专题05解三角形（思维导图+4重点+10题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第四册）

专题05 解三角形 知识点1 ：正弦定理 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 2．变形结论 (1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (2)由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． (3)A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 知识点2：余弦定理 1.定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2.公式：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 3.变形：cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4.余弦定理和勾股定理的关系 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则 a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角； a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角 知识点3 ：三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． (4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长． 知识点4 ：正弦定理、余弦定理实际应用问题 解三角形中的常用术语 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)． (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角．北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3)．北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．南偏西等其他方向角类似． (4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡度，i＝tan θ)．坡度又称为坡比． 题型归纳 【题型01 正弦定理的应用--边角计算】 满分技法 1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 1．（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决. 【详解】因为， 由正弦定理， 因为， 展开化简， 又. 故选:B. 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合正弦定理进行判断. 【详解】中，，由正弦定理，有， 则，即，有， 所以，得，充分性成立； 中，若，则，由正弦定理， 有，必要性成立. 所以在中，“”是“”的充要条件. 故选 ：C 【题型02三角形解的个数问题】 满分技法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 2..在△ABC中，已知a，A，b，三角形解的个数如下： (1)A为锐角 ①a<bsin A，无解；②a＝bsin A或a≥b，一解；③bsin A<a<b，两解； (2)A为直角或钝角 ①a≤b，无解；②a>b，一解． 3．（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【详解】如图，作于，，， 根据题意有，又，得到，所以， 故选：B. 4．（23-24高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，进而可求，可得结论. 【详解】由正弦定理，得，解得 ， 因为，所以 ， 又因为，所以或， 故此三角形有两解. 故选：C. 【题型03 余弦定理的应用--边角计算】 满分技法 应用余弦定理解答两类问题： 1.已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解. 2.已知两边和夹角，先应用余弦定理求出对边c，再应用余弦定理求角A，然后利用由求角B. 5．（贵州省遵义市2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，可得，即. 故选：B 6．（22-23高三上·河南濮阳·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果. 【详解】， ， ，． ，即． ，，即． 故选：D 【题型04正弦定理与余弦定理的综合运用】 满分技法 1.解三角形时，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． 2.边和角的求值问题，需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解还是两解. 7．（2024·全国·高考真题）在中,内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 8．（2025高三·全国·专题练习）在中内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 9．（2024·山东泰安·二模）已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值求角； （2）法一，根据两角和的正弦公式和正弦定理化简已知，可得，再结合余弦定理求解；法二：利用余弦定理化简已知得，再结合余弦定理求解. 【详解】（1），， ， ，， ，； （2）， 法一：， ， ， 根据正弦定理得， 由余弦定理得   ① 将代入①式，得， ，； 法二：由正弦定理、余弦定理可得， ， ， 由余弦定理得  ① 将代入①式，得， ，. 10．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其周长为．已知． (1)求角； (2)若，D是线段上一点，，且．求a． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）依题意可得，再由余弦定理计算可得； （2）依题意可得，再在中利用正弦定理得到，结合求出，即可求出，最后由正弦定理计算可得. 【详解】（1）由得， 整理得， 由余弦定理得， 又，故． （2）方法一：在中，，则， 则， 在中，由正弦定理得，， 即， 所以， 又，所以，则， 整理得， 所以，则，解得（负值已舍去）， 由正弦定理得，故． 方法二：由题意得，，，， 由正弦定理得，则，， 又因为，所以， 可得，即，所以（负值已舍去）． 方法三：由题意得，，，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 故，故， 在中，由余弦定理得 ． 【题型05判断三角形形状】 满分技法 1.判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 2.变换原则： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 11．（23-24高一下·江西·期中）在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，但不一定为锐角；若是锐角三角形可知满足，即可得出结论. 【详解】由是锐角三角形，得，从而， 故，即，即， 可得，即必要性成立； 反之，若“”可得，即， 可得，可知，但角可能为钝角，所以充分性不成立； 故选：B 12．（多选）（23-24高一下·河南·阶段练习）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（    ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 【答案】AC 【分析】根据正弦定理,余弦定理逐个进行边角互化即可. 【详解】对于A,由正弦定理得,所以,即,所以是等边三角形,故A正确； 对于B,由正弦定理得,又, 所以,所以或者,则或者, 则是等腰三角形或者直角三角形,故B错误； 对于C,由正弦定理得,当且仅当，即时等号成立, 所以,又,所以,即, 此时,是等腰直角三角形,故C正确； 对于D,因为, 所以或者,即A或者B为钝角,所以是钝角三角形,故D错误． 故选:AC． 13.（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理求得，根据题意和正弦定理可得，即可求解. 【详解】由，得， 而，又， 所以. ，由正弦定理得， 即，得， 所以或，得或（舍去）， 所以，即为等边三角形. 故选：B 【题型06三角形面积计算问题】 满分技法 1灵活选用正弦定理或余弦定理，确定所需边角； 2.注意应用整体代入思想，如ab,bc,ac等. 14．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）在中，角的对边分别为且若三角形的面积为且则 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换求得，根据三角形面积公式可得，由可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由正弦定理，得，又， 所以， 得，又， 所以，即，又，所以； 由，得， 由，得，所以， 由余弦定理，得， 由，解得. 故答案为：. 15．（北京市延庆区2022-2023学年高二下学期期末数学试卷）已知锐角中，，，． (1)求及的值； (2)求及面积. 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）利用正弦定理即可求出，即可求得，继而求得的值； （2）利用两角和的正弦公式即可求出，由正弦定理求得，继而由三角形面积公式求得面积. 【详解】（1）由题意知锐角中，，，， 则，故， 由于为锐角三角形，故； 则; （2）， 由，得， . 16．（23-24高一下·河南·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且 (1)证明：. (2)若外接圆的周长为，且，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用正弦定理化边为角，整理得，再利用化简成，再利用正弦定理即可证明； （2）由正弦定理和题设条件得到，代入可得，借助于（1）的结论，利用余弦定理求得，继而求得三角形面积. 【详解】（1）由题意可得， 根据正弦定理，得，即 因，所以， 则，再由正弦定理可得，证毕. （2）因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径， 由正弦定理，，所以. 故，由（1）知，故， 因为，所以， 所以的面积为 【题型07三角形周长计算问题】 满分技法 1灵活选用正弦定理或余弦定理，确定所需边角； 2.注意应用整体代入思想，如a+b,b+c,a+c等. 17．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若点为的中点，，，求的周长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）将已知等式由正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可求得角的大小； （2）由点为的中点，可得，两边平方化简后可求得，然后利用余弦定理可求出，从而可求得的周长． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 又，所以． （2）因为点为的中点，所以， 所以， 即， 解得或（舍）． 在中，由余弦定理得， 即，所以， 所以的周长． 18．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知的内角所对的边分别为,设向量,,且. (1)求角; (2)若,的面积为,求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可; （2）先根据三角形的面积公式求出,再利用正弦定理求出即可. 【详解】（1）因为,,且, 所以, 由正弦定理可得:，即, 由余弦定理得:，所以, 又,所以. （2）因为, 由三角形面积公式得:，解得, 所以为等腰三角形，所以, 又，即, 所以的周长为. 19．（2022·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 【题型08三角形中恒等式证明问题】 满分技法 1.一般先进行边角互化，再利用三角公式变形，然后证明（三角）恒等式 2.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子． (3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号． 20．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． 【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 21．（2020·全国·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出； （2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为，所以， 即， 解得，又， 所以； （2）因为，所以， 即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以， 故， 即是直角三角形． 22．（23-24高三上·山西·阶段练习）如图，在四边形中，. (1)证明：. (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）中，根据正弦定理，即可求解； （2）首先根据（1）的结果求，再在中，根据余弦定理求，根据和，求，即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以，解得， 所以，则. （2）由（1）知， 在中，由余弦定理得， 则. 在中，. 所以， 因为，所以， 所以， 故. 23．（23-24高一下·广东广州·期中）某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． (1)如图1，求的最小值； (2)如图2，证明：为定值； (3)如图3，证明：到的距离为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，由锐角三角函数与三角形的周长得到，从而表示出，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得； （2）设，，则，，从而可得，，，再通过的周长为，建立等式，再由两角和的正切公式求出，即可求出； （3）由三角形的面积公式得到，再将（2）中数据代入求出，即可得证. 【详解】（1）设，，则，， 的周长为， ， 所以， 又，， ， 当，即时，取得最小值，且的最小值为； （2）设，，， 则，， ，，， 的周长为， ， ， ， ，又，， ， ， ，为定值； （3）， ， ，， ， 又，， ， ， ， 由（2）知， ， ，即到的距离的定值为． 【题型09三角形边、周长、面积范围问题】 满分技法 与三角形有关的求最值或取值范围问题，先利用正、余弦定理理清三角形中量的关系，再将求最值或取值范围的量表达为某一变量的函数，转化为函数值域或最值问题，通常应用基本不等式、函数的有界性等． 24．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）在中，角的对边分别是,且. (1)证明：. (2)若，求的取值范围， 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）化切为弦，移项后运用和角公式，解三角方程即得； （2）由正弦定理将边表示为，再利用和角公式、二倍角公式化为，求出角范围，设，利用函数的单调性即可求得. 【详解】（1）因为，所以， 即，移项得，， 所以. 因为，，所以，即. （2）由正弦定理可得，则. 因为，， 故 则. 因为解得，所以. 设，则在上单调递增， 故，即的取值范围是. 25．（23-24高一下·安徽·阶段练习）锐角中，角所对的边分别为且． (1)证明:; (2)求的周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由两角和差以及正弦定理即可运算证明； （2）由正弦定理表示出，求出的范围，再结合三角函数性质即可得解. 【详解】（1）因为，， 则； （2）由，得， 故， 因为为锐角三角形，所以，即，所以， 则，所以周长的取值范围为. 26．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为已知． (1)证明:． (2)证明:． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）用余弦定理化简即可证明； （2）结合(1)根据正弦定理得到，三角恒等变换得到，根据范围得到证明； （3）由，根据锐角三角形确定，得到范围. 【详解】（1）由余弦定理结合， 可得， 化简得：，证毕； （2）由(1) 结合正弦定理可得：， 即， 即， 即， 因为，，故或(舍去)， 则，证毕. （3）由(2)可得， 因为为锐角三角形， 可得，即， 解得：，即有， 所以， 即的取值范围为 27．（2024高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求： (1)角C的最大值； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正、余弦定理及基本不等式计算即可； （2）先由切化弦，结合正、余弦定理将条件式化为与边的比值有关的函数，计算即可． 【详解】（1）由，得， 由余弦定理可得， 当且仅当，即时取得最小值，故，所以C的最大值为. （2） 由正、余弦定理可得， 由题意可得， 所以上式可化为， 易知，即， 故， 所以. 28．（23-24高一下·甘肃·期中）已知，，分别为三个内角A，，的对边，． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，利用三角恒等变换分析可得，即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理可得，，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 代入整理得， 且，则， 可得，整理得， 由可知，则，解得， 可知，所以． （2）因为，即， 由余弦定理可得，即， 所以， 由正弦定理可得， 则，， 则， 可得 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可知， 所以． 29．（23-24高一下·四川泸州·期中） 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在中，角，，所对的边分别为，，，且 ． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）选①时结合正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式化简即得，结合范围即得结果；选②，先利用二倍角公式化简求解，再利用诱导公式即得，结合范围即得结果；选③，先展开化简，结合正弦定理进行角化边，再利用余弦定理求得，结合范围即得结果. （2）由（1）及已知，利用正弦定理可得，再利用三角形面积公式及和差角的正弦化简，借助三角函数性质求出范围. 【详解】（1）选①，由正弦定理得， 即，即， 而，，则，又， 所以. 选②， ， 解得，，而， 所以. 选③，由， 得， 即，由正弦定理得， 由余弦定理知，而， 所以. （2）由（1）得，又，由正弦定理， 得，而，令， 由为锐角三角形，得，则，， 则的面积 所以面积的取值范围是. 【题型10 距离、高度、角度的测量问题】 满分技法 1.距离：(1)当两点A、B不相通，又不可视时，选取第三点C，测出AC、BC、∠ACB，用余弦定理求解； (2)当两点A、B间可视，但有一点B不可到达时，选取点C，测出∠CAB、∠ACB和AC，用正弦定理． (3)当两点A、B都不可到达时，选取对A、B可视的点C、D测出∠BCA、∠BDA、∠ACD、∠DBC和CD，用正弦定理和余弦定理求解． 2.测量高度的方法：对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解答，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解答．构造三角形的方法常见的有：(1)取经过建筑物底部O的基线上两点A、B与顶部P构成Rt△PAO，Rt△PBO.(2)取与建筑物PD垂直，经过建筑物底部D的地平面上两点A、B与顶部P，底部D构成三角形，通过测量仰角及∠ADB，AB求解． 3.航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤． 30．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】画出图形，由题意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由为等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】根据题意画出图形，如图所示： 由题意知，，，所以， 在中，由正弦定理得：解得， 又，，所以，， 又， 在中，由余弦定理得：， 解得，所以、两岛屿之间的距离为海里． 故选：D． 31．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）      【答案】 【分析】如图，由三角形的外角和可得，进而求出BD，设m，利用勾股定理求出DG，即可求出DC. 【详解】如图，设海宝塔塔底中心为点，与交于点， 过点作于点，则，    由题意知，m，m， 所以，则， 在中，m， 又是的外角，即有， 所以， 在中，m，设m，则m， 在中，由勾股定理得， 即，整理得，解得或（舍）， 所以m，所以m， 即海宝塔的高度为m. 故答案为： 32．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.    【答案】 【分析】设，利用三角函数分别表示,然后分别中利用余弦定理表示,因为,所以, 求出h即可 【详解】设 在中，，. 在中， ,, 在中，,. 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：, 因为, 所以， 即，. 故答案为： 33．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静） (1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？ (2)假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？ 【答案】(1) (2)航行方向为北偏东 【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解； （2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由（1）利用余弦定理得到方程解得对应的时间，再解得相应角，即可求解. 【详解】（1） 如图设小艇的速度为，时间为相遇，相遇点为C， 则由余弦定理得：， 即, 当时，取得最小值，此时速度， 此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为. （2）要用时最小，则首先速度最高，即为， 则由（1）可得：， 即，解得，此时相遇点为B， 此时，在中，，则， 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东，航行速度为，小艇能以最短时间与轮船相遇. 过关检测 1．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由得, 由于，所以，故， 故选：B 2．（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理得，，整理得， 所以是等腰三角形. 故选：A 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，用正余弦弦定理可得，因为，将换下，利用基本不等式，得出，所以A的最大值为. 【详解】，由正弦定理、余弦定理可得， 整理得到. 由余弦定理 = 当且仅当时等号成立. 因为，，所以A的最大值为. 故选：B. 4．（多选）（23-24高二下·陕西商洛·期中）的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理以及三角形的边角关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由正弦定理得，则，显然角不存在，A错误； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，所以，故唯一，为锐角，所以B正确， 对于C，由得，而，此时三角形显然不存在，C正确； 若，且符合条件的有两解，则,故，D正确， 故选：BCD． 5．（天津市南开区2023-2024学年高中学业水平合格性考试模拟考试数学试题）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得. 故答案为： 6．（23-24高一下·云南大理·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且，则角 ；若，则面积的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】利用两角和的正弦公式求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值. 【详解】因为，所以，即， 又，所以，则， 由余弦定理， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为． 故答案为：； 7．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理和面积公式可得，，再根据中线性质结合数量积的运算律分析求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由题意可知：，， 又因为，则，， 且，则，即， 整理可得，， 又因为为边上的中线，则， 可得， 所以. 8．（23-24高二下·重庆·期中）在中，所对的边分别为，且满足． (1)求; (2)点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和倍角公式可求答案； （2）利用直角三角形的知识得出为正三角形，结合面积公式可求答案. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得 因为，所以，则， 因为，所以， 又因为，所以; （2）在中，，可得， 又，可得，又，，可得为正三角形， 故面积为. 9．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得； （2）由等面积法得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得，即， 由，所以，化简得， 所以，所以. （2）由， 得， 即，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 10.（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解三角形 知识点1 ：正弦定理 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 2．变形结论 (1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (2)由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． (3)A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 知识点2：余弦定理 1.定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2.公式：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 3.变形：cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4.余弦定理和勾股定理的关系 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则 a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角； a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角 知识点3 ：三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． (4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长． 知识点4 ：正弦定理、余弦定理实际应用问题 解三角形中的常用术语 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)． (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角．北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3)．北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．南偏西等其他方向角类似． (4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡度，i＝tan θ)．坡度又称为坡比． 题型归纳 【题型01 正弦定理的应用--边角计算】 满分技法 1.已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． 2.已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意． 1．（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型02三角形解的个数问题】 满分技法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 2..在△ABC中，已知a，A，b，三角形解的个数如下： (1)A为锐角 ①a<bsin A，无解；②a＝bsin A或a≥b，一解；③bsin A<a<b，两解； (2)A为直角或钝角 ①a≤b，无解；②a>b，一解． 3．（23-24高一下·广西·阶段练习）在中，角所对的边分别为，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 【题型03 余弦定理的应用--边角计算】 满分技法 应用余弦定理解答两类问题： 1.已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解. 2.已知两边和夹角，先应用余弦定理求出对边c，再应用余弦定理求角A，然后利用由求角B. 5．（贵州省遵义市2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高三上·河南濮阳·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型04正弦定理与余弦定理的综合运用】 满分技法 1.解三角形时，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． 2.边和角的求值问题，需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解还是两解. 7．（2024·全国·高考真题）在中,内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）在中内角所对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山东泰安·二模）已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求的值. 10．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其周长为．已知． (1)求角； (2)若，D是线段上一点，，且．求a． 【题型05判断三角形形状】 满分技法 1.判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 2.变换原则： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 11．（23-24高一下·江西·期中）在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（多选）（23-24高一下·河南·阶段练习）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（    ） A．若,则是等边三角形 B．若,则是等腰三角形 C．若,则是等腰直角三角形 D．若,则是锐角三角形 13.（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【题型06三角形面积计算问题】 满分技法 1灵活选用正弦定理或余弦定理，确定所需边角； 2.注意应用整体代入思想，如ab,bc,ac等. 14．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）在中，角的对边分别为且若三角形的面积为且则 . 15．（北京市延庆区2022-2023学年高二下学期期末数学试卷）已知锐角中，，，． (1)求及的值； (2)求及面积. 16．（23-24高一下·河南·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且 (1)证明：. (2)若外接圆的周长为，且，求的面积. 【题型07三角形周长计算问题】 满分技法 1灵活选用正弦定理或余弦定理，确定所需边角； 2.注意应用整体代入思想，如a+b,b+c,a+c等. 17．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若点为的中点，，，求的周长． 18．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知的内角所对的边分别为,设向量,,且. (1)求角; (2)若,的面积为,求的周长. 19．（2022·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 【题型08三角形中恒等式证明问题】 满分技法 1.一般先进行边角互化，再利用三角公式变形，然后证明（三角）恒等式 2.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子． (3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号． 20．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 21．（2020·全国·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 22．（23-24高三上·山西·阶段练习）如图，在四边形中，. (1)证明：. (2)证明：. 23．（23-24高一下·广东广州·期中）某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题． (1)如图1，求的最小值； (2)如图2，证明：为定值； (3)如图3，证明：到的距离为定值． 【题型09三角形边、周长、面积范围问题】 满分技法 与三角形有关的求最值或取值范围问题，先利用正、余弦定理理清三角形中量的关系，再将求最值或取值范围的量表达为某一变量的函数，转化为函数值域或最值问题，通常应用基本不等式、函数的有界性等． 24．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）在中，角的对边分别是,且. (1)证明：. (2)若，求的取值范围， 25．（23-24高一下·安徽·阶段练习）锐角中，角所对的边分别为且． (1)证明:; (2)求的周长的取值范围． 26．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为已知． (1)证明:． (2)证明:． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 27．（2024高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求： (1)角C的最大值； (2)的取值范围． 28．（23-24高一下·甘肃·期中）已知，，分别为三个内角A，，的对边，． (1)求证：； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 29．（23-24高一下·四川泸州·期中） 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在中，角，，所对的边分别为，，，且 ． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围． 【题型10 距离、高度、角度的测量问题】 满分技法 1.距离：(1)当两点A、B不相通，又不可视时，选取第三点C，测出AC、BC、∠ACB，用余弦定理求解； (2)当两点A、B间可视，但有一点B不可到达时，选取点C，测出∠CAB、∠ACB和AC，用正弦定理． (3)当两点A、B都不可到达时，选取对A、B可视的点C、D测出∠BCA、∠BDA、∠ACD、∠DBC和CD，用正弦定理和余弦定理求解． 2.测量高度的方法：对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解答，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解答．构造三角形的方法常见的有：(1)取经过建筑物底部O的基线上两点A、B与顶部P构成Rt△PAO，Rt△PBO.(2)取与建筑物PD垂直，经过建筑物底部D的地平面上两点A、B与顶部P，底部D构成三角形，通过测量仰角及∠ADB，AB求解． 3.航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清所给的角，画出符合题意的图形，将所给距离和角度标在图中，然后分析可解的三角形及其与待求角问题的关系，确定解题步骤． 30．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 31．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）      32．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.    33．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静） (1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？ (2)假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？ 过关检测 1．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·陕西商洛·期中）的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的有（    ） A．若，，，则符合条件的只有一解 B．若，，，则符合条件的只有一解 C．若，，，则符合条件的无解 D．若，且符合条件的有二解，则的取值范围为 5．（天津市南开区2023-2024学年高中学业水平合格性考试模拟考试数学试题）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ． 6．（23-24高一下·云南大理·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，且，则角 ；若，则面积的最大值为 ． 7．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 8．（23-24高二下·重庆·期中）在中，所对的边分别为，且满足． (1)求; (2)点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积． 9．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 10.（2023·全国·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$