第15讲 概率的进一步认识【七大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第15讲 概率的进一步认识 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率； 2．能利用重复试验的频率估计随机事件的概率； 3．学会运用概率知识解决简单的实际问题. 知识点一、用树状图或表格求概率 1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点二、用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 考点一：列举法求概率 例1．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·西藏日喀则·二模）现有条线段，长度依次是，从中任选三条，能组成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）从，3.1415926，，四个数中随机抽取两个数，两个数都是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·内蒙古赤峰·二模）从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 考点二：列表法或树状图法求概率 例2.（2024·广东深圳·三模）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）中的一种，小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测． (1)小明检测的溶液变成红色的概率为 ； (2)用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果，并求小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率． 【变式2-1】（2024·江苏泰州·一模）中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》，《周髀算经》．而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》，《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖、小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读． (1)小颖恰好选取《周髀算经》的概率为 ； (2)将2本《九章算术》，1本《周髀算经》，1本《几何原本》分别用、、B、C表示，请用列表或树状图的方法，求小颖、小华都选取到中国数学著作的概率． 【变式2-2】（2024·江西·中考真题）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． (1)“学生甲分到A班”的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【变式2-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）某初中九年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”，“哪种方式更合算”，“设计调查方案”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习． (1)小明随机选择了其中一个课题，他选中的是“哪种方式更合算”的概率为________； (2)某班有男女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，请你用列表或画树状图的方法，求这两人正好是男女的概率． 考点三：利用概率判断游戏的公平性 例3.（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【变式3-1】（23-24九年级下·云南曲靖·期中）一个不透明的口袋中有三个小球，一个标有字母，另外两个都标有字母，所标字母不同外，其它完全相同，小明和小刚做摸球游戏，小明从中随机摸出一个小球记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小明赢，所标字母不同则小刚赢． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果： (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）小明和小军做游戏，他们设计了如图所示的可以自由转动的转盘，转盘被分成了两个扇形，分别标上数字1和2，其中标有数字1的扇形圆心角为120°．两人分别转动转盘一次，并记录下转盘停止时指针指向的扇形的数字（若指针指向分割线处，则重新转动转盘），并将两次所得的数字相加，若结果为偶数，则小明胜；若结果为奇数，则小军胜． (1)小明转出数字2的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，说明这个游戏是否公平． 【变式3-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______； (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？ 考点四：几何概率 例4. （2024七年级下·全国·专题练习）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ． 【变式4-1】（2024·浙江绍兴·二模）如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为 ．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 【变式4-2】（2024·江苏苏州·一模）如图，一块矩形飞镖游戏板，对角线，相交于点，过点作分别交边，于点，．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中矩形中各三角形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率为 ． 【变式4-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，，随机地往正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米落在阴影区域的概率为 ． 考点五：概率的应用 例5.（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【变式5-1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【变式5-2】（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【变式5-3】（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 考点六：由频率估计概率 例6.（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 【变式6-1】（2024年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试题）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（　　） A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【变式6-2】（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【变式6-3】（2024八年级下·江苏·专题练习）某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C．布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 考点七：用频率估计概率的综合应用 例7.（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某种油菜籽在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽粒数m 65 111 a 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 b (1)填空：_____，_____； (2)任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率． 【变式7-1】（23-24九年级下·江苏盐城·期中）主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m (1)表格中______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 【变式7-2】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【变式7-3】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 93 b 295 480 601 摸到白球的频率 0.59 a 0.61 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______；（精确到0.1） (3)如果箱子中一共有30个白球，估计箱子里一共有多少个小球？ 一、单选题 1．（2024·广东汕头·一模）在标有数字3，5，7的三张卡片中，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南南阳·三模）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明，如图，这是小东同学收集到的中 国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗放好．从这四张卡片中随机抽取一张（放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好都是“造纸术”的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁锦州·二模）如图，是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7号板是等腰直角三角形，4号板是正方形，6号板是平行四边形．若随机向正方形上投掷一个米粒，那么米粒刚好停在7号板区域的概率是(    ) A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上 B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3 D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球 5．（2024·山东济南·三模）两千多年前我们的祖先使用“算筹”表示数．算筹有纵式和横式两种排列方式，各个数字及其算筹表示的对应关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 〇 横式 用“算筹”表示数时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现．如“”表示87，“”表示502，从“”、“”、“”、“”、“”可以组成的所有两位数中，随机抽取一个数，是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·浙江温州·三模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒．当车辆随意经过该路口时，遇到绿灯的概率是 ． 7．（23-24八年级下·江苏常州·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则任意摸一个球是绿球的概率为 ． 8．（2024·山西晋城·二模）我国人工智能行业可按照应用领域分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音及语义人工智能、视觉人工智能四大类别，某班要求班级中每位同学都从中随机选择一种类别进行调查，并制作相关的手抄报在“人工智能”的班会上展示．若王老师将四大类别的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，一位同学随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，下一位同学再随机抽取一张，如此重复，则小兵和小强抽取卡片的类别相同的概率为 ．    9．（2024·湖南长沙·三模）如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为； ③米粒落在圆内的概率＝； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于． 10．（2024·河南许昌·二模）化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是 ． 三、解答题 11．（2024·云南昭通·二模）今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： (1)甲选择看A电影的概率是_______________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 12．（2024·陕西西安·一模）五一假期，芳芳和丽丽两家一起开车去秦岭动物园玩，到了秦岭动物园停车场，发现停车场还有四个停车位空闲（如图所示），停车场规定每辆汽车停放时只能占用一个车位． (1)若芳芳家的车先停，则芳芳家的车停在1号车位的概率为______； (2)芳芳和丽丽家的车先后停到车位上，请用树状图或列表法求这两辆车都停在序号为奇数的车位上的概率．（芳芳家的车记为车，丽丽家的车记为车） 13．（2024·陕西西安·一模）陕西拥有很多中小学研学实践爱国主义教育基地，小辉计划假期和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片：A．陕西历史博物馆（西安）；B．杨家岭革命旧址（延安）；C．薛家寨革命旧址（铜川）；D．西安半坡博物馆（西安），这些卡片除正面图案不同外，其余都相同．现将这四张卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上． (1)若小辉随机抽取一张卡片，抽到“B．杨家岭革命旧址”的概率是 　　； (2)若小辉从中随机抽取一张卡片，放回洗匀，然后他妹妹从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的基地都在西安的概率． 14．（2024·云南昆明·二模）某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“燃料燃烧”“电池充电”“镜花水月”“冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片(其中主要为化学变化， 主要为物理现象)．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽． (1)小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是_______． (2)这个规则对小云和小南公平吗?请用列表或画树状图法说明理由． 15．（23-24九年级上·江西上饶·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000 优等品频数 188 471 946 1426 1898 优等品频率 (1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？ (2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中． ①求从袋中摸出一个球是黄球的概率； ②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 概率的进一步认识 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率； 2．能利用重复试验的频率估计随机事件的概率； 3．学会运用概率知识解决简单的实际问题. 知识点一、用树状图或表格求概率 1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点二、用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 考点一：列举法求概率 例1．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）小明要给小林打电话，他只记住了小林手机号码的前位，后三位是三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查列举法求概率，列出所有排序的结果，再根据概率公式计算即可求解，正确列出所有排序的结果是解题的关键． 【详解】解：因为后位是三个数字的某一种排列顺序，所以顺序可以是：；；；；；；共种情况，而正确的只有种，所以第一次就拨通电话的概率是， 故选：． 【变式1-1】（2024·西藏日喀则·二模）现有条线段，长度依次是，从中任选三条，能组成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列举法求概率以及三角形的三边关系，找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可用概率公式求解． 【详解】从长度分别为的四条线段中任选三条有如下种情况： ；；；； 能组成三角形的结果有个： ； 所以能构成三角形的概率为： 故选：B． 【变式1-2】（23-24九年级下·湖北武汉·期中）从，3.1415926，，四个数中随机抽取两个数，两个数都是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求概率，根据无理数的定义得到，为无理数，再根据列举法求出所有可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：，3.1415926，，四个数中是无理数的是，，随机抽取两个数共有：，3.1415926；，；，；3.1415926，；3.1415926，；，共6种可能性，其中都是无理数的结果有1种， ∴； 故选D． 【变式1-3】（2024·内蒙古赤峰·二模）从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有情况，找出组成的两位数是3的倍数的情况，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：组成的两位数有，共12种情况，其中成的两位数是3的倍数的情况有，共4种， ∴； 故选C． 考点二：列表法或树状图法求概率 例2.（2024·广东深圳·三模）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）中的一种，小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测． (1)小明检测的溶液变成红色的概率为 ； (2)用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果，并求小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）将A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）分别记作，列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：4种溶液中，有2瓶呈碱性， 则检测的溶液变成红色的概率为， 故答案为：； （2）将A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D碳酸钠溶液（呈碱性）分别记作，列表如下： 由表知，共有12种可能出现的结果，其中小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的有，共2种结果， 小明和小亮检测的两瓶溶液都变成红色的概率为：． 【变式2-1】（2024·江苏泰州·一模）中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》，《周髀算经》．而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》，《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖、小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读． (1)小颖恰好选取《周髀算经》的概率为 ； (2)将2本《九章算术》，1本《周髀算经》，1本《几何原本》分别用、、B、C表示，请用列表或树状图的方法，求小颖、小华都选取到中国数学著作的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，以及概率公式的应用， 根据题意共有4中可能得结果，满足题意得只有1种，利用概率公式求解即可； 利用列表法将所有可能得结果列出，找到满足题意得9中结果，结合概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中小颖恰好选取《周髀算经》的结果有1种，则．小颖恰好选取《周髀算经》的概率为， 故答案为∶； （2）列表如下： B C B C 共有12种等可能的结果，其中小颖、小华都选取到中国数学著作的结果有6种，则小颖、小华都选取到中国数学著作的概率为． 【变式2-2】（2024·江西·中考真题）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． (1)“学生甲分到A班”的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】(1) (2)甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【详解】（1）解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【变式2-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）某初中九年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化”，“哪种方式更合算”，“设计调查方案”三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习． (1)小明随机选择了其中一个课题，他选中的是“哪种方式更合算”的概率为________； (2)某班有男女四名学生选择了“视力的变化”课题，老师决定从这四人中随机选取两人作为组长，请你用列表或画树状图的方法，求这两人正好是男女的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表或画树状图求概率， （1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有种等可能的结果，然后找出正好是男女的结果数，再根据概率公式计算即可； 解题的关键是掌握：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）解：（哪种方式更合算）， ∴他选中的是“哪种方式更合算”的概率为， 故答案为：； （2）设名男生记作：男，男，男，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中一男一女的结果有种， ∴（两人正好是男女）， ∴这两人正好是男女的概率为． 考点三：利用概率判断游戏的公平性 例3.（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有7种， ∴甲获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有5种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 【变式3-1】（23-24九年级下·云南曲靖·期中）一个不透明的口袋中有三个小球，一个标有字母，另外两个都标有字母，所标字母不同外，其它完全相同，小明和小刚做摸球游戏，小明从中随机摸出一个小球记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小明赢，所标字母不同则小刚赢． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，表示出所有可能出现的结果： (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个游戏规则对双方不公平 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据概率公式求出小明赢和小刚赢的概率，然后进行比较，即可得出答案 此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】（1）列表得： 由列表可知可能出现的结果共9种 （2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次摸的小球所标字母相同的有5种，所标字母不同的有4种， ∴小明赢的概率是，小刚赢的概率是 ∵ ∴这个游戏规则对双方不公平 【变式3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）小明和小军做游戏，他们设计了如图所示的可以自由转动的转盘，转盘被分成了两个扇形，分别标上数字1和2，其中标有数字1的扇形圆心角为120°．两人分别转动转盘一次，并记录下转盘停止时指针指向的扇形的数字（若指针指向分割线处，则重新转动转盘），并将两次所得的数字相加，若结果为偶数，则小明胜；若结果为奇数，则小军胜． (1)小明转出数字2的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法，说明这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏不公平．理由见解析 【分析】（1）根据概率公式，即可求解； （2）根据列表得出所有等可能的情况数，分别计算他们两个获胜的概率，比较其大小，可知游戏是否公平． 【详解】（1）解：∵转盘被分成面积相等的3个扇形，其中数字2占有2个， ∴小明转出数字2的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 2 4 4 4 由表可知共9种可能得结果，和是偶数的有6种，和是奇数有3种， ∴小明胜的概率为，小军胜的概率为， ， ∴游戏不公平． 【变式3-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______； (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？ 【答案】(1) (2)这个游戏不公平 【分析】本题考查的是用概率公式求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求出即可； （2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出两人的概率，再比较概率大小即可得出结论． 【详解】（1）解：共10名志愿者，女生4人， 选到女生的概率是：； 故答案为：． （2）解：根据题意画图如下： 共有12种情况，和为偶数的情况有4种， 牌面数字之和为偶数的概率是， 甲参加的概率是，乙参加的概率是， 这个游戏不公平． 考点四：几何概率 例4. （2024七年级下·全国·专题练习）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：这个图形的总面积为9，阴影部分的面积为4，因此阴影部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故答案为：． 【变式4-1】（2024·浙江绍兴·二模）如图，转盘中黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为，现让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为 ．（注：当指针恰好指在分界线上时，无效重转） 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算方法是解题的关键，根据题意，将圆形分为等圆心角的三份，即黄色，绿色1，绿色2，结合概率的计算方法即可求解． 【详解】解：∵黄色扇形的圆心角为，绿色扇形的圆心角为， ∴绿色扇形可以看成是两份，每份为， ∴共3种等可能结果，即黄色扇形，绿色扇形1，绿色扇形2， ∴指针落在黄色区域的概率为， 故答案为： ． 【变式4-2】（2024·江苏苏州·一模）如图，一块矩形飞镖游戏板，对角线，相交于点，过点作分别交边，于点，．假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中矩形中各三角形的边界或没有投中游戏板，则重投1次），现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的知识．利用阴影部分的面积除以矩形的面积即可求得答案． 【详解】解：矩形关于中心对称， ， ， 飞镖投中阴影区域的概率为， 故答案为：． 【变式4-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，在正方形中，点在上，连接，，随机地往正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米落在阴影区域的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查几何概率,将图中阴影面积除以正方形面积即可求出米粒落在图中阴影部分的概率． 【详解】解：∵ ∴米落在阴影区域的概率为 故答案为：． 考点五：概率的应用 例5.（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）把其中3个扇形标A即可． 【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同， ∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是； （2）∵每个展馆都有被选中的机会， ∴先将每个展馆都填在一个区域内， 又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大， ∴剩下的两个区域都填上即可， 如图所示： 指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【变式5-1】（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 【变式5-2】（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 【变式5-3】（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择： 方案一：是直接获得20元的礼金卷； 方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少． 指针指向 两红 一红一蓝 两蓝 礼金券（元） 27 9 27 (1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)方案一比较实惠 【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可； （2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：列表格如下： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） ∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种， ∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率． （2）解：∵， ∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为： （元）， ∵， ∴选择方案一比较实惠． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式． 考点六：由频率估计概率 例6.（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 机会均等就出现的可能性是相同的，但不一定在有限的实验中出现的次数相同，只是在大量实验时，两者出现的次数接近． 【详解】解：“正面”和出现“反面”的机会均等，随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5． 故选：C． 【变式6-1】（2024年浙江省宁波市五校联考中考数学模拟试题）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（　　） A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【答案】C 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， ， 由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.50， 故选：C 【变式6-2】（2024·浙江温州·二模）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据某种颜色的球出现的频率如图约为， 摸到红球出现的频率， 摸到黄球出现的频率， 摸到蓝球出现的频率， 摸到绿球出现的频率， ∴该球的颜色最有可能是绿球， 故选：． 【变式6-3】（2024八年级下·江苏·专题练习）某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C．布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 【答案】D 【详解】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，正确理解利用频率估计概率是解题的关键． 解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头“的概率为，故选项不符合题意； 、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故选项不符合题意． 、暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故选项不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故选项符合题意； 故选：． 考点七：用频率估计概率的综合应用 例7.（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某种油菜籽在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽粒数m 65 111 a 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 b (1)填空：_____，_____； (2)任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率． 【答案】(1)136，0.70 (2)任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率为0.7 【分析】本题主要考查了频数与频率分布表，用频率估计概率： （1）根据频率等于频数除以总数进行求解即可； （2）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可． 【详解】（1）解；由题意得，， 故答案为：136；； （2）解：由表格中的数据可知，随着试验次数的增加，这种油菜籽发芽的频率逐渐稳定在左右， ∴任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率为0.7． 【变式7-1】（23-24九年级下·江苏盐城·期中）主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m (1)表格中______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 【答案】(1)0.95 (2)0.95 (3)950人 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量： （1）直接利用频数除以总数进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）总数乘以概率即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.95； （2）由表格可知：经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95； 故答案为：0.95； （3）（人）． 【变式7-2】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】(1)， (2) (3)除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率的计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； （3）解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 【变式7-3】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 93 b 295 480 601 摸到白球的频率 0.59 a 0.61 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______；（精确到0.1） (3)如果箱子中一共有30个白球，估计箱子里一共有多少个小球？ 【答案】(1)0.62，122 (2)0.6 (3)箱子里一共有50个小球． 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为： （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是． 故答案为：； （3）解：（个）， 答：箱子里一共有50个小球． 一、单选题 1．（2024·广东汕头·一模）在标有数字3，5，7的三张卡片中，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 根据列举法求概率即可． 【详解】解：由题意知，摆成一个三位数有，，，，，共6种等可能的结果，其中摆出的三位数是5的倍数的有，共2种等可能的结果， ∴摆出的三位数是5的倍数的概率为， 故选：C． 2．（2024·河南南阳·三模）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明，如图，这是小东同学收集到的中 国古代四大发明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗放好．从这四张卡片中随机抽取一张（放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好都是“造纸术”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：分别用表示四张卡片，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中抽到的两张卡片恰好都是“造纸术”的结果有种， ∴抽到的两张卡片恰好都是“造纸术”的概率为， 故选：． 3．（2024·辽宁锦州·二模）如图，是由智力玩具七巧板的七块板拼成的正方形，其中1，2，3，5，7号板是等腰直角三角形，4号板是正方形，6号板是平行四边形．若随机向正方形上投掷一个米粒，那么米粒刚好停在7号板区域的概率是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概型概率的求法，勾股定理，正方形的性质；设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为，号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为，据此知大正方形的面积为，号板的面积为，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：设号板正方形的边长为，则号板直角边长为，号板斜边长为， 号板斜边长为，直角边长为，则大正方形边长为， 号板的面积为， 大正方形的面积为， 从这个正方形内任取一点，则刚好停在号板区域的概率是， 故选：C． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（    ） A．同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上 B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3 D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球 【答案】C 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案． 【详解】解：A、同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故B选项错误； C、抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3的概率是，故C选项正确； D、一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球的概率为，故D选项错误． 故选C． 5．（2024·山东济南·三模）两千多年前我们的祖先使用“算筹”表示数．算筹有纵式和横式两种排列方式，各个数字及其算筹表示的对应关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 〇 横式 用“算筹”表示数时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现．如“”表示87，“”表示502，从“”、“”、“”、“”、“”可以组成的所有两位数中，随机抽取一个数，是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，先根据题意得到五个符号表示的数是0，2，3，6，9，且数字6、9必须要在十位，0、2、3在个位，据此列举出所有符合题意的数，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：“”、“”、“”、“”、“”分别表示的数是0，2，3，6，9，且数字6、9必须要在十位，0、2、3在个位，则可以组成的两位数有60，62，63，90，92，93，共6个数，其中是奇数的有2个， ∴随机抽取一个数，是奇数的概率为， 故选：B． 二、填空题 6．（2024·浙江温州·三模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒．当车辆随意经过该路口时，遇到绿灯的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率模型概率的求解，对于此题，类似于几何概率模型，将红灯、绿灯、黄灯对应的时间看成线段长、面积或体积皆可，根据几何概率的求法，找准两点：①全部情况的总长度（面积或体积）；②符合所求的长度（面积或体积）；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒， 遇到绿灯的概率为， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏常州·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则任意摸一个球是绿球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由频率估计概率；理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键，根据题意利用频率估计概率的知识即可求解． 【详解】解：由题意，经过大题重复实验后，摸到绿球的频率稳定在， 所以估计任意摸一个球是绿球的概率为， 故答案为． 8．（2024·山西晋城·二模）我国人工智能行业可按照应用领域分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音及语义人工智能、视觉人工智能四大类别，某班要求班级中每位同学都从中随机选择一种类别进行调查，并制作相关的手抄报在“人工智能”的班会上展示．若王老师将四大类别的图标分别制成四张卡片（卡片背面完全相同），并把四张卡片背面朝上洗匀，一位同学随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，下一位同学再随机抽取一张，如此重复，则小兵和小强抽取卡片的类别相同的概率为 ．    【答案】/0.25 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能分别用，，，表示， 根据题意画图如下：    共有16种等可能的结果数，其中小兵和小强抽取卡片的类别相同的结果数为4， 所以小兵和小强抽取卡片的类别相同的概率为． 故答案为：． 9．（2024·湖南长沙·三模）如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为； ③米粒落在圆内的概率＝； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了频率估计概率，几何概率，直接根据题意得出圆的面积进而利用圆的面积除以正方形面积得出答案． 【详解】解：依题意，圆的面积为，正方形的面积为： ∴米粒落在圆内的概率为； ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为，故①正确； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为，故②错误； ③米粒落在圆内的概率＝，故③正确； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则概率接近，即， ∴的值接近于，故④正确； 故答案为：①③④． 10．（2024·河南许昌·二模）化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是 ． 【答案】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了事件，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】设用A表示、用B表示、用C表示，用D表示， 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的的有9种， ∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是． 三、解答题 11．（2024·云南昭通·二模）今年春节电影A《热辣滚烫》，B《飞驰人生2》，C《熊出没逆转时空》，D《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部： (1)甲选择看A电影的概率是_______________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲乙两同学选择观看同一部电影的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：甲选择看A电影的概率是； 故答案为：． （2）列表如下： 甲   乙 A B C D A B C D 由表知共有16等可能出现的结果，其中甲乙两同学选择同一部电影的有4种； ． 12．（2024·陕西西安·一模）五一假期，芳芳和丽丽两家一起开车去秦岭动物园玩，到了秦岭动物园停车场，发现停车场还有四个停车位空闲（如图所示），停车场规定每辆汽车停放时只能占用一个车位． (1)若芳芳家的车先停，则芳芳家的车停在1号车位的概率为______； (2)芳芳和丽丽家的车先后停到车位上，请用树状图或列表法求这两辆车都停在序号为奇数的车位上的概率．（芳芳家的车记为车，丽丽家的车记为车） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或者列表法求解概率，解题的关键是： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，停车位共有4种情况，停在1号车位是其中一种， 故概率为． 故答案为：； （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中两辆车都停在序号为奇数的车位上的结果数有2种， 两辆车都停在序号为奇数的车位上的概率为． 13．（2024·陕西西安·一模）陕西拥有很多中小学研学实践爱国主义教育基地，小辉计划假期和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片：A．陕西历史博物馆（西安）；B．杨家岭革命旧址（延安）；C．薛家寨革命旧址（铜川）；D．西安半坡博物馆（西安），这些卡片除正面图案不同外，其余都相同．现将这四张卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上． (1)若小辉随机抽取一张卡片，抽到“B．杨家岭革命旧址”的概率是 　　； (2)若小辉从中随机抽取一张卡片，放回洗匀，然后他妹妹从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片上的基地都在西安的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率的计算． （1）直接利用概率的计算公式进行计算即可； （2）先根据题意画树状图列出所有可能出现的结果，找出两张卡片上的基地都在西安的情况，再根据概率的计算公式进行计算即可． 概率=事件A发生的情况数所有情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． 【详解】（1）共有4种等可能的结果，而抽到“B．杨家岭革命旧址”的结果有1种，则P（抽到“B．杨家岭革命旧址”）． 故答案为： （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的基地都在西安共4种， ∴抽取的两张卡片上的基地都在西安的概率为． 14．（2024·云南昆明·二模）某校科学社团开展“我爱科学，强基有我”的分享活动，先将“燃料燃烧”“电池充电”“镜花水月”“冰雪消融”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片(其中主要为化学变化， 主要为物理现象)．活动时学生根据所抽取的卡片分享相关科学知识． 抽取规则如下：张卡片背面朝上洗匀，小云先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小云分享；若他们取出的两张卡片上都是物理现象，则由小南分享；其他情况重抽． (1)小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是_______． (2)这个规则对小云和小南公平吗?请用列表或画树状图法说明理由． 【答案】(1)； (2)这个规则对小云和小南公平，理由见解析． 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，求出小云和小南分享的概率即可判断求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：小云从张卡片中随机抽取一张，有种结果，其中卡片正面图案是物理现象的结果有种， ∴小云抽到的卡片正面图案是物理现象的概率是， 故答案为：； （2）解：这个规则对小云和小南公平，理由： 画树状图如下， 由树状图可得，共有种等结果，其中两张卡片上都是化学变化的结果有种，两张卡片上都是物理现象的结果有种， ∴，， ∵， ∴这个规则对小云和小南公平． 15．（23-24九年级上·江西上饶·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 200 500 1000 1500 2000 优等品频数 188 471 946 1426 1898 优等品频率 (1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？ (2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中． ①求从袋中摸出一个球是黄球的概率； ②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？ 【答案】(1) (2)①；②9个 【分析】本题主要考查利用频率估计概率： （1）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946； （2）①用黄球的个数除以球的总个数即可；②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946； （2）解：①∵袋中一共有球个，其中有5个黄球， ∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；          ②设从袋中取出了个黑球，由题意得 ，解得， 故至少取出了9个黑球． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$