第3章圆锥曲线学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一上册

第3章 圆锥曲线 3.1 椭圆 【要点梳理】 1.椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点 、 的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。 这两个定点（,）叫椭圆的 ，两焦点的距离（ ）叫作椭圆的焦距。 2.椭圆的标准方程和几何性质 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 （ ， ），（ ， ）， ， 的关系 范围 ， 顶点 ， 轴长 短轴长＝ ，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 【典例解析】 例1 椭圆上的点P到两个焦点的距离之和为（ ） A.6 B.10 C.12 D.36 【答案】C 【解析】椭圆上的点到两个焦点的距离之和为， 变式1 椭圆的焦距为4，则的值等于（    ） A．5 B．13 C．5或13 D．25 例2 椭圆的离心率为___________。 【答案】【解析】结合椭圆方程和离心率的定义求解即可 由椭圆方程可知：，则，，所以 故答案为： 变式2 椭圆3x²+4y²=12的离心率是 。 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，一个顶点为； (2)一个焦点为，长轴长为4； 【答案】(1)；(2)； 【解析】解：(1)由题设，，则，又焦点为，所以椭圆标准方程为 (2)由题设，，则，又焦点为，所以椭圆标准方程为 变式3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，离心率为； (2)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6，2. 例4 方程为焦点在y轴上椭圆，m取值范围是( ) A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜ C．＜m＜16 D．m＞ 【答案】C 【解析】　依题意，可得解得＜m＜16 变式4 方程为焦点在x轴上的椭圆，实数m取值范围（      ） A．（－3，1） B．（－3，5） C．（4，5） D． 例5 已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______。 【答案】 【解析】椭圆，，即、，直线过左焦点，所以，，， 所以； 故答案为： 变式5 已知分别为椭圆的左右焦点，倾斜角为的直线经过，且与椭圆交于两点，则△的周长为 。 【小试牛刀】 1、椭圆的一个焦点是，则的值是（    ） A． B．2 C．3 D．4 2、若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．5或3 D．8 3、有关椭圆叙述错误的是（       ） A．长轴长为4 B．短轴长等于4 C．离心率为 D．的取值范围是 4、已知椭圆与，则两个椭圆（       ） A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 5、椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 6、椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 7、已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8、椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的倍，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C．或 D．或 9、若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（       ） A．6　　　　　　B．7 C．8 D．9 10、 已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________。 11、 已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为___________ 12、已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点，求椭圆的方程。 3.2 双曲线 【要点梳理】 1.双曲线的定义 把平面内与 距离的差的 为常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点为双曲线的 ，两焦点间距离为双曲线的 。 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 双曲线 焦点位置 x轴 y轴 图形 焦点坐标 定义 P为椭圆上的点，() 焦距 a，b，c的关系 标准方程 范围 顶点坐标 实轴 实轴长＝ ，实半轴长＝ 虚轴 虚轴长＝ ，虚半轴长＝ 对称性 对称轴为x轴和y轴，对称中心为原点(0，0) 离心率 焦距与长轴长的比，即 渐近线方程 【典例分析】 例1 双曲线上的点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为（   ） A． B．10 C．或10 D． 【答案】B 【解析】由题知双曲线，所以 ，记左，右焦点分别为 ，所以根据定义得 ，因为,所以或，因为时，，即不满足题意，所以， 故选B 变式1 双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，若，则______。 例2 双曲线的离心率e＝（ ） 【答案】3 【解析】由题意知 变式2 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 例3 若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，则或. 故选：A 变式3 若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（     ） A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5 例4 双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】2a＝，所以，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，所以双曲线的标准方程为，故选：B 变式4 已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（       ） A． B． C． D． 例5 若点在双曲线：（，）的一条渐近线上，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得点在直线上，所以 故选：C 变式5 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 例6 若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（       ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由渐近线方程可知，则 故选：A 变式6 已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 例7 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，因为一条渐近线方程为，即，所以，即，故 变式7 双曲线与有相同的（       ） A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 【小试牛刀】 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的焦距等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 4．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知为双曲线上点．则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7.已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（       ） A．虚轴长为4 B．焦距为 C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为 8.设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为 9.若双曲线的一条渐近线方程为，则实数 10.已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是 11.若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为 12．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点到的距离之差的绝对值等于，求该双曲线的标准方程 13. 双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，求该双曲线方程 14.已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且，求的面积 3.3 抛物线 【要点梳理】 1.抛物线的定义 （1）抛物线的定义：平面内与一个 和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离 的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的 ，定直线叫做抛物线的 。 （2）抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离) 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 【典例解析】 例1 已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得， 所以抛物线方程为 故选：D 变式1 焦点坐标为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 已 例2 抛物线上一点到焦点的距离为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的准线：，抛物线上一点到其焦点的距离为， 点到准线的距离为，，抛物线方程为 故选：D 变式2 抛物线上的点到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 例3 抛物线的焦点到其准线的距离是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离；故选：A 变式3 下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（       ） A． B． C． D． 例4 抛物线的准线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可化为，所以抛物线的准线方程为 故选：B 变式4 抛物线的对称轴是直线（       ） A． B． C． D． 例5 对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【解析】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为 变式5 关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A． 开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 例6 与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是 。 【答案】 【解析】由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，设抛物线的方程为，可知，解得，所以该抛物线方程是，故答案为： 变式6 抛物线上的点到的距离等于到直线的距离，求抛物线的标准方程 【小试牛刀】 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2.抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3.抛物线的准线方程是，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4.抛物线的焦点到准线的距离是（   ） A． B． C． D． 5.焦点在直线上的抛物线的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6.抛物线的焦点到直线的距离是（       ） A． B．2 C．3 D．1 7.轴的上方动点M到定点的距离比到x轴距离多1，动点M的轨迹的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8.抛物线的焦点到准线的距离为 9.已知抛物线的准线方程为，则实数_________ 10．抛物线的焦点坐标是 11.已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为______ 12.抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______ 13.已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________ 14.分别根据下列条件，求抛物线的标准方程． （1）准线方程是； （2）抛物线的焦点是双曲线的左顶点 15.已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点，求抛物线的标准方程 第3章自我检测 1．已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（       ） A． B． C． D． 2．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为（       ） A．6　　　　　　 　B．7 C．8 D．9 3．椭圆＋＝1的焦点坐标是（       ） A．(±5,0)　　　　　B．(0，±5) C．(0，±12) D．(±12,0) 4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（       ） A． B． C． D． 6.已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（       ） A． B．或 C．或 D．或 7.对于椭圆+=1，长轴和焦距分别为（    ） A．20，6 B．10，12 C．20，12 D．10，6 8.双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9.双曲线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 12.已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（    ） A． B． C． D． 13.与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 14.抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 15.抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 16.抛物线：上一点到其焦点的距离等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 17.抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（    ） A．   B．   C．   D．   18.已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 19.椭圆一个焦点为，离心率为，则椭圆的方程为 20.已知双曲线是等轴双曲线，则C的焦距为 21.双曲线的离心率是 22.设双曲线的焦点为，点为上一点，，则为 23.若双曲线的一条渐近线方程为，则实数 24.已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是 25.双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为 26.抛物线的焦点到准线的距离为 27.已知抛物线的准线方程为，则实数_________ 28.抛物线的焦点坐标是 29.已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为 。 30.抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______ 31.已知方程（且） （1）若方程表示焦点在上的椭圆，且离心率为，求的值； （2）若方程表示等轴双曲线，求的值及双曲线的焦点坐标 32.已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合 （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离 1 学科网（北京）股份有限公司 $$