四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题

东坡区22级高二期末联 考试 数学试卷 满 ：150时间 120 钟 一、单 题 1.从 1,2,3,4中任取两个不 数字组成 直角 系中一个点的 ， 组成不 点 的个数为 (    ) A. 2 B. 4 C. 12 D. 24 2.设 f x  x0处可导，lim Δx→0 f x0-2Δx - f x0  Δx 的值 (    ) A. 2f x0  B. - f x0  C. - 2f x0  D.不一定存 3.已知n，m为正整数，且n≥m， 下 中错误的 (    ) A. A36= 120； B. A712=C712 ⋅A77； C. Cmn +Cmn+1=Cm+1n+1 ； D. Cmn =Cn-mn 4.已知函数 f x = ln x+1 ， f 1 , f 2  2 , f 3  3 的大 关系为 (    ) A. f 1 < f 2  2 < f 3  3 B. f 3  3 < f 1 < f 2  2 C. f 3  3 < f 2  2 < f 1  D. f 2  2 < f 1 < f 3  3 5. 二项 x- 2x  5 的 中， x3项的二项 系数为 (    ) A. 5 B. - 5 C. 10 D. - 10 6.已知函数 y= xf(x)的图 如图所示 (其中 f(x) 函 数 f(x)的导函数)， 下 四个图 中，y= f x 的图 大致 (    ) A. B. C. D. 7.某产 的销售收入 y1(万元) 产 x(千台)的函数，且函数解 y1= 20x2 x>0 ， 生产成 y2(万元) 产 x(千台)的函数，且函数解 y2= 2x3- x2 x>0 ，要 大， 该产 生产 (    ) A. 6千台 B. 7千台 C. 8千台 D. 9千台 8. 2020 4 22日 51个世界 球日，今 的 主题 “ 爱 球，人与自然 1页 共12页 共生”．某 4 大学生 A,B,C三个社区做宣 ，每个社区至 一人，每人 只能去一个社区宣 ，若大学生甲不去A社区， 不 的安 方 共 (    ) A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种 二、多 题 9.设函数 f x  = exx2- b， (    ) A. f x  0,+∞  上单 B. x=-2时，f x  取 值 C. f x  = 0只 一个零点时，b的取值 围 -∞,0  ∪ 4 e2 ,+∞  D. b= 12 时，f x  = 0 三个零点 10. 10．若 f x = x5- 5x4+ 10x3- 10x2+ 5x- 1， (    ) A. f x 可以被 x-1 3整 B. f x+y+1 可以被 x+y 4 整 C. f 30 被 27 的 数为 6 D. f 29 的个 数为 6 11.已知 0< x< y< π，且 eysinx= exsiny ，其中 e为自然对数的 数， 下 项中一 定成 的 (　　) A. sinx< siny B. sinx> siny C. cosx+ cosy> 0 D. cosx+ cosy< 0 三、 题 12.已知 (2+ x) + (2+x)2+⋯+(2+x)n= a0+ a1x+ a2x2 +⋯+anxn (n∈N *)，若 a0+a1+a2+⋯+an= 120， n= . 13.已知函数 f(x) = ax- ex (a∈R) ，g(x) = lnxx ,若 ∃ x∈ (0, +∞) 不 f(x) ≤ g(x) -ex 成 ，a 的取值 围 . 14. 若函数 f x =-4x 3 + 3x a,a+2 上存 值， 实数 a的取值可以 . 四、解 题： 题共 5 题，共 77 ．解 写出文字说 、证 过 或 步骤． 15. (1) 5个不 的 球放入 3个不 的盒子中， 盒子，共 多 种不 的放法？ (2) 5个不 的 球放入 3个不 的盒子中，盒子可 ，共 多 种不 的放法？ (3) 5个相 的 球放入 3个不 的盒子中， 盒子，共 多 种不 的放法？ (4) 5个相 的 球放入 3个不 的盒子中，盒子可 ，共 多 种不 的放法？ (注：要写出 ，结 用数字表示) 2页 共12页 16.已知 f(x) = (1+3x2 )n 中 项的系数 比 项的二项 系数 大 992. (1) 中二项 系数 大的项； (2) 中系数 大的项 17.某 业拟建 如图所示的容器 (不计厚 ，长 单 ：米)，其中容器的中间为 柱 ， 左右两端 为半球 ， 照设计要 容器的 积为 80π 3 方米，且 l≥ 2r．假设该容 器的建 费用仅与其表 积 关．已知 柱 部 每 方米建 费用为 3千元，半 球 部 每 方米建 费用为 c(c> 3)千元，设该容器的建 费用为 y千元． (Ⅰ)写出 y关于 r的函数表达 ， 该函数的定义域； (Ⅱ) 该容器的建 费用 时的 r． l r r r r 3页 共12页 18.已知函数 f(x) = lnx- x． (Ⅰ) f(x) 点 (1，f(1))处的 线方 ； (Ⅱ) 证：f(x)≤-1； (Ⅲ)若函数 h(x) = af(x) + x ex (a∈R)无零点， 实数 a的取值 围． 19.已知函数 f(x) = aex- sinx- a． (注:e= 2.718281⋯ 自然对数的 数)． (1) a= 2时， 曲线 y= f(x) 点 (0，f(0))处的 线方 ； (2) a> 0时，函数 f(x) 区间 0, π2 内 唯一的 值点 x1． (ⅰ) 实数 a的取值 围； (ⅱ) 证：f(x) 区间 (0,π)内 唯一的零点 x0，且 x0< 2x1 4页 共12页 1．【 】 用 的知识 正 . 【详解】从 1,2,3,4 东坡区22级高二期末联 考试数学参考 中任取两个不 数字组成 直角 系中一个点的 ， 不 的点的个数 A24= 4× 3= 12种. 故 ：C 2．【 】 的运 性质计 即可. 【详解】lim Δx→0 f x0-2Δx - f x0  Δx = lim Δx→0 - 2 ⋅ f x0-2Δx - f x0  -2Δx =-2lim Δx→0 f x0-2Δx - f x0  -2Δx =-2f x0 ． 故 ：C． 3．【 】 组 数的性质及 数公 计 可 【详解】解：对于A，A36= 6× 5× 4= 120，故正 ； 对于B，因为C712= A712 A77 ，所以A712=C712 ⋅A77，故正 ； 对于C，因为n，m为正整数，且n≥m， 所以令n= 3,m= 1， Cmn +Cmn+1=C13+C14= 7，Cm+1n+1 =C24= 4×32×1 = 6，此时C m n +Cmn+1 ≠Cm+1n+1 ，故错误； 对于D，Cmn =Cn-mn ，故正 ； 故 ：C 4．【 】画出函数 f x = ln x+1 的图 ，观察 x,f x  与 0,0 连线的斜 即 . 【详解】 出函数 f x = ln x+1 的图 ，如图所示.    由图可知曲线上 点与 原点的连线的斜 x的 大而减 . 由 1< 2< 3， f 1 -0 1-0 > f 2 -0 2-0 > f 3 -0 3-0 ，即 f 1  1 > f 2  2 > f 3  3 . 故 ：C. 5．【 】由二项 定理可 项为Tr+1= (-2)rCr5x5-2r，即可 x3项的二项 系数. 【详解】解：由题设，Tr+1=Cr5x5-r - 2x  r= (-2)rCr5x5-2r， ∴ r= 1时，T2= (-2)1C15x3=-10x3. ∴ x3项的二项 系数C15= 5. 故 ：A. 6．【 】先 用函数 y= xf(x)的图 函数 f(x)的单 区间，进而 正 项. 【详解】由题给函数 y= xf(x)的图 ，可 x<-1时，xf(x)< 0， f(x)> 0， f(x)单 ； 5页 共12页 -1< x< 0时，xf(x)> 0， f(x)< 0， f(x)单 减； 0< x< 1时，xf(x)< 0， f(x)< 0， f(x)单 减； x> 1时，xf(x)> 0， f(x)> 0， f(x)单 ； f(x)单 区间为 -∞,-1 ，1,+∞ ；单 减区间为 -1,1  故仅 项C 要 . 故 ：C 7．【 】先 解 ， 去 大值即可解决. 【详解】该产 的的 L(x) = y1- y2= 20x2- 2x3-x2 =-2x3+ 21x2 x>0  L(x) =-6x2+ 42x x>0  由L(x)> 0 0< x< 7；由L(x)< 0 x> 7 x= 7时，L(x) =-2x3+ 21x2 x>0 取 大值. 即要 大， 该产 生产 7千台. 故 ：B 8．【 】 题 甲不去A社区， 对甲 2种不 的 方法，进而对 的三人 情况讨论，①其中 一个人与甲 一个社区，② 人与甲 一个社区， 其情况 数目， 由 步计数原理计 即可． 【详解】 题 ，首先 甲，甲不去A社区， 对甲 2种 方法; 对于 下的三人， 两种情况讨论： ①其中 一人与甲 一个社区， 三 学生 三个社区，每个社区一人， A33= 6 种情况; ② 人与甲 一个社区， 三人中 两人一组，另外一人单独一组，两组 甲 以外的另外两个 方， C23 ⋅A22= 6种情况; 所以若甲不去A社区，不 的安 方 2× 6+6 = 24种. 故 ：A. 9．【 】 出函数的导数，解关于导函数的方 ， 出函数的单 区间，结 函数图像 断 即可． 【详解】解：∵ f(x) = exx2- b， ∴ f′ (x) = ex ⋅ x ⋅ (x+ 2)， 令 f′ (x) = ex ⋅ x ⋅ (x+ 2) = 0 解 ：x= 0或 x=-2， x∈ (0，+∞)∪ (-∞，-2)时，f′ (x)> 0， f(x) (0, +∞)，(-∞,-2)上单 ， x∈ (-2,0)时，f′ (x)< 0， f(x) (-2,0) 减， 故A正 ，B错误， 画出函数 g(x) = exx2的大致图像，如图示： 6页 共12页 且结 大值 g(-2) = 4 e2 ， f(x) = 0只 一个零点时，b的取值 围 {0}∪ 4 e2 ,+∞ ； b= 12 时，f(x) = 0 三个零点． 故C错误，D正 ； 故 ：AD 10．【 】 二项 定理的 用知 f(x) = (x- 1)5， 此可 断AB，由 f(30) = (27+ 2)5可 断C，由 f(29) = (30- 2)5可 断D. 【详解】∵ f x = x5- 5x4+ 10x3- 10x2+ 5x- 1= (x- 1)5， ∴ f(x)可以被 x-1 3整 ，故A正 ； ∵ f(x+ y+ 1) = (x+ y)5， ∴ f x+y+1 可以被 x+y 4整 ，故B正 ； ∵ f 30 = (30- 1)5= (27+ 2)5=C05 ⋅ 275+C15 ⋅ 274× 2+⋯+C45 ⋅ 27× 24+C55 ⋅ 25 =C05 ⋅ 275+C15 ⋅ 274× 2+⋯+C45 ⋅ 27× 24+ 27+ 5 ∴ f(30)被 27 的 数为 5，故C错误； ∵ f 29 = (29- 1)5= (30- 2)5=C05 ⋅ 305+C15 ⋅ 304× (-2) +⋯+C45 ⋅ 30× (-2)4+ (-2)5 =C05 ⋅ 305+C15 ⋅ 304× (-2) +⋯+C45 ⋅ 30× (-2)4- 32， ∴个 数为 10- 2= 8，故D错误. 故 ：AB 11．【 】 函数 f x = sinx ex ， 导，计 出其单 性即可 断. 【详解】 函数 f x = sinx ex ，f x = cosx-sinx ex = 2cos x+ π4  ex ， x= π4 时，f  x = 0 ，0< x< π4 时，f  x > 0 ，π4 < x< π 时，f  x < 0 ， x= π4 处取 大值，∵ x∈ 0,π ，sinx> 0, ∴ f x > 0 ， 函数图像如下： ∵ x< y,ex< ey ，∴ sinx< siny ，A正 ；B错误； 0< x< π4 ，cosx= 1-sin 2x> 0, cosy = 1-sin2y , ∴ cosx> cosy  ， cosx+ cosy> 0 ，C正 ，D错误； 故 ：AC. 12． 4 7页 共12页 13【解】因为 ∃ x∈ (0, +∞) ， 不 f(x)≤ g(x) - e^x 成 ， ax≤ ln   x/x ,即 a≤ ln   x/x^2 ， 问题转化为 a≤(ln   x/x^2)_max . 设 ℎ (x) = ln   x/x^2(x> 0) , 由 ℎ′ (x) = 1- 2ln   x/x^3 , 令 ℎ′ (x) = 0 , x=√e . x 区间 (0, +∞) 内变化时，ℎ′ (x) , ℎ (x) x 的变化情况如下表： 14．-2( 不唯一) 【 】 题 ，函数 f x =-4x3+ 3x的 值 a,a+2 内，即可 出实数 a的取值 围. 【详解】因为 f x =-4x3+ 3x，所以 f x =-12x2+ 3， 令 f x = 0 ，x=± 12 ， x∈ -∞,- 12 时，f x < 0，f x 单 减， x∈ - 12 , 1 2 时，f x > 0，f x 单 ， x∈ 12 ,+∞ 时，f x < 0，f x 单 减， 所以 x=- 12 ，f x  值， 因为函数 f x =-4x3+ 3x a,a+2 上存 值， 又 f 1 = f - 12 =-1， 所以 a<- 12 < a+ 2≤ 1，解 - 5 2 < a≤-1， 故 为：-2, - 52 ,-1 内任一值 可 15.【 】(1)先 5个不 的 球 为三组， 定每组 球的数 ，然 三组 球放 入三个盒子，结 步计数原理可 结 ； (2) 定每个 球的放法种数， 用 步乘法计数原理可 结 ； (3)只 5个相 的 球中间所 成的 4个 中插入 2 即可， 用 法可 结 ； (4)问题 价于 8个相 的 球中间所 成的 7个 中插入 2 即可， 用 法 可 结 ． 【解 】解：(1) 5个不 的 球 为三组，每组的 球数 为 2、2、1或 3、1、1， 然 再 这三组 球放入三个盒子中， 8页 共12页 因此，不 的放法种数为 C25C 2 3 A22 +C35 A33= (15+ 10) × 6= 150种； (2)每个 球 3种方法，由 步乘法计数原理可知， 5个不 的 球放入 3个不 的盒子中，盒子可 ，不 的放法种数为 35= 243种； (3) 5个相 的 球放入 3个不 的盒子中， 盒子， 只 5个相 的 球中间所 成的 4个 中插入 2 即可， 所以，不 的放法种数为C24= 6种； (4) 5个相 的 球放入 3个不 的盒子中，盒子可 ， 价于 8个相 的 球放入 3个不 的盒子中，每个盒子不 ， 只 8个相 的 球中间所 成的 7个 中插入 2 即可， 所以，不 的放法种数为C27= 21种． 【点评】 题考查 组 的 用， 于基 题． 16. 17.解：(I)设容器的容积为V， 由题 知V= πr2l+ 43 πr 3,又V= 80π3 , 故 l= V- 43 πr 3 πr2 = 80 3r2 - 43 r= 4 3 20 r2 -r  由于 l≥ 2r 因此 0< r≤ 2. 所以建 费用 y= 2πrl× 3+ 4πr2c= 2πr× 43 20 r2 -r × 3+ 4πr2c, 因此 y= 4π(c- 2)r2+ 160πr ,0< r≤ 2. (II)由 (I) y' = 8π(c- 2)r- 160π r2 = 8π(c-2) r2 r3- 20c-2 ,0< r< 2. 由于 c> 3,所以 c- 2> 0, r3- 20c-2 = 0时,r= 3 20 c-2 . 令 3 20 c-2 =m, m> 0 所以 y' = 8π(c-2) r2 (r-m) (r2+ rm+m2). 9页 共12页 (1) 0<m< 2即 c> 92 时， r=m时,y'=0; r∈(0,m)时,y'<0; r∈(m,2)时,y'>0. 所以 r=m 函数 y的 值点，也 值点。 (2) m≥ 2即 3< c≤ 92 时， r∈ (0,2)时,y' < 0,函数单 减， 所以 r= 2 函数 y的 值点， 综上所述， 3< c≤ 92 时，建 费用 时 r= 2; c> 92 时，建 费用 时 r= 3 20 c-2 . 18．已知函数 f(x) = lnx- x． (Ⅰ) f(x) 点 (1，f(1))处的 线方 ； (Ⅱ) 证：f(x)≤-1； (Ⅲ)若函数 h(x) = af(x) + x ex (a∈R)无零点， 实数 a的取值 围． 【 】(I) 出导函数，计 f(1)，f′ (1)，从而可 线方 ； (Ⅱ) 用导数 出 f(x)的 大值，即可 证； (Ⅲ)对 h(x) 导，对 a 类讨论，结 题 即可 解 a的取值 围． 【解 】解：(I)f(x) = lnx- x， f′ (x) = 1x - 1= 1-x x ， f(1) =-1，f′ (1) = 0， 所以 f(x) 点 (1，f(1))处的 线方 y=-1． (Ⅱ)证 ：f(x) = lnx- x的定义域为 (0, +∞)，f′ (x) = 1-xx ， 令 f′ (x)> 0， 0< x< 1；令 f′ (x)< 0， x> 1， 所以 f(x) (0,1)上单 ， (1, +∞)上单 减， x= 1时，f(x)取 大值，所以 f(x)≤ f(1) =-1，所以 f(x)≤-1． (Ⅲ)因为 h(x) = a(lnx- x) + x ex ， 所以 h′ (x) = a 1x -1 + 1-x ex = (1- x) 1 ex + ax ， a= 0时，h(x) = x ex > 0，h(x) 定义域上无零点； a> 0时，x> 0，所以 1 ex + ax > 0，令 h′ (x)> 0， 0< x< 1， 所以 h(x) (0,1)上单 ， (1, +∞)上单 减， x= 1时，h(x)取 大值 h(1) =-a+ 1e ， 因为 h(x)无零点，所以 h(1) =-a+ 1e < 0，即 a> 1 e ； a< 0时，因为 f(x)≤-1，所以 a(lnx- x)> 0， 即 h(x) = a(lnx- x) + x ex > 0， 所以 h(x) 定义域上无零点． 综上，a的取值 围 (-∞，0]∪ 1e ，+∞ ． 【点评】 题主要考查 用导数 曲线上某点的 线方 ， 用导数 函数的 值， 考查不 的证 ，函数零点个数问题，考查 类讨论思想与运 解能 ， 于中 10页 共12页 题． 19.【 】(1) f(x) = 2ex- sinx- 2， 用导数的运 法 可 f (x)，可 线斜 f ′ (0)， 用点斜 可 线方 ． (2) (ⅰ) f (x) = aex- cosx，对 a 类讨论， 用函数的单 性， 函数 f (x) 区间 0, π2 内 唯一的 值点 x1，即可 出 a的取值 围． (ⅱ)由 (ⅰ)知 0< a< 1， x∈ π2 ,π   时，f(x) = aex- cosx> 0，结 f(x)的单 性与 函数零点存 定理可 ：f(x) (x1，π)上 唯一零点 x0，f(2x1) = ae2x1- sin2x1- a，由 (ⅰ)知 f(x1) = 0，aex1= cosx1，化 整理， 函数，再一次 用导数 函数的单 性 即可证 结论． 【解 】解：(1)f(x) = 2ex- sinx- 2， f(x) = 2ex- cosx， 线的斜 k= f(0) = 2- 1= 1，又 f(0) = 0， ∴ 线方 为 y= x． (2) (ⅰ)f(x) = aex- cosx， ① a≥ 1时， x∈ 0, π2 时，ae x> 1，cosx∈ (0,1)， ∴ f(x)> 0， ∴ y= f(x) 0, π2 上单 ， 值点，不 题 ， 去； ② 0< a< 1时， f(x) = aex+ sinx> 0，∴ f(x) 0, π2 上 ， 又 f(0) = a- 1< 0，f π2 = ae π 2> 0， ∴ f(x) 0, π2 上 唯一零点 x1， x∈ (0,x1)时，f(x)< 0，函数 f(x)单 减； x∈ x1, π2 时，f(x)> 0，函数 f(x)单 ， ∴函数 y= f(x) 区间 0, π2 内 唯一 值点， 题 ， 综上，a的取值 围 (0,1)． (ⅱ)证 ：由 (ⅰ)知 0< a< 1， x∈ π2 ,π   时，f(x) = aex- cosx> 0， x∈ (0,x1)时，f(x)< 0，函数 f(x)单 减； x∈ (x1，π)时，f(x)> 0，函数 f(x)单 ； ∴ x∈ (0,x1)时，f(x)< f(0) = 0， f(x1)< 0， 又∵ f(π) = aeπ- a= a(eπ- 1)> 0， ∴ f(x) (x1，π)上 唯一零点 x0， 即 f(x) (0,π)上 唯一零点 x0． 由 (ⅰ)知 f(x1) = 0，∴ aex1= cosx1． ∵ f(2x1) = ae2x1- sin2x1- a， f(2x1) = ae2x1- sin2x1- a= ex1cosx1- 2sinx1cosx1- cosx1 ex1 = cosx1 ex1-2sinx1- 1ex1 ，x1∈ 0, π 2 ． 11页 共12页 设 h(x) = ex- 2sinx- e-x，x∈ 0, π2 ， h(x) = ex- 2cosx+ e-x， ∵ ex+ e-x> 2，2cosx< 2， ∴ h(x) = ex+ e-x- 2cosx> 0， h(x) 0, π2 为单 ，又 h(0) = 0，∴ h(x)> 0， 又 x∈ 0, π2 时，cosx1> 0， ∴ f(2x1) = cosx1 ex1-2sinx1- 1ex1 > 0． ∴ f(2x1)> f(x0) = 0． 由 讨论知 x1< 2x1< π，x1< x0< π，f(x) (x1，π)单 ， ∴ x0< 2x1．【点评】 题考查了 用导数 函数的单 性与 值及 值、方 与不 的解法、函数零点存 定理、 价转化方法、 法、 类讨论方法，考查了 理能 与 计 能 ， 于 题． 12页 共12页