第9章 统计知识点汇总-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第二册）

《人教A版必修二知识点汇总》 第9章 《 统 计 》知识点汇总 9.1.1 简单随机抽样 1.全面调查与抽样调查 （1）全面调查的相关概念 ①定义：像人口普查、火车站安检这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查. ②总体：在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体； ③个体：组成总体的每一个调查对象称为个体.（为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体，每一个调查对象的相应指标作为个体.） 温馨提示: 全面调查的优点是精确，缺点是不宜经常进行，需要耗费巨大的财力、物力. （2） 抽样调查的相关概念 ①定义 像检测灯泡使用寿命这样，根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查. ②样本、样本容量、样本数据 Ⅰ.把从总体中抽取的那部分个体称为样本； Ⅱ.样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量； Ⅲ.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. （3）实例运用 例1在以下调査中，总体、个体各是什么?哪些适合用全面调查?哪些适合用抽样调查? (1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间; (2)调查一个地区结核病的发病率; (3)调查一批炮弹的杀伤半径; (4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例. 请你再举一些不宜用全面调查的例子，并说明理由 解（1）调查一个班级学生每周体育锻炼时间. 总体是：这个班级所有学生每周体育锻炼时间； 个体是：这个班每个学生每周的体育锻炼时间； 适合全面调查. 解（2）调查一个地区结核病的发病率. 总体是：该地区所有人结核病发病情况； 个体是：该地区每一个人结核病发病情况； 适合抽样调查. 解（3）调查一批炮弹的杀伤半径. 总体是：这一批炮弹杀伤半径； 个体是：这批炮弹中每一个炮弹杀伤半径； 适合抽样调查. 解（4）调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例. 总体是：这个水库所有的鱼； 个体是：这个水库中的每一条鱼； 适合抽样调查. 不适宜全面调查的例子：（1）调查一批灯泡的使用寿命；（2）调查某地区职工收入状况. 例2下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查?说明理由. (1)了解某城市居民的食品消费结构; (2)调查一个县各村的粮食播种面积; (3)了解某地区小学生中思沙眼的人数; (4)了解一批玉米种子的发芽率； (5)调查一条河流的水质; (6)某企业想了解其产品在市场的占有率. 解：（1）抽样调查；（2）全面调查；（3）全面调查；（4）抽样调查；（5）抽样调查；（6）抽样调查. 2.简单随机抽样 （1）简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有(为正整数)个个体，从中逐个抽取个个体作为样本. ①放回简单随机抽样 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样. ②不放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. ③简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样，简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 温馨提示:与放回简单随机抽样比较，不放回简单随机抽样的效率更高，因此实践中人们更多采用不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样. （3）不放回简单随机抽样的四个特征 ①有限性;②逐个抽取;③不放回;④等可能性. （4）简单随机抽样的方法1——抽签法 ①探究1 先给712名学生编号，例如按1-712进行编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的学生进入样本，直到抽足样本所需要的人数. ②抽签法的步骤 Ⅰ.确定总体容量N并编号；Ⅱ.制签并放入不透明容器中；Ⅲ.充分搅拌均匀；Ⅳ.不放回地逐个抽取n次，得到容量为n的样本. 温馨提示：抽签法简单易行，但当总体较大时，操作起来比较麻烦.因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形. （5）简单随机抽样的方法2——随机数法 ①探究2 先给712名学生编号，例如按1-712进行编号，用随机数工具产生1-712范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本，重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数. 如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数. ②用随机试验生成随机数 准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋中. 从袋中有放回摸取3次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成了一个三位随机数. 如果这个三位数在1-712范围内，就代表对应编号的学生被抽中，否则舍弃编号.这样产生的随机数可能会有重复. ③用信息技术生成随机数（略） ④随机数法的步骤 Ⅰ.确定总体容量N并编号，例如按0，1，2，…，N编号； Ⅱ.利用随机数工具产生0～N范围内的整数随机数； Ⅲ.把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本； Ⅳ.重复上述过程，直到抽足样本所需的数量. （6）实例运用 例3 如图，由均匀材质制成的一个正二十面体(每个面都是正三角形)，将 20个面平分成 10 组，第1组标上 0，第 2组标上 1，…，第 10 组标上 9. (1)投掷正二十面体，若把朝上一面的数字作为投掷结果，则出现0，1，2，…，9是等可能的吗? (2)三个正二十面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位、十位、个位，同时投掷可以产生一个三位数(百位为0的也看作三位数)，它是000-999范围内的随机数吗? 解(1) ∵ 是均匀材质制成的一个正 20 面体， ∴ 出现 0，1，2，…,9 是等可能的，可能性为; 解(2) ∵三个正 20 面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位，十位，个位，同时投掷可以产生一个三位数(百位为0的也看作三位数)，该三位数最大值为 999，最小值为000， 例4 实验室的笼子里共有 100 只小白鼠，现要从中抽取 10 只作试验用，下列两种情况是否属于简单随机抽样?请说明理由. (1)每次不经任何挑选地抓一只，抓满 10 只为止; (2)将笼中的 100 只小白鼠按 1-100 编号，任意选出编号范围内的 10 个不重复数字,把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠. 解:(1)属于简单随机抽样; (2)属于简单随机抽样. 理由如下:(1)(2)都满足简单随机抽样的四个特征 ①有限性;②逐个抽取;③不放回;④等可能性. 3.总体均值与样本均值 （1）总体均值 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称 为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为, 其中出现的频数为()， 则总体均值还可以写成加权平均数的形式 （2）样本均值 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为, 则称 为样本均值，又称样本平均数. 注：在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数 ̅. （3）实例运用 例4 为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，从该校高一学生中抽查了20名学生，这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)： 10　 12　 8　 8　 10　 14　 17　 8　 10　 8　 12 10　 10　 17　 8　 10　 12　 10　 10　 12 试估计该校高一学生每天午餐的平均费用，以及午餐费用不低于12元的比例. 解: ∵样本平均数为 （元） 样本中午餐消费不低于12元的比例为 ∴可估计该校高一学生每天午餐的平均费用约为10.8元，以及午餐费用不低于12元的比例约为. 9.1.2 分层随机抽样 1.探究新知——分层随机抽样 （1）分层随机抽样的概念 像上面的抽样过程这样， ①分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样. ②层：每一个子总体称为层； ③比例分配与抽样比：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配，且所得比值叫做抽样比， 记作 （2）分层随机抽样的特征 (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况; (2)更充分地反映了总体的情况; (3)等概率抽样,每个个体被抽到的概率都相等. 分层随机抽样的特征 （3）分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为 和 ，抽取的样本量分别为和 . 我们用表示第1层各个个体的变量值，用表示第1层样本的各个个体的变量值;用表示第2层各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值，则 ①第1层的总体平均数和样本平均数分别为 ②第2层的总体平均数和样本平均数分别为 ③总体平均数和样本平均数分别为 ④总体平均数和样本平均数也可以像问题探究中估计为 ∵在比例分配的分层随机抽样中满足抽样比 ， 即 抽样比 ， ∴ , ， ∴ 故在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. （4）分层随机抽样的步骤 2.实例运用 例1 高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2和160.8． （1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生，女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高． （2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ 解（1） ∵抽样比 ∴抽取男生人数为（人），抽取女生人数为（人）， ∵已知男生、女生的平均身高分别为170.2和160.8 ∴可估计高二年级全体学生的平均身高为 (2)仍按（1）的方法进行估计，估计高二年级全体学生的平均身高为 例 2 某学校高一、高二、高三共有学生 3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多 300，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取的高一学生数为( ) 解：选A. 例 3 某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A，B，C三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如表所示，则样本容量为 . 解：样本容量为100. 9.2.1 总体取值规律的估计 1.频率分布表与频率分布直方图（互学） （1）问题 问题1 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出. 某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费. 如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作? 假设通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据(单位:t): 9.0　13.6　14.9 5.9　 4.0　 7.1　 6.4　 5.4　 19.4　 2.0　 2.2　 8.6　 13.8　 5.4　 10.2　 4.9　 6.8　14.0　 2.0　 10.5　 2.1　 5.7　 5.1 16.8　 6.0　 11.1　 1.3　 11.2　 7.7　 4.9　 2.3 10.0 16.7 12.0　 12.4　 7.8　 5.2 13.6　 2.6　 22.4 3.6　 7.1 　8.8　25.6　 3.2 18.3　 5.1　 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8　 5.5　 2.0　 24.3　 9.9 3.6 5.6　 4.4　 7.9　 5.1 24.5　 6.4　 7.5　 4.7　 20.5 5.5　 15.7　 2.6　 5.7　 5.5　 6.0　16.0　 2.4　 9.5 3.7　 17.0　 3.8　 4.1　 2.3 5.3　 7.8　 8.1　 4.3 13.3　6.8　 1.3　 7.0　 4.9　 1.8　 7.1　28.0　 10.2 13.8　17.9 10.1 5.5　 4.6　 3.2　21.6 （2）频率分布表与频率分布直方图 在这个实际问题中，因为我们更关心月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据.与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图： ①求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差,即 “ 极差 = 最大值 - 最小值 ” . ∵ 样本观测数据的最小值是，最大值是， ∴ ， 这说明样本观测数据的变化范围是 ②决定组距与组数 由数据可取“组距=3”（ 注：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. ） 则 ③将数据分组 ∵ 组距为3，9个组距的长度超过极差， ∴ 可使第一组的左端点略小于数据中的最小值1.3，最后一组的右端点略大于数据中的最大值28.0. 即可取区间 [ 1.2 ，28.2 ]，按如下方式把样本观测数据以组距3分为9组: [1.2，4.2)，[4.2，7.2)，…,[25.2，28.2].（注：各组均为左闭右开区间，最后一组为闭区间） ④列频率分布表 Ⅰ.频率分布表一般分四列：分组，频数累计，频数，频率； Ⅱ.； Ⅲ.通常频数合计应该是样本容量，频率合计应该是 1（即100%） . ⑤画频率分布直方图 根据频率分布表画频率分布直方图.但应该注意 ①横轴表示样本数据，纵轴表示， ②∵ ∴各小长方形的面积表示相应各组的频率. 这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小. 注：在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，即样本数据落在整个区间的频率为1. ⑤估计总体取值情况 ①从频率分布表可以看出样本观测数据落在各个小组的比例大小. 例如，本次抽样调查月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民用户最多，在区间[1.2，4.2)内的次之，而月均用水量超过16.2的各区间内数据所占比例较小等等； ②从频率分布直方图可以看出，样本的观测数据分布对称情况、左右高低情况、数据集中情况从左到右的变化趋势等. （3）列频率分布表与画频率分布直方图的步骤 极差 = 最大值 - 最小值 ①求极差 ②决定组距与组数 各组均为左闭右开区间，最后一组为闭区间 ③将数据分组 ①横轴表示样本数据，纵轴表示， ② ⑤画频率分布直方图 ④列频率分布表 ⑥以样本估计总体取值情况 （4）实例运用 例1 容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表: 则样本数据落在区间的频率为 . 解: 由频数分布表可知样本数据落在区间的频数为 ∵已知容量为 ∴所求的频率为，故答案为 例2 从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出如图所示的频率分布直方图. （1）直方图中的值为 . （2）在被调查的用户中，用电量落在区间内的户数为 . 解： （1）由频率分布直方图可知组距=，且满足 解之得 （2）∵由图可知用电量落在区间内的频率为 ∴用电量落在区间[100，250)内的户数为 故答案为 0.0044; 70. 例 3 如图，胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话 60次.胡晓按每次通话时间长短进行分组(每组为左闭右开的区间)，画出了频率分布直方图. (1)通话时长在区间[15,20),[20,30)内的次数分别为多少? (2)区间[20,30)上的小长方形高度低于[15,20)上的小长方形的高度，说明什么? 解:(1)由图可知通话时长在区间[15,20)的次数为 60×0.030×5=9 ， 通话时长在区间[20,30)的次数为 60×0.020×10=12 ， (2)∵ 区间[20,30)上的小长方形高度低于[15,20)上的小长方形的高度， ∴ 区间[20,30)上的 小于区间[15,20)上的， 故说明在平均意义上，区间[20,30)上每单位区间长度内的通话次数少于区间[15,20)上的，或者通话时长出现在区间[20,30)上比出现在区间[15,20)上更稀疏. 2. 扇形、条形、折线统计图 （1）扇形统计图：主要用于直观描述各类数据占总数的比例. （2）条形和直方统计图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率. （3）折线统计图：主要用于描述数据随时间的变化趋势. 温馨提示： 不同的统计图适用的数据类型也不同. （4）实例运用 例4 已知某市 2015年全年空气质量等级如表所示 选择合适的统计图描述数据，并回答下列问题： （1）分析该市2022年6月的空气质量情况. （2）比较该市2022年5月和6月的空气质量，哪个月的空气质量较好? （3）比较该市2022年6月与该市 2015年全年的空气质量，2022年6月的空气质量是否好于 2015 年? 解:(1)根据该市2022年6月的空气质量指数和空气质量等级分级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数与频率分布表， 从表中可以看出，6月的空气质量都为“优”或“良”,“优”“良”的天数分别为17天和13天，各占整月的56.67%和43.33%. 由频数与频率分布表可画如下的条形统计图、扇形统计图与折线统计图， 从条形图中可以看出，空气质量等级只有“优”和“良”两种，空气质量为“优”的天数比“良”的天数多，后四个等级的天数为零. 从扇形图中可以看出，空气质量为“优”的天数超过总天数的一半，其余的为“良”.因此，整体上6月的空气质量很好. 从折线图中可以看出，6月的空气质量指数在50附近波动. 解:(2)根据该市2022年5月的空气质量指数和空气质量等级分级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数与频率分布表. 为了便于比较，我们选用复合条形图，将该市2022年5月和6月空气质量的两组数据同时反映到一个条形图上.通过条形图中柱的高低，可以更直观地进行两个月的空气质量的比较. 由表和图可以发现，5月和6月空气质量基本相同.“优”的天数相同，均为17天，5月“良”的天数比6月多1天，两个月均没有为轻度污染及以上的天数. 解:(3)把2022年6月和2015年全年的空气质量进行比较， ∵ 一个月和一年的天数差别很大 ∴应该转化成频率分布进行比较，可以通过二者的空气质量指数的频率分布直方图或空气质量等级的频率分布条形图进行比较，如下图所示， 通过图可以看出，2022年6月的空气质量为“优”和“良”的频率都明显高于2015年，而且2022年6月空气质量为污染的天气频率为0，明显低于2015年. ∴从整体上看，2022年6月的空气质量要明显好于2015年全年的空气质量. 9.2.2 总体百分位数的估计 1.百分位数（互学） （1）第 百分位数的定义 一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. （2）计算一组 个数据的第 百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据. 第2步：计算 第3步：若 i 不是整数，而大于的比邻整数为 ，则第百分位数为第项数据； 若是整数，则第 百分位数为第项与第项数据的平均数. （3）四分位数 我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数. ①第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. ②其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等， ③.第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用. （4）实例运用 例 1 根据下表中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第 25，50，75 百分位数. 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 解: 解:把 27 名女生的样本数据按从小到大排序，可得 148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0 ∵ 25% × 27 = 6.75, 50% × 27 = 13.5, 75% × 27 = 20.25, ∴样本数据的第 25， 50，75 百分位数为第 7，14，21 项数据，分别为 155.5，161，164 ∴据此可以估计树人中学高一年级女生的第 25，50，75 百分位数分别约为155.5，161和 164. 例2 根据表9.2-1或图9.2-1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 解:由表可知， ∵月均用水量在以下的居民用户所占比例为 在以下的居民用户所占的比例为 ∴分位数一定位于 内. 又∵ ∴可以估计月均用水量的样本数据的分位数约为 类似地， ∵ ∴可以估计月均用水量的样本数据的分位数约为 例3 以下数据为参加数学竞赛决赛的 15 人的成绩:(单位：分) 78， 70， 72， 86， 88， 79， 80， 81， 94， 84， 56， 98， 83， 90， 91. 则这 15 人成绩的第 80 百分位数是( ) A 90 B.91.5 C.91 D.90.5 解:将该组数据按从小到大排列为: 56，70，72，78，79， 80，81，83，84，86， 88，90，91，94，98. ∵ 15 × 80% = 12， ∴ 这 15 人成绩的第 80 百分位数是 故选: D. 例4 2013-2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资及名义增速如图所示，则(     ) A.2022 年全国城镇私营单位就业人员年平均工资未突破 60000 元 B.2013-2022 年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速逐年递减 C.2013-2022 年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的 40%分位数为8.1% D.2013-2022 年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的 65%分位数为8.8% 解:由图可知， ∵ 2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资突破 60000元;2013-2022 年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速有增有减; ∴ A，B错误. 又∵ 2013-2022 年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速从小到大依次为 3.7%, 6.8%，7.7%，8.1%，8.2%，8.3%, 8.8%，8.9%，11.3%，13.8%， 而 10 × 40% = 4， 10 × 65% = 6.5， ∴该组数据的 40%分位数为 65%分位数为第7位数据8.8%， ∴C错误，D正确 9.2.3 总体集中趋势估计 1.众数、中位数与平均数的概念（互学） （1）众数 一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数. 注：众数是样本数据的最大集中点. 例如， ∵ 数据“7, 3, 6, 3, 4, 2, 3, 8，3, 7”中数字3出现了4次， ∴ 这组数据的众数为 3 （2）平均数 如果个数据分别为 , 那么 或 ,(注：其中是数据出现的频数，且满足) 就叫做这组数据的平均数. 注：平均数代表了一组数据的数值平均水平. 例如， 已知数据“7, 3, 6, 3, 4, 2, 3, 8，3, 7”， 则这组数据的平均数 （3）中位数 一组数据按大小顺序排列后（前提条件）， ①如果数据的个数是奇数，那么位于最中间位置的数叫做这组数据的中位数； ②如果数据的个数是偶数，那么位于最中间两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 注：中位数代表了一组数据的中间取值. 例如， 已知数据“9, 7, 11，5, 12”，将这组数据按从小到大顺序排列为： 5, 7, 9, 11, 12 故这组数据的中位数为 9 再如， 已知数据“7, 3, 6, 3, 4, 2, 3, 8，3, 7“，将这组数据按从小到大顺序排列为： 2，3, 3, 3, 3，4, 6, 7, 7, 8 故这组数据的中位数为 （4）小结 温馨提示：平均数、众数和中位数描述了数据的集中趋势. ①数值型数据可用平均数、中位数描述集中趋势； ②分类型数据常用众数描述集中趋势. （5）实例运用 例1(多选)PM2.5 是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10日的PM2.5 日均值(单位:)的折线图，则下列说法正确的是( ) A. 这 10 天中 PM2.5 日均值的众数为 33 B. 这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 32 C. 这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数大于平均数 D. 这 10 天中 PM2.5 日均值前4天的平均数大于后4天的平均数 解：由折线图可知 （1） 这 10 天中 PM2.5日均值的众数为 33 ， ∴ A正确； （2）将这 10 天中 PM2.5日均值按从小到大顺序排列为 17, 23, 26, 30, 31, 33, 33, 36, 42，128 中位数为 31+33/2=32， ∴ B正确； （3）这 10 天中 PM2.5日均值的平均数为 ∵ 32 < 39.9, 即这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数小于平均数 ∴ C错误 （4）∵ 前4天的平均数为 后4天的平均数为 ∴ D错误, 故选 AB 2.用频率分布直方图估计总体的集中趋势 （1）单峰频率分布直方图中的平均数与中位数的位置关系 一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说， ①如果直方图的形状是对称的(如图（1）所示)，那么平均数和中位数应该大体上差不多; ②如果直方图在右边“拖尾”(如图（2）所示)，那么平均数大于中位数; ③如果直方图在左边“拖尾”(如图（3）所示)，那么平均数小于中位数. 注：也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边. （2）探究2 如图，已知某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图如下图所示，你能利用图中数据估计出该市居民月均用水量的平均数、中位数与众数吗？ 分析： ①用频率分布直方图估计样本平均数 ∵ 样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和， ∴ 在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 设样本的平均数为,则 ②用频率分布直方图估计样本中位数 ∵根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数， ∴ 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等（且都等于50% 或0.5） 设样本的中位数为, 又∵ ∴中位数位于区间［4.2,7.2)上，且满足 解之得 即样本中位数约为6.71. ③用频率分布直方图估计样本众数 ∵ 在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民最多， ∴ 可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值， 即这组数据的众数为 5.7 （2） 列频率分布表与画频率分布直方图的步骤 （3） （4）实例运用 例 2 首次实施新高考的八省(市)于 2021年1月23 日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划. 在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了 100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求出图中的值，并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例); (2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数; (3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数、中位数. 解（1）由频率分布直方图可知 解得 则可估计本次考试的及格率为 解(2) ∵ ∴ 第 80 百分位数位于[110,130)内， ∴可估计该校学生联考数学成绩的第 80 百分位数为 解(3)由频数分布直方图可估计 该校学生联考数学成绩的众数估计值为 100 ； 平均数估计值为 ∵ ∴中位数位于[90,110)内，设中位数为,则满足 解得 ∴ 中位数估计值为 9.2.4 总体离散程度的估计 1.方差 给定一组数据用表示这组数据的平均数,则 为这组数据的方差. 2.标准差 方差的算术平方根,即 为这组数据的标准差. 3.总体（样本）方差、总体标准差 如果总体中所有个体的变量值分别为,总体平均数为,则称 为总体方差，为总体标准差. 如果总体的N个变量值中,不同的值共有个,不妨记为,其中出现的频率为,则总体方差为 如果一个样本中个体的变量值分别为样本平均数为,则称 为样本方差，为样本标准差. 4.方差与标准差的作用 标准差和方差刻画了数据的离散程度或波动幅度． 标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定； 标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定． 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 5.实例运用 例1甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是(　 　) A.甲 B．乙 C．丙 D．丁 解： ∵ ∴乙、丙的射击水平高于甲、丁的射击水平 又∵ ∴乙的射击水平更稳定 ∴选送决赛的最佳人选应是乙 故选B. 例2某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30,26,32,27,35，则这组数据的方差为 . 解： 故这组数据的方差为. 例3随机调查某校50个学生的午餐费，结果如下表， 求这50个学生午餐费的平均值和方差分别是多少？ 解： ∴这50个学生午餐费的平均值和方差分别是4.2与0.56. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$