第5章复数学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一上册

第5章 复数 5.1 复数的概念和意义 1．复数的有关概念 （1）定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做 ，实部是 ，虚部是 （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号 表示，规定i2＝ ，我们把i叫作 。 （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为 （a，b∈R） （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母 表示 注意：复数概念说明：复数集是最大的数集。 2．复数的分类 对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是 ； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是 ； （3）当b≠0时，叫做 ； （4）当a＝0且b≠0时，叫做 。 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 注意：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3．复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）， 我们规定：两个复数相等的充要条件是 与 分别相等。 4．复数的几何意义 （1）复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 （2）复数的几何意义——与点对应 复数（（复平面内的点 （3）复数的几何意义——与向量对应 复数（（ 平面向量 （4）复数的模 向量的模叫做复数）的模，记为或 公式： ，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的 ； 特别的，时，复数是一个 ，它的模就等于 。 （5）共轭复数 ①定义：当两个复数的实部 ，虚部互为 时，这两个复数叫做互为共轭复数。 ②表示方法复数的共轭复数用 表示，即如果，则 。 【典例解析】 例1 复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】复数的虚部是-1，故选： A 变式1 复数的实部是（    ） A．2 B． C． D．0 例2 若为纯虚数，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】令，得，时，，所以，故选：C 变式2 设，复数，若为纯虚数，则（    ） A．3或 B．3 C．或 D． 例3 已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】在复平面所对应的点为，位于第二象限，故选：B 变式3 若复数，则在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4 复数对应的点在第三象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【解析】化简可得：复数，因为其对应的点在第三象限内，所以，解得，故选：C 变式4 已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5 若复数满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【解析】因为复数满足，故，故选：B 变式5 复数（为虚数单位），则（    ） A．1 B． C． D． 【小试牛刀】 1.若复数的实部与虚部之和为0，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2.已知是虚数单位，则-的实部为（    ） A． B． C． D．2 3.在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.设复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 5.复数的虚部的平方是__________ 6.已知为虚数单位．若复数为纯虚数，则实数__________ 7.设，且，则__________ 8.复数的模为，则实数__________ 9.已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是__________ 10.已知复数为纯虚数，则______ 5.2 复数的运算 【要点梳理】 1．复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： ，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数。 （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： 2．复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则： 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于 相加减， 相加减。 3．复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设，是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， （2）复数乘法满足的运算律：复数乘法的交换律、结合律、分配律 （交换律） （结合律） （分配律） 【典例解析】 例1 已知复数，则等于( ) A．       B．6       C．       D． 【答案】B 【解析】由题可知：，故选：B 变式1 若，则等于（    ） A． B． C． D． 例2 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则．由得，则，所以，，所以，故选：B 变式2 设，则（       ） A． B． C． D． 例3 若复数，则在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】复数，由复数运算可得，在复平面内对应的点为， 所以对应的点在第一象限，故选:A 变式3 ，，为虚数单位，在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选：D 变式4 若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【小试牛刀】 1．已知是虚数单位，则（    ） A．2 B． C． D． 2．已知，，则（    ） A．4 B． C． D． 3．复数（i为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知为虚数单位，则复数　　 A． B． C． D． 5._____ _。（其中i是虚数单位） 6.设，则的虚部为________ 7.若复数，，，则___________ 8.已知，是虚数单位，若，，则________ 9.若，其中，是虚数单位，，则___________ 5.3 实系数一元二次方程的解法 【要点梳理】 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程称为实系数一元二次方程， （1）当 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 时，方程有两个相等的实数根； （3）当 时，方程有两个互为共轭的虚数根。 2．根与系数的关系 如果，是实系数一元二次方程的解， 那么 ， 。 3．在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法 （1）求根公式法 ①时， ②<0时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解。 【典例分析】 例1 x的实系数方程一个复数根是，则另一个复数根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数，故该方程的另一个复数根是，故选：A 变式1 方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______ 例2 在复数范围内方程的解为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程，即，开方得，故选：C 变式2 若x为复数，则方程的解是（       ） A．l或 B．i或﹣i C．1+i或1﹣i D．1或﹣1或i或﹣i 例3 已知复数 是方程的一个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是方程的一个根，是方程的另一个根，，故选：B 变式3 若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（       ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 1.一元二次方程（ ） A. 有两个不等的实数根 B.有一个实数根、一个虚数根 B. 有一对共轭虚根 D.有两个相等的实数根 2.若关于x的方程无实数解，则（ ） A. B. C. D. 3.（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 4.在复数范围内分解因式：= 。 5.-16的平方根是 。 6.是实系数一元二次方程的一个根，则实数= 。 7.满足方程的z是 。 第5章自我检测 1．已知是虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知的实部与虚部相等，则实数（    ） A．2 B． C．3 D． 3．若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（    ） A． B． C．2 D． 6．设复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 7．若复数满足，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 8．已知是虚数单位，则复数的实部是 9.______ 10.设，则的虚部为________ 11.若复数，，，则___________ 12.若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________ 13.若，其中，是虚数单位，，则___________. 14.已知，，为实数，若，求 15.（1）方程有一个根为，求实数的值； （2）方程有一个根为，求的值 16.已知a，bR，i是虚数单位，若复数与=2+bi互为共轭复数 （1）判断复平面内对应的点在第几象限； （2）计算 17.复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值： （1）为实数； （2）为纯虚数； （3）在复平面内对应的点在直线上 18.已知复数 （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $$