期末专项第06讲：统计（四大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第六讲：统计 题型导图 考点与典例 考点一：简单随机抽样 【必背公式】 1.分层抽样 （1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样. （2）应用范围：总体是由差异明显的几个部分组成的. （3）分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比 . 2.分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为 【典例例题】 例1.现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 例2.为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（    ） A．2.6 B．3 C．3.4 D．4.1 【答案】B 【详解】因为甲班调查了40人，则甲班所占比重为， 乙班调查了60人，则乙班所占比重为， 甲班平均数和方差分别为和乙班平均数和方差分别为和 设调查的总样本的平均数为和方差为则， 故选：B. 【变式训练】 1.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为 ． 2.现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 ． 3.（多选）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（    ） 参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为 C．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为 D．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 4.某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30 (1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少? (2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少? 考点二：样本数字特征 【必背公式】 1.计算第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据； 若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 2.平均数 ①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. 3.众数 ①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。 4.中位数 ①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 5.标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 6.平均数，方差的线性关系： 数据 平均数 方差 ，，， ，，， ，，， ，，， 【典例例题】 例1.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为.若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为 . 【变式训练】 1.某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（    ） A．12 B．16 C．17 D．18.5 2.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（    ）   A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数<中位数<平均数 C．图（2）的平均数<众数<中位数 D．图（3）的平均数<中位数<众数 3.设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是 . 4.已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则平均数（    ） A．1 B． C．2 D． 5.（多选）已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．方差是 D．极差是 考点三：频率分布直方图 【必背公式】 1.频率、频数、样本总数 样本总数=频率频数 2.在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 【典例例题】 例1.某地区100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数如下：                          (1)列出样本的频率分布表； (2)补全频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表） (3)当地政府制定了人均月用水量为的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？ 【变式训练】 1.果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行消洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.    (1)统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差； (2)统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到频率分布直方图. ①估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数； ②估计这600名中国果切消费者年龄的中位数及平均数（结果保留整数）. 2.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.（附：方差计算公式：或 3.数字乡村是乡村振兴的战略方向，也是建设数字中国的重要内容.从乡村民宿到旅游演艺，新技术应用带来了乡村文化旅游新体验.某平台为了助力数字乡村发展，决定从100名员工中挑选30名员工组建“数字乡村发展部”，对这100名员工的各项素质进行综合评分，得到如下频数分布表： 分数 频数 10 30 40 20 (1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图， (2)估计这100名员工各项素质分数的平均数与方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)若该平台准备挑选成绩较好的员工组建“数字乡村发展部”，则被挑选的员工分数不低于多少？ 巩固训练 1.个总体共有60个个体，其编号为00，01，02，…，59，现从中抽取一个容量为10的样本，请从随机数表的第8行第11列的数字开始，向右读，到最后一列后再从下一行左边开始继续向右读，依次获取样本号码，直到取满样本为止，则获得的样本号码是 . 附表：（第8行～第10行） 63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75 12 86 73 58 07　44 39 52 38 79（第8行） 33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38 15 51 00 13 42　99 66 02 79 54（第9行） 57 60 86 32 44　09 47 27 96 54　49 17 46 09 62 90 52 84 77 27　08 02 73 43 28（第10行） 2.某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，26 3.某厂家为了保证防寒服的质量，从生产的保暖絮片中随机抽取多组，得到每组纤维长度（单位：）的均值，并制成如下所示的频率分布直方图，由此估计其纤维长度均值的分位数是 . 4.以下数据为某校参加数学竞赛的19人的成绩：66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，则这19人成绩的第80百分位数是 . 5.某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人.A同学按男生､女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18. (1)如果已知男､女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差； (2)如果已知男､女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为，总样本的方差为，分别直接写出与与的大小关系； (3)如果已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为，能否认为比更接近总体平均身高，说明理由. 6.2024年1月，某市的高二调研考试首次采用了“”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（学生在政治､地理､化学､生物中选修的2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将该市某再选科目原始成绩按从高到低划分为五个等级，各等级人数所占比例分别约为.依照转换公式，将五个等级的原始分分别转换到五个分数区间，并对所得分数的小数点后一位进行“四舍五入”，最后得到保留为整数的转换分成绩，并作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如下表： 等级 比例 赋分区间 已知该市本次高二调研考试化学科目考试满分为100分. (1)已知转换公式符合一次函数模型，若学生甲､乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84，78，转换分成绩为78，71，试估算该市本次化学原始成绩B等级中的最高分. (2)现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，求出图中的值，并用样本估计总体的方法，估计该市本次化学原始成绩等级中的最低分. 7.以“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”为主题的2023年世界互联网大会乌镇峰会于11月8日至10日在中国浙江省乌镇举行．为保障大会顺利进行，世界互联网大会的秘书处从招募的志愿者中随机抽取100名进行了一次互联网知识竞赛，所得成绩（单位：分）均在内，并制成如下频数分布表： 成绩/分                          频数 8 28 20 12 (1)根据频数分布表，在下图中作出频率分布直方图；    (2)以样本估计总体，记竞赛成绩不低于86分的志愿者为优秀志愿者，则优秀志愿者的占比能否达到20%？ 8.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)求第七组的频率； (2)估计该校名男生身高的平均数和分位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲：统计 题型导图 考点与典例 考点一：简单随机抽样 【必背公式】 1.分层抽样 （1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样. （2）应用范围：总体是由差异明显的几个部分组成的. （3）分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比 . 2.分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为 【典例例题】 例1.现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型､型､B型和型血的学生依次有人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（    ） A．①②都采用简单随机抽样 B．①②都采用分层随机抽样 C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样 D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样 【答案】C 【详解】由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样， 对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样. 故选：C. 例2.为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（    ） A．2.6 B．3 C．3.4 D．4.1 【答案】B 【详解】因为甲班调查了40人，则甲班所占比重为， 乙班调查了60人，则乙班所占比重为， 甲班平均数和方差分别为和乙班平均数和方差分别为和 设调查的总样本的平均数为和方差为则， 故选：B. 【变式训练】 1.某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在岁年龄段的问卷中抽取的份数为 ． 【答案】120 【详解】因为岁年龄段回收了180份问卷，而样本在岁年龄段的问卷中抽取了60份， 所以抽样比为． 因为分层抽取的样本的容量为300， 故回收的问卷总数为（份）， 可得（份）， 所以在16～18岁年龄段中抽取的问卷为（份）． 故答案为：120. 2.现利用随机数表发从编号为的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 ． 【答案】18 【详解】依次选出的编号为： 则选出来的第6支水笔的编号为18， 故答案为：. 3.（多选）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（    ） 参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为 C．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为 D．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，A错； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设计该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，B对； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，C对； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，D对. 故选：BCD. 4.某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30 (1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少? (2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少? 【答案】(1)总样本的均值为cm，总样本的方差为 (2)总样本的均值为cm，总样本的方差为； 【分析】（1）根据男、女的样本量按比例分配进行计算可得答案; （2）按男、女的样本量都是25计算总样本均值和方差即可. 【详解】（1）男、女的样本量按比例分配， 总样本的均值为cm， 总样本的方差为； （2）男、女的样本量都是25， 总样本的均值为cm， 总样本的方差为； 考点二：样本数字特征 【必背公式】 1.计算第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据； 若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 2.平均数 ①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. 3.众数 ①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。 4.中位数 ①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 5.标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 6.平均数，方差的线性关系： 数据 平均数 方差 ，，， ，，， ，，， ，，， 【典例例题】 例1.已知互不相等的4个正整数从小到大排序为.若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为 . 【答案】 【详解】这组数据的极差为，中位数为， 根据题意得，即， 又它们的和为12，所以，解得，. 因为为正整数且互不相等，且， 三个数的平均数即中位数， 则得到，. 因为， 所以这4个数据的第75百分位数为. 故答案是：. 【变式训练】 1.某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的分位数是（    ） A．12 B．16 C．17 D．18.5 【答案】C 【详解】依题意这个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，， 又，所以分位数为从小到大排列的第八个数，即为. 故选：C 2.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（    ）   A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数<中位数<平均数 C．图（2）的平均数<众数<中位数 D．图（3）的平均数<中位数<众数 【答案】C 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：C 3.设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是 . 【答案】 【详解】由题意得， 所以数据的方差 . 故答案为：. 4.已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则平均数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】已知样本数据的平均数为，方差为， 则样本数据的方差为，所以， 又因为，所以． 样本数据的平均数为，所以，解得. 故选：C． 5.（多选）已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．方差是 D．极差是 【答案】BC 【详解】A选项，由题意得， 则， 则的平均数是，A错误； B选项，从小到大排列后为， 取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即， 由于，故从小到大排列为， 取第5个和第6个数的平均数作为中位数，即，B正确； C选项，由题意得， 则 ，故方差是，C正确； D选项，从小到大排列后为， 故， 其中从小到大排列后为， 则，故极差是，D错误. 故选：BC 考点三：频率分布直方图 【必背公式】 1.频率、频数、样本总数 样本总数=频率频数 2.在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 【典例例题】 例1.某地区100位居民的人均月用水量（单位：）的分组及各组的频数如下：                          (1)列出样本的频率分布表； (2)补全频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表） (3)当地政府制定了人均月用水量为的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？ 【答案】(1)分布表见解析； (2)频率分布直方图见解析；平均数为2.02，中位数为2.02，众数为2.25； (3)政府的解释是正确的，原因见解析. 【详解】（1）频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 0.04 8 0.08 15 0.15 22 0.22 25 0.25 14 0.14 6 0.06 4 0.04 2 0.02 合计 100 1 （2）频率分布直方图如图： 平均数： . 中位数：用水量在的频率为：， 所以中位数为. 众数为：. （3）因为人均月用水量在以上的居民所占的比例为， 即大约有的居民月用水量在以上， 的居民月用水量在以下， 因此政府的解释是正确的. 【变式训练】 1.果切是一种新型水果售卖方式，商家通过对整果进行消洗、去皮、去核、冷藏等操作后，包装组合销售，在“健康消费”与“瘦身热潮”的驱动下，果切更能满足消费者的即食需求.    (1)统计得到10名中国果切消费者每周购买果切的次数依次为：1，7，4，7，4，6，6，3，7，5，求这10个数据的平均数与方差； (2)统计600名中国果切消费者的年龄，他们的年龄均在5岁到55岁之间，按照，，，，分组，得到频率分布直方图. ①估计这600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数； ②估计这600名中国果切消费者年龄的中位数及平均数（结果保留整数）. 【答案】(1)5；3.6 (2)①120；②24；25. 【详解】（1）， . （2）①600名中国果切消费者中年龄不小于35岁的人数为： . 由，，可得， 所以，解得， 所以这600名中国果切消费者年龄的中位数为24. ②其平均数 . 2.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.（附：方差计算公式：或 【答案】(1)， (2)78分 (3)90；38.75 【详解】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以，解得， 又，解得． 所以，， （2）成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m， 则，解得，所以晋级分数线划为78分合理． （3），故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 3.数字乡村是乡村振兴的战略方向，也是建设数字中国的重要内容.从乡村民宿到旅游演艺，新技术应用带来了乡村文化旅游新体验.某平台为了助力数字乡村发展，决定从100名员工中挑选30名员工组建“数字乡村发展部”，对这100名员工的各项素质进行综合评分，得到如下频数分布表： 分数 频数 10 30 40 20 (1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图， (2)估计这100名员工各项素质分数的平均数与方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)若该平台准备挑选成绩较好的员工组建“数字乡村发展部”，则被挑选的员工分数不低于多少？ 【答案】(1)直方图见解析 (2)平均数为，方差为 (3) 【详解】（1）由题知，频率分布表为 分数 频数 频率 频率/组距 10 0.1 0.01 30 0.3 0.03 40 0.4 0.04 20 0.2 0.02 所以频率直方图如图， （2）由题知，平均数为， 方差为， （3）因为从100名员工中挑选30名员工组建“数字乡村发展部”，又准备挑选成绩较好的员工组建“数字乡村发展部”， 所以应选成绩为70百分位数及其后的分数的员工， 设70百分位数为，由，得到， 所以被挑选的员工分数不低于. 巩固训练 1.个总体共有60个个体，其编号为00，01，02，…，59，现从中抽取一个容量为10的样本，请从随机数表的第8行第11列的数字开始，向右读，到最后一列后再从下一行左边开始继续向右读，依次获取样本号码，直到取满样本为止，则获得的样本号码是 . 附表：（第8行～第10行） 63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75 12 86 73 58 07　44 39 52 38 79（第8行） 33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38 15 51 00 13 42　99 66 02 79 54（第9行） 57 60 86 32 44　09 47 27 96 54　49 17 46 09 62 90 52 84 77 27　08 02 73 43 28（第10行） 【答案】16，55，19，10，50，12，58，07，44，39 【分析】从第8行第11列的数字为1，由此开始，依次抽取号码所要号码，对于超出标号的数字将其舍去，重复的数字也舍去，直到取满样本为止 【详解】第8行第11列的数字为1，由此开始，依次抽取号码，第一个号码为16，可取出； 第二个号码为95＞59，舍去． 按照这个规则抽取号码，抽取的10个样本号码为16，55，19，10，50，12，58，07，44，39. 故答案为：16，55，19，10，50，12，58，07，44，39. 2.某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（　　） A．40，32 B．42，30 C．44，28 D．46，26 【答案】A 【分析】根据分层抽样原理求出抽取的人数． 【详解】根据分层抽样原理知，，， 所以抽取男生40人，女生32人． 故选：A. 3.某厂家为了保证防寒服的质量，从生产的保暖絮片中随机抽取多组，得到每组纤维长度（单位：）的均值，并制成如下所示的频率分布直方图，由此估计其纤维长度均值的分位数是 . 【答案】36 【分析】计算前6个以及前面7个矩形面积之和，确定纤维长度均值的分位数位于第7组内，根据分位数的含义，列式计算，即得答案. 【详解】由频率分布直方图可得从左到右前6个矩形面积之和为：， 前7个矩形面积之和为， 故纤维长度均值的分位数位于第7组内， 设纤维长度均值的分位数为x，则， 解得， 即估计其纤维长度均值的分位数是36， 故答案为：36 4.以下数据为某校参加数学竞赛的19人的成绩：66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，则这19人成绩的第80百分位数是 . 【答案】90 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】，故这19人成绩的第80百分位数为第16个数90， 故答案为：90 5.某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人.A同学按男生､女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18. (1)如果已知男､女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差； (2)如果已知男､女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为，总样本的方差为，分别直接写出与与的大小关系； (3)如果已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为，能否认为比更接近总体平均身高，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据按比例的分层抽样总样本的平均数和总样本的方差公式计算可得答案； （2）根据按比例的分层抽样总样本的平均数和总样本的方差公式计算再比较大小可得答案； （3）示例1：可以认为比更接近总体平均身高。理由：男､女生身高存在明显差异，采用按男､女比例分配的分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样；示例2：不能认为比更接近总体平均身高，理由：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，可能简单随机抽样的估计效果好于分层随机抽的估计效果；示例3：无法确定是否比更接近总体平均身高，理由：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，并不能保证分层随机抽的估计效果一定好于简单随机抽样. 【详解】（1）由题意知，总样本的平均数为 总样本的方差为 （2）男､女样本量分别为30和70时，总样本的平均数为 ， 总样本的方差为 所以. （3）答案示例1：可以认为比更接近总体平均身高. 理由如下： 男､女生身高存在明显差异，采用按男､女比例分配的分层随机抽样的效 果一般会好于简单随机抽样，所以可以认为比更接近总体平均身高. 答案示例2：不能认为比更接近总体平均身高. 理由如下： 由于样本的随机性，对于一次抽样而言，可能简单随机抽样的估计效果好于 分层随机抽的估计效果，所以不能认为比更接近总体平均身高. 答案示例3：无法确定是否比更接近总体平均身高. 理由如下： 由于样本的随机性，对于一次抽样而言，并不能保证分层随机抽的估计效果 一定好于简单随机抽样，所以无法确定是否比更接近总体平均身高. 6.2024年1月，某市的高二调研考试首次采用了“”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（学生在政治､地理､化学､生物中选修的2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将该市某再选科目原始成绩按从高到低划分为五个等级，各等级人数所占比例分别约为.依照转换公式，将五个等级的原始分分别转换到五个分数区间，并对所得分数的小数点后一位进行“四舍五入”，最后得到保留为整数的转换分成绩，并作为赋分成绩.具体等级比例和赋分区间如下表： 等级 比例 赋分区间 已知该市本次高二调研考试化学科目考试满分为100分. (1)已知转换公式符合一次函数模型，若学生甲､乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84，78，转换分成绩为78，71，试估算该市本次化学原始成绩B等级中的最高分. (2)现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，求出图中的值，并用样本估计总体的方法，估计该市本次化学原始成绩等级中的最低分. 【答案】(1)90分 (2)，70分 【分析】（1）根据已知条件及待定系数法即可求解； （2）根据已知条件及频率分布直方图的特点即可求解. 【详解】（1）设转换公式中转换分关于原始成绩的一次函数关系式为. 则，解得， 转换分的最高分为85， .解得. 故该市本次化学原始成绩B等级中的最高分为90分. （2）， . 设化学原始成绩等级中的最低分为， 综上，化学原始成绩等级中的最低分为70. 7.以“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”为主题的2023年世界互联网大会乌镇峰会于11月8日至10日在中国浙江省乌镇举行．为保障大会顺利进行，世界互联网大会的秘书处从招募的志愿者中随机抽取100名进行了一次互联网知识竞赛，所得成绩（单位：分）均在内，并制成如下频数分布表： 成绩/分                          频数 8 28 20 12 (1)根据频数分布表，在下图中作出频率分布直方图；    (2)以样本估计总体，记竞赛成绩不低于86分的志愿者为优秀志愿者，则优秀志愿者的占比能否达到20%？ 【答案】(1)频率分布直方图见解析 (2)能达到20% 【分析】（1）先求出n值，再确定每组的频率再画图即可； （2）计算出不低于86分的志愿者的频率即可求解. 【详解】（1）， 不同成绩对应的频率如下表： 成绩/分                          频数 8 28 32 20 12 频率 0.08 0.28 0.32 0.20 0.12 作出频率分布直方图如图所示：    （2）在随机抽取的100名志愿者中，不低于86分的志愿者的频率为，故优秀志愿者的占比能达到20%． 8.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)求第七组的频率； (2)估计该校名男生身高的平均数和分位数； (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求． 【答案】(1) (2)平均数为，分位数为； (3) 【详解】（1）第六组的频率为， ∴第七组的频率为． （2）由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于，， 设这所学校的800名男生的身高50%分位数为，则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的50%分位数为， 平均数为： ． （3）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为， 第八组的抽取人数为，设所抽取的人为， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB， cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共种情况． 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$