第13讲 弧长及扇形的面积（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第13讲 弧长及扇形的面积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的活动过程； 2．会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题。 1.填写下列扇形的面积与周长 圆心角 半径 周长 面积 图形 360 r 180 r 90 r 30 r n r 弧长： 因此，半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：C=2πR n°的圆心角所对的圆的弧长公式：l=(弧是圆的一部分)。 注：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的， 即；（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 扇形面积： （1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形 （2）面积公式：半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：；n°的圆心角所对的扇形面积公式： 注：（1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即；（2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（3）扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；（4）扇形两个面积公式之间的联系： . 考点一：求弧长 例1．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，先根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．解题关键是掌握弧长公式． 【详解】解：， ， 的半径是2， 劣弧的长是． 故选：B． 【变式1-1】中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)是解题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为：． 故选：A． 【变式1-2】如图，，，两两不相交且半径都是3，则图中三个阴影扇形的弧长之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，弧长公式；根据三角形的内角和是180°，以及弧长公式进行计算． 【详解】解：， ∴三个阴影扇形的弧长之和为． 故答案为：． 【变式1-3】如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是半圆O的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ． 考点二：求扇形半径 例2．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了扇形的面积计算公式，将面积是，弧长是，代入计算即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：C. 【变式2-1】已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式的变形计算，根据公式，变形计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故选B． 【变式2-2】一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算、弧长公式，设扇形的半径为，根据弧长求出半径，最后由扇形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 【答案】4cm 【分析】根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：设该弧所在圆的半径为rcm，由弧长公式，得 解得：； ∴该弧所在圆的半径为4cm． 【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键． 考点三：求圆心角 例3.如图所示的是一个几何体的三视图，其侧面展开图的圆心角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，母线长为6，根据扇形的弧长公式计算即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，母线长为6， ∴圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，半径为6 ∴， ∴解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，以及扇形的弧长公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【变式3-1】一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式． 【变式3-2】已知扇形的半径为9，弧长为，则它的圆心角是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键：（其中l为弧长，为扇形圆心角度数的值，r为半径）． 【详解】解：设扇形的圆心角度数为， 由题意得，， 解得， ∴该扇形的圆心角度数为， 故答案为：． 【变式3-3】如图，若，求圆心角x的度数． 【答案】57.6° 【分析】根据扇形面积公式直接列等式即可的得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∵， ∴， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查求扇形的面积，解题关键是根据扇形面积公式列等式． 考点四：求扇形面积 例4．如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、扇形面积公式、弧长计算，连接，由等边对等角结合平行线的性质得出，证明得出，从而得出，设，利用弧长公式得出，得到，最后由计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 的长度为， ， 解得：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式4-1】如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，弧长的计算，扇形的面积，先求解点C运动3 秒转过的圆心角以及半径，从而可得答案． 【详解】解：根据图2可知，当点C从点A开始向终点B运动用时12秒，转过的圆心角为180°， ∴点C运动3 秒转过的圆心角为 半圆长度， ∴． ∴扇形的面积为 故选 B． 【变式4-2】如图，A，B，C，D，E是上的五个点，．若的半径为6，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算及圆周角定理．根据同弧或等弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，求出的度数，再利用扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等． （1）连接，由，得，而得到，由平行线的性质可得，从而即可得证； （2）由圆周角定理可得，由勾股定理可得，从而得到，再由进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：为的直径， ， ，， ， ， 由（1）得， ， 图中阴影部分的面积是． 考点五：求弓形面积 例5．如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 【变式5-1】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【分析】由垂径定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面积公式即可得出结果． 本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理解直角三角形，新定义——弧田面积公式，是解答本题的关键． 【详解】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 【变式5-3】如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查切线的判定和求弓形的面积： （1）圆周角定理结合等边对等角，求出，进而得到，即可得证； （2）连接，过点作，用扇形的面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴的度数为， ∴优弧的度数为：， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）连接，过点作， 则：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 考点六：求不规则图形面积 例6. 如图，正方形的边长为4，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积计算，勾股定理，先根据正方形的性质，得出，，，根据勾股定理求出，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式6-1】如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，根据已知条件可得，是等边三角形，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴，， 又∵ ∴ ∴ ． 故选：B． 【变式6-2】如图，扇形中，，，C是的中点，D为半径上一点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是解题的关键． 将阴影部分的面积转换为扇形的面积即可． 【详解】解：连接，，如图， 由题意得， ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式6-3】如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． (3)若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6 (3) 【分析】本题考查了垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的求法、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）如图：连接，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明则从而证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （3）先根据勾股定理求得,再利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线． （2）解：设的半径为r，则， 在中，，解得：或（舍去）， ∴的半径为6． （3）解：设的半径为r，则 ∵，， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 故答案为． 1．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，弧长的计算．根据，先计算，再用弧长公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：D． 3．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 4．点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 5．如图，四边形内接于，若，的半径为4，则的长为（　　） A． B． C．π D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点，得到成为解题的关键． 如图：连接．根据圆的内接四边形的性质可得，再运用三角形内角和定理结合已知条件可得，然后运用圆周角定理可得，最后根据弧长公式即可解答． 【详解】解：如图：连接． ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 6．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴等边三角形的边长为， 故选：A． 7．如图，某玩具品牌标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆，，相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不规则图形面积的计算，根据圆的对称性可知，图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接，可得阴影的面积扇形的面积，据此即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：根据圆的对称性可知，图中三个阴影部分的面积相等， 如图，连接，则， ∴是等边三角形， ∴，弓形的面积相等， ∴阴影的面积扇形的面积， ∴图中三个阴影部分的面积之和； 故选：． 【点睛】 8．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点，从点作于点，设的三个内角平分线交于点，当点在弧上从点运动到点时，点所经过的路径长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，由的内心为M，可得到，并且易证，得到，所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上；过、M、三点作，如图，连，，在优弧取点，连接，，可得，得，，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 【详解】解：如图，连接， 的内心为M， ，， ， ∵， ∴， ， 又，为公共边， 而， ， ， 所以点M在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上； 过、M、三点作，如图，连接，，在优弧取点，连接，， ， ， ， ∵， ， 弧的长， 所以内心M所经过的路径长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：，其中表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质． 9．如图，在扇形中，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 10．若扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径是，那么这个圆心角所对的弧的长度是，这个扇形的面积弧长． 形的面积弧长与半径积的一半，根据以上内容求出答案即可． 【详解】解：扇形的弧长为，半径为， 扇形的面积， 故答案为：． 11．如图，在扇形中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点为弧的中点，连接、．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，，，交于．证明，求出四边形的面积即可解决问题．本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，交于． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据扇形公式进行计算即可．本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键． 【详解】解：扇面面积扇形的面积扇形的面积 ， 故答案为：． 13．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示） 【答案】 【分析】根据扇形面积公式计算即可． 本题考查了扇形面积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 故答案为：． 14．如图，正方形纸片中，，以A为圆心，以的长为半径在正方形内部作，点P为上一个动点，连接，将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处，连接．当为等边三角形时，则线段，，，围成的阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】首先根据正方形的性质和折叠的性质得到，然后根据等边三角形的性质得到，，然后利用弧长公式求出，进而求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处， ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴阴影部分的周长为． 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，弧长公式，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15．如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查圆周角定理，三线合一，求弧长，连接，根据圆周角定理和三线合一，推出，进而利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：连接，则． 是直径， ，即． ， ． ， ． ， ． 的长． 16．如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可； （2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则：，    ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，弧长公式，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关知识点，灵活运用，是解题的关键． 17．如图，在中，，交于，两点，为的直径，为的切线，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，全等三角形的判定和性质以及切线的判定进行解答即可； （2）根据切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】（1）证明：为的直径，为的切线， ， 即， 在与中， ，，， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接 是的切线，是的切线， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 过点作于点，则，， 在中，，， ， ， ， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理以及解直角三角形，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理以及直角三角形的边角关系、扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 18．如图，在正方形中，， 以点C 为圆心，1为半径作圆，交于点E，P 是上的任意一点，将点P 绕点D 顺时针方向旋转，得到点Q，连接，． (1)连接，求证：； (2)当与相切于正方形外部时，求线段被所截弦的长； (3)当时，求劣弧的长度 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)劣弧的长度为 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质及勾股定理的应用， （1）直接证明即可证明结论； （2）设与交于点F，连接，证明，根据勾股定理求出即可； （3）作交延长线于点H，设，则，在中， ，列方程并求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：如图： 在正方形中，， ， ， ， ； （2）设与交于点F，连接， 与相切于点P， 在中， ； （3）如下图，作交延长线于点H， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 劣弧的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 弧长及扇形的面积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的活动过程； 2．会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题。 1.填写下列扇形的面积与周长 圆心角 半径 周长 面积 图形 360 r 180 r 90 r 30 r n r 弧长： 因此，半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：C=2πR n°的圆心角所对的圆的弧长公式：l=(弧是圆的一部分)。 注：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的， 即；（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 扇形面积： （1）定义： 叫做扇形 （2）面积公式：半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：；n°的圆心角所对的扇形面积公式： 注：（1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即；（2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（3）扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；（4）扇形两个面积公式之间的联系： . 考点一：求弧长 例1．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，，两两不相交且半径都是3，则图中三个阴影扇形的弧长之和为 ． 【变式1-3】如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是半圆O的切线； (2)当时，求的长． 考点二：求扇形半径 例2．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．36 C．12 D．6 【变式2-1】已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（　　） A．15 B．30 C． D． 【变式2-2】一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为 （用含的式子表示）． 【变式2-3】一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14） 考点三：求圆心角 例3.如图所示的是一个几何体的三视图，其侧面展开图的圆心角的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知扇形的半径为9，弧长为，则它的圆心角是 度． 【变式3-3】如图，若，求圆心角x的度数． 考点四：求扇形面积 例4．如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图1所示，点C 是半圆上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， 的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，A，B，C，D，E是上的五个点，．若的半径为6，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式4-3】如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 考点五：求弓形面积 例5．如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【变式5-3】如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． (1)求证：是的切线； (2)如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 考点六：求不规则图形面积 例6. 如图，正方形的边长为4，分别以点A，C为圆心，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，扇形中，，，C是的中点，D为半径上一点，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式6-3】如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． (3)若，，则阴影部分的面积为 ． 1．如图，点在半径为3的上，，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 2．若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．点，，在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，若，的半径为4，则的长为（　　） A． B． C．π D． 6．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 7．如图，某玩具品牌标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆，，相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 8．如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点，从点作于点，设的三个内角平分线交于点，当点在弧上从点运动到点时，点所经过的路径长是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，在扇形中，，，则的长为 ． 10．若扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为 ． 11．如图，在扇形中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，点为弧的中点，连接、．若，则阴影部分的面积为 ． 12．龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为．长，扇面的边长为，则扇面面积为 （结果保留）． 13．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示） 14．如图，正方形纸片中，，以A为圆心，以的长为半径在正方形内部作，点P为上一个动点，连接，将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处，连接．当为等边三角形时，则线段，，，围成的阴影部分的周长为 ． 15．如图，在中，，以边为直径的与边分别交于点D、E．求的长． 16．如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，连接，使．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长（结果保留）． 17．如图，在中，，交于，两点，为的直径，为的切线，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 18．如图，在正方形中，， 以点C 为圆心，1为半径作圆，交于点E，P 是上的任意一点，将点P 绕点D 顺时针方向旋转，得到点Q，连接，． (1)连接，求证：； (2)当与相切于正方形外部时，求线段被所截弦的长； (3)当时，求劣弧的长度 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$