数，； 结合图象，可知实数的取值范围为. 故选：A 3．（2024·全国·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为 ． 【答案】10 【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称， 且在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． 所以函数的图象关于直线对称，且的最大值为2． 由于的图象和的图象都关于直线对称， 所以先考虑两个图象在上的情形， 易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． 易知，， 所以可作出函数与的大致图象如图所示， 所以的图象和的图象在上有5个交点． 根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线对称， 因此所有交点的横坐标之和为． 故答案为:. 4．（2023·吉林·一模）已知函数若函数有4个零点．则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当且时，，， 当且时，；当时，． 故在，上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 时，；时， 由解析式可知，为奇函数．画出图象大致如下： 令得，设， 得关于的方程（*） 恒成立，设（*）式有两个不等实根，， 当，时，即，满足题意， 当或，满足题意， 方法一： 令，则或， 故或， 综上，实数的取值范围是． 方法二： （*）式化为，令， 易知在，上单调递增， 且，，， 其图象大致如图： 当或时，满足或， 综上，实数的取值范围是． 1． 单选题 1．（2024·全国·模拟预测）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】的定义域为， ，函数是奇函数， 的图象关于原点对称，排除A，C； 当时，， （提示：，故当时，，得） ，，排除B． 故选:D． 2．（23-24高三下·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，，令，解得， 则其定义域为，关于原点对称， 所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为，观察选项可知，选A. 故选：A 3．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数， 对于A，，为偶函数， 但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去， 对于B, ,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合， 对于C，，为奇函数，故C不符合， 故选：D 4．（23-24高三上·天津·期末）已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知函数为奇函数， 若，则有， 若，则有， 所以与都不是奇函数，故排除AD； 而由，可排除B， 若，经检验 C选项符合题意. 故选：C. 5．（2023·河北·模拟预测）如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，要使函数有意义，则，即， 所以或或或， 所以函数的定义域为，A不正确； 对于B，，而已知函数图象过原点，B不正确； 对于C，对于函数，则，当时，， 则函数在上单调递增，不符合题中图象，C不正确， 对于D，对于函数，定义域为，且， ，当时，，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，符合图象，故D正确. 故选：D. 6．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数，，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为， 对于A选项：的定义域为，所以A选项错误； 对于B选项：的定义域为，所以B选项错误； 又知当时，， 对于C选项，的定义域为， 当时，，所以C选项错误； 对于D选项，的定义域为， 当时，，所以D选项符合题意. 故选：D. 7．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，（当且仅当，即时取等号）， 在上的最大值为，与图象不符，A错误； 对于B，当时，，与图象不符，B错误； 对于C，，当时，； 又过点； 由得：，解得：，即函数定义域为； 又， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：与图象相符，C正确； 对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误. 故选：C. 8．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，点在第一条边上时，， 但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大， 对比图象可知，A错误； 对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误； 对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误； 对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为， 点在第一条边上时（即时），， 点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增， 点在第三条边上运动时（即时），，单调递减， 点在第四条边上运动时（即时），，单调递减， 且已知与的图象关于（其中）对称，D正确. 故选：D. 2． 多选题 9．（2024山东滨州）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（    ）.    A．函数是奇函数 B．对任意，都有 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】由题意得，当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 当时，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆； 当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：    此后依次重复，所以函数是以为周期的周期函数，由图象可知，函数为偶函数，故A错误； 因为以为周期，所以， 即，故B正确； 由图象可知，的值域为，故C正确； 由图象可知，在上单调递增，因为以为周期，所以在上的图象和在上的图象相同，即单调递增，故D正确． 故选：BCD. 10（2023·河北·模拟预测）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】BC 【解析】由题意可知： 当时，在上单调递减，则； 当时，在上单调递增，则； 若函数恰好有4个不同的零点， 令，则有两个零点，可得： 当时，则，解得； 当时，则，可得； 可得和均有两个不同的实根， 即与、均有两个交点， 不论与的大小关系，则，且，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 且，故A、D错误，B、C正确. 故选：BC.    11．（2024·重庆）设函数，如图是函数及其导函数的部分图像，则（    ）    A． B． C．与y轴交点坐标为 D．与的所有交点中横坐标绝对值的最小值为 【答案】AD 【解析】   由得， 如图，因当，， 故可判断图①为的图象，图②为的图象， 由图可知： 当时，， 当时，， 故， 因，故 由得，故， ，故A正确. 又，， 所以，， 又因，故，故B错误. 综上可得，， ， 故与y轴交点坐标为，C错误. 令，即得 ， 故，， 得，， 故当或时的值最小为，故D正确. 故选：AD 3． 填空题 12.已知函数f(x)＝若在该函数的定义域[0，6]上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得＝＝＝k，则实数k的取值范围是________. 【答案】　 【解析】由题意知，直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象至少有3个公共点. 函数y＝f(x)，x∈[0，6]的图象如图所示， 由图知k的取值范围是. 13．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为 ． 【答案】2 【解析】对于，可以把的图象看作： 由的图象向上平移1个单位长度得到， 而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到； 对于的图象可看作由 的图象向上平移1个单位长度得到， 而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到． 易知与都为奇函数， 则易知与的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0． 因为将函数图象向右平移不改变与两函数图象交点处函数值的大小， 所以与的图象交点的纵坐标之和为0， 又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1， 则与的图象的两个交点的纵坐标与与的图象两个交点的纵坐标相比都增加1， 故与的图象交点的纵坐标之和为2． 故答案为：2 14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设， 当时，，； 当时，，； 当时，，. 综上可得，. 函数的定义域为， 由复合函数单调性可知函数单调递增. 又， 作出的图象如图所示    由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点， 即有两个零点， 所以的取值范围是. 故答案为：. 4． 解答题 15．（2024山东）已知函数f(x)＝2x，x∈R. (1)当实数m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？ (2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】见解析 【解析】 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示． 由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个实数解． (2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，t>0， 因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0. 因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]． 16．（2024·陕西西安·三模）已知函数（其中）．    (1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象； (2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值． 【答案】(1)作图见解析； (2)最大值为，. 【解析】（1）当时，， 在坐标平面内作出函数的图象，如图：    （2）依题意，，其图象如图：    令，得函数的图象与直线的两个交点， 直线与直线交于点， 显然，即点， 函数的图象与直线围成多边形为四边形，其面积为： ， 显然函数在上单调递增，当时，， 所以函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值为，此时. 17．（2024河南洛阳·期末）已知函数是定义在R的偶函数，当时，． (1)请画出函数图象，并求的解析式； (2)，对，用表示，中的最大者，记为，写出函数的解析式（不需要写解答过程），并求的最小值． 【答案】(1)图象见解析， (2)，． 【解析】（1）设，则，则，又函数是定义在R的偶函数， 所以， 则；函数的图象，如图所示． （2）因为，当时，令，解得， 则当时，，当时，令，解得， 则当时，，所以， 画出函数的图象，如图所示，结合图象可知，当时，． 18．（2024云南昆明·期末）已知函数. (1)当时，画出的图象，并判断直线与图象的交点个数； (2)设函数，若对于任意都成立，求的取值范围． 【答案】(1)图象见解析；交点情况见解析 (2) 【解析】（1）当时，，则的图象如图所示 由的图象可知，当时，与图象有1个交点， 当时，与图象有2个交点， 当时，与图象有3个交点； （2）由题意， 由于，故，则，， 令，则，，即， 由于，，恒成立， 令， ，则，所以， 令，，则， 因为，当且仅当，即时等号成立. 故，则， 所以的取值范围为． 19．（2024北京顺义）已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值： (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)若有两个零点，请写出k的范围（直接写出结论即可）. 【答案】(1) (2)..在上单调递减；证明见解析 (3) 【解析】（1）函数为奇函数，则， 即，解可得； （2）由（1）知，在上单调递减； 证明：任取，，且， 则 ， 又由，，且，则，，，， 则有，即 所以函数在上单调递减． （3）因为有两个零点， 所以方程有两个不等实根，即有两个不等的实根， 任取，，且，由（2）知， 因为，，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增，又函数为奇函数，所以图象关于原点成中心对称， 又，，时，，作出图象如图， 所以当且时，与有两个不同交点，即有两个不等实根. 故k的范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$