1.1.1 空间向量及其线性运算（学生用书）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 [学习目标]1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念,培养数学抽象的核心素养(重 藏).2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程,培养逻辑推理的核心素养,3.掌握空间向量的 线性运算,培养数学运算和直观想象的核心素养(重).4.理解并会应用空间向量共线、共面的充要条件,增强 逻辑推理、数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养(雌点). 必备知识 )基础落实 答案见Pt >练习:(参选)下列命题为真命题的是 要点一:空间向量的有关概念 _ 和 的量 1.定义:在空间,具有 A.空间向量AB与BA的长度相等 叫做空间向量. B.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 2.长度或模:向量的 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 3.表示方法 D.零向量与任意向量平行 (1)几何表示法:空间向量用 表示: 要点二 空间向量的线性运算 (2)字母表示法:用字母a,b,c....表示;若向量 a的起点是A,终点是B,也可记作AB,其模记 1.定义 如图,定义空间向量的加法、减法以及数乘运算 4.特殊的空间向量 (1a+b-OA+AB-OB: 定义及表示 名称 (2)a-b-OA-OC-CA: 零向量 规定 的向量叫做零向量,记为0 (3)当a0时,a-OA-PQ;当<0时. 单位向量 的向量叫做单位向量 a-aOA-MN;当a-0时,a-0 与向量a长度 而方向 相反向量 ### 的向量,叫做a的相反向量,记为一a 如果表示若干空间向量的有向线段所在 的直线 ,那么这些向量 共线向量 叫做共线向量或平行向量,规定:零向量 2.运算律(其中.R) 与任意向量 ,即对于任意向量 (1)交换律:a十b- a,都有o (2)结合律:(a十b)十c- ,)二 __且模 方向 的向量称为 相等向量 相等向量,在空间,__ H (3)分配律:(十)a一 ,(a十b)一 的有向线段表示同一向量或相等向量 .4: 第一章 空间向量与立体几何 >思考:空间向量的加、减法与平面向量的加、减 OA所在的直线OA平行于平面。或在平面。 内,那么称向量a 法是否相同?平面向量加、减法的运算律在空 平面a. 3.共面向量: 间向量中还适用吗? 同一个平面的向量,叫做 共面向量, 4.空间向量共面的充要条件:如果两个向量a.b不 共线,那么向量p与向量a.b共面的充要条件是 存在唯一的有序实数对(x,y),使 要点三 空间中的共线向量 》思考:若向量p,a,b满足p=zxa十,那么向 1.空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向 量p,a,b共面吗? 量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数入 使 2.方向向量:如图,O是直线/ 上一点,在直线/上取非零 向量a,则对于直线/上任 辨析 意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” 要条件可知,存在实数 ,使得 (1)零向量没有方向. ( ) ,我们把与向量a 的 (2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量. 非零向量称为直线/的 . 要点四 空间中的共面向量 (3)空间向量的数乘运算中,入只决定向量的大 1.向量和直线平行:如果表示向量a的有向线段 小,不决定向量的方向 _ ,那么称 OA所在的直线OA与直线/ (4)若a--b,则al-b. 向量a平行于直线/ (5)若两个向量的起点重合,则这两个向量的 方向相同. 1 2.向量和平面平行:如果表示向量a的有向线段 ) 关键能力素养提升 答案见P 探究一。 空间向量的概念 A.两个空间向量相等,则它们的起点相同,终 点也相同 误区防错 B.若空间向量a,b满足a -bl,则a-b C.在正方体ABCD-A.BCD 中,必有AC- 解答空间向量有关概念问题的注意点 A.C (1)空间向量的两大要素:大小和方向,两向 D.空间中任意两个单位向量必相等 量相等的充要条件:大小相等,方向相同 (2)两个特殊向量 ①零向量:长度为0的向量,方向任意; ②单位向量:长度为1的向量,方向不确定. (3)空间向量不能比较大小,但空间向量的模可 【变式1】判断下列命题是否正确,若不正确:请 以比较大小. 简述理由. 【例题1】(参选)下列命题中,不正确的命题是 (1)向量AB与CD是共线向量,则A,B.C.D ( 四点必在一条直线上; .5. 数学 选择性必修 第一册 课堂学案 (2)若向量AB,CD满足 AB CD:则 (2))(ABAC6-AD). ABCD; (3)任一向量与它的相反向量不相等; (4)四边形ABCD为平行四边形的充要条件 是AB-DC 探究二 空间向量的线性运算 【变式2】(参选)在正方体ABCD-A.BCD中, 下列各式的运算结果为向量AC的是 ) 规律总结 A.(AB+BC)+CC B.(AA+AD)+DC (1)空间向量加法、减法运算的两个技巧 C.(AB+BB)BC ①巧用相反向量:向量的三角形法则是解决 D.(AA+AB)+BC 空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向 量可使向量首尾相接 ②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形 法则进行向量加法、减法运算时,务必注意和 向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量 的自由平移获得运算结果 探究三 向量的共线问题 (2)利用数乘运算进行向量表示的技巧 1数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具 规律总结 体图形,利用三角形法则、平行四边形法则, (1)判断或证明a,b共线,即找实数x,使得 将目标向量转化为已知向量 b一n(a关0),在这里要充分运用空间向量的 ②明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧 运算法则,结合空间图形,化简转化为a,b的 妙运用中点性质. 关系式,得到b一xa(a:0)的形式,从而得到 b/a. 【例题2】在空间四边形ABCD中,G为△BCD (2)证明(或判断)A.B.C三点共线时,只需证 的重心,E,F,H分别为边CD,AD和BC的 明存在实数(或),使AB一入BC(或AB 中点,化简下列各表达式 uAC)即可,也可用“对空间任意一点O,有 (1)AG+B+CA; OB-1OA+(1-)OC,(R”来证明三点共线. .6. 第一章 空间向量与立体几何 【例题3】如图,四边形ABCD. 探究四 向量的共面问题 ABEF都是平行四边形且 不共面,M,N分别是AC. 规律总结 BF的中点,判断CE与MN是否共线 (1)证明向量共面,可以利用共面向量的充要 条件,也可以直接利用定义,通过线面平行或 直线在平面内进行证明. (2)向量共面时向量所在的直线不一定共面, 只有这些向量都过同一点时向量所在的直线 才共面(向量的起点、终点共面). 【例题4】已知非零向量e,e。不共线,如果AB- e+e,AC-2e+8e,AD-3e-3e,求证: A.B.C,D四点共面 【变式3】如图,已知M.N分 别为四面体ABCD的面 BCD与面ACD的重心,G 为AM上一点,且GM: 【变式4】如图,正方体ABCD-A.BCD 中,E.F GA-1:3.求证:B.G.N 分别为BB。和A.D 的中点.求证:向量AB. 三点共线. BC.EF是共面向量. .7. 数学 选择性必修 第一册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P. 1.(参选)下列命题中,正确的是 C 3.下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是 ( A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能 ) 比较大小 AQM-2QA-OB-O $B.M-0#++0 B.若向量a,b平行,则a,b所在的直线平行 C.只有零向量的模等于0 C.MA+MB+MC-0 D.相等向量其方向必相同 D.OM+OA+OB+OC-0 2.已知空间向量a,b互为相反向量,且b=3 4.如图,在直三楼柱ABC-A.BC , 则下列结论正确的是 中,若CA-a.CB-b.CC-c.则 A.a-b A.B-_(用a,b,c表示). B.a十b为实数0 D. la-3 C.a与b方向相同 示完成P课时作业(一) 1.1.2 空间向量的数量积运算 [学习目标]1.掌握空间向量的数量积,发展数学抽象的核心素养(重虑).2.了解空间向量投影的概念以及投 影向量的意义,增强数学抽象和直观想象的核心素养,3.数量积在空间中的简单应用,提升逻辑推理与数学运 算的核心素养(重难点). 必备知识 )基础实 答案见Pt 要点一 空间向量的夹角 要点二 空间向量的数量积 1.定义 1.定义 如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点 已知两个非零向量a,b,则 叫 O.作OA-a,OB-b,则 叫做向量a,b 做a,b的数量积,记作a·b,即a·b- 的夹角,记作 2.性质 (1)若a,b是非零向量,则a1b-0. (2)若a与b同向,则a·b-a·b;若反向: 2.向量a,b的夹角a,b的范围是 .如 果(a,b)一,那么称向量a,b互相 则a·b--a· b.特别地,a·a- -/n.a 记作 》思考:当(a,b)一0和(a,b)一n时,向量a与b (3)cos(a.b)- ab 有什么关系? (4)a·b<al·b. 3.运算律 (1)(a)·b- (2)交换律:a·b- (3)分配律:(a十b)·c一 .8:课堂学案答案 第一章空间向量与立体几何 方向相同，模也相等，必有AC=AC,故C项正确：空间中 任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一 1.1空间向量及其运算 定相等，故D项不正确.故选ABD项. [变式门解析(1)不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相 1.1.1空间向量及其线性运算 同或相反即可，并不要求向量AB,CD在同一条直线上 (2)不正确.向量不能比较大小. 必备知识·基础落实 (3)不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零 要点一 向量是相等的， 1.大小方向 (4)不正确.若A,B,C,D四，点共线，则无法构成四边形. 2.大小 [例题2]解扬(1)因为点G是△BCD的重心，所以G1 3.(1)有向线段(2)alAB 4.长度为0模为1相等相反互相平行或重合平行 }配，所以号酝-G成.又因为2=成，所以由向量 ∥相同相等同向等长 的加法法别，可知心+庞+2=花++亦=迹 [练习]ABD解析对于A项，因为空间向量AB与BA互为 相反向量，所以空间向量AB与BA的长度相等，正确：对 萨-航从两花+成+=成 于B项，由相等向量的概念可知命题正确：对于C项，空间 (2)如图所示，分别取AB,AC的中点P,Q,连接PH,QH, 向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是 有向线段，错误：对于D项，零向量的方向是任意的，所以零 向量与任意向量平行，正确.故选ABD项. 要点二 2.(1)b+a(2)a+(b+c)(r)a(3)a+aa+b [思考]提示因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同 一个平面内，所以任意两个空间向量的运算都可以转化为 平面向量的运算，所以空问向量的加、减法运算与平面向量 则四边形APHQ为平行四边形，且有号A店=A花，号AC 的加，减法运算相同.平面向量加、减法的运算律在空间向 A0而A护+AQ-Ai,号AD-A萨，所以号(A店+AC 量中仍然适用。 要点三 AD)=AP+A戒-A=A方-A亦=Fi 1.a=b [变式2]BCD解扬(AB+BC)+CC-AC+CC-=AC 2.入a平行方向向量 (AA+A D )+DC=AD,+DC=AC.(AB+BB ) 要点四 BC=AB,+B C =AC,(AA+AB )+BC=AB+ 1.平行或重合 2.平行于 BC=AC.故选BCD项。 3.平行于 [例题3]解析因为M,N分别是AC,BF的中点，且四边形ABCD, ABEF都是平行四边形， 4.p=0+3b [思考]提示共面.当a与b共线时，显然向量p,a,b共面：当a 所以M-Mi+A+F成=Ci+A萨+号F成，且MN 与b不共线时，由向量共面的充要条件，可知向量p,a,b 共面 心+正+成+=-Ci+正--成， [辨析]析(1)错送.零向量与任意向量共线，故可以认为零 向量的方向是任意的. 所以2+求+号=-Ci+正-求-成， (2)错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，与是否有 所以C它=C+2A+Fi=2(M+AF+F=2M, 公共终点无关， 所以C正/∥M,即C正与MN共线. (3)错误.当>0时，加与向量a的方向相同：当A<0时， [变式3]证明设A店=a.AC-b.AD=c, a与向量a的方向相反， (4)正确.由相反向量的概念可知正确. 剥BG-Bi+AG-Bi+A=Bi+是+N (5)错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的 关系不能确定 =-a+[号叶c+3] 答索(1)×(2)×(3)×(4)√/(5)× -a+a+b叶e)=a+bc 关键能力·素养提升 [例题门ABD解析当两个向量的起，点相同，终点也相同时， 因为B成=Bi+AN=BA+(AC+Ad) 这两个向量必相等，但两个向量相等不一定起点相同、终点 相同，故A项不正确：向量相等需模相等且方向相同，故B =-a+叶3c=专成 项不正确：在正方体ABCD-A1BCD中，向量AC与ACG 所以BN∥B心，即B,G,N三点共线 ·186· [例题幻证明由题意可设Ai=xAC十yAD,则有e十e= [辨析门解析(1)错误.向量AB与CD的夹角和向量AB与D心的 x(2e+8e)+y(3e-3ez)=(2.x+3y)e+(8.r-3y)e2. 夹角互补，而不是相等。 (2)错误.不一定，可能是a,也可能是π一a 2x十3y-1解得 5 因为e1和e不共线，所以 (3)错误.(a·b)·c是与c共线的向量，而a·(b·c)是与 18r-3y=1, y=5 a共线的向量 (4)正确.由数量积的性质知正确. 所以A店=号AC+号Ad,所以A,B.C,D四点共面， 答案(1)×(2)×(3)×(4)√ [变式4幻证朋方法一E亦=E店+B+A方 关键能力·素养提升 =号Bi-AB+2A可 [例题1门解扬(1Ddi.O店=iO1sOi.O=Oi· =BB+d-A店 OB1cos∠AOB=2×2×cos60°=2， (2)NP.AB=INPIABI Cos<NP.AB)=INPIABI. =BC-A成 cos180°=1×2×(-1)=-2 (3)Oi.AC=Oi.(元-O4=Oi.元-Oi.Oi=2× 由向量共面的充要条件知，向量AB, 2×cos∠BC-2X2×cos∠OA=0. BC,EF是共面向量. (4元.迹-元.号成-号.成=. 方法二如图，连接AD,BD,取AD的 中点G,连接FG,BG,则FC4号DD, OB=2元-元.08=号×(2-2)=1 [变式1]解析(1)由题意知，a=b1=c=1,a·b=a·c BEL2DD,所以FGLBE, c·b=0, 所以四边形BEFG为平行四边形， 所以a·(b十e)=a·b+a·c=0. 所以EF∥BG,所以EF∥平而ABD (2)(a+b)·(b+c)=a·b+a·c+b+b·c=1. 同理，BC∥AD,所以BC∥平面ABD (3)(a+b+c)·(a+b+c)=(a+b+c)2=a+b+c2+ 2(a·b+a·c+b·c)=3. 所以A,B.BC,EF都与平面A:BD平行. [例题2]解析(1)因为ABL平面BCCB,所以AB⊥CB,故 所以向量AB,BC,EF是共面向量 (AB,CB)=90,图为BD∥Bd.所以(A店.BD)= 随堂检测·学以致用 (A1B.BD)=180°-∠ABD,因为△A1BD为等边三角形， 1.ACD解析向量都不能比较大小，故A项正确：向量a,b平 所以∠ABD=60°，所以(A1B,BD)=120. 行，则a,b所在的直线平行或重合，故B项错误：只有零向量 (2)由ACLa,可知ACLAB.由∠DBD=30°，可知(CA.BD) 的模等于0，故C项正确：相等向量的长度相等，方向相同， 60°.因为CD12=CD.CD=(CA+AB+BD)2=CA2+ 故D项正确.故选ACD项， AB?+BD1?+2(CA·AB+CA.BD+AB·BD)= 2.D解析向量a,b互为相反向量，则a,b的模相等、方向相 反，只有D项正确.故选D项： F+a2+#+2(0+Fcos60°+0)=d2+3盼，所以CD1= 3.C解析C项中，=一M市-M心，且有公共点M,所以，点 √a+3G,即CD=√a+3. M,A,B,C共面.故选C项. 答率(1)90°120°(2)√a+30 4.解ǖAB-CB-CA-C市-(CA+CC)=一a+b-c [变式2]解析(I)因为AC1,BDLb.C,DEh,所以A店.市 答案-a十b一c (4C+CD+D)·.CD-CD-1,所以cos(A,CD) 1.1.2空间向量的数量积运算 需需病专片以成市-，*异面克线 AB.CD 必备知识·基础落实 a,b所成的角为60°.故选C项. 要点一 (2)设AB=a.AD=b.A4=c,则1a=b=c=1,且(a,b= 1.∠AOB(a,b) （b.c=(c,a=60,周此a:b=bc=c·a=由Ad 2.[0,r]垂直a⊥b [思考]提灵当(a,b》=0时，a与b同向：当(a,b》=π时，a与b a+b+c得AC12=a2+6+c2+2a·b+2b·c+2c·a= 反向. 6,所以AC1=√6.故速B项 要点二 答率(1)C(2)B 1.la blcos(a.b)lallblcos(a.b) [例题3]证明设∠AOB=∠B0C-∠A0C=0,且OA=a,OB=b. 2.(1)a·b(2)la2a Od=c,则|a=b=lc. 3.(1)λ(a·b)(2)b·a(3)a·c+b·c 因为0=号i+o成)=[20i+号O成+6ò] [思考]提示数量积的运算不满足结合律，也不满足消去律，即 (a·b)·c≠a·(b·c),a·b=a·cpb=c. I(a+b+e).BC-c-b. 要点三 I.向量a向量b投影向量 所以元.武-(a+b叶c)·(c-b)=寸(a·c-a…b+b: ·187·