预习03讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习03讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（精讲+精练） ①直线的方向向量和平面的法向量 ②利用空间向量证线面平行 ③利用空间向量证面面平行 ④利用空间向量证线面垂直 ⑤利用空间向量证面面垂直 一、用向量表示点、直线、平面的位置 1.用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2.直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3.空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4.用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 二、平面的法向量及其应用 1.平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2.平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 三、空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 四、空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ ①直线的方向向量和平面的法向量 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东东莞·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B．2 C．6 D． 5．（23-24高二上·海南·期中）已知平面平面，，的一个法向量分别为，，直线的方向向量为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． ②利用空间向量证线面平行 策略方法 利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   二、解答题 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 5．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. ③利用空间向量证面面平行 策略方法 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）平面的法向量为，平面的法向量为，，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知平面为平面的一个法向量，则下列向量是平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（22-23高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． ④利用空间向量证线面垂直 策略方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 二、解答题 4．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 5．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 6．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： ⑤利用空间向量证面面垂直 策略方法 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（    ） A．4 B． C．10 D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）两平面的法向量分别为，若，则的值是（    ） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 二、解答题 3．（2023高三·全国·专题练习）在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面； 4．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱的中点．证明：    (1)平面； (2)平面⊥平面． 5．（2023·上海静安·二模）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若. (1)求五面体ABCDEF的体积； (2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD. 6．（2023高二·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 7．（2023高二·全国·专题练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，． 证明：平面平面. 8．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，? 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习03讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（精讲+精练） ①直线的方向向量和平面的法向量 ②利用空间向量证线面平行 ③利用空间向量证面面平行 ④利用空间向量证线面垂直 ⑤利用空间向量证面面垂直 一、用向量表示点、直线、平面的位置 1.用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2.直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3.空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4.用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 二、平面的法向量及其应用 1.平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2.平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 三、空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 四、空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ ①直线的方向向量和平面的法向量 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·青海海东·阶段练习）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏·单元测试）已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解. 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，结合空间向量数量积的坐标运算求解. 【详解】若，则， 可得，解得. 故选：D. 4．（23-24高二上·广东东莞·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】由平面垂直得法向量数量积为0，即可求解. 【详解】由题意，所以，解得. 故选：A. 5．（23-24高二上·海南·期中）已知平面平面，，的一个法向量分别为，，直线的方向向量为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示，求出并逐项判断即可. 【详解】依题意，，则，解得， 因此，，，，ACD正确，B错误. 故选：B ②利用空间向量证线面平行 策略方法 利用空间向量证明平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）已知平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．l与斜交 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，即可得到答案. 【详解】由平面外的直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 可得，所以，则. 故选：C. 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知（，）是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 则， 所以，整理得：. 故选：A. 3．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量，   ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C 二、解答题 4．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而证得，进而得证. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则 ∵分别是的中点 ∴ 则 显然平面的一个法向量为， 所以，则， 又面 ，所以平面. 5．（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【详解】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 6．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，且点分别为和的中点， 求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合，即可证得平面. 【详解】以为原点，分别以所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，， 又因为分别为和的中点，可得， 又由向量为平面的一个法向量，且, 由此可得，又因为直线平面，所以平面. ③利用空间向量证面面平行 策略方法 面面平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）平面的法向量为，平面的法向量为，，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据，由两个平面的法向量平行列式得解. 【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，解得. 故选：C 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知平面为平面的一个法向量，则下列向量是平面的一个法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用面面平行可得两个平面的法向量平行判断即可. 【详解】因为，设平面的法向量为， 所以，即， 对于A项，，故A项不成立； 对于B项，，故B项不成立； 对于C项，，故C项不成立； 对于D项， ，故D项成立. 故选：D. 二、解答题 3．（22-23高二上·湖南株洲·期中）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． ④利用空间向量证线面垂直 策略方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期中）设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量平行，从而可求出的值. 【详解】因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行， 即，解得. 故选：A. 2．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线平面，从而可知，设从而进行计算求解，即可得到答案. 【详解】由题意知直线平面，所以，因为，则设，所以， 又因为是单位向量，所以，解得， 所以，故B正确. 故选：B. 3．（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断的值即可. 【详解】设正方体的棱长为， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误； 对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确；    对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确； 对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误； 故选：D. 二、解答题 4．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD． 【答案】证明见解析 【分析】注意到此题中易于建系，可以考虑通过证明与平面的法向量共线推得结论平面PCD. 【详解】 如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形，故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则, , 于是，不妨设平面PCD的法向量为， 则有令，故可取， 因，则平面PCD. 5．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出的坐标，计算得出，即可得出证明； （2）求出的坐标，根据空间向量的数量积运算，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，，，， 则，， ， ，即. （2）当时，，，， 则，， 所以 . 故：. 6．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥 中，平面，，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，求证： 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解； 【详解】以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则由题意得，，，， ， ， ∴，即：， ∴． ⑤利用空间向量证面面垂直 策略方法 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（    ） A．4 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标表示列方程求解可得. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C 2．（23-24高二上·全国·课后作业）两平面的法向量分别为，若，则的值是（    ） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 【答案】B 【分析】由，可得，则，从而可求得结果. 【详解】因为两平面的法向量分别为，且， 所以，所以， 故选：B 二、解答题 3．（2023高三·全国·专题练习）在正方体中，如图、分别是，的中点．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可. 【详解】证明：设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 所以，所以， 则平面平面． 4．（22-23高二上·新疆昌吉·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱的中点．证明：    (1)平面； (2)平面⊥平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可以点为原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由，即可证明； （2）求出平面的一个法向量，由即可证明. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 依题意，以点为原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的法向量，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得，所以， 又， 所以，所以平面⊥平面． 5．（2023·上海静安·二模）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，，若. (1)求五面体ABCDEF的体积； (2)若M为EC的中点，求证：平面平面AMD. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取AD中点N，连接EN，，易证得EN⊥平面ABCD，五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积，分别求出棱柱的体积和棱锥的体积即可得出答案. （2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系.由垂直向量的坐标运算可证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明；证法2：由题意证得，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）因为，取AD中点N，连接EN，， 因为，所以， 又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，， 所以EN⊥平面ABCD，又因为，即，， 平面，所以平面， 所以为底面是等腰直角三角形的直棱柱， 高等于1，三棱锥是高等于1底面是等腰直角三角形. 五面体的体积棱柱的体积棱锥的体积. 即： （2）证法1：以A为坐标原点，以，，为轴正半轴建立空间直角坐标系. 点，，，， 所以 得到： 所以，，平面AMD， 所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD. 证法2：因为，所以为等腰三角形，M为EC的中点，所以； 同理在中，，（N为AD中点）又AM、MN平面AMD， ，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE， 平面⊥平面AMD. 6．（2023高二·全国·专题练习）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直. 【详解】证明：取的中点，连接，    在正三棱柱中，不妨设; 以为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则,， ； 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，即； 设平面的一个法向量为， 则，取，得，，即. 因为，所以平面平面； 7．（2023高二·全国·专题练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，． 证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量是，结合得到和共线，所以平面，从而得到面面垂直. 【详解】证明：因为底面是边长为1的菱形，， 所以⊥， 如图以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 所以， 平面的一个法向量是， 所以和共线，所以平面， 又因为平面，故平面平面． 8．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，? 【答案】(1)证明见解析 (2)为的三等分点（靠近点） 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，结合空间向量的坐标运算可得轴，进而得到平面，进而求证； （2）设，结合空间向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】（1）证明：如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.    设. . ， 轴，又轴和平面垂直， 平面， 又平面， 平面平面. （2）由，结合（1）可知，. 设，则，故点的坐标为， ， 由， 即，解得. 故当为的三等分点（靠近点）时，有. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$