第08讲 线段、角的轴对称性—角平分线（5大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第08讲 线段、角的轴对称性——角平分线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特性，发展空间观念； 2．探索并证明角平分线的性质。 1. 如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折， 因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。 因此， 角是 图形， 是它的对称轴. 2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。 证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90° 在▲PDO与▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS） ∴PD=PE 因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 ． 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上， PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD＝PE 3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？ 点Q在∠AOB的角平分线上；连接OQ， ∵QD⊥OA，QE⊥OB ∴∠QDO=QEO=90° 在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL） ∴∠DOQ=∠EOQ ∴点Q在∠AOB的角平分线上 因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的 上。 几何语言： ∵点Q在∠AOB的内部， QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上 4. 已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM． （1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． （2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M （3） 作射线OM。 5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？ 三角形三个顶角的角平分线交于一点.这一点到三角形三条边的距离相等 6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？ 考点一：角平分线的性质定理 例1．如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点，则点到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A．6 B．11 C．14 D．28 【变式1-2】如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．    【变式1-3】如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 考点二：角平分线的判定定理 例2．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 【变式2-1】如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【变式2-3】如图，于于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 考点三：角平分线性质的实际应用 例3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的中垂线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【变式3-1】如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（       ）    A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【变式3-2】如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【变式3-3】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 考点四：作角平分线 例4．如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③画射线，交于点D． 若，，则的长为（    ） A． B．4 C．2 D．3 【变式4-1】如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论正确的是(    )    A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是 ． 【变式4-3】如图，在中，，．请用尺规作图法在上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    考点五：角平分线与垂直平分线结合 例5．如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（    ）    A．3 B． C． D．6 【变式5-2】如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 ． 【变式5-3】如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，在中，，，分别平分，，，于点，若的周长为，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A．12 B．8 C． D．10 6．如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 10．如图，平分，，如果，那么点到的距离等于 11．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为 ． 12．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 13．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为 ． 14．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 15．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 16．如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．    17．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 19．如图，在中，，是上一点，于点，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 20．如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    21．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 22．如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 线段、角的轴对称性——角平分线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特性，发展空间观念； 2．探索并证明角平分线的性质。 1. 如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折， 因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。 因此， 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。 证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90° 在▲PDO与▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS） ∴PD=PE 因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上， PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD＝PE 3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？ 点Q在∠AOB的角平分线上；连接OQ， ∵QD⊥OA，QE⊥OB ∴∠QDO=QEO=90° 在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL） ∴∠DOQ=∠EOQ ∴点Q在∠AOB的角平分线上 因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 几何语言： ∵点Q在∠AOB的内部， QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上 4. 已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM． （1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． （2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M （3） 作射线OM。 5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？ 三角形三个顶角的角平分线交于一点.这一点到三角形三条边的距离相等 6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？ 考点一：角平分线的性质定理 例1．如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点，则点到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．如图，过点作于点．利用角平分线的性质定理判断出即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 由作图可知平分， ，， ， 点到的距离为3． 故选：B． 【变式1-1】如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A．6 B．11 C．14 D．28 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：由基本作图得到平分， ∴点E到和的距离相等， ∴点E到的距离等于的长度，即点E到的距离为4， ∴． 故选：C． 【变式1-2】如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．    【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可得，根据的面积是，列式得，再进行计算，即可作答． 【详解】解：∵中，于E，于F，为的平分线 ∴ ∵的面积是， ∴ 则 ∴ 解得 故答案为：2 【变式1-3】如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 【答案】43° 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，过点O作，、，则根据角平分线的性质得到，，则，即可得到平分， 进而解题即可 【详解】解：如图，过点O作，、，垂足分别为D，E，F， ∵和的平分线交于点O，，，， ∴，， ∴， ∴平分． ∵∠， ∴． 考点二：角平分线的判定定理 例2．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（    ） A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．角平分线的性质 D．角是轴对称图形 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．根据角平分线的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同， ∴点到射线的距离相等， ∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴点在的平分线上， ∴平分，故A正确． 故选：A． 【变式2-1】如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，由题意得出点到两边的距离相等，从而得出射线是的角平分线，即，求出，即可得出答案，熟练掌握角平分线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：于点，且，到射线的最小距离为4， 点到两边的距离相等， 射线是的角平分线， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2-2】在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的判定定理，熟练应用角平分线的判定定理是解题关键，先证，再求出即可求出结论． 【详解】解：，，且， ， ，， ， 故答案为：35． 【变式2-3】如图，于于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点三：角平分线性质的实际应用 例3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三边的中垂线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定，由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可知凉亭选在三条角平分线的交点． 【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭应在三条角平分线的交点． 故选：C 【变式3-1】如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（       ）    A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键． 由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个． 【详解】解：作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点，内角平分线相交于点，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．    故选：D． 【变式3-2】如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【变式3-3】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 考点四：作角平分线 例4．如图，在中，．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③画射线，交于点D． 若，，则的长为（    ） A． B．4 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再利用基本作图得平分，所以，然后证明和即可．本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质． 【详解】解：， ， 由作法得平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式4-1】如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论正确的是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作角平分线；由作图可知，是的角平分线，故，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ，故B正确，符合题意； 而选项A，C，D都不一定正确，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解． 【详解】解：由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】如图，在中，，．请用尺规作图法在上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，直角三角形的性质和所对直角边是斜边的一半，根据角平分线的作法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，∵，， ∴，   以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 连接，交于点， ∴， ∴， ∴点即为所求． 考点五：角平分线与垂直平分线结合 例5．如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键． 根据题意得到是的角平分线，垂直平分，进而求解即可． 【详解】解：由作图知，是的角平分线， ∴，故A不符合题意； 由作图知垂直平分， ∴，，故B，D不符合题意； 无法证明，故C符合题意， 故选：C． 【变式5-1】在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（    ）    A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，三角形全等的判定与性质以及尺规作图，掌握以上知识点是解题的关键． 观察作图痕迹，知道是的角平分线，，根据角平分线的性质结合，证明，推出，，那么，从而推出的周长． 【详解】由作图痕迹，知道是的角平分线，且 是的角平分线，， 在和中，， ，， 的周长为6 故选D． 【变式5-2】如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据垂直平分线得到，从而得到，由角平分线得到，得到，根据三角形内角和定理，结合，得到，再根据角的和差求解即可得到答案． 【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，， ，， ， ， ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式5-3】如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】解：根据作图可得，，故A，B正确； ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， 而不一定成立，故C选项错误， 故选：C． 2．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线性质性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角平分线性质定理即可得出． 【详解】解：平分，于点，于点， 故选：C． 3．如图，在中，，，分别平分，，，于点，若的周长为，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示：    ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 设， ∵的周长为， ∴的面积的面积的面积的面积 ， ∵的面积为， ∴， 解得：，即， 故选：C． 4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握基本作图；根据角平分线的作图可判断D，根据角平分线的性质可判断B，证明，可判断A，由题目条件无法证明出，可判断C； 【详解】根据作图可知平分， ， 故D选项不符合题意； ，，平分， ， 故B选项不符合题意； ， ， ， 故A选项不符合题意； 由题目条件无法证明出，故C选项符合题意， 故选：C； 5．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（    ） A．12 B．8 C． D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，可知平分， ∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据题意，易得垂直平分，进而推出，角平分线，得到，三角形的内角和得到，进而得到，三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 7．如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的判定与性质．由，平分，平分，得，，，再由，可得，①正确；进而得，②正确；由得，③正确；点是线段上任意一点，由与不平行，与不平行，得，故，④不正确，所以有3个正确． 【详解】解： 平分 平分 平分,故①正确； ,故②正确； ，故③正确； 如图，点是线段上任意一点 与不平行，与不平行 ，故④不正确， 所以，正确的个数有3个． 故选：C． 8．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形内角和定理可得；利用三角形的外角性质得到． 【分析】解：∵平分，，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴，故正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，故正确； 在中，，故错误； 综上，正确，共个． 故选：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键． 9．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 【答案】14 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∴； 故答案为：14． 10．如图，平分，，如果，那么点到的距离等于 【答案】6 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出． 过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6． 【详解】解：过作于， 平分，， ， 点到的距离等于6． 故答案为：6． 11．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点E作于点F，根据角平分线的性质可得出，由三角形面积可得出，即可求出的长． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示． ∵平分，且， ∴． ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，由作图方法可得平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等可得，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：40． 13．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了尺规作图-作角平分线、角平分线的性质定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握角平分线的作法和性质是解题关键．过点作于点，点作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质定理可得，利用三角形面积公式可解得，易得，然后计算的面积即可． 【详解】解：如下图，过点作于点，点作于点， 由作图可知，平分， ∴， ∵，的面积为14， 即， 解得， ∴， ∴的面积． 故答案为：20． 14．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接，通过证明，得出，在证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 15．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接，过E作于R，交C于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 16．如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果． 【详解】解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图， ∵，， ∴； ∵D为中点，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∴    故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键． 17．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的是解题的关键． 作的平分线和线段的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，交点P即为所作． 18．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：． 【答案】证明过程见详解． 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得即可得证． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ． 19．如图，在中，，是上一点，于点，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可证明； （2）根据直角三角形的两个锐角互余求解． 此题主要考查了角平分线性质的运用和直角三角形性质的运用．题目比较简单，属于基础题． 【详解】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分． （2）解：，， ， 平分， 20．如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了基本作图—过直线外一点作已知直线的垂线，四边形的内角和定理，过点作的垂线，垂足为，作出点是解决本题的关键． 【详解】如图，点即为所作．    21．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 22．如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【详解】（1）作，垂足为点 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） 平分，，（已知） （在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等） （等量代换） （2），（已知） ，（垂直的意义） 在和中， （全等三角形对应角相等） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$