期末专项第07讲：概率（四大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第七讲：概率 题型导图 考点与典例 考点一：随机事件和概率 【必背公式】 1.互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 2.对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 3.计算古典概型概率 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 4.概率的性质 （1）设，是一个随机试验中的两个事件，有 （2）如果事件与事件互斥，那么； （3）如果事件与事件互为对立事件，那么，； 【典例例题】 例1.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】16可以拆成 共有15种情况, 其中拆成的和式中加数全部为质数的有：共有4种情况. 所以拆成的和式中，加数全部为质数的概率为. 故选：C. 例2.为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”. (1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率； (2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率； (3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下： A组:； B组:. 写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）. 【答案】(1)0.3 (2) (3)81或84 【详解】（1）频率分布直方图中，成绩优秀的两组学生，频率为，        所以估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率为0.3. （2）样本中，组中有人，组中有人，                 从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，其样本空间可记为： 共包含15 个样本点, 记事件A：两人来自同一组， 则，共包含7个样本点， 所以这2人来自同一组的概率 . （3）这两组学生的得分记录：A组:； B组:. 方差反映的是数据的离散程度，要使A、B两组学生得分的方差相等， 对比两组数据，可知：或. 【变式训练】 1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 【答案】C 【详解】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b， 则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab： A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误； B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB， 两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误； C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确； D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 2.下列说法正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 C．若，则事件A与B是对立事件 D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 【答案】A 【详解】A：由互斥事件和对立事件的关系可判断对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确； B：若A，B是不可能事件，同时发生和恰有一个发生的概率都是零，相等，故B错误； C：由 ，并不能得出A与B是对立事件， 举例说明：有a，b，c，d四个小球，选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选中b，c两球，则 ， ，但A，B不是对立事件，错误； D：若A，B是互斥事件，事件A，B中至少有一个发生的概率等于A，B中恰有一个发生的概率，故D错误； 故选：A 3.给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】对于①，若事件A，B互斥，则与不一定是互斥事件， 故①错误； 对于②，若A，B为两个事件， 则,故②错误； 对于③，若事件A，B，C彼此互斥， 则，故③正确； 对于④，若事件A，B满足， 则A，B不一定是对立事件， 例如：设投一枚硬币3次，事件“至少出现一次正面”， 事件“出现3次正面”， 则,满足， 但A，B不是对立事件，故④错误， 故错误的命题有3个， 故选:D. 4.掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为3的倍数”，则（    ） A． B． C．与是互斥事件 D．与互为对立事件 【答案】A 【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，即，事件,     由古典概型的概率公式可得,,故A正确，B错误； 又，即事件A、B既不互斥也不对立.故CD错误； 故选：A. 5.已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，， ∴， ∵事件A，B是互斥事件， ∴． 故选：C 考点二：事件的相互独立 【必背公式】 1.对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 【典例例题】 甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 故选:D. 【变式训练】 1.如果事件与事件互斥，那么（    ）条件. A． B． C．与一定互斥 D．与一定独立 【答案】B 【详解】例如：口袋中由3个红球、2个白球和1个黄球，从而任取一个球， 事件“表示取到的是红球”，事件“表示取到得是白球”，事件“表示取到的是黄球”， 此时，事件，事件和事件是互斥事件，所以事件不可能同时发生， 且， 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由事件与事件不可能同时发生，可得，所以B正确； 对于C中，由事件；“取得一个球不是红球”，事件：“取得一个球不是白球”， 当取得到的一个球为黄球时，此时事件和事件同时发生， 所以与事件不一定互斥，所以C不正确； 对于D中，由，，可得， 此时事件和事件不独立事件，所以D错误. 故选：B. 2.一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 【答案】D 【详解】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件， 所以，故A正确； 对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生， 所以R与G互斥但不对立，故B正确； 对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”， 所以，故C正确； 对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有： ，共12种结果， 事件S包含这6种结果，， 事件T包含这6种结果，， 事件ST包含这2种结果，， ，所以S与T不是相互独立事件，故D错误. 故选：D. 3.中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为，，，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设试验任务不成功的的概率是， 所以成功的概率为， 故选：D. 4.掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（    ） A．与对立 B．与不互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【详解】对于A，事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，与互斥但不对立，因为红骰子的点数还有其他情况，比如，A错误； 对于B，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，与不可能同时发生，故与互斥，B错误； 对于C，两个骰子的点数之和为的情况有， 则， 所以，所以与相互独立，C正确； 对于D，两个骰子的点数之和为的情况有， ，所以，D错误. 故选：C. 5.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）； (2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率； (3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙在面试中通过的概率分别为，．求甲、乙能同时参加冬令营的概率． 【答案】(1)作图见解析，76.25分； (2)； (3). 【详解】（1）由频率分布直方图可知的频率为 ， 所以组的纵轴为， 所以频率分布直方图如下所示： 又，， 所以第分位数位于，且， 所以入围分数应设为76.25分. （2）依题意从抽取人，标记为1,2,3,4； 从抽取，标记为，； 从6人中随机选2人其样本空间可记为 ， 共包含15个样本点，即有15种选法． 设事件A=“至少有1名学生成绩不低于90”， 则其中2人都是的样本空间可记为 ，共包含6个样本点，即有6种选法． 则； 所以至少有1名学生成绩不低于90的概率为. （3）依题意甲能参加冬令营的概率， 乙能参加冬令营的概率， 二人互不影响，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率． 6.某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立. (1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率； (2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率. 【答案】(1) (2)7种， 【详解】（1）A组在参加两场比赛后得分为3分的概率为 （2）四组总积分一样，可以每次都是平局， 也可以每组学生是一胜一负一平. 如: A胜B负，A负C胜，AD平 BC平，B胜D负，C负D胜 不难发现，A的三种情况确定后，比赛结果是确定的， 所以只要去看可能出现的情况， A胜B负，A负C胜，AD平， A负B胜，A胜C负，AD平 A胜B负，A负D胜，AC平 ， A负B胜，A胜D负，AC平 A胜C负，A负D胜，  AB平 ， A负C胜，A胜D负，AB平 共6+1=7种 7.某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件为“两枚骰子点数相同”，事件为“两枚骰子点数相连”，事件为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”． (1)以事件、、发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件； (2)若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率. 【答案】(1)二等奖为事件 (2) 【详解】（1）解：设两枚骰子的点数分别为、，用表示投掷结果，则所有可能的结果有种， 即、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、 、、， ，则， ，则， ，则 ， ，所以二等奖为事件． （2）解：投掷一次中奖的概率为， 该活动每位顾客中奖的概率为． 考点三：概率和频率的关系 【必背公式】 随着大量实验情况下，事件的频率趋于一个固定的值，就是事件的概率。 【典例例题】 例1.池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组， 所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故选：B. 【变式训练】 1.进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 2.规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中， 代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组， 因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为. 故选：A. 巩固训练 1.某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可得该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为． 故选：C. 2.某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,683,271,989, 537,925,故8个， 故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为. 故选：B. 3.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有 共15种情况，其中数字之和为5的倍数的有共3种情况， 所以所求的概率为. 故选：A. 4.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为（    ） A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648 【答案】B 【详解】由题意可得乙最终获胜有两种情况： 一是前两局乙获胜，则获胜的概率为， 二是前两局乙胜一局，第三局乙获胜，则获胜的概率为， 而这两种情况是互斥的，所以乙最终获胜的概率为. 故选：B. 5.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 【答案】D 【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，且，，相互独立， 对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有，故A正确； 对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为， 则，故B正确； 对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是， 则， 所以至少有1个红球的概率为，故C正确； 对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件，其概率为， 故D不正确． 故选：D. 7.（多选）已知事件A，B满足，，则（    ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 【答案】BC 【详解】对于A，由,则,故A错误； 对于B，与相互独立，则与相互独立， 故,故B正确； 对于CD，互斥，则,,故C正确，D错误. 故选：BC 8.（多选）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 【答案】AD 【详解】设是样本空间， A选项，由于，所以与是对立事件，A选项正确. B选项，由于“取出的球中，一个黄球一个白球”， 所以与不是互斥事件，B选项错误. C选项，由于“取出的球中，恰好有个白球”， 所以与不是对立事件，C选项错误. D选项，由于，所以，所以D选项正确. 故选：AD 9.（多选）在12张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为，甲表示事件“为偶数”，乙表示事件“为质数”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，则（    ） A．甲与丙为互斥事件 B．乙与丁相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲乙乙丙） 【答案】CD 【详解】由已知，该试验的样本空间为． 甲，乙，丙，丁． 对于A，因为甲丙，故甲与丙不互斥，错误； 对于B，乙丁，所以乙丁， 又（乙），（丁），所以（乙）（丁）（乙丁），故乙与丁不相互独立，错误； 对于C，丙丁，所以（丙丁）， 又P（丙），P（丁），P（丙）P（丁）=P（丙丁），故丙与丁相互独立，正确； 对于D，甲乙，乙丙，故P（甲乙）=P（乙丙），正确． 故选：CD. 10.某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. (1)求和乙样本直方图中的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. (3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 【答案】(1)；； (2)平均值81.5，中位数82； (3) 【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得； （2）甲样本数据的平均值估计值为 ， 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为， ， 解得，所以乙样本数据的中位数为82. （3）由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人， 将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为， 则从这6人中随机抽取2人的基本事件有 ，共15个， 所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为. 11.与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“甲答对”，“乙答对”， 则，，，， “甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥 由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立， 则， 所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为. （2）设“丙答对”，则， 设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知， ，解得， 所以的值为. 12.1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数； (2)若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率． 【答案】(1)，70%分位数为91； (2). 【详解】（1）由上表可知，，解得， 设这50名学生一试成绩的70%分位数为， 由于前三个矩形面积，前四个矩形面积， 故得，，解得， 即这50名学生一试成绩的70%分位数约为91． （2）由图知，成绩在有人，成绩在有人， 根据分层抽样的原则，成绩在抽2份，成绩在抽1份， 设，，，四位同学的成绩在，，两位同学的成绩在， 根据分层抽样的原则有，，，，，，，，， ，，共12个样本，符合条件的，，共3个样本， 所以符合条件的概率为， 即，两位同学的试卷都被抽到的概率为． 13.甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是. (1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记事件A：甲机床加工的零件是一等品，事件B：乙机床加工的零件是一等品，且A与B相互独立， 由题意得，，所以， 解得. （2）记事件C：从甲加工的零件中取两个都不是一等品， 事件D：抽取的三个零件至少有一个一等品，则， 所以. 14.甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，则 . （2）设事件“甲第一轮猜对”，“乙第一轮猜对”，“甲第二轮猜对”，“乙第二轮猜对”， ““博学队”猜对三个数学名词”，所以， ，则， 由事件的独立性与互斥性，得 ， 故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲：概率 题型导图 考点与典例 考点一：随机事件和概率 【必背公式】 1.互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 2.对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 3.计算古典概型概率 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 4.概率的性质 （1）设，是一个随机试验中的两个事件，有 （2）如果事件与事件互斥，那么； （3）如果事件与事件互为对立事件，那么，； 【典例例题】 例1.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（    ） A． B． C． D． 例2.为了了解某校高一学生一次体育健康测试的得分情况，一位老师采用分层抽样的方法选取了20名学生的成绩作为样本，来估计本校高一学生的得分情况，并以，，，，分组，作出了如图所示的频率分布直方图，规定成绩不低于90分为“优秀”. (1)从该学校高一学生中随机选取一名学生，估计这名学生本次体育健康测试成绩“优秀”的概率； (2)从样本成绩优秀的，两组学生中任意选取2人，记为， 中的学生为， 中的学生为，求这2人来自同一组的概率； (3)从成绩在的学生中任取3名学生记为A组，从成绩在的学生它任取3名学生记为B组，这两组学生的得分记录如下： A组:； B组:. 写出a为何值时，A、B两组学生得分的方差相等（结论不要求证明）. 【变式训练】 1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 2.下列说法正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 C．若，则事件A与B是对立事件 D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 3.给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为偶数”，事件“点数为3的倍数”，则（    ） A． B． C．与是互斥事件 D．与互为对立事件 5.已知事件A，B是互斥事件，，，则（    ） A． B． C． D． 考点二：事件的相互独立 【必背公式】 1.对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 【典例例题】 甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.如果事件与事件互斥，那么（    ）条件. A． B． C．与一定互斥 D．与一定独立 2.一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 3.中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为，，，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（    ） A． B． C． D． 4.掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则（    ） A．与对立 B．与不互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 5.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）； (2)采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率； (3)进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响．甲在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙在面试中通过的概率分别为，．求甲、乙能同时参加冬令营的概率． 6.某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立. (1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率； (2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率. 7.某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件为“两枚骰子点数相同”，事件为“两枚骰子点数相连”，事件为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”． (1)以事件、、发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件； (2)若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率. 考点三：概率和频率的关系 【必背公式】 随着大量实验情况下，事件的频率趋于一个固定的值，就是事件的概率。 【典例例题】 例1.池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 2.规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数： 据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1.某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互不受影响．若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 2.某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（    ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 3.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（　　） A． B． C． D． 4.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为（    ） A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648 5.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球中恰有1个红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球不都是红球的概率为 7.（多选）已知事件A，B满足，，则（    ） A．事件A与B可能为对立事件 B．若A与B相互独立，则 C．若A与B互斥，则 D．若A与B互斥，则 8.（多选）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 9.（多选）在12张卡片上分别写上数字1~12，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为，甲表示事件“为偶数”，乙表示事件“为质数”，丙表示事件“能被3整除”，丁表示事件“”，则（    ） A．甲与丙为互斥事件 B．乙与丁相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲乙乙丙） 10.某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. (1)求和乙样本直方图中的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）. (3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率. 11.与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. (1)求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； (2)若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 12.1981年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年9月第二个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”，竞赛分为一试（满分120分）和二试（满分180分），在这项竞赛中取得优异成绩的学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克暨全国中学生数学冬令营”，已知2023年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛，其取得的一试成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求实数的值并估计这50名学生一试成绩的70%分位数； (2)若一试成绩在100分及以上的试卷需要主委会抽样进行二次审阅，评审员甲在这50名学生一试成绩中按照分层抽样的原则从和内抽取3份试卷进行审阅，已知同学的成绩是105分，同学的成绩是111分，求这两位同学的试卷同时被抽到的概率． 13.甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是. (1)分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 14.甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； (2)求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$