专题06 二次根式化简的四种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题06 二次根式化简的四种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、利用数轴化简二次根式】 1 【考法二、利用非负性化简二次根式】 2 【考法三、复合二次根式化简的】 3 【考法四、分母有理化】 4 【课后训练】 6 【知识点归纳】 1. 二次根式 1、二次根式的概念：形如(a≥0)的式子. 2、二次根式有意义的条件：要使二次根式有意义，则a≥0. 2. 二次根式的性质 （1）双重非负性： ①被开方数是非负数，即a≥0； ②二次根式的值是非负数，即≥0. 注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式. (2)两个重要性质： ①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝； 【考法一、利用数轴化简二次根式】 例．已知在数轴上的位置如图，化简：（    ）    A． B． C． D． 变式1．如图，数轴上点A表示的数为a，化简 ． 变式2．如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．    变式3．已知，如图，在数轴上，请化简． 【考法二、利用非负性化简二次根式】 例．把根式根号外的移到根号内，得 ． 变式1．当时， ． 变式2．若，则 ． 变式3．已知、满足，则（    ） A．4 B．8 C．2024 D．4048 变式4．（1）已知，为实数，且，求，的值． （2）已知实数满足，求的值． 【考法三、复合二次根式化简的】 例．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 变式1．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 变式2．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【考法四、分母有理化】 例．二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如，，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 变式1．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 变式2．阅读下面的材料并解答后面所给出的问题： ①，② 两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________． (2)求的值； (3)求的值． 变式3．（1）计算： （2）先阅读，再解答 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： ①的有理化因式是__________； ②请利用上面的知识化去式子分母中的根号： 【课后训练】 1．已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 2．若存在，则可化简为（    ） A． B． C． D． 3．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．已知， 那么代数式的值是 ． 6．化简： ． 7．若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为 . 8．如果最简二次根式与能进行合并，且化简：． 9．已知a，b，c为的三边长，化简：． 10．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得______，_____； (2)试着把化成一个完全平方式． (3)若是216的立方根，是16的平方根，试计算：． 11．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 12．实数，在数轴上的位置如图所示： (1)化简：______，______ (2)化简求值：，其中，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次根式化简的四种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、利用数轴化简二次根式】 1 【考法二、利用非负性化简二次根式】 3 【考法三、复合二次根式化简的】 6 【考法四、分母有理化】 10 【课后训练】 14 【知识点归纳】 1. 二次根式 1、二次根式的概念：形如(a≥0)的式子. 2、二次根式有意义的条件：要使二次根式有意义，则a≥0. 2. 二次根式的性质 （1）双重非负性： ①被开方数是非负数，即a≥0； ②二次根式的值是非负数，即≥0. 注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式. (2)两个重要性质： ①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝； 【考法一、利用数轴化简二次根式】 例．已知在数轴上的位置如图，化简：（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴化简二次根式，先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，且， ∴，， ∴原式 ， ， ， 故选：． 变式1．如图，数轴上点A表示的数为a，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴及二次根式的性质与化简；利用数轴表示数的方法得到，再利用二次根式的性质得到原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴A点表示的数得， ∴ ． 故答案为：1． 变式2．如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 ．    【答案】 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，二次根式化简，立方根，根据数轴分别判断，，，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】解：由数轴可知，，，则， ∴ ， 故答案为：． 变式3．已知，如图，在数轴上，请化简． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、数轴、绝对值，掌握数轴上数的特征及二次根式的性质是解题的关键．由在数轴上的位置可得，，，再化简即可． 【详解】解：由在数轴上的位置可得，，， 原式， ， ， 【考法二、利用非负性化简二次根式】 例．把根式根号外的移到根号内，得 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，主要是判断根号有意义的条件，然后确定值的范围再进行化简，是常考题型．由于根号内为，所以，所以将移到根号内时根号外面要加负号，然后再把根号内值化简即可． 【详解】解：有意义， ，即， 原式 故答案为： 变式1．当时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，先根据得出，，再根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 变式2．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质，绝对值的非负性，二次根式的性质．熟练掌握不等式的性质，绝对值的非负性，二次根式的性质是解题的关键． 由题意知，，由，可得，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵，∴， ∴， 故答案为：． 变式3．已知、满足，则（    ） A．4 B．8 C．2024 D．4048 【答案】A 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件，非负数的性质，几个非负数的和为0，根据二次根式有意义的条件以及非负数的性质可得、、的值，然后代入可得答案． 【详解】解：、满足， ， ， ， ，， ，， 则， 故选：A． 变式4．（1）已知，为实数，且，求，的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2024 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可； （2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可． 【详解】解：（1）和均有意义， 且， 即且， ， 当时，， 可得 ∴，即， ，； （2）有意义， ， ， 因此，可变为， 即， ， 即， 的值是2024． 【考法三、复合二次根式化简的】 例．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)，；(2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ，故答案为：，； （2）． 变式1．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　  =    (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题关键是掌握二次根式的运算法则，读懂题意，根据材料中的方法化简双重二次根式． （1）根据材料中的方法，得到且；且，即可将配方成，配方成，进而得出答案； （2）将化成，再根据，，可将配方成，即可得出答案； （3）将化成，再根据材料中的方法，化简得，，然后再代入计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：． （2）解： 因为且， ， ， ． （3）解：， 因为且， ， ， 因为且， ， ， ． 变式2．先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【考法四、分母有理化】 例．二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：，，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如，，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处． (1)计算：； (2)比较：与的大小； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减乘除运算及二次根式分母有理化等知识，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中分母有理化方法计算即可得到答案； （2）采用作差法，利用分母有理化，结合二次根式性质比较大小即可得到答案； （3）利用分母有理化先化简，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ，即， ； （3）解： ． 变式1．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 变式2．阅读下面的材料并解答后面所给出的问题： ①，② 两个含二次根式的代数式相乘，若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与，数学上将上述把分母变成有理数（式）的过程称为分母有理化，因此，化简一个分母含有二次根式的式子时采用分母、分子同时乘以分母的有理化因式的方法就行了． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________． (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质． （1）根据互为有理化因式的定义和示例直接得出答案； （2）利用平方差公式对分母进行分母有理化，即可解答； （3）利用平方差公式对分母进行分母有理化，再合并计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式是，的有理化因式是， 故填：，； （2） （3） 变式3．（1）计算： （2）先阅读，再解答 由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： ①的有理化因式是__________； ②请利用上面的知识化去式子分母中的根号： 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，读懂题中材料是解题的关键． （1）按照二次根式的运算顺序及运算法则进行计算即可； （2）①按题中材料进行即可； ②按题中材料进行即可． 【详解】解：（1） ； （2）①， 即的有理化因式是， 故答案为：； ②， 【课后训练】 1．已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．若存在，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，，即，根据，作答即可． 【详解】解：由题意知，∵存在， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 3．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，利用数轴得出，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴ ∴ ， 故选：A． 5．已知， 那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 由得同号，分情况化简代数式，将代入即可求解． 【详解】解：， 同号， 当时， ， 当时， ， 故答案为：． 6．化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键． 由题意知，，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， 故答案为：0． 7．若6，8，m为三角形的三边长，则化简的结果为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的三边关系及二次根式的性质，掌握三角形的三边关系及二次根式的性质是解题的关键． 根据三角形的三边关系确定m的取值范围，根据进行化简即可． 【详解】解：∵6，8，m为三角形的三边长， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如果最简二次根式与能进行合并，且化简：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简，二次根式有意义的条件，先根据最简二次根式与能进行合并得出，求出，再根据当时，，不符合题意，得出，根据，将进行化简即可． 【详解】解：由题意，得， 解得． 当时，， ， ， ， 原式． 9．已知a，b，c为的三边长，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及三角形三边间的关系等知识点．由三角形三边间的关系得出、、，再利用二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由三角形三边之间的关系可得：，，，， ∴，，， ∴原式 10．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得______，_____； (2)试着把化成一个完全平方式． (3)若是216的立方根，是16的平方根，试计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式展开，再比较即可解答； （2）根据完全平方公式即可解答； （3）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）解： ． （3）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 11．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目： 反之 她说如果化简可以这样做 ∵ ∴ (1)仿上例，化简：； (2)计算：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，，，……，， ． 12．实数，在数轴上的位置如图所示： (1)化简：______，______ (2)化简求值：，其中，． 【答案】(1)，；(2)， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、实数与数轴； （1）根据数轴得到，，再根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ， ，， 故答案为：，； （2），， ，，， 原式 ， 当，时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$