第2章平面向量学案-2023-2024学年高一上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一上册

第2章 平面向量 2.1 向量的概念 【要点梳理】 1、向量：既有 又有 的量叫做向量；向量的大小叫做向量的 。 向量表示方法：向量 或 ；模 或。 2、零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作。 3、单位向量：长度等于 个单位的向量，常用表示。 4、平行向量（共线向量）：方向 的非零向量，与共线可记为 ；特别的：与任一向量 。 5、相等向量：长度 且方向 的向量，记作。 6、相反向量：长度 且方向 的向量，记作。 【典例解析】 例1 下列说法错误的是（ ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【答案】B 【解析】A. 规定长度为0的向量叫做零向量，故正确；B.规定零向量与任意向量都平行，故错误；C.平行向量就是共线向量，故正确；D.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，故正确，故选B。 变式1 下列说法正确的是（ ） A．向量与共线，与共线，则与也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量与不共线，则与都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 例2 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量。 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【解析】解：（1）与共线的向量：，，，，，，，，，，. （2）与相等的向量：，，. 变式2 已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1） 与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量。 【小试牛刀】 1．下面关于平面向量的描述正确的有（    ） A．共线向量是在一条直线上的向量 B．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量 C．若，则 D．若向量与向量同向，且，则 2．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.已知向量，（为单位向量），则向量与向量（ ）。 A．不共线 B．方向相反 C．方向相同 D． 4.下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 5.在平行四边形ABCD中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 6.在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，则（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．4 B．5 C．6 D．7 7.若向量，则向量＝（　　） B． C． D．－1 8.在正方形ABCD中，与平行的是（　　） A． B． C． D． 9.下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．若，则 D．任一非零向量都可以平行移动 10.下列关于向量的命题，序号正确的是 。 ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合。 2.2 向量的线性运算 【要点梳理】 1.向量的加法：记作＋ ①三角形法则：首尾相连，起指终。如图所示，已知，，作＝，＝，则＝ + ②平行四边形法则：同起点，对角线． 如图所示，已知，，作＝，＝，则＝ + 2.向量的减法：记作－ 同起点，方向指向被减向量．如图所示，已知，，作＝， ＝，则＝ － 3.运算法则 ①＋0＝0＋＝； ②＋＝＋（加法的交换律）； ③（＋）＋＝＋（＋）（加法的结合律）； ④＋（－）＝（－＋）＝0（两个相反向量的和为零向量）。 4.数乘向量 （1）定义：实数与向量的乘积是一个向量，记作。中的实数，称为向量的系数。 ①如图所示，若≠0，则 ②若＝0，则＝0。 （2） 几何意义：是把向量沿着的方向（或反向）放大（或缩小）而得到的。 与总是平行的。 （3）运算律 ： 若，都是实数，则 ①（＋）＝_______＋_______； ②（）＝____ ___； ③（＋）＝_______＋_______。 向量的加法、减法与数乘向量的综合运算，称为向量的线性运算 5.平行向量基本定理 若≠0，则∥⇔存在唯一实数，使＝ 特别地，若＝0，对于任意实数，∥ 【典例解析】 例1 在ABCD中，_______， ________。 【答案】 【解析】本题考查向量的加法运算，即：“首尾相连，起指终”是指第一个向量的起点指向第二个向量的终点． 变式1 下列运算中，结果与相等的是（　　） A． B． C． D． 例2 如图所示，在ABCD中，________， ＝________. 【答案】 【解析】查向量的减法运算，即“同起点，方向指向被减向量”是指同一起点的两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终点． 变式2 如图所示，在平行四边形ABCD中，下列等式错误的是（　　） A． B． C． D． 例3 化简： 【答案】 【解析】解：原式 变式3 化简：。 例4 化简：2（＋）－3（－）. 【答案】 【解析】利用运算律进行解题． 变式4 化简：3－2（3－2）＋4（＋）＝________. 例5 下列选项中，∥的是（　　） A．2＋3＝0 B．＝5e，＝3i C．＝3－e D．＝2＋3i 【答案】A 【解析】本题考查的是向量的平行条件，∥⇔＝.A.由2＋3＝0可得＝，∴∥. 变式5 已知＝3e，＝－6e，则向量，的位置关系是________. 【小试牛刀】 1、下列关于向量的等式中，正确的个数是（ ）。 （ （ （ ④ ⑤ A. 5 B．4 C． 3 D．2 2、下列不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 3、在△ABC中，若E是BC的中点，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 4、如图所示，化简：________， ________. 5、化简：________. 6、化简：（1） （2） 7、在△ABC中，＝a，＝b，则等于（　　） A．a＋b B．－（a＋b） C．a－b D．b－a 8、满足向量等式3（x－a）－2（b＋x）＝a＋b的向量x＝（　　） A．4a＋3b B．－4a＋3b C．4a－3b D．－4a－3b 9、化简：2（a＋b－c）＋3（a＋b－c）＝________________. 10、设是单位向量，，，，则四边形是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 11、已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ） A. B． C． D． 12、要得到向量，可将（ ）。 A．向量向左平移2个单位 B．向量向右平移2个单位 C．向量保持方向不变，长度伸长为原来的2倍 D．向量的方向反向，长度伸长为原来的2倍 13、若点是线段上靠近的三等分点，则 。 14、如图，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形。 （1）用有向线段表示与向量相等的向量。 （2）用有向线段表示与向量共线的向量。 2.3 向量的内积 【要点梳理】 1．向量数量积的定义 （1）定义：一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（内积）； （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为 ； （3）由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个 ，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与（或）的夹角。则 （1）； （2）当与同向时， ；当与反向时， ；特别地， 或； （3） ； （4） 3、向量的夹角 （1）已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角（如图） （3） 向量夹角θ的范围是 。a与b同向时，夹角θ＝ °； a与b反向时，夹角θ＝ ° （3）如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b ，记作a⊥b 【典例分析】 例1 已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】,故选：C. 变式1 已知，，且与的夹角，则等于（ ） A． B．6 C． D． 例2 若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设向量与的夹角是， 则． 又因为，所以． 变式2 已知向量，，，则向量与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 例3 若||＝2，||＝，<，>＝30°，则|＋|＝（　　） A．7 B．8 C．13 D． 【答案】D 【解析】本题考查向量内积的性质 变式3 已知||＝2，||＝5，且<，>＝60°，则|－|＝________. 【小试牛刀】 1、。 A． B． C． D． 2、在中，，则的形状是（ ）。 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 3、向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 4、已知，是非零向量且满足，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．-2 5、已知向量满足，，且与夹角为30°，那么等于（　　） A．1 B． C．3 D． 6、已知，是夹角为60°的单位向量，则（    ） A．1 B． C． D． 7、已知向量、的夹角为，，，则（    ） A．4 B． C．5 D． 8、 已知向量，的夹角为，且，，则 . 9、 已知与的夹角为，则 10、在边长为的等边三角形中，则等于 ． 11、在边长为 2 的等边△ABC 中,_______。 12、设，是两个不共线的向量，若与共线，则实数________。 13、已知A，B，C三点共线，且，则_________。 14、已知是单位向量，且，，求， ，。 2.4 向量的坐标表示 【要点梳理】 1.平面向量的直角坐标的定义 设，分别是与x轴，y轴同向的单位向量，且，则称为向量的直角坐标，记作＝. 2.平面向量的直角坐标运算 （1）向量坐标与点坐标的关系 设点A，B，则 ＝_______－_______＝__ ____，即一个向量的坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标． （2）设＝，＝，则 ＋＝_______＋_______＝____ ___， ＝_______＋_______＝____ ___， =_______＝____ 。 （3）向量的平行条件、垂直条件 设＝，＝，则 ∥⇔__ ___（≠0，≠0）或； ⊥⇔__ ___. 3.中点公式、距离公式 （1）中点公式 设点A，B，线段AB中点坐标为，则 ， . （2）向量长度的坐标运算 若＝，则 。 （3）两点间的距离公式 已知A，B两点，则 。 ||也称为A，B两点的距离，记作，该公式也称为两点间的距离公式。 4、向量数量积：若，则= 。 【典例解析】 例1 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，向量，可得，故选：B. 变式1 已知向量，则（    ） A． B． C． D． 例2 已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，故选：C. 变式2 若，，则（    ） A． B． C． D． 例3 已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A 变式3 向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 例4 已知点，，若向量与共线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与共线，，解得：，故选：B. 变式4 已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 例5 在直角坐标系中，已知点O为原点，点A（－2，1），B（2，－2），则向量＝________，＝________. 【答案】（-2,1） （4,-3） 【解析】本题考查的是向量的坐标，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标．故 变式5 已知点A（－2，4）＝（2，2），则点B的坐标为________. 【答案】（0,6） 例6 （1）点A（－2，－1），B（0，4）和向量＝（1，y）.若，则y＝________； （2）＝（3，1），＝（1，3），＝（k，2），且（－）⊥，则k＝________. 【答案】 0 【解析】本题考查向量的平行和垂直条件，根据∥⇔（≠0，≠0）或；⊥⇔可得． （1）先得＝（2，5），再根据向量的平行条件得2y－5＝0，∴y＝. （2）∵－＝（3，1）－（k，2）＝（3－k，－1），又（－）⊥，∴3－k＋3×（－1）＝0，∴k＝0 变式6 （1）已知向量＝（－2，3），＝（x，6）.若∥，则－＝________； （2）已知向量＝（－2，4），＝（2，y）.若⊥，则＋＝________. 例7 已知点A（－2，1），B（1，3），求线段AB的中点M的坐标． 【答案】 【解析】设点M坐标（x，y），则，，∴M（－，2） 变式7 点A（－6，3），线段AB中点坐标为P（－1，2），则点B的坐标为________ 例8 （1）已知＝（1，3），＝（2，5），则＝________； （2）已知点A（－2，4），C（－8，10），则＝________. 【答案】 【解析】本题考查向量长度的坐标运算，由公式和 可求得。 变式8 已知向量，，则（    ） A． B．5 C． D．4 例9 已知向量，，则与的数量积为（       ） A．1 B．-1 C．2 D． 【答案】A【解析】向量，，，故选：A. 变式9已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 例10 设向量，向量，向量，则向量（       ） A． B．1 C． D． 【答案】C【解析】，故，故选：C. 变式10 已知向量，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 例11 已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为，所以，故选：C 变式11 已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 例12 已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C【解析】,故选：C. 变式12 已知，，且，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 例13 已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为与垂直，故，解得，则,，设与夹角为，则，选：A. 变式13 已知，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 例14 已知向量，则（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】A 【解析】因为，所以，故选：A. 变式14 已知，则（    ） A．25 B．1 C．5 D．12 例15 已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【解】 ，,，选：C. 变式15 已知向量，，则（    ） A． B．5 C．2 D．4 【小试牛刀】 1．已知向量，.若，则（    ） A．6 B． C． D． 2．已知平面向量，，若，则（） A．5 B． C． D．5 3．已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 5.向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 6.已知向量，，则（    ） A． B．10 C．5 D．25 7.已知，是非零向量且满足，，则的值是（    ） A． B．2 C． D．-2 8.以为顶点的三角形是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．以为直角的直角三角形 D．以为直角的直角三角形 9.，两点的中点坐标为 。 10.已知平面向量，，若共线，则 。 11.如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、 （1）写出向量，的坐标； （2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标 第2章自我检测 1、化简：________。 2、已知，，则的值 ； 3、已知，，则向量，的夹角的余弦值为 。 4、已知，则_________ 5、已知向量，，则等于_________ 6、已知，若，则实数________ 7、已知平面向量，满足，，，则__ ____。 8、已知平行四边形的顶点，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 9、已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D． 10、若，，，，下面结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 11、若向量，则与的夹角等于(    ) A． B． C． D． 12、向量，满，，，正确的有 。 . ① ② ③与的夹角为 ④ 13、已知平面向量， （1）求的值； （2）若与垂直，求实数的值。 14、已知向量，满足，， （1）求与的夹角； （2）求的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$