专题11 单调性与最大（小）值8种常见考法归类（90题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题11 单调性与最大（小）值8种常见考法归类（90题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数单调性的判断与证明 （一）判断或证明具体函数的单调性 （二）判断或证明含参函数的单调性 （三）判断或证明抽象函数的单调性 考点二 求函数的单调区间 （一）求简单函数的单调区间 （二）利用图象求函数的单调区间 （三）求复合函数的单调区间 考点三 函数单调性的应用 （一）比较大小 （二）解不等式 （三）根据函数的单调性求参数 考点四 图象法求函数的最值(值域) 考点五 利用函数的单调性求函数的最值 考点六 根据函数的最值求参数 考点七 分类讨论求二次函数的最值 （一）轴动区间定 （二）轴定区间动 考点八 恒成立与能成立问题 （一）函数不等式恒成立问题 （二）函数不等式有解问题 知识点1：函数的单调性 1、增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 注:（1）不是所有的函数在定义域上都具有单调性，如函数y＝x2，y＝等． （2）在增函数和减函数定义中，不能把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”，如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数． （3）单调性定义的等价形式: ①函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. ②函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点2：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点3：函数的最大（小）值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 注：（1）若函数f(x)≤M，则M不一定是函数的最大值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． （2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上最大值为f(b)，最小值为f(a)． 知识点4：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 解题策略 1、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 2、利用定义判断或证明函数单调性的步骤 3、求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 4、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　 5、由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 注：已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　 6、求函数最值的常用方法 （1）图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． （2）运用已学函数的值域． （3）运用函数的单调性： ①若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （4）分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 7、利用函数的单调性求最值的关注点 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 8、解决函数最值应用题的方法 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围． (2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决． 9、分类讨论二次函数的最值 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素． (2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养． 考点一 函数单调性的判断与证明 （一）判断或证明具体函数的单调性 1．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)当时，判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论． 2．（2024秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减. 3.（2024秋·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数. 4.（2024秋·广东·高一校联考期末）已知函数，且，． (1)求函数的解析式； (2)根据定义证明函数在上单调递增． 5．（2024秋·甘肃临夏·高一校考期中）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明. （二）判断或证明含参函数的单调性 6.（2023·全国·高一专题练习）求证：函数在区间上是减函数． 7．（2024秋·高一校考课时练习）讨论函数，在上的单调性 8．（2024秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数． (1)判断并且证明函数在上的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． （三）判断或证明抽象函数的单调性 9.（2023·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 10.（2023·全国·高一专题练习）设对任意的有，且当时，. (1)求证是上的减函数； (2)若，求在上的最大值与最小值. 11．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知的定义域为，对任意都有，当时， (1)求； (2)证明:在上是减函数； (3)解不等式:. 12.（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,. (1)讨论函数的单调性,并说明理由; (2)若,解不等式. 考点二 求函数的单调区间 （一）求简单函数的单调区间 13.（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 14.（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 15.（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）函数的减区间是（    ） A． B． C．， D． 16.（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． （二）利用图象求函数的单调区间 17．（2024·全国·高一假期作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 18.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图是函数的图象，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 19．（2024秋·高一课时练习）已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．    20．（2024秋·河南濮阳·高一校考阶段练习）已知函数 (1)画出函数图象 (2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间. 21．（2024·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 22．（2024秋·重庆·高一重庆市永川中学校校联考期中）已知函数 (1)画出的图象，写出单调递增区间； (2)求的解集. 23．（2024秋·高一校考课时练习）函数的单调区间是 ． （三）求复合函数的单调区间 24．（2024·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 25．（2024秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）函数的增区间为 ． 26．（2024秋·安徽六安·高一六安一中校考期中）函数的单调递减区间为 ． 27．（2024秋·高一课时练习）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，，试求的单调区间. 考点三 函数单调性的应用 （一）比较大小 29．（2024秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）若函数在上是减函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 30．（2024秋·湖南邵阳·高一校考期中）已知函数，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 31．（2024·全国·高一假期作业）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 32．（2024·全国·高一假期作业）已知函数在上是递减函数，且，则有（    ） A． B． C． D． 33.（2023秋·高一课时练习）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ） A． B． C． D． 34．（2024秋·江苏苏州·高三校考期中）已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． （二）解不等式 35.（2023秋·高一课时练习）已知函数是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 36.（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（2023春·青海西宁·高二校考期末）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38.（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是______． 39．（2023春·天津蓟州·高二校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （三）根据函数的单调性求参数 40.（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知在上是增函数，则的取值范围是________． 41．（2024秋·高一校考课时练习）若函数f(x)=在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42.（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______ 43．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数在上是增函数，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 44．（2024秋·江苏南京·高一校考期末）若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ． 46．（2024秋·陕西延安·高一校考期末）已知函数． (1)若函数在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)若，且函数的定义域为，求函数的值域． 47．（2024秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．（2024秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数在上是减函数，则a的取值范围是 . 49．（2024·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 50.（2023·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（ ） A． B． C．0 D．1 51．（2024秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（2024秋·福建福州·高一校考期中）已知是上的增函数，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53.（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 图象法求函数的最值(值域) 54．（2024·高一课时练习）如图是函数的图象．列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值． 55．（2024·高一课时练习）已知在上的图像如图所示. （1）指出的单调区间. （2）分别指出在区间及上的最大、最小值. 56.【多选】（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 57．（2024秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）已知函数，. (1)画出函数的图象; (2)求函数的最大值和最小值; (3)求函数的单调区间. 考点五 利用函数的单调性求函数的最值 58．（2024·全国·高一课堂例题）已知奇函数在区间上单调递增且有最大值，则在区间上（    ） A．单调递增，且最大值为 B．单调递增，且最大值为 C．单调递减，且最大值为 D．单调递减，且最大值为 59．（2024秋·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (2)若，求函数的最大值和最小值. 60．（2023春·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)用定义法证明：在上单调递增； (3)求在上的最大值与最小值. 61．（2024秋·甘肃武威·高一校考期中）函数 (1)判断函数在上的单调性. (2)求函数在上的最值. 考点六 根据函数的最值求参数 62.（2023·全国·高三专题练习）若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（2024秋·上海闵行·高一校考期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 64．（2024·全国·高一专题练习）函数在时有最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 65．【多选】（2024秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 66．（2024·全国·高一专题练习）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 67.（2023·高一课时练习）定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的值是__________． 考点七 分类讨论求二次函数的最值 （一）轴动区间定 68.（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值 69．（2024秋·陕西汉中·高一统考期末）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 70．（2024秋·上海徐汇·高三南洋中学校考开学考试）已知函数. (1)求的取值范围，使在闭区间上是单调函数； (2)当时，函数的最小值是关于的函数.求的最大值及其相应的值. 71．（2024秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 72．（2024秋·北京门头沟·高一统考期末）已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间是减函数，求实数a的取值范围； (3)若时，求函数的最小值． （二）轴定区间动 73.（2023·全国·高三对口高考）设的定义域为，对于任意实数，则的最小值__________． 74.（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，若，求函数的最值． 75.（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 76.（2024秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知函数（）的最小值为–1． (1)求实数a的值； (2)当，时，求函数的最小值． 77．（2024秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）已知二次函数的最小值为1，且 (1)求的解析式; (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围; (3)若，试求的最小值. 78．（2024秋·浙江金华·高一校考期中）已知二次函数的最小值为， (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数m的取值范围； (3)若时，值域为，试求t的取值范围. 考点八 恒成立与能成立问题 （一）函数不等式恒成立问题 79．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期末）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 80.（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解不等式. 81．（2024秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 82．（2024秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知函数， (1)若对于任意的恒成立，求的取值范围； (2)设，当时，若的最大值为，求的值. 83.（2023·江苏·高一专题练习）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； (2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围. 84.（2023·高一课时练习）已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. （二）函数不等式有解问题 85.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为3，最小值为． (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数的取值范围． 86．（2024秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知函数. (1)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 87．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）函数. (1)若当时，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若存在，使成立，求实数a的取值范围； (3)若当时，恒成立，求实数x的取值范围. 88.（2023·高一课时练习）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 89.（2023·高一课时练习）已知，其中为常数． (1)若的解集为或，求的值； (2)使，求实数的取值范围． 90.（2023·全国·高三对口高考）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题11 单调性与最大（小）值8种常见考法归类（90题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数单调性的判断与证明 （一）判断或证明具体函数的单调性 （二）判断或证明含参函数的单调性 （三）判断或证明抽象函数的单调性 考点二 求函数的单调区间 （一）求简单函数的单调区间 （二）利用图象求函数的单调区间 （三）求复合函数的单调区间 考点三 函数单调性的应用 （一）比较大小 （二）解不等式 （三）根据函数的单调性求参数 考点四 图象法求函数的最值(值域) 考点五 利用函数的单调性求函数的最值 考点六 根据函数的最值求参数 考点七 分类讨论求二次函数的最值 （一）轴动区间定 （二）轴定区间动 考点八 恒成立与能成立问题 （一）函数不等式恒成立问题 （二）函数不等式有解问题 知识点1：函数的单调性 1、增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I 条件 ∀x1，x2∈D，x1<x2 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 图示 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 注:（1）不是所有的函数在定义域上都具有单调性，如函数y＝x2，y＝等． （2）在增函数和减函数定义中，不能把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”，如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数． （3）单调性定义的等价形式: ①函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. ②函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点2：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点3：函数的最大（小）值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 注：（1）若函数f(x)≤M，则M不一定是函数的最大值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． （2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上最大值为f(b)，最小值为f(a)． 知识点4：复合函数的单调性（同增异减） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 解题策略 1、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 2、利用定义判断或证明函数单调性的步骤 3、求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解． (2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．　 提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开． 4、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　 5、由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 注：已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．　 6、求函数最值的常用方法 （1）图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． （2）运用已学函数的值域． （3）运用函数的单调性： ①若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （4）分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 7、利用函数的单调性求最值的关注点 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 8、解决函数最值应用题的方法 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围． (2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决． 9、分类讨论二次函数的最值 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素． (2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养． 考点一 函数单调性的判断与证明 （一）判断或证明具体函数的单调性 1．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)当时，判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论． 【答案】(1)最小值为，最大值为35； (2)在上单调递增，证明见解析． 【分析】（1）根据二次函数的性质求最值即可； （2）先根据二次函数的对称轴判断出上的单调性，然后根据函数单调性的定义证明. 【详解】（1）当时，，根据二次函数的性质， 由于，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值是，又，故的最大值是35， 即的最大值为，最小值为 （2）当时，，由于， 所以在上单调递增 证明：任取，则 由得 得，即 所以在上单调递增． 2．（2024秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数，且，. (1)求的解析式； (2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式； （2）利用单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由已知有，解得，， ∴. （2）证明：任取，，且， 则， ∵，，且， ∴，，， ∴，即， ∴在上单调递减. 3.（2024秋·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数. 【答案】证明见解析 【详解】证明：任取，. 又，，. ∴，则，即. ∴在区间上是增函数. 4.（2024秋·广东·高一校联考期末）已知函数，且，． (1)求函数的解析式； (2)根据定义证明函数在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由已知，解得， ； （2）任取， 则， ， ， ，即， 函数在上单调递增. 5．（2024秋·甘肃临夏·高一校考期中）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】在区间上单调递减，证明见解析 【分析】利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可. 【详解】在区间上单调递减． 证明：设任意的且， 则． ∵， ∴，，， ∴，即， ∴在区间上单调递减． （二）判断或证明含参函数的单调性 6.（2023·全国·高一专题练习）求证：函数在区间上是减函数． 【答案】证明见解析 【详解】设，且， 则, ，且， 又， , ,即 ， 故函数在区间是减函数. 7．（2024秋·高一校考课时练习）讨论函数，在上的单调性 【答案】答案见解析 【分析】对分离常数，利用单调性的定义，对参数进行分类讨论，即可判断函数单调性. 【详解】∵函数= ∴任取，且， 则 =- = ， ∴当，即时， ，即，是减函数； 当，即 时， ，即，是增函数. 8．（2024秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数． (1)判断并且证明函数在上的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （2）由及（1）中函数的单调性，求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）函数在上单调递减． 证明如下：设任意的且， ， ，所以，，， ， 在上单调递减． （2）由（1）可知在上单调递减， 且，， 当时且当时，所以且当时， 又当时，恒成立， 所以. （三）判断或证明抽象函数的单调性 9.（2023·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 【答案】C 【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变， 选项A,B正确； 选项D: 为增函数，则为减函数， 为减函数，为减函数，选项D正确； 选选C:若为增函数，为减函数， 则的增减性不确定. 例如为上的增函数，当时， 在上为增函数； 当时，在上为减函数， 故不能确定的单调性. 故选:C 10.（2023·全国·高一专题练习）设对任意的有，且当时，. (1)求证是上的减函数； (2)若，求在上的最大值与最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）令，则有， 令，则， 设且，则， 因为时，所以， 所以是上的减函数. （2）由（1）：是上的减函数，所以在上单调递减， 又，， 所以. 11．（2024秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知的定义域为，对任意都有，当时， (1)求； (2)证明:在上是减函数； (3)解不等式:. 【答案】(1), (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，取特殊值即可求解; （2）由题构造，结合题意可证明单调性; （3）根据单调性解抽象不等式即可. 【详解】（1）根据, 令，得，解得， 再令，则有，解得. （2）设，则， 所以，即， 因为 所以，所以， 即都有， 所以在上单调递减. （3）由题可知， 所以， 所以由得， 即，即， 又因为，所以， 由（2）知在上单调递减，所以， 即即，解得. 所以，解集为. 12.（2023秋·云南保山·高一统考期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,. (1)讨论函数的单调性,并说明理由; (2)若,解不等式. 【答案】(1)在上单调递增,理由见解析 (2) 【详解】（1）解:在上单调递增,理由如下: 因为定义域为, 不妨取任意,且,则, 由题意,即, 所以在上单调递增. （2）因为,令,由可得: , 即, 由,可得, 令,, 则, 所以不等式, 即,即, 由(1)可知在定义域内单调递增, 所以只需,解得, 所以不等式的解集为. 考点二 求函数的单调区间 （一）求简单函数的单调区间 13.（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上单调递减，故A错误； 在上单调递增，故B正确； 在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 在上单调递减，故D错误.故选:B. 14.（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是. 故选：B. 15.（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习）函数的减区间是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【详解】由图象知单调减区间为， 故选：. 16.（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A （二）利用图象求函数的单调区间 17．（2024·全国·高一假期作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和. 故选：B 18.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图是函数的图象，则函数的减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，， 故选：D． 19．（2024秋·高一课时练习）已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．    【答案】 ， ， 【分析】利用定义结合函数图象分析可得答案； 【详解】由图可知函数的单调递增区间有，， 函数的单调递减区间有，. 故答案为：，；， 20．（2024秋·河南濮阳·高一校考阶段练习）已知函数 (1)画出函数图象 (2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间. 【答案】(1)图象见解析； (2)增区间为和，减区间为. 【分析】（1）根据绝对值的性质，结合二次函数的性质作出图象即可； （2）利用数形结合思想，结合函数单调区间的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以该函数的图象如下图所示： （2）由（1）中的函数图象可知，该函数的增区间为和， 减区间为. 21．（2024·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 22．（2024秋·重庆·高一重庆市永川中学校校联考期中）已知函数 (1)画出的图象，写出单调递增区间； (2)求的解集. 【答案】(1)图象见解析，单调增区间为和； (2). 【分析】（1）根据分段函数的函数解析式可得函数的图象，由图象可得函数的单调增区间； （2）根据函数的解析式分段解不等式即得. 【详解】（1）因为， 可得函数的图象， 由图像可知单调增区间为和； （2）当时，由，解得， 当时，由，解得， 所以的解集为. 23．（2024秋·高一校考课时练习）函数的单调区间是 ． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】写出函数的分段形式，画出函数图象，从而求出单调区间. 【详解】， 画出函数图象如下：    可得单调递增区间为，单调递减区间为. 故答案为：单调递增区间为，单调递减区间为. （三）求复合函数的单调区间 24．（2024·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复合函数的单调性求解， 【详解】由得或，即的定义域为， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性得，的单调递减区间为， 故选：B 25．（2024秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）函数的增区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再求函数的增区间，根据复合函数单调性的同增异减原则即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 设， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增. 故答案为：. 26．（2024秋·安徽六安·高一六安一中校考期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域为，利用复合函数单调性，同增异减的原则，先确定外函数的单调性，再确定内函数的单调性即可得到答案. 【详解】令，解得， 设，， 外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间， ，对称轴为，其开口向下，故其减区间为. 故答案为：. 27．（2024秋·高一课时练习）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解函数的定义域，然后根据二次函数的性质判断函数的增减区间即可； 【详解】由函数有意义得，解得. 函数图象的对称轴为直线 在上单调递增，在上单调递减， 的单调递减区间是. 故选：C. 28．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，，试求的单调区间. 【答案】单调递增区间为，，单调递减区间为， 【分析】设，，画出两函数的图象，然后分，，，四种情况分别讨论函数的单调区间即可 【详解】解：设，，两函数的图象如图 ①当时，，在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增； ②当时，，在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递减； ③当时，，在上单调递减，在上单调递减， 故在上单调递增； ④当时，，在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减. 综上，的单调递增区间为，，单调递减区间为，. 【点睛】方法点睛： （1）由于函数的单调区间是定义域的子区间，解题时一定要注意函数的定义域，否则容易出错. （2）对于复合函数的单调性的判断，把函数通过中间变量分解为两个函数：外层函数和内层函数. 考点三 函数单调性的应用 （一）比较大小 29．（2024秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）若函数在上是减函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为减函数可得，再利用函数为减函数可得结论. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，得， 因为在上是减函数，所以， 故选：B 30．（2024秋·湖南邵阳·高一校考期中）已知函数，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的对称性可得出，再利用函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】函数的图象关于直线对称，则， 因为函数在上单调递增，且，则. 故选：C. 31．（2024·全国·高一假期作业）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】由已知结合二次函数的性质及函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为， 又是区间内的减函数， 所以. 故选：B． 32．（2024·全国·高一假期作业）已知函数在上是递减函数，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单调性求解. 【详解】是减函数，，； 故选：D. 33.（2023秋·高一课时练习）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以.故选：A 34．（2024秋·江苏苏州·高三校考期中）已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到确定为上的增函数，构造，确定函数为增函数计算函数值得到答案. 【详解】当时，，即， 所以为上的增函数． 令，因为，所以为上的增函数． 因为，故，所以． 故选：D （二）解不等式 35.（2023秋·高一课时练习）已知函数是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B．(2，3) C．(1，2) D．(1，3) 【答案】A 【详解】∵是定义在R上的增函数，且， ∴，解得，则a的取值范围为． 故选：A． 36.（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 则有 解得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 37．（2023春·青海西宁·高二校考期末）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知有，即可求取值范围. 【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足， 所以，解得. 故选：D 38.（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】函数是定义在上的减函数，且， ∴，解得． 故答案为： 39．（2023春·天津蓟州·高二校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为分段函数，判断其单调性，再利用单调性将不等式化为一元二次不等式求解即可得解. 【详解】因为在上为单调递减函数， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：A （三）根据函数的单调性求参数 40.（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）已知在上是增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由于在上是增函数， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 41．（2024秋·高一校考课时练习）若函数f(x)=在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将函数化成，结合反例函数的单调性可求的取值范围. 【详解】由题设可得， 因为函数在区间单调递减， 所以，故， 故选：A . 【点睛】易错点睛：已知含参数的函数在给定范围上的单调性求参数的取值范围时，既要考虑函数的单调性，也要考虑定义域满足的要求，后者往往容易忽视. 42.（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______ 【答案】 【详解】二次函数的图像开口向上，单调增区间为， 又函数在区间上是增函数， 则，解之得，则实数的取值范围是 故答案为： 43．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数在上是增函数，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可由对称轴求解. 【详解】由于为开口向下的二次函数，对称轴为， 所以， 故选：A 44．（2024秋·江苏南京·高一校考期末）若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调减函数，则. 故选：D 45．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据一次函数与二次函数的单调性分类讨论求解. 【详解】当时，在区间上单调递减，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 因为f（x）在区间上单调递减，所以，得，所以； 当时，函数在区间上单调递减，符合题意． 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 46．（2024秋·陕西延安·高一校考期末）已知函数． (1)若函数在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)若，且函数的定义域为，求函数的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）写出函数的对称轴，根据区间单调性，讨论对称轴位置确定参数范围； （2）根据二次函数的性质求函数的值域即可. 【详解】（1）∵二次函数的图像开口向上，对称轴为，且在上具有单调性， ∴当在上单调递增时，； 当在上单调递减时，． ∴实数a的取值范围是． （2）当时，，对称轴为． ∵函数的图像开口向上，， ∴在上单调递减，在上单调递增． ∴函数有最小值为，没有最大值． ∴函数的值域为． 47．（2024秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由题意可得需满足在区间上单调递减，且，由此列出不等式，求得答案. 【详解】令，则， 由题意可得需满足在区间上单调递减，且， 而的图象开口向下，对称轴为，故且， 即， 故选：C 48．（2024秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数在上是减函数，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据一次函数变形单调性求参即可. 【详解】在上单调递减，所以 故答案为： 49．（2024·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】先求得的单调递增区间为，根据题意得到，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的单调递增区间为， 因为在上单调递增，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 50.（2023·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：由题意可得，解得， ∴整数a的取值可以为. 故选：A 51．（2024秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数是R上的增函数， 所以有， 故选：D 【点睛】关键点睛：利用增函数的性质结合二次函数和反比例函数的单调性是解题的关键. 52．（2024秋·福建福州·高一校考期中）已知是上的增函数，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是R上的增函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案． 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 53.（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得； 易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增； 若满足函数在上单调递增， 则分段端点处的函数值需满足，如下图所示： 所以，解得； 综上可得. 故选：A 考点四 图象法求函数的最值(值域) 54．（2024·高一课时练习）如图是函数的图象．列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值． 【答案】答案见解析. 【分析】根据给定函数的图象，直接求函数的单调递增、递减区间，最值及最值点. 【详解】观察图象知，函数的递减区间是：，，，单调递增区间是，， 函数的最大值点是，最小值点是， 函数的最大值是，最小值是. 55．（2024·高一课时练习）已知在上的图像如图所示. （1）指出的单调区间. （2）分别指出在区间及上的最大、最小值. 【答案】（1）和为单调递增区间；、和为单调递减区间， （2）区间上，最大值为，最小值为；区间上，最大值为，最小值为. 【分析】（1）本题首先可以观察函数图像，然后从图像中即可判断出函数的单调区间； （2）本题首先可以先从图像中确定函数在区间上的最大、最小值，然后确定函数在区间上的最大、最小值. 【详解】（1）如图，由图像可以得出： 和为单调递增区间； 、和为单调递减区间， （2）如图，由图像可以得出： 当时，，； 当时，，. 【点睛】本题考查根据函数图像判断函数的单调区间以及最值，考查学生从图像中提取信息的能力，考查数形结合思想，是简单题. 56.【多选】（2023秋·云南怒江·高一校考期末）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】ABC 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：ABC. 57．（2024秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）已知函数，. (1)画出函数的图象; (2)求函数的最大值和最小值; (3)求函数的单调区间. 【答案】(1)答案见解析； (2)，； (3)答案见解析. 【分析】（1）求出，，，根据二次函数的性质即可作出函数图象； （2）由函数图象，即可得出最小值和最大值； （3）由函数图象，即可得出函数的单调区间. 【详解】（1）因为对称轴为，，，. 作出函数，的图象， （2）由函数图象可知，在处取得最大值，在处取得最小值. （3）由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增. 考点五 利用函数的单调性求函数的最值 58．（2024·全国·高一课堂例题）已知奇函数在区间上单调递增且有最大值，则在区间上（    ） A．单调递增，且最大值为 B．单调递增，且最大值为 C．单调递减，且最大值为 D．单调递减，且最大值为 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】任取且，即， ∴， 又函数在区间上单调递增， ∴． ∵函数为奇函数， ∴，∴， 因此，函数在区间上单调递增，最大值为，最小值为． 故选：A 59．（2024秋·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在区间上递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）设，且，然后作差变形，再判断符号可得结论； （2）由（1）可知在上递增，从而可求出其最值. 【详解】（1），函数在区间上递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以在区间上递增， （2）由（1）可知在上递增， 所以的最大值为，最小值为. 60．（2023春·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)用定义法证明：在上单调递增； (3)求在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）由分母不等于零可求得函数定义域； （2）设，由可证得结论； （3）由单调性可确定最值点，结合解析式可得最值. 【详解】（1）由得：，的定义域为. （2）设， ， ，，， 在上单调递增. （3）由（2）知：在上单调递增， ，. 61．（2024秋·甘肃武威·高一校考期中）函数 (1)判断函数在上的单调性. (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)函数在上的单调递减； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）由定义法判断函数在上的单调性. （2）由函数单调性求区间内的最值. 【详解】（1）函数在上的单调递减，证明如下： ，任取， 则， 由，则，， 得，即. 所以函数在上的单调递减. （2）由（1）可知，函数在上的单调递减， 所以在上的最大值为，最小值为. 考点六 根据函数的最值求参数 62.（2023·全国·高三专题练习）若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线， 要使得当，函数的最大值为，则满足且， 解得，所以实数的取值范围是. 故选D. 63．（2024秋·上海闵行·高一校考期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值. 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分，，和四种情况，进行分类讨论，根据最大值列出方程，求出实数的值. 【详解】，对称轴为，开口向上， 当时，在上单调递增， 故当时，取得最大值，，解得：，满足， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，所以当时，取得最大值， 由，解得：，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，所以当时，取得最大值， 由，解得：，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减， 故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去； 综上：. 64．（2024·全国·高一专题练习）函数在时有最大值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出，得出函数的最大值为，从而求出和的值． 【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”， 所以函数，解得，， 所以． 故选：C． 65．【多选】（2024秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【分析】根据二次函数的单调性、对钩函数的单调性，结合最小值的性质进行求解判断即可. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数， ，对称轴为， 当时， 当时，， 要想函数的最小值为，只需，即， 显然选项AB符合， 当时， 当时，，显然不是， 综上所述：只有选项AB符合条件， 故选：AB 66．（2024·全国·高一专题练习）已知 (1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数 (2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）且，利用作差法证明即可； （2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解. 【详解】（1）且， 则， 因为，所以， 又因为，所以， 因此， 所以在是减函数； （2）由（1）可知，是减函数， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 因为最大值与最小值之差为1， 所以，解得. 67.（2023·高一课时练习）定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的值是__________． 【答案】 【详解】若在上的最大值为4， 所以由，解得或， 所以要使函数最大值为4， 则根据新定义，结合与图像可知， 当，时，，此时解得， 当，时，，此时解得， 故或4， 故答案为：或4.    考点七 分类讨论求二次函数的最值 （一）轴动区间定 68.（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值 【答案】 【详解】， （1）当，即时，， （2）当，即时，， （3）当即时，， 69．（2024秋·陕西汉中·高一统考期末）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质列不等式，从而求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，从而求得. 【详解】（1）的开口向上，对称轴为， 由于函数在上是增函数， 所以， 所以的取值范围是. （2）当时，，开口向上，对称轴为， 所以，当时，在时取得最小值，即； 当，时，在时取得最小值， 即； 当时，在时取得最小值，即. 所以. 70．（2024秋·上海徐汇·高三南洋中学校考开学考试）已知函数. (1)求的取值范围，使在闭区间上是单调函数； (2)当时，函数的最小值是关于的函数.求的最大值及其相应的值. 【答案】(1)或 (2)当时，有最大值4 【分析】(1)利用二次函数的图象性质结合单调性求解； (2)分类讨论二次函数在给定区间的最大值，再分段讨论的最大值即可求解. 【详解】（1）函数图象的对称轴为. 因为在闭区间上是单调函数，所以或. 故或. （2）当时，； 当时，； 当时，. 所以， 当时，； 当时，, 对称轴为，所以， 当时，. 所以当时，有最大值4. 71．（2024秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数. (1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围； (2)若，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的对称轴与给定区间的关系分类讨论可得； （2）根据二次函数的对称轴与给定区间的关系分类讨论可得． 【详解】（1）二次函数图像的对称轴为直线， 又∵在区间上具有单调性， ∴或. ∴实数a的取值范围为. （2）由（1）易知函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，； 当时，； 当时，. ∴. 72．（2024秋·北京门头沟·高一统考期末）已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间是减函数，求实数a的取值范围； (3)若时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，由二次函数的性质即可求出在上的最值； （2）由题意可得，解不等式即可得出答案. （3）二次函数的对称轴为，分类讨论，和，即可得出在上的单调性，即可求出函数的最小值. 【详解】（1）当时，，， 因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为：， 当时，取得最大值为：， （2）二次函数的对称轴为， 在区间是减函数， 则，解得：. 所以实数a的取值范围为. （3）二次函数的对称轴为， 当，则，此时在上单调递增，所以， 当，则，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，则，此时在上单调递减， 所以. 所以 （二）轴定区间动 73.（2023·全国·高三对口高考）设的定义域为，对于任意实数，则的最小值__________． 【答案】 【详解】可化为， 当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当，即时，函数在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 所以， 故答案为：. 74.（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，若，求函数的最值． 【答案】答案见解析 【详解】解：函数的图像的对称轴为直线． ①当，即时，，； ②当，即时，，； ③当，即时，，； ④当，即时，，． ∴，. 75.（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则， 因为， 所以， 故，解得： 又 所以， 所以； （2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为． 当时，， 所以此时函数的最大值为； 当时，， 所以此时函数的最大值为； 综上：． 76.（2024秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知函数（）的最小值为–1． (1)求实数a的值； (2)当，时，求函数的最小值． 【答案】(1)2 (2)答案详见解析 【详解】（1）∵函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴，解得或（舍）． ∴实数a的值为2． （2）由（1）知函数的图象开口向上，对称轴为直线． ①当，即时，函数在区间上为减函数， ∴； ②当时，函数在区间上为增函数， ∴； ③当，即时，易知． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 77．（2024秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）已知二次函数的最小值为1，且 (1)求的解析式; (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围; (3)若，试求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据二次函数的对称性以及最值即可求解解析式； （2）根据二次函数的单调性即可求解； （3）分类讨论，结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由已知，可得对称轴为， 则函数的顶点坐标为， 设，由，得， 故； （2）因为函数的对称轴为1，在区间上不单调， 所以对称轴在区间内，即， 解得； （3）当时，函数在上单调递增，. 当时，即时，， 当时，即时，函数在上单调递减， ， 综上所述： . 78．（2024秋·浙江金华·高一校考期中）已知二次函数的最小值为， (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数m的取值范围； (3)若时，值域为，试求t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，由求出可得答案； （2）要使在区间上不单调，则，解不等式可得答案； （3）根据的开口向上，对称轴为，可得 ，再由可得答案. 【详解】（1）由已知是二次函数，且， 对称轴为，又最小值为， 设，又， 所以，； （2）要使在区间上不单调，则， 所以； （3）由（1）知，的开口向上，对称轴为，   时，  且， 由单调性可知 . 考点八 恒成立与能成立问题 （一）函数不等式恒成立问题 79．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期末）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到求解； （2）将时，不等式恒成立，转化为对都成立求解. 【详解】（1）解：当时，得， 解得或， 所以此不等式的解集为． （2）当时，不等式恒成立， 可得对都成立， 由于，当且仅当即时等号成立， 所以，即， 故实数的取值范围是． 80.（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解不等式. 【答案】(1) (2)解集见解析 【详解】（1）变形得到对一切实数x恒成立， 当时，，不对一切实数x恒成立，舍去； 当时，则需，解得， 综上，实数a的取值范围是； （2），即， 因为，所以， 因为， 所以当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上：当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. 81．（2024秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为在恒成立，令，分、、讨论，再结合对称轴的位置和特殊点的函数值可得答案. 【详解】因为，所以， 即在恒成立， 令， 时， 由，方程无解；    由，解得由；    由，方程组无解；    时，只须即可，解得；    时，，时单调递减，，满足题意； 综上所述，. 故选：B. 82．（2024秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知函数， (1)若对于任意的恒成立，求的取值范围； (2)设，当时，若的最大值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意转化为对于任意的恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）由，求得其对称轴为，根据题意，结合二次函数的单调性，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 所以，即，解得 所以实数的取值范围. （2）解：由函数，可得其对称轴为， 因为时，若的最大值为， 当时，即时，在上单调递减， 所以，解得； 当时，即时，在上单调递递增，在单调递减， 所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，即时，在上单调递增， 所以，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 83.（2023·江苏·高一专题练习）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； (2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，理由见解析； (2). 【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增， 理由如下：取，且， ， 因为，，故，， ， 所以， 所以在上单调递减； 取，且， ， 因为，，故，， ， 所以， 所以在上单调递增； （2）若对任意的时，恒成立， 时，无意义，舍去， 当时，，此时无解，舍去， 所以， 只需求出的最大值， 当时，单调递减，当时，单调递增， 故， 又因为，， 故， 故， 所以， 因为，故解得：或 实数的取值范围是. 84.（2023·高一课时练习）已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）解法一：对任意的，恒成立，即恒成立， 即对任意的恒成立. ①当时，不等式为恒成立，此时； ②当时，， ∵，∴， ∴， 当且仅当时，即时取“=”， ∴， 综上，a的取值范围为； 解法二：由题可得对任意成立， 所以， 对于二次函数，对称轴为轴， 当时，函数在上单调递增， 则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，函数在上单调递减， 则，无解， 综上，a的取值范围为； （2）由题可得， 则当时，不等式恒成立， 则， 整理得：， 解得：或， ∴x的取值范围为或. （二）函数不等式有解问题 85.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为3，最小值为． (1)求的解析式； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的开口向上，对称轴为， 所以在区间上有：， 即， 所以. （2）依题意，使得， 即， 由于，， 当且仅当时等号成立. 所以. 86．（2024秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知函数. (1)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分为和两种情况,再结合二次函数值域恒成立求解即可; （2）先参数分离把原不等式转化为在有解,再根据二次函数求最值即可求出范围. 【详解】（1）对恒成立， i）若，显然成立， ii）若，则，解得 所以，. （2）不等式在上有解 整理为在有解 在有解，即求在的最大值， 的对称轴为， 在上单调递增 ， 可得. 87．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）函数. (1)若当时，恒成立，求实数a的取值范围； (2)若存在，使成立，求实数a的取值范围； (3)若当时，恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将问题转化为恒成立的问题，然后根据判别式即可得到答案； （2）由题意可转化为在上有解，构造函数，然后对参数分类讨论，利用二次函数的图像和性质使即可得到答案； （3）令，在时，有恒成立，由此列出不等式组，即可得到答案. 【详解】（1）∵当时，恒成立， 需，即， 解得， ∴实数a的取值范围是. （2）由题意可转化为在上有解， 令，当时，需， 函数图象的对称轴方程为，且抛物线的开口向上， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可得，满足条件的实数a的取值范围是. （3）令，可知函数的图象为一条直线， 当时，有恒成立， 只需，即， 解得或. 所以实数x的取值范围是. 88.（2023·高一课时练习）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)或. 【详解】（1）由题设， 当时，，故不等式解集为； 当时，，故不等式解集为； 当时，，故不等式解集为； （2）由题设，在上， 要使任意的，总存在，使成立， 所以是值域的子集，显然时不满足题设， 或，可得或. 89.（2023·高一课时练习）已知，其中为常数． (1)若的解集为或，求的值； (2)使，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：即为， 因为的解集为或， 所以，方程的实数根为， 所以，根据韦达定理得，即 所以. （2）解：因为使， 所以，， 因为时，，当且仅当时等号成立， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以， 所以，解得 所以，实数的取值范围为. 90.（2023·全国·高三对口高考）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】若存在，使得成立，则说明在上不单调， 当时，，图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即. 综上，. 故选：D. $$