专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 1．（2024·四川达州·一模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N.若，则b的值为（    ） A． B．3或 C． D．或3 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 3．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； (2)设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 1．（2024·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图像经过点，，，且，则m的值为（    ） A．3或 B．或 C．3 D． 2．（2024·山东泰安·三模）将抛物线先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点，则新抛物线与y轴交点的坐标 ． 3．（2024·江苏南京·一模） 已知二次函数 （m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 1．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知关于x的方程的两个根分别是，若点A是二次函数的图象与y轴的交点，过A作轴交抛物线于另一交点B，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 2．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连结，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则 ． 3．（2023·浙江衢州·模拟预测）抛物线（，，为常数，）经过，两点． (1)当时，求抛物线的表达式． (2)求一元二次方程的根． (3)求证：． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）下表是二次函数的，的部分对应值： 则对于该函数的性质的判断： ①该二次函数有最大值； ②不等式的解集是或； ③方程的两个实数根分别位于和之间； ④当时，函数值随的增大而增大． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只能取一个值使方程成立，则的值是 . 3．（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)点、在函数图象上， （填、、）； (3)当时，x的取值范围是 ； (4)关于x的一元二次方程的解为 ； (5)求二次函数解析式． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 1．（2024·甘肃·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 2．（2024·吉林长春·一模）若函数和（a为常数）的图象恰好有一个公共点、则a的值为 ． 3．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 2．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）已知抛物线（，，是常数，）经过点，其中．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根是小于的正数；③当时，随的增大而增大．其中正确的结论是 ．（填写序号） 3．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题． (1)求方程的解； (2)如果方程无实数根，求的取值范围． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 1．（2022·江苏无锡·二模）已知二次函数的图像与x轴分别交于A、B两点，图像的顶点为C，若，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 1．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是 ． 3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 1．如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，下列说法正确的是（　　） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．抛物线与x轴的两个交点间的距离大于3 2．已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线（为常数）经过点，当时，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 4．抛物线与x轴的一个交点为，，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，y随x的增大而增大 C． D．方程一定有两个不相等的实数根 5．二次函数，线段中，，，将线段向下平移个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若抛物线与直线有两个公共点，则的取值范围为 ． 7．若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为 个． 8．二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 ． 9．在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为 ； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ． 10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的有 个 ①抛物线的对称轴为直线 ②抛物线的顶点坐标为 ③，两点之间的距离为5 ④当时，的值随值的增大而增大 11．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 12．二次函数（a，b是实数，且），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m k n … (1)① 解关于x的方程：； ② 若，求a的取值范围． (2)若，当时，设二次函数的最大值为A，最小值为 B．若，求t的取值范围． 13．在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上． (1)写出该函数图象的对称轴； (2)已知点． ①若函数图象恰好经过点，求的值； ②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 14．已知抛物线 (1)当 时，求抛物线与x轴的交点坐标； (2)已知点，，连接，若抛物线与线段只有一个公共点，求m的取值范围． 15．已知二次函数（a为常数，）． (1)该函数图象的对称轴是直线________； (2)若，当时，求函数值y的取值范围； (3)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 求抛物线与x轴的交点坐标 题型二 求抛物线与y轴的交点坐标 题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值 题型四 图象法确定一元二次方程的近似根 题型五 抛物线与x轴的交点问题 题型六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型七 求x轴与抛物线的截线长 题型八 直线与抛物线相切情况的问题 题型九 二次函数与一元二次方程问题综合 【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】 （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【经典例题一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）已知二次函数，该二次函数的对称轴为，函数图象与轴其中一个交点为，若一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，先根据二次函数，该二次函数的对称轴为，求出，根据函数图象与轴其中一个交点为，求出，令新的二次函数解析式为：，求出当时，，当时，，根据一元二次方程在范围内只有一个解，得出当时和当时，y的值异号，求出，然后验证当时， 当时，是否符合题意，最后验证当一元二次方程，即只有一个解时，k的值是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，该二次函数的对称轴为， ∴， 解得：， ∵函数图象与轴其中一个交点为， ∴， 解得：， 令新的二次函数解析式为：， 把，代入得：， 当时，， 当时，， ∵一元二次方程在范围内只有一个解， ∴当时和当时，y的值异号， ∴， 解得：， 当，方程的解为或，不符合题意； 当，方程的解为或，在范围内只有一个解，符合题意； 当一元二次方程，即只有一个解时， ， 解得：， 且当时，方程的解为，在范围内； 综上分析可知：一元二次方程在范围内只有一个解，则的取值范围是或． 故选：C． 1．（2024·四川达州·一模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N.若，则b的值为（    ） A． B．3或 C． D．或3 【答案】D 【分析】先求出函数与x轴交于，与y轴交于点，再将代入中得出，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，得到，结合得出，代入即可得到答案． 【详解】解：在函数中， 当时，， 当时，，解得：， 函数与x轴交于，与y轴交于点， 其轴点函数经过点， ，； ，即， 其轴点函数与x轴的另一交点为， ，即， ， ， ， ， ， 当时，， 当时， 或3， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、二次函数与坐标轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系等知识点，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点， ∴分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解； ①当二次函数的图象与轴有1个公共点时，， 解得； ②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，， ∴，与轴有2个公共点，为或， 综上所述，b的值为或0， 故答案为：或0． 3．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； (2)设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，则，根据，作答即可； （2）令，则，即，由，可得，由的面积与的面积相等，可得，即或，计算求解即可． 【详解】（1）证明：令，则， ∴， ∴该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）解：令，则，即， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，即或， 解得或， ∴或． 【经典例题二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例2】（23-24九年级下·江西赣州·期中）如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（    ） A． B．该抛物线必过点 C．当时，y随x增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，对称性，与y轴的交点问题，增减性问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 由图象得抛物线与y轴交于可判断A选项；由对称轴及可求抛物线必过点；由对称轴及开口方向可判断C选项；由对称轴及抛物线过点，可求与x轴另一交点为，再由开口方向即可判断D选项． 【详解】解：由图象得抛物线与y轴交于代入得，故本选项不符合题意； B、∵对称轴为直线，设关于对称轴的对称点为，则，解得，∴对称点为，故本选项不符合题意； C、∵对称轴为直线，且开口向上，∴当时，y随x增大而减小，，故本选项不符合题意； D、由抛物线过点，对称轴为直线，则与x轴另一交点为，且开口向上，∴当时，，故本选项符合题意． 故选：D． 1．（2024·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图像经过点，，，且，则m的值为（    ） A．3或 B．或 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；先将代入求得或，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：将代入 ∴ 解得：或， ∵对称轴为直线 当时，对称轴为直线， ∵，当时，随的增大而减小， ∵图像经过点，，， ∴，故不符合题意； 当时，对称轴为直线， ∵图像经过点，，， ∵， ∴，符合题意； 综上所述， 故选：C． 2．（2024·山东泰安·三模）将抛物线先向下平移3个单位再向右平移m个单位，所得新抛物线经过点，则新抛物线与y轴交点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键． 设平移后新抛物线的表达式为，把点代入，即可确定函数关系式，再将代入函数关系式求解，即可． 【详解】设平移后新抛物线的表达式为， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得：，， ∴新抛物线的表达式为：，或， 将代入， 得：； 将代入， 得：， ∴与y轴的交点坐标为，或． 故答案为：或． 3．（2024·江苏南京·一模） 已知二次函数 （m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴，与y轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式． （1）令，即可把二次函数化为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）先求出二次函数与y轴的交点坐标为，则当时，，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：令，则 ∴ ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）∵二次函数的解析式为， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， ∵当时，， ∴当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 【经典例题三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，得；当时，得：， ∴，， ∴， ∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为， 当时，， 解得：或， ∴点， ∵为锐角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 1．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知关于x的方程的两个根分别是，若点A是二次函数的图象与y轴的交点，过A作轴交抛物线于另一交点B，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点． 把解代入方程中，即可求得b，c的值，从而得到二次函数解析式，令得到点A的坐标，由轴与点B在二次函数图象上得到点B的坐标，从而可求得的长． 【详解】∵方程的两个根分别是， ∴， 解得， ∴二次函数为， 令，则， ∴二次函数为的图象与y轴的交点A的坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴． 2．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连结，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，平行线的性质，轴对称的性质，等角对等边，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，令代入得，，则，，过作轴，为垂足，则，而轴，则，又点关于直线的对称点恰好落在线段上，则，即，故，即可求得，把点的坐标代入，即可求解，用勾股定理求出的长度是解题的关键． 【详解】解：令代入得，，， ∴， ∴， 过作轴，为垂足，则， ∵轴， ∴， 又点关于直线的对称点恰好落在线段上， ∴， 即， ∴， 则， ∴， 把代入得，， 解得， 故答案为：． 3．（2023·浙江衢州·模拟预测）抛物线（，，为常数，）经过，两点． (1)当时，求抛物线的表达式． (2)求一元二次方程的根． (3)求证：． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴交点的坐标是它所对应一元二次方程的两个根，关键是利用一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式的应用，熟练运用是关键． （1）由，根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可； （2）根据已知可得两根是2和，由一元二次方程根与系数的关系，可得，进而化简方程求解即可； （3）根据已知可得两根是2和，由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据的范围得证． 【详解】（1）解：中， ， ，，为常数，经过，， 的两个根为：2和， ，， 解得：，， 抛物线的表达式为：； （2）解：，，为常数，经过，， 的两个根为：2和， ， ， 当时，则， ， ， ， 解得：，； （3）证明：，，为常数，经过，， 的两个根为：2和， ， ， ， ， ． 【经典例题四 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例4】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）下表是二次函数的，的部分对应值： 则对于该函数的性质的判断： ①该二次函数有最大值； ②不等式的解集是或； ③方程的两个实数根分别位于和之间； ④当时，函数值随的增大而增大． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，由图表可得二次函数的对称轴为直线，，即可判断①④不正确，由图表可直接判断②③正确． 【详解】当时，；当时，； 当，；当，； 二次函数的对称轴为直线， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小． 即二次函数有最小值 则①④错误 由图表可得：不等式的解集是或； 由图表可得：方程的两个实数根分别位于和之间；则②③正确． 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内只能取一个值使方程成立，则的值是 . 【答案】7或 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解，的解看作看作是函数与函数的交点问题，分以上两种情况即可求解．本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与一次函数图象交点，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解决本题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程即为， 当方程由两个相等的实数根时，， 解得， 此时 解得， ∵关于的一元二次方程为实数）在的范围内只能取一个值使方程成立， ∴符合题意； 把的解看作看作是函数与函数的交点的横坐标，如图，    可知，当时，， 即交点为时满足题意，此时，解得， 故答案为：7或． 3．（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)点、在函数图象上， （填、、）； (3)当时，x的取值范围是 ； (4)关于x的一元二次方程的解为 ； (5)求二次函数解析式． 【答案】(1)向上；；5 (2) (3) (4)或4 (5) 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）由表格可见，函数的对称轴为x=1对称轴右侧，y随x的增大而增大，故可求出开口方向与顶点坐标，再根据对称性求出m ； （2）根据点Q离函数的对称轴近，即可判断y的大小； （3）根据表格的特点及二次函数的性质即可判断； （4）根据表格可得或4时，，即可求解； （5）根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由表格可见，函数的对称轴为，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上， 顶点坐标为，根据函数的对称性m=5； 故答案为：向上；；5； （2）解：从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故； 故答案为：； （3）解：从表格看，当时，x的取值范围是：， 故答案为：； （4）解：从表格看，关于x的一元二次方程的解为：或4， 故答案为：或4； （5）解：∵二次函数经过点，，，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【经典例题五 抛物线与x轴的交点问题】 【例5】（2024·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，由题意得出，且，结合为正整数，得出，从而得出二次函数为，再结合二次函数的性质分两种情况讨论：当时；当时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：，且， ∵为正整数， ∴， ∴二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，， ∵当时，对应函数值的取值范围是， ∴， ∴当时，函数在上随着的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，当时，取到最小值，为，即， 解得：（符合题意）； 故选：B． 1．（2024·甘肃·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与轴交于点，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与轴交于点， 将，代入，则， ， ∴原方程为 解得：或； 故选：B． 2．（2024·吉林长春·一模）若函数和（a为常数）的图象恰好有一个公共点、则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和根的判别式，根据函数和 (a为常数)的图象恰好有一个公共点得出方程的求出a即可，能根据题意得出 是解此题的关键． 【详解】解：∵函数 和(a为常数)的图象恰好有一个公共点， ∴令 即 解得： 故答案为：． 3．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查抛物线图像和性质，化成顶点式、求与轴对称轴交点，采用数形结合的方式是解题关键． （1）将抛物线整理成顶点式，对称轴可求； （2）令，得到抛物线与轴的两个交点为，可求，要满足题意则； （3）结合抛物线的对称轴可知点一定位于对称轴的右侧，则对称点为，要保证对称点为，结合对于时，都有列方程组即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为， （2）由（1）可得，抛物线的顶点坐标为， 令，得到或， ∴抛物线与轴的两个交点为， ， 若点中至少有一个点位于轴的上方 只需； （3）∵抛物线的对称轴为， ∴点一定位于对称轴的右侧， 它的对称点为， 又∵对于时，都有， ∴， 解得． 【经典例题六 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例6】（2024·湖南·三模）如图，二次函数（）的图像与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．下面结论：①； ②； ③；④方程（）必有一个根大于且小于0．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与轴的交点坐标等知识，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．由函数图像可确定，，，即可判断结论①；由，易得，即可判断结论②；由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，结合对称轴为直线，可得函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，故方程（）必有一个根大于且小于0，即可判断结论④；由函数图像与轴的另一个交点在点和点之间，可知当时，，即可判断结论③． 【详解】解：由函数图像可知，该函数图像开口向下， ∴， ∵该函数图像的对称轴为直线， ∴可有， ∴， ∵该函数图像与轴的交点在轴的正半轴上， ∴当时，可有， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； 由图像可知，函数图像与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴为直线， ∴函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴方程（）必有一个根大于且小于0，故结论④正确； ∵函数图像与轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，， ∵， ∴，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②④，共计3个． 故选：C． 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．（m为任意实数） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线对称轴即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D． 【详解】解：A．∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项不符合题意； B．∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵对称轴为直线，， ∴， ∴当时， 原题结论错误，故此选项符合题意； D．当时，为最小值， ∴， ∴， ∴， 原题结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）已知抛物线（，，是常数，）经过点，其中．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根是小于的正数；③当时，随的增大而增大．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，将点坐标代入抛物线解析式可得，根据即可判断；根据根和系数的关系即可判断；抛物线对称轴，即可判断． 【详解】解：将点坐标代入抛物线解析式得， ， ∵， ∴，故结论正确； ②令，则， 则两根之和，两根之积， ∴均大于， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线与轴有个交点在到之间， 即有个根在到之间，故正确； ，，把其中替换成，，即 ， ， ∴抛物线的对称轴，结论③错误 故答案为：①②． 3．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）已知的图象如图所示，根据图象回答下列问题． (1)求方程的解； (2)如果方程无实数根，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据函数图象与轴的交点坐标即可求解； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：观察函数图象可知，图象与轴的交点坐标为，，与轴的交点坐标为， 将方程变形为， 由图象可知方程的解为，， ∴方程的解为，； （2）解：若方程无实数根， 则由图象可得， ∴． 【经典例题七 求x轴与抛物线的截线长】 【例7】（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 1．（2022·江苏无锡·二模）已知二次函数的图像与x轴分别交于A、B两点，图像的顶点为C，若，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求得AB的长，且求得顶点C的坐标，根据抛物线的对称性，△ABC是等腰直角三角形，则顶点C到x轴的距离等于AB的一半，即可求得a的值． 【详解】令， 解得：，（）， 则， ∵， ∴顶点C的坐标为， ∵A、B两点关于抛物线的对称轴对称，且， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴顶点C到x轴的距离等于AB的一半， 即， 解得：a=3或a=4（舍去）， 经检验是方程的解且符合题意， 即a=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质等知识，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半建立方程是解题的关键． 2．（2024·福建厦门·二模）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程求出，，，坐标． 根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据正方形得到列出关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点为点， ， 抛物线与轴分别交于点，（点在点左侧）， ，抛物线开口向上， 当时，， 整理得：， 解得， 点在点左侧， ，， ， 抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， 则， ， 经检验，是方程的解，也符合题意， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点． (1)若，请求出函数解析式； (2)设直线与该抛物线的交点为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可得，列方程，即可解答； （2）列方程，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式得到，结合，即可解答． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴只有一个交点， 方程有两个相同的解， 根据，可得， 可得， ， ， 二次函数解析式为； （2）解：根据题意可列方程， 设点的横坐标为， 可得，， 根据完全平方公式，可得， （1）中得到， ， ． 【经典例题八 直线与抛物线相切情况的问题】 【例8】（2024·山东临沂·一模）函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点． A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可判断①；根据对称轴和开口即可判断②；由函数与轴的交点是，即可判断③；求出函数的解析式得出其顶点坐标即可判断④； 【详解】解：由图象可得：二次函数的对称轴为：， ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴ ∵函数与轴的交点是， ∴函数与轴的交点是， ∴，故③错误； ∴，故②正确； 设函数，将点代入可得： ，解得： ∴ ∴函数的顶点坐标为，翻折后为 ∴将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点，故④正确； 故选：D 1．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定m的取值． 【详解】解：如图： 令，则 解得或， ∴， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于时，此时过点， ∴，即． ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴， 即有两个相等实根， ∴， 即． 若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是, 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想求解是解答的关键．先求得原二次函数与x轴的交点坐标，求得直线过临界点A、B时的b值，再求得翻折后的二次函数的图像与直线相切时的b值，利用图像即可得出b的取值范围． 【详解】解：如图，令，由得，， ∴，， 将点A代入得， 将点B代入得， 将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后的表达式为， 由得， 由得， 根据图像，当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是或， 故答案为：或． 3．（2024·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【答案】(1)①直线解析式为；抛物线解析式为；②或 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图像法解不等式，以及图象法判断方程的根，数形结合是解答本题的关键． （1）①先用待定系数法求出抛物线解析式，再求直线的解析式； ②根据图象写出答案即可； （2）求出直线过点A时n的值和与抛物线相切时n的值即可求解． 【详解】（1）解：①把，分别代入可得， ，解得， 则抛物线的解析式为． 把，分别代入可得， ，解得， 则直线的解析式为． ②不等式的解集为或； （2）解：设抛物线与轴交于P，Q两点，令， 解得：，， 故P，Q两点的坐标分别为，． 如图，当直线，经过点时，可得； 当直线经过点时，可得， 的取值范围为， 翻折后的二次函数解析式为． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 的取值范围为：， 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 【经典例题九 二次函数与一元二次方程问题综合】 【例9】（2024·四川南充·三模）在平面直角坐标系中有两点、，若二次函数的图象与线段只有一个交点，则（　　） A．a的值可以是 B．a的值可以是 C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键． 先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线相交时a的取值范围．然后分别计算函数与A，B相交时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a的取值范围综合分析即可得出a的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可． 【详解】由二次函数的对称轴可知，是该函数的对称轴， 当函数与直线相交时，有解， 整理得， 根据根的判别式， 解得或， 因为， 所以或，且时，二次函数与有唯一的交点． 若函数与B点相交时，将代入得， 解得，则此时如下图： 函数恰好与线段有两个交点，所以根据图象，当时抛物线与线段只有一个交点，解得； 若函数与A点相交时，把代入得， 解得， 则此时如下图： 函数恰好与线段有一个交点，根据图象当时，抛物线与线段也只有一个交点， 解得． 综上所述或或， A． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； B． 因为，所以a的值不可以是，故该选项不符合题意； C． 因为，所以a的值不可能是，正确，故该选项不符合题意； D． 因为，所以 a的值可能是1，故该选项不符合题意； 故选：C． 1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点，，且若，当时，，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，结合，判定两点是对称点，故对应函数值相等，判定①正确；根据二次函数得到抛物线的对称轴，当时，；当时，；当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，结合y的整数值有4个，得到，得到；可以判断②正确；根据抛物线与x轴交于不同两点，，得出，从而判定不成立，判定③不正确，解答即可． 本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数与方程的关系，将交点，线段长度转化为方程和不等式是求解本题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴两点是对称点，故对应函数值相等， ∴①正确； ∵二次函数得到抛物线的对称轴为直线：，当时，；当时，； 当时，，y随x得增大而增大，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； 当时，，y随x得增大而减小，故对应的y的取值范围是，∵y的整数值有4个， ∴， ∴； ∴②正确； ∵抛物线与x轴交于不同两点，， ∴不成立， ∴③不正确， 故选A． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线的对称轴为，经过点，顶点为P，下列四个结论：①若，则；②若c与n异号，则抛物线与x轴有两个不同的交点；③方程一定有两个不相等的实数解；④设抛物线交y轴于点C，不论a为何值，直线始终过定点其中正确的是 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得，，与的关系，从而判断①，由一元二次方程根与系数的关系判断②③，用含和代数式表示直线，将代入解析式求解可判断④． 【详解】解：的对称轴为， ， ， 抛物线经过， ，即，， 若，则， ，①正确． ， ， ， 与异号， ， 抛物线与轴有2个不同交点，②正确． ， ， 方程中， ， 时，，方程有两个相同实数解，③错误． 抛物线对称轴为直线， 把代入得， 抛物线顶点坐标为， 把代入得， 点坐标为， 设解析式为，把，代入得， 解得， ， 把代入得， 直线经过，④正确． 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 3．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 1．如图，抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，下列说法正确的是（　　） A． B． C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．抛物线与x轴的两个交点间的距离大于3 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质并数形结合逐项进行分析即可． 【详解】解：因为抛物线开口向下，所以， 因为与x轴的一个交点A在点和之间，所以抛物线与x轴的另一个交点在和之间，所以， 所以，所以A错误，不符合题意， 因为二次函数的图象与x轴有两个交点，所以，则 ∴B错误，不符合题意； 由顶点坐标及图象知，当时，y随x的增大而减小，所以C正确，符合题意， 因为与x轴的一个交点A在点和之间，所以抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的两个交点间的距离不大于3，所以D错误，不符合题意， 故选：C． 2．已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别，，而的两根为，则、、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，依题意画出函数和的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解． 【详解】解：依题意，画出函的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向下，与x轴两个交点的横坐标分别为， 方程的两根是抛物线与直线的两个交点． 由，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N． 由图象可知，， 故选：C． 3．已知抛物线（为常数）经过点，当时，则m的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点问题，先求出b的大小，令，则有即，此时方程两根为s、t，得到，表示出，得出结果即可． 【详解】解：∵点在抛物线图象上， ， 令，则有即，此时方程两根为s、t， ， ， 解得：， 故选：D． 4．抛物线与x轴的一个交点为，，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，y随x的增大而增大 C． D．方程一定有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴、y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，选项A不符合题意； 当时，y随x的增大而减少，选项B不符合题意； ∵抛物线与x轴的一个交点为，，且，开口向上， ∴当时，， ∴， ∴，选项C符合题意； 不能确定抛物线与直线是否有交点， ∴方程不一定有两个不相等的实数根，选项D不符合题意， 故选：C． 5．二次函数，线段中，，，将线段向下平移个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的平移、二次函数与线段的交点问题，由平移的性质可得，，待定系数法求出直线的解析式为，当的图象的左支过点时，将代入解析式得，当的图象的右支过点时，将代入解析式得，最后由的图象与线段只有一个公共点，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段， ，， 设直线的解析式为：， 将，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当的图象的左支过点时，将代入解析式得：， 解得：， 此时， 联立，得到， 整理得：， 解得：或， 此时的图象与线段有两个交点； 当的图象的右支过点时，将代入解析式得， 解得：， 此时， 联立，得到， 整理得：， 解得：或， 此时的图象与线段有一个交点； 的图象与线段只有一个公共点， 的取值范围是， 故选：C． 6．若抛物线与直线有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题、一元二次方程根的判别式，由题意得出方程有两个不相等的实数根，再由根的判别式得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与直线有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为 个． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题；根据一次函数所在象限，判断出b的符号，从而判断出的大小，进而判断出二次函数图象与x轴交点的个数，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、 四象限， ∴ ∵ 当时， ∴ ∴二次函数 与 x 轴的交点个数为个 故答案为：． 8．二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④不等式的解集是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数与x轴交于，得到对称轴为直线，进而由对称轴公式即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数开口向上，得到，由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，即可判断③；由函数图象可知，当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②错误； ∵二次函数开口向上， ∴， 由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴当时，有， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 9．在平面直角坐标系中，有直线（，为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为 ； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）求得直线过定点； （2）求得抛物线与轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 【详解】解：（1）∵直线，当时，， ∴直线经过的定点坐标为； 故答案为：； （2）∵抛物线与轴的交点为，， 当时，无论为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论为何值，直线和抛物线总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； 综上，当或时，抛物线与直线总有公共点． 故答案为：或． 10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的有 个 ①抛物线的对称轴为直线 ②抛物线的顶点坐标为 ③，两点之间的距离为5 ④当时，的值随值的增大而增大 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故①，②不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故④不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故③正确，符合题意； 正确的有③，共1个， 故答案为：1． 11．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． (1)求的值； (2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入计算一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 12．二次函数（a，b是实数，且），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m k n … (1)① 解关于x的方程：； ② 若，求a的取值范围． (2)若，当时，设二次函数的最大值为A，最小值为 B．若，求t的取值范围． 【答案】(1)或；且且 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题： （1）①根据题意可得，则由表格即可得到答案；②先求出，进而分别求出，再根据列式求解即可； （2）先求出，得到抛物线解析式为，则抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得到抛物线的最小值为，且离对称轴越远函数值越大，再讨论t的范围进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由表格可知，当或时，， ∴关于x的方程的解为或； ②把代入中得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴且且； （2）解：由（2）可知， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线的最小值为，且离对称轴越远函数值越大， ∴当时，， ∵， ∴， ∴； 当时，，，此时符合题意； 当时，，此时不满足题意； 综上所述，， 13．在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上． (1)写出该函数图象的对称轴； (2)已知点． ①若函数图象恰好经过点，求的值； ②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2)①；②或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算，图形交点的计算方法是解题的关键． （1）根据点的平移即对称轴的计算方法即可求解； （2）①根据二次函数的对称轴，可得，结合二次函数过点，即可求解；②根据二次函数图象的性质可得顶点坐标为，分类讨论，当时，点在二次函数图象上；当时，点在二次函数图象上；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：二次函数图象与轴交于点，则， ∵点向右平移个单位长度得到点，点 恰好也在该函数的图象上， ∴， ∴该函数图象的对称轴为， ∴对称轴为； （2）解：①∵二次函数图象的对称轴为， ∴， ∵二次函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得，； ②根据题意，， ∴二次函数解析式为， ∴当时，，即顶点坐标为； 当时，，即二次函数与轴的交点为； 当时，， 解得，； ∴当时，如图所示，    ∴点在二次函数图象上， ∴， 解得，， ∴当时，二次函数与线段只有一个交点； 当，如图所示，    ∴点在二次函数图象上， ∴， 解得，， ∴当时，二次函数与线段只有一个交点； 综上所示，的取值范围为：或． 14．已知抛物线 (1)当 时，求抛物线与x轴的交点坐标； (2)已知点，，连接，若抛物线与线段只有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】(1)和 (2)或 【分析】（1）当 时，抛物线解析式为．由求出x的值，即可得抛物线与x轴的交点坐标． （2）当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点，此时顶点坐标为，由此可求出m的值．再分别求出抛物线经过B点和A点时m的值，即可得m的取值范围． 【详解】（1）当时，抛物线解析式为， 由， 得， 解得，， ∴时，求抛物线与x轴的交点坐标为和． （2）∵点和点纵坐标相同， ∴轴， 当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点， 此时顶点坐标为， ， 解得； 当抛物线经过点时， ， 解得； 当抛物线经过点时， ， 解得． ∴当时，抛物线与只有一个交点； 当时，抛物线与有两个交点； 当时，抛物线与只有一个交点． 综上，若抛物线与线段只有一个公共点，则 m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了求二次函数与x轴的交点坐标，以及根据二次函数与线段的交点坐标，求字母的取值范围．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合法是解题的关键． 15．已知二次函数（a为常数，）． (1)该函数图象的对称轴是直线________； (2)若，当时，求函数值y的取值范围； (3)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据的对称轴为求解，即可解题； （2）将代入函数解析式计算，得到函数解析式，再根据抛物线的增减性和最值求解，即可解题； （3）根据根的判别式，以及不等式性质求解，即可证明该函数的图象与x轴有两个公共点． 【详解】（1）解：， 该函数图象的对称轴是直线； 故答案为：； （2）解：将代入函数解析式得，， 抛物线的对称轴为直线，开口向下． ， 当时，y最大是4，当时，y最小是0， ； （3）证明：，且， ，， ， 该函数的图象与x轴有两个公共点． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线对称轴，增减性、最值，与坐标轴交点情况，根的判别式，不等式性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$