1.2 空间向量基本定理（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

数学 选择性必修 第一册 课堂学案 1.2 空间向量基本定理 第一课时 空间向量基本定理 [学习目标]1.了解空间向量基本定理及其意义,培养数学抽象的核心素养,2.掌握空间向量的正交分解,培养 直观想象的核心素养,3.会选择适当的基底表示任意向量,强化直观想象和数学运算的核心素养(). 必备知识 基础落实 答案见Ps 要点一。 空间向量基本定理 2.正交分解的概念:由空间向量基本定理可知 ,那么对任意一 如果三个向量a,b,c 对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向 量ni.y),k,使 个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z) .像这样,把一个空 使得p一xa十十xc.我们把a,b,c叫做空间 间向量分解为三个 的向量,叫做把空 的一个 ,a,b,c都叫做 _.空间 间向量进行正交分解 任意三个 的向量都可以构成空间的 辨析 一个基底. 》思考:若a,b,c是空间的一个基底,那么a与 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” b可以共线吗? (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向 量的一个基底 ) (2)若a.b,c)为空间的一个基底,则a.b,c全都 不是零向量. 要点二 正交分解 (3)若对向量p,可以找到三个向量a,b,c,使p一 1.单位正交基底的概念:如果空间的一个基底中 xn十十ac,则a,b.c可构成空间向量的一个 基底. . ,且长度都为 的三个基向量 ) 那么这个基底叫做单位正交基底,常用 (4)对于三个不共面向量a,a,a,不存在实数 表示. 组(},,),使o-la十a十xa( ) 关键能力素养提升 答案见P 探究一,基底的判断 【例题1】已知e,e,e是空间的一个基底,且 OA-e+2e-e.OB--3e+e+2e,OC- 解题技巧 e十e:-e,试判断OA,OB,OC)能否作为空 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为 间的一个基底 基底,关键是要判断这三个向量是否共面,首 先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断 三个非零向量是否共面,如果从正面难以入 手判断三个向量是否共面,可假设三个向量 共面,利用向量共面的充要条件建立方程组 若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无 解,则三个向量不共面 12. 第一章 空间向量与立体几何 【变式1】(参选)已知a,b,c是不共面的三个向 【变式2】如图,在三校柱ABC-A'B'C'中,已知 量,则不能构成一个基底的一组向量是 AA=a.AB=b.AC=c,点M,N分别是 ,_ _ BC',BC'的中点:试用基底a.b,c)表示向量 B. 2b,b-a,b+2a A. 2a,a-b,a+2b AM.AN. C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c 探究二 用基底表示空间向量 答题模板 用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面 的向量构成空间的一个基底 (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示 目标向量,需要根据三角形法则及平行四边 形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进 行变形、化简,最后求出结果 (3)下结论:利用空间向量的一个基底a,b c可以表示出空间所有向量,表示要彻底,结 果中只能含有a,也c,不能含有其他形式的 向量。 【例题2】已知空间四边形OABC中,OA-a.OB一 b$OC=c.点M在OA上,且OM-2MA,N 为BC的中点,F为MN的中点,用基底a b.c)表示向量MN和OF 探究三 用空间向量基本定理求参数 规律总结 由空间向量基本定理可知,如果三个向量a: b.c是不共面的向量(基向量),则a,b,c的线 性组合理士士实能生成所有的空间向量 并且有序数组(x,v,z)是唯一的,这是利用空 间向量基本定理求参数值的理论基础 .13. 数学 选择性必修 第一册 课堂学案 【例题3】已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一 【变式3】已知正方体ABCD-A'B'CD'中,点E 点,M,N分别为PC,PD上的点,且M是PC 是上底面ABCD的中心,求下列各式中x 上靠近C的三等分点,N为PD的中点,求满 y.的值. 足MN-xAB+yAD+:AP的实数x,y, (DBD-:AD+yAB+:AA’; 的值. (2)AE-xAD+yAB+:AA'. 随堂检测学以致用 答案见Ps 1.(参选)下列结论正确的是 ( 4.如图所示,在空间四边形OABC A.三个非零向量能构成空间的一个基底,则它 中,其对角线为OB,AC.M 们不共面 是OA的中点,G为△ABC B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成 的重心,用向量OA,O.0C 空间的一个基底,则这两个向量共线 表示向量MG C.若a,b是两个不共线的向量,且c=xa十b (,ER,且x子0),则a,b,c)构成空间的 一个基底 D.若OA.OB,OC不能构成空间的一个基底. 则O.A,B.C四点共面 2.在长方体ABCD-A.B.C.D 中,可以作为空 间向量一个基底的是 ( A.AB,AC.AD B.AB.AA,AB C.DADC.DD D.AC.AC.CC 3.在正方体ABCD-A.BCD 中,AC-xAB+ wD十:AA,则x十y十z= 提示 完成P.课时作业(三) .14. 第一章 空间向量与立体几何 第二课时 空间向量基本定理的应用 [学习目标]通过运用空间向量基本定理,结合数量积运算,能证明空间线面的位置关系及求直线的夹角、两点 间的距离(线段长度),提升逻辑推理和数学运算的核心素养(雌虑). 关键能力素养提升 答案见Po 探究一。 证明平行或垂直问题 【变式1】如图所示,在正方体ABCD-A.BCD 中,O为AC与BD的交点,G为CC的中点 规律总结 求证:A.O平面GBD (1)当直接证明线线垂直但条件不易利用时 常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积 等于零,利用向量证明垂直的一般方法是把 线段转化为向量,并用已知向量表示未知向 量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直 条件来完成位置关系的判定 (2)证明直线与直线乎行一般转化为向量共 线问题,利用向量共线的充要条件证明 【例题1】如图,在平行六面体ABCD-AB'C'D 中,E,F,G分别是AD',DD,DC的中点. 请选择恰当的基底证明下列问题 行## (1)EG/AC: (2)平面EFG/平面ABC 探究二 求线段的长度问题 解题技巧 求线段长度的方法 (1)将此线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量; (3)利用a一vā,通过计算求出a,即得 所求距离, .15. 数学 选择性必修 第一册 课堂学案 【例题2】如图,在平行六面体ABCD-AB'CD (2)由两个向量的数量积定义得cos(a,b)一 中,AB=1,AD=$2,AA'$=3,BAD=9 0$$$ #a6,求(a,b)的大小,转化为求两个向量 a·b BAA'- DAA'=60{*,则AC的长为 的数量积及两个向量的模,求出a,b的余弦 #行 值,进而求a,b的大小.在求a·b时注意结 合空间图形,把a,b用基底表示出来,进而化 简得出a·b的值 (3)直线AB.CD的夹角a[o,],而AB, D.13 B.V23 C.v A.5 CD<[o,],故=AB,CD)或a=x-(AB. CD. 【例题3】如图,在长方体ABCD-A.BCD.中, AB-2,BC=B$B=1,M,N分别是AD,DC 的中点.求异面直线MN与BC.所成角的余 弦值. 【变式2】如图,正方体ABCD-A:B.CD. 的校 C MN- ##行# ##行# 【变式3】如图,在正方体ABCD-A.BCD.中, BC. 与AC夹角的大小为 1 探究三 求两直线的夹角问题 解题技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角,可以把其中 一个向量平移到与另一个向量的起点重合 转化为求平面中的角的大小. .16· 第一章 空间向量与立体几何 随堂检测学以致用 答案见P。 1.在校长为1的正四面体ABCD中,直线AB与 4.在空间四边形OABC中,OB=OC,AOB= CD ( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 2.已知a,b是异面直线,点A.BEa,点C.DEb. AC a,BD a.且AB-1.CD-②,则a,b所 成的角为 ( _” A.30{ B.45* C.60* D. 135* 3.在三校柱ABC-A.BC中,AA |平面ABC AA =AB=AC=BC=1,M是BC 的中点 则AM- l示 完成P,课时作业(四) ⊙ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 [学习目标]1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空 间直角坐标系刻画点的位置,培养直观想象的核心素养(重).2.掌握空间向量的正交分解的坐标表示,提升 直观想象的核心素养. 必备知识 基础落实 答案见Po 要点一 空间直角坐标系 >思考:空间直角坐标系的三个要素是什么?空 基底 间直角坐标系有什么作用? 1.概念:在空间选定一点O和一个 (i.1,k.以点O为原点,分别以i.j,k的方向 为 、以它们的长为 建立三条 数轴:x轴、y轴、轴:它们都叫做 ,这时 要点二 就建立了一个空间直角坐标系Oxy,O叫做 空间向量的坐标表示 ,i./,k都叫做 ,通过 1.点的坐标表示:在空间直角坐标系Oxyz中,1 ,分别称为 /,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个 每两个坐标轴的平面叫做 Oxy平面,Oy:平面,Ox平面,它们把空间分 向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定. 由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组 成八个部分 (x,y,z),使OA一n十yi十k.在单位正交基 2.右手直角坐标系的概念;在空间直角坐标系 底i,j,k)下与向量OA对应的 中,让右手拇指指向:轴的正方向,食指指向y 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标:记 辅的正方向,如果中指指向;轴的正方向,则 作 ,其中 叫做点A的横坐 称这个坐标系为右手直角坐标系,本书建立的 标, 叫做点A的纵坐标: 坐标系都是右手直角坐标系 叫做点A的竖坐标. .1:c-6+c-b~0=ae·ms0-al·s0-ae+ 因为{e,e,e是空间的一个基底，所以e1,e,e不共面， -3x十y=1, a)=Q.所以O元⊥BC,即OG⊥BC 所以x十y=2,此方程组无解， [变式3]证明由题意设BA=a,BC=b,BB,=c,a=b=m: 2x-y=-1, d=,则a…b=mcas60=7m,a·c=b:c=0 所以不存在实数工，y,使Oi=xO苑+y元，所以OiO. OC不共面. 因为AB,⊥BC,且AB,=A正+BB=一a十c, 故OA.OB,心能作为空间的一个基底. BC =BC+BB,=bc. [变式11ABD照对于A项，国为2a=专(a-b)+号(a十 所以AB.BC=(-a十c)·(b十c)=-a·b+c= 2b),所以2a,a一b,a十2b三个向量共面，故它们不能构成 2m=0,即m2=2r, 一个基底：对于B项，周为2b=青(b-a)+号(b叶20)，所 所以AB.AC-(-a+c)·(AA+AB+BO=(-a+c)· 以2b,b一a,b十2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底： （c-a+b=a-e-a…b=mi-f-2t=0. 对于C项，因为找不到实数入，使a=入·2h十u(b一c)成立， 故a,2b,b一c三个向量不共面，它们能构成一个基底：对于 所以AC⊥AB,即AC⊥AB. D项，因为c=a+0)-a-c),所以c,a+ea-c三个 随堂检测·学以致用 向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD项， 1.C爵损由题意可得成=d.所以成，成=成.市 [例题]解析如图所示. 180°-(C市，CD》=180°-60=120.故选C项. 2.B解析由题意可得a⊥b,a⊥c,所以a·(b十c)=a·b十 a·c=0.故选B项. 3.A解扬由题意可得A店·心-（成-P)·P心=P店.P心 PA.P元=PPCIcs∠BPC-0=1X1Xos60=2 M=-0-0M-=20成+0d)-号oi=-号a+2b叶 故选A项 4.解扬A+B武-AC=2.因为萨=号励，B励.B心 2c.0亦-20M+o)=aM+号o=号×号ai+ 2×2Xas60=2,所以成-部=（武-号D)=元 ×号O丽+6ò=a+b+c 武.B亦+}亦=4-2+×4=3，故B心-=3. [变式2]爵析连接A'N(图略)，则AM=A店+号B=A店 答案2 之成+C心)=-+成+心=+之d-+ 1.2空间向量基本定理 号=2A+号C+号A-号a+b+e,=A+ 第一课时空间向量基本定理 AN=AM+号(A官+AC)=AA+号(AB+AC)=a 必备知识·基础落实 号b+c 要点一 不共面基底基向量不共面 [例题3]解析方法一如围，取PC的中点E,连接NE,则M心 [思考]示a与b不可以共线.因为a,b,c不共面，所以a与b EN-EM 不可以共线， 要点二 1.两两垂直1{i,j,k} 2.a=i十y十k两两垂直 [辨析]解析(1)错误.只要三个向量不共面，就可以作为一个 因为E,N分别为PC,PD的中点，所以E=Ci-号B函 基底 (2)正确.由基底的概念知正确. 一A成，又M为PC上靠近C的三等分点， (3)错送.三个向量必须不共面才行. 所以EM=Pi-P市-号P心-P心=P元 (4)错误.当入1=2=λ=0时，满足条件. 答案1)×(2)√(3)×(4)X 连接AC,则P心-AC-AP=A成+AD-A, 关键能力·索养提升 所以=-专A店-专B+Ad-A [例题1]解析假设OA,O店，心共面，由向量共面的充要条件知 =-号A店君+A应 存在实数x,y,使OA=xO店+y心成立， 因为A店.AD,A护不共面， 所以e十2e-e=x(-3e1+e+2e)+y(e+e-ea)= 2 (-3x+y)e+(x十y)e十(2x-y)e. 所以x= y=言= ·188 方法二本=-PM=市-号元-之i+ A0-A0-A4=号店+A)-AM,元=元+花 号Pi+0=-合炉+号A访-号(-炉++A AB+号A4,B=B武+CG=AD+AA. =-号A店-君A计名A拉 A0.-[2+A)-Ad]·(+2A4)-0. 因为A店，AD,A不共面， Aò.元-[2+A动-d]·(+号d)-0, 所以x=一 所以AO⊥DG,AO⊥BG,又DG,BGC平面GBD,BGn [变式3]解(D因为前=动+D-=+武+D市=-花+ DG=G,所以AOL平面GBD. AD+AA,且B币=xAD+yAB+AA,所以x=1,y [例题2]B解扬因为AC-A访+式+心-A店+A市+AA, -1,x=1. (2因为A证=A+A花=A+号A心=A+号·(A+ 所以A心：=(AB+AD+A）=A亦+A亦+A+2(A店· AD)=A+号AB+号AD=2AD+2AB+AM, A+B.A亦+.），因为AB=1,AD=2,AA'=3, 且A=xA+yA+A,所以x=号y-=1. ∠BAD=90,∠BAA'=∠DAA'=60,所以AC:=1+ 2+3+2X0+1X3s60+2X3ms607=14+2×号=23. 随堂检测·学以致用 1.ABD解析由基底的概念可知A,B,D项正确：对于C项， 所以AC=√23，即AC的长为√23.故选B项. 因为c=a十b,所以a,b,c共面，不能构成基底，故C项错 [变式2]A照周为瓜=衣-M=应+成-号AG 误.故选ABD项. 2.C解析在长方体ABCD-A,B,CD中，只有C项中的三 A+号A-号（店+心+A)=号店+合 个向量DA,DC,D,D不共面，可以作为空间向量的一个 基底.故选C项， 号i,在正方张ABCD-A,ACD中，AB⊥AD,AB 3.解折因为AC=A花+AD+AA=xAB+yAD+:A4,所 AA,ADLAA,所以AB·AD=AB.A=AD.AA= 以x=y==1,则x十y十x=3. 0,所以M=(号A店+名A-号A)=告A+ 答累3 4.解析如图所示，延长AG交BC于D, 则D为BC的中点， P+号a-器d,所以M=回a.故选 所以AD=2花+0. A项. 又因为Ai=O-OA,AC=元-Oi. [例题3]解扬由题意可得M衣-D成-Di=之(D心-Di), 所以心=号A市-号成+A0 BC -BC+CC--DA+DD. 所以M.BC-(号-2Di)·(-Di+Di) 专(-20i+0i+ò. =Di=, 又周为M为OA的中点，所以A=-Oi, 所以MG=AG-AM=号(-2Oi+O成+G元)+号Oi 又1=1AC-9,C- ai+}oi+号d 所以cosM,BC)= MN.BC 2 10 MNI BC 10 第二课时空间向量基本定理的应用 关键能力·素养提升 故异面直线MN与C,所成角的余孩值为巴 [例题1匠明由题意可取基底为AA,AB,AD [变式3]解析不妨设正方体的棱长为1， )周为武=E币+D心=号A+号AC=A店+ 期.AC-(+)·店+B)=(+A)·(A店+ AD=2Ed,所以E/∥AC. AD)=AD.AB+AD+AA.AB+AA.AD=0+ 又EG,AC无公共点，所以EG∥AC AD+0+0=AD=1, (2)国为F元-m+D心=合A+号A成，A成=A+ 又因为BC1=2,AC=√2， AA=2元.所以元∥A,又FG.AB无公共点，所以PG∥AB. 所以cos(BC,4d=C·4d IBCACI 2X/22 又FG丈平面ABC,ABC平面ABC,所以FG∥平面ABC.又 由(I)知EG∥AC,所以EG∥平面ABC,又FGNEG=G 图为(BC,AC∈[0，]，所以(BC,AC=受 FG,EGC平面EFG,所以平面EFG∥平面AB'C. [变式1]证明AA,AB,AD是三个不共面的向量，它们构成空 所以BC与AC夹角的大小为琴. 间的一个基底AA,A店，AD, 俗系牙 ·189· 随堂检测·学以致用 由于点A',B,C,D都在一个垂直于：轴的平面A'B'CD 1.C解桥由题意得CD-成-武，所以B,市-BA·(BD 内.又AA'=5,所以这四，点的竖坐标x都是5.又过A',B C,D分别作Axy平面的垂线，垂足分别为A,B,C,D,因 =.BD-所.-1X1×号-1×1×是=0，故 此A',B,C,D的横坐标x、纵坐标y分别与A,B,C,D的 BALCD,即直线AB与CD垂直.故选C项， 横坐标x、纵坐标y相同.因此A',B,C,D的坐标分别是 2.B解因为C市=C+店+BD,所以A店.CD=店·《C+ A'(0,0,5),B(8,0,5).C(8,3.5),D(0,3,5) (答案不唯一) A花+前)=A亦=1，所以os店.C市)=A.C可 [变式1]解粉因为正四棱维P-ABD的 ABIICDI 底面边长为4，侧棱长为10，所以正四 风号所以异面直或山所成的商为代适B瓦. 棱维的高为√102-中平=2v愿.以 4 3.解折如图所示，AM=A店+BB+BM=A店+ 正四锥的底面中心为原点，平行于 AM+号C-A=号A+M+号A花，所 BC,AB所在的直线分别为x轴、y轴， 垂直于平面ABCD的直线为：轴，建立如图所示的空间直 以A:-(2+A+号-子， 角坐标系，则正四棱雏各顶点的坐标分别为A(2,一2,0)， B(2.2.0),C(-2.2,0),D-2,-2.0).P(0,0,223). 期AM=客 (答案不唯一) 圈牙 [例题2]解扬DB-Di+DC+DD-2i+2j+2k-(2,2,2), D元=Di+D心+2DD=2i+25j+2×2k=2i+2j+k= 4.证朋如图所示，因为d·式-A,《元 OB-OA.d元-OA.OB=OA·C· 2.2.1.D亦=Dd-号×25=j=01.0m, ms∠A0C-OA1·1OBos∠AOB=0,所 [变式2]解析如图所示，图为PA=AD=AB=1,且PAL平面 以DA LBC,所以OA⊥BC ABCD,AD⊥AB, 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 必备知识·基础落实 要点一 所以可设DA=e,AB=e,AP=e,以{e,ee,e}为基底建 1.单位正交正方向单位长度坐标轴原点坐标向量 立空间直角坐标系Axy% 坐标平面 因为心-Ai==店+AP+PN=MA+AP+号P心 [思考]提示空间直角坐标系的三个要素是原点、坐标轴方向和 单位长度，空间直角坐标系的作用是可以通过空间直角坐标 i++号Pi+A+D0=-e+6+号(-e 系将空问点、直线、平面数量化，将空问位置关系解析化 e,+e)= 要点二 to+ge. 1.有序实数组(x,y,x)A(x,y,x)xy 所以=(（-0，)心=(01,0. 2.(x,y,2）a=(xy,2) [例题3]解析(1)因为点P关于x轴对称后，它在r轴的分量 [辨析]解析(1)错误.空间直角坐标系中，在x轴上的，点的坐 不变，在y轴，：轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 标一定是(a.0,0)的形式。 P1的坐标为(-2，一1，一4). (2)错误.空间直角坐标系中，在坐标平面(Ox内的点的坐 (2)因为点P关于坐标平面Oxy对称后，它在x轴、y轴的 标一定是(a,0,c)的形式. 分量不变，在文轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 (3)错误.关于坐标平面Oy对称的点其纵坐标、竖坐标保 P:的坐标为(-2.1，一4). 持不变，横坐标相反 (3)设对称，点为P(x,y,),则点M为线段PP,的中点，由 (4)正确.由点和向量坐标的概念可知正确. 中点坐标公式，可得x=2×2-(一2)=6，y=2×(一1)-1 答系(1)×(2)×(3)×(4)/ 一3,2=2×（一4）一4=一12，所以点P的坐标为(6，-3，一12). 关键能力·素养提升 [变式3]解析点P(2,3,一1)关于坐标平面Oxy的对称点P [例题1]解析如图，以A为原点，分别以直 的坐标为(2,3,1)，点P关于坐标平面Oyz的对称点P 线AB,AD,AA'为x轴、y轴、x轴，建 的坐标为（一2,3,1）点P关于轴的对称点P的坐标为(2， 立空间直角坐标系Ary,则点A,B,B -3,1). C,D都在平面Axy内，因而其经坐标 答案(2，一3,1) 都为O,因此A,B,C,D的坐标分别是 随堂检测·学以致用 A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0, L,C解扬因为点P的坐标中纵坐标为0，横坐标和竖坐标都 3,0). 不为0，所以点P在坐标平面Ox上.故选C项. ·190·