第11讲 直线的一般式方程（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第11讲 直线的一般式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握直线的一般式方程； 2．理解关于的二元一次方程（不同时为0)都表示直线； 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化； 4．能运用直线的一般式方程解决有关问题. 知识点 1 直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2、系数的几何意义 （1）当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． （2）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 知识点 2 直线的一般式方程与其他形式方程的互化 1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2、一般式化为斜截式的步骤 （1）移项得； （2）当时，得斜截式方程． 3、一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； （2）当，方程两边同时除以，得； （3）化为截距式方程：． 知识点 3 一般式方程的平行与垂直 1、平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 2、平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 考点一：直线一般式方程及辨析 例1．（23-24高二上·广东惠州·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示一条直线，则实数满足（    ） A． B． C． D．，， 【变式1-2】（23-24高二上·浙江金华·月考）（多选）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（    ） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 【变式1-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）（多选）已知直线（不同时为0），则（    ） A．当时，与轴垂直 B．当时，与轴重合 C．当时，过原点 D．当时，的倾斜角为锐角 考点二：一般式方程的图象判断 例2. （23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）（多选）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】（23-24高二上·新疆·期中）（多选）已知，直线经过第一、二、四象限，则（    ） A． B． C． D． 考点三：一般式下的平行问题 例3. （22-23高二上·广西河池·月考）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．不确定 D．重合 【变式3-1】（23-24高二上·河北石家庄·月考）若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 【变式3-2】（23-24高三上·江苏连云港·月考）“”是“直线：与：平行”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点四：一般式下的垂直问题 例4. （22-23高二·江苏·假期作业）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 【变式4-1】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【变式4-3】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 考点五：含参直线过定点问题 例5. （22-23高二上·山东菏泽·月考）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·甘肃白银·期中）直线经过定点A，则点A的横坐标与纵坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点六：直线的综合应用 例6. （23-24高二上·广东中山·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求经过点A且与直线BC平行的直线方程； (2)在中，求BC边上的高线所在的直线方程． 【变式6-1】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【变式6-2】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【变式6-3】（23-24高二上·重庆永川·月考）已知直线过点. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求当（为坐标原点）面积的最小值，直线的方程.. 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西·期中）若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．0 B．或0 C．0或 D． 3．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 4．（23-24高二上·河南焦作·月考）若直线经过第一、二、三象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高二上·福建泉州·月考）直线过点，且方向向量为，则（    ） A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为 C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为 6．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知直线，则（    ） A．恒过 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 8．（23-24高二上·青海西宁·月考）已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则直线l的斜率小于0 B．若，则直线l的倾斜角为 C．直线l可能经过坐标原点 D．若，则直线l的倾斜角为 三、填空题 9．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 10．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 . 11．（23-24高二上·北京西城·期末）过点且与直线平行的直线方程为 . 四、解答题 12．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 直线的一般式方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握直线的一般式方程； 2．理解关于的二元一次方程（不同时为0)都表示直线； 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化； 4．能运用直线的一般式方程解决有关问题. 知识点 1 直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2、系数的几何意义 （1）当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． （2）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程适用范围 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 知识点 2 直线的一般式方程与其他形式方程的互化 1、一般式方程的桥梁作用：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 2、一般式化为斜截式的步骤 （1）移项得； （2）当时，得斜截式方程． 3、一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； （2）当，方程两边同时除以，得； （3）化为截距式方程：． 知识点 3 一般式方程的平行与垂直 1、平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 2、平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 考点一：直线一般式方程及辨析 例1．（23-24高二上·广东惠州·月考）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率为， 即，因为，所以．故选：B． 【变式1-1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示一条直线，则实数满足（    ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【解析】因为方程表示一条直线， 所以，，不能同时成立，解得．故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·浙江金华·月考）（多选）已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（    ） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 【答案】AD 【解析】选项A，当时，是方程的解，即过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，直线的方程可化为， 则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误； 选项C，当时，由不全为0，， 直线的方程可化为， 故直线和轴垂直，不平行，故C错误； 选项D，直线过点，则， 可得，代入直线方程， 得，即，故D正确.故选：AD. 【变式1-3】（23-24高二上·贵州·开学考试）（多选）已知直线（不同时为0），则（    ） A．当时，与轴垂直 B．当时，与轴重合 C．当时，过原点 D．当时，的倾斜角为锐角 【答案】BC 【解析】对于A：当时直线（），即， 表示与轴平行（重合）的直线，故A错误； 对于B：当时直线，即，即与轴重合，故B正确； 对于C：当时直线，此时满足方程，即过原点，故C正确； 对于D：当时直线，即，斜率， 所以的倾斜角为钝角，故D错误；故选：BC 考点二：一般式方程的图象判断 例2. （23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，由经过第一，四，三象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对B，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对C，由经过第一，三，四象限，可知，， 由过第一，三，四象限知，，故本选项错误； 对D，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，四象限知，，故本选项正确；故选：D. 【变式2-1】（23-24高二上·山东枣庄·月考）（多选）若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由可知直线斜率， 直线在轴上的截距，满足条件的只有B， 所以不可能是ACD.故选：ACD 【变式2-2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）（多选）如果，那么直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【解析】因为，,所以所以， 令所以直线经过一三四象限.故选：ACD. 【变式2-3】（23-24高二上·新疆·期中）（多选）已知，直线经过第一、二、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】将直线l的方程转化为，因为l经过第一、二、四象限， 所以即，，. 对D，若，则，，满足题意，故D错误.故选：ABC. 考点三：一般式下的平行问题 例3. （22-23高二上·广西河池·月考）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．不确定 D．重合 【答案】C 【解析】当时，两直线重合， 当时，两直线平行， 所以题设两直线位置可能重合、平行.故选：C. 【变式3-1】（23-24高二上·河北石家庄·月考）若直线与平行，则 （    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【解析】直线与平行,所以,即，解得或， 当时，直线为；为，两直线不重合. 当时，直线为；为，两直线不重合. 所以或.故选：C 【变式3-2】（23-24高三上·江苏连云港·月考）“”是“直线：与：平行”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】时，直线：即，与直线：平行，充分性成立； 直线：与：平行，有，解得或， 其中时，两直线重合，舍去，故，必要性成立. “”是“直线：与：平行”的充要条件.故选：A. 【变式3-3】（23-24高二上·江苏扬州·月考）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令直线为，且过点， 所以，即，故直线的方程为.故选：C 考点四：一般式下的垂直问题 例4. （22-23高二·江苏·假期作业）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 【答案】B 【解析】与不能同时为0， ①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为，故两条直线垂直； ②当与中有一个为零时， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 故两条直线垂直．故选：B 【变式4-1】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：若，则，则直线，充分性满足； 必要性：若直线，则， 当时，不成立，则必要性不满足, 所以是直线的充分不必要条件.故选：A 【变式4-2】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与直线垂直， 则有，解得或，故选：A． 【变式4-3】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与直线垂直， 设直线的方程是 将代入直线中，，解得， 故直线的方程为.故选：D. 考点五：含参直线过定点问题 例5. （22-23高二上·山东菏泽·月考）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线方程转化为：， 令，解得，所以直线过定点，故选：A． 【变式5-1】（23-24高二上·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点.故选：C. 【变式5-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 代入直线方程中，得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点.故选：D 【变式5-3】（23-24高二上·甘肃白银·期中）直线经过定点A，则点A的横坐标与纵坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，得， 令得 所以点A的横坐标与纵坐标之和为．故选：B 考点六：直线的综合应用 例6. （23-24高二上·广东中山·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求经过点A且与直线BC平行的直线方程； (2)在中，求BC边上的高线所在的直线方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由的三个顶点的坐标分别为，，， 可得直线的斜率， 所以过点且与直线平行的直线方程为，即. （2）由直线的斜率，可得边上的高线斜率， 所以边上的高线方程为， 即边上的高线所在的直线方程为. 【变式6-1】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不过定点，证明见解析 【解析】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且， 方程表示的直线的斜率不存在，此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且， 方程表示的直线的斜率为，此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 【变式6-2】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得：， 即：，或， 即：直线的方程为或. 【变式6-3】（23-24高二上·重庆永川·月考）已知直线过点. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求当（为坐标原点）面积的最小值，直线的方程.. 【答案】(1)或；(2)的方程为 【解析】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点，可得， 所以所求直线方程为，即， 综上可得，所求直线方程为：或. （2）依题意，设点，直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当时等号成立， 所以，即的面积的最小值为12，此时的方程为. 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，设其倾斜角为， 则，故选：D. 2．（23-24高二上·陕西·期中）若直线：与直线：垂直，则实数的值为（    ） A．0 B．或0 C．0或 D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得或.故选：C 3．（23-24高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因为直线和平行， 所以，解得或； 当时，此时直线和平行，满足题意； 当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去. 综上所述：.故选：A. 4．（23-24高二上·河南焦作·月考）若直线经过第一、二、三象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】依题意，直线不垂直于坐标轴， 由，得，由，得， 因为直线经过第一、二、三象限， 则，且，即，且，有， 因此，所以，.故选：D 5．（23-24高二上·福建泉州·月考）直线过点，且方向向量为，则（    ） A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为 C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为 【答案】C 【解析】对于A中，由直线的方向向量为，可得直线的斜率为， 又由直线过点，所以直线的点斜式方程为，所以A错误； 对于B中，由，可得直线的斜截式方程为，所以B错误； 对于C中，由，可得直线的截距式方程为，所以C正确； 对于D中，由，可得直线的一般式方程为，所以D错误.故选：C. 6．（23-24高二上·广东肇庆·期末）直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线l：的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即，故选：C 二、多选题 7．（23-24高二上·浙江金华·月考）已知直线，则（    ） A．恒过 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 【答案】BD 【解析】A:对于直线可化为：， 令，解得：，直线恒过定点.故A错误; B: ，，解得：，此时也不重合，故B正确； C：，，解得：，故C错误； D：当时，即不经过第三象限，故D正确.故选:BD. 8．（23-24高二上·青海西宁·月考）已知直线l的方程为，则下列判断正确的是（    ） A．若，则直线l的斜率小于0 B．若，则直线l的倾斜角为 C．直线l可能经过坐标原点 D．若，则直线l的倾斜角为 【答案】ABD 【解析】对于A选项，若，则直线l的斜率，故A正确； 对于B选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故B正确； 对于C选项，将代入中，显然不成立，故C错误； 对于D选项，若，则直线l的方程为，其倾斜角为，故D正确.故选：ABD. 三、填空题 9．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 【答案】 【解析】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点． 故答案为：． 10．（23-24高二上·北京·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【解析】由题可设所求直线方程为， 代入点，可得，即， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·北京西城·期末）过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【解析】由题意，与直线平行的直线的斜率为，直线过点， ∴过点且与直线平行的直线方程为：，即：. 故答案为：. 四、解答题 12．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意， 此时则，解得， ②若直线不过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等， 则斜率为，解得. 因此所求直线的方程为或 （2）若，则解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 当时，直线：，直线：，满足题意； 因此所求直线： 13．（22-23高二上·云南临沧·月考）已知直线. (1)若直线不经过第三象限，求的取值范围； (2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程. 【答案】(1)；(2)最小值为4，直线的方程为. 【解析】（1）直线可化为， 要使直线不经过第三象限，则，解得， 的取值范围为. （2）由题意可得中，取，得， 取，得， ， 当且仅当时，即时，取“=”， 此时的最小值为4，直线的方程为. ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$