2.1 简谐振动 -【帮课堂】2024-2025学年高二物理同步学与练（ 人教版2019选择性必修第一册）

2.1 简谐运动 ( 01 学习目标 ) 物理素养 学习目标 1.物理观念：知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和简谐运动的概念。 2.科学思维：通过观察和分析理解简谐运动的位移一时间图像是一条正弦函数图线。 3.科学探究：通过对简谐运动图像的描绘，认识简谐运动的特点。 4.科学态度与责任：通过对生活中振动实例的观察，体会振动对生活的影响。 1.通过实验观察，认识机械振动，会用理想方法构建弹簧振子模型。 2.通过观察、分析和推理，证明弹簧振子的位移一时间图像是正弦曲线，会用图像描述简谐运动。 3.经历探究筒谐运动规律的过程，能分析数据、发现特点、形成结论。 重点关注：①弹簧振子②简谐运动③简谐运动图像 ( 0 2 思维导图 ) ( 0 3 知识梳理 ) （一）课前研读课本，梳理基础知识 一、机械振动 1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的_________运动，简称振动。 2．平衡位置：振动的物体在振动方向上所受合力为_________的位置。 二、弹簧振子 1. 由_________和_________组成的系统，有时也简称振子，是一个_________模型。 2. 小球与弹簧组成的振动系统看成弹簧振子的条件 ①弹簧为_________弹簧，不计弹簧的质量，可认为质量集中于小球。 ②不计摩擦阻力和空气阻力。 ③小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧弹性限度内。 三、振动图像 1．振子的位移：以_________为坐标原点，指向小球所在位置，即振动小球的位置坐标反映了小球相对于_________位置的位移。 2．振动图像(x-t图像) ①x-t图像：用横轴表示小球运动的_________，纵轴表示小球离开_________位置的位移(x)，描绘出的小球在平衡位置附近_________时的_________随_________变化的x-t图像，即为振动图像，如图所示。 ②图像的物理意义：反映了振子位移随时间变化的规律，它_________ (选填“是”或“不是”)振子的运动轨迹。 四、简谐运动：物体的位移与时间的关系遵从_________的规律，它的振动图像(x-t图像)是一条_________。 （二）辨析 1. 若图中的小球是木头做的,或小球和杆之间的摩擦不能忽略,这个系统可称为弹簧振子吗?系统能看成弹簧振子需要满足什么条件? 2. 弹簧振子是一种理想化模型,以前我们还学过哪些理想化模型? 3. 振动图像的坐标系是如何建立的? 4. 有同学说,既然弹簧振子的振动图像是一条正弦曲线,那么振子的运动轨迹也应是正弦曲线,结合水平方向的弹簧振子想一下,这种说法对吗?为什么? ( 0 4 题型精讲 ) 【题型一】弹簧振子 ( 【点拨】 1. 对平衡位置的理解 (1)弹簧振子的平衡位置是振子不振动时，小球静止的位置， ①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。 ②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的拉力与重力平衡时的位置。 ③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧拉力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。 弹簧振子有多种形式,对于不同形式的弹簧振子,在平衡位置处,弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子),但运动方向上的合外力一定为零。 (2)弹簧振子的平衡位置是振动过程中，小球的速度最大的位置。 2.弹簧振子的振动分析 (1)当振子从平衡位置向最大位移处移动时,位移在增大,速度在减小;当振子向平衡位置移动时,位移减小,速度增大,平衡位置处位移为零,速度最大;最大位移处速度为零。 (2)从合力的变化分析加速度的变化水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振 子受到 的合力,竖直弹簧振子所受的重力与弹力的矢量和是振 子受到 的合力。不管是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子,在平衡位置所受的合力为零,加速度为零,而在最大位多处所受的合力最大,加速度最大。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·河南南阳·期中）如图所示，做简谐振动的小球，平衡位置为O点，关于小球，下列说法正确的是（    ） A．从O点向右边运动，速度逐渐增大 B．从左边向O点运动，加速度越来越小 C．从O点向左边运动，位移越来越小 D．从右边向O点运动，位移越来越大 【对点训练1】（23-24高二上·江苏南京·期末）如图甲所示，水平弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0.2s，振子的速度方向向右 B．t=0.6s时，振子在O点右侧6cm处 C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度相同 D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小 【题型二】振动图像 ( 【点拨】 由振动图像( x-t 图像)获取的信息 1．位移及变化 (1)确定某一时刻的位移 ： 如图所示，质点在 t 1 、 t 2 时刻的位移分别为 x 1 和－ x 2 。 (2)质点位移的变化情况：靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 2．速度及变化 (1)运动方向的确定。根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的 a 点，下一时刻质点离平衡位置更远，故 a 点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 (2)质点速度大小的变化情况 ①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 ②根据 x-t 图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则 速度沿负方向 。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）如图，滑块在、两点之间做简谐运动，其平衡位置为点。已知、相距。从小球经过点时开始计时，经过首次到达点。取向右为正方向，滑块的振动图像可能为（　　） A． B． C． D． 【对点训练1】（22-23高二下·福建龙岩·期中）（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，周期T=1.8s，它的振动图像如图所示，图线上的P点对应的时刻为，下列说法正确的是（　　） A．时刻振子的运动方向沿x轴负向 B．内振子所经过的路程为45cm C． D．内振子运动的位移为3cm ( 0 5 强化训练 ) 【基础强化】 1．（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）下列运动中属于机械振动的是（　　） A．人趴在地上做俯卧撑 B．水塘里的芦苇在微风作用后的左右摆动 C．五星红旗迎风飘扬 D．乒乓球在乒乓球桌上上下跳动 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）根据图中各图像可以判断出物体可能做简谐运动的是（　　）    A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 3．（23-24高二下·北京怀柔·期中）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动是最基本的振动 B．所有的振动都可以看作简谐运动 C．简谐运动一定是水平方向的运动 D．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）关于简谐运动，以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的平衡位置就是物体振动速度为零的位置 B．简谐运动的位移是以平衡位置为起点的位移 C．简谐运动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大 D．简谐运动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移 5．（22-23高二下·陕西西安·阶段练习）下列选项中的x-t图像中，不属于简谐运动的是（　　） A． B． C． D． 6．（21-22高二·全国·课时练习）说说机械振动的运动特征。如下图所示为某质点运动的位移x与时间t的关系，判断该质点是否在做机械振动，为什么？ 7．（21-22高二·全国·课后作业）小朋友在水平地面上拍皮球，皮球上上下下往复运动。皮球的运动是不是简谐运动？ 【素养提升】 8．（2024·北京昌平·二模）如图所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在水杯中。将木筷竖直提起一段距离，然后由静止释放并开始计时，木筷就在水中上下振动，在一段时间内木筷在竖直方向可近似看做简谐运动。若取竖直向上为正方向，图中描述木筷振动的图像正确的是（　　）。 A． B． C． D． 9．（23-24高二下·新疆吐鲁番·期中）如图所示是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，回答下列问题： （1）质点在30s末的位移是多少？35s末向什么方向运动？ （2）质点在前50s内的位移和运动路程是多少？ 【能力培优】 10．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像判断下列说法正确的是（　　） A．末到末振子的路程为20cm B．末和末振子的位移相等，速度也相同 C．振子在内完成一次往复性运动 D．振子偏离平衡位置的最大距离为10cm 11．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示的振动图像上有a、b、c、d、e、f 6个点，其中： （1）与a点位移相同的点有哪些； （2）与a点速度相同的点有哪些； （3）b点离开平衡位置的最大距离有多大。    ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 简谐运动 ( 01 学习目标 ) 物理素养 学习目标 1.物理观念：知道什么是弹簧振子，理解振动的平衡位置和简谐运动的概念。 2.科学思维：通过观察和分析理解简谐运动的位移一时间图像是一条正弦函数图线。 3.科学探究：通过对简谐运动图像的描绘，认识简谐运动的特点。 4.科学态度与责任：通过对生活中振动实例的观察，体会振动对生活的影响。 1.通过实验观察，认识机械振动，会用理想方法构建弹簧振子模型。 2.通过观察、分析和推理，证明弹簧振子的位移一时间图像是正弦曲线，会用图像描述简谐运动。 3.经历探究筒谐运动规律的过程，能分析数据、发现特点、形成结论。 重点关注：①弹簧振子②简谐运动③简谐运动图像 ( 0 2 思维导图 ) ( 0 3 知识梳理 ) （一）课前研读课本，梳理基础知识 一、机械振动 1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动。 2．平衡位置：振动的物体在振动方向上所受合力为0的位置。 二、弹簧振子 1. 由小球和弹簧组成的系统，有时也简称振子，是一个理想化模型。 2. 小球与弹簧组成的振动系统看成弹簧振子的条件 ①弹簧为轻质弹簧，不计弹簧的质量，可认为质量集中于小球。 ②不计摩擦阻力和空气阻力。 ③小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧弹性限度内。 三、振动图像 1．振子的位移：以平衡位置为坐标原点，指向小球所在位置，即振动小球的位置坐标反映了小球相对于平衡位置的位移。 2．振动图像(x-t图像) ①x-t图像：用横轴表示小球运动的时间(t)，纵轴表示小球离开平衡位置的位移(x)，描绘出的小球在平衡位置附近往复运动时的位移随时间变化的x-t图像，即为振动图像，如图所示。 ②图像的物理意义：反映了振子位移随时间变化的规律，它不是(选填“是”或“不是”)振子的运动轨迹。 四、简谐运动：物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线。 （二）辨析 1. 若图中的小球是木头做的,或小球和杆之间的摩擦不能忽略,这个系统可称为弹簧振子吗?系统能看成弹簧振子需要满足什么条件? 【答案】 不能看作弹簧振子。系统看成弹簧振子需要满足两个条件: ①小球运动过程中不受阻力;②小球质量远大于弹簧质量。 2. 弹簧振子是一种理想化模型,以前我们还学过哪些理想化模型? 【答案】 点电荷、质点等。 3. 振动图像的坐标系是如何建立的? 【答案】以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴。横坐标表示振子振动的时间,纵坐标表示振子相对平衡位置的位移。 4. 有同学说,既然弹簧振子的振动图像是一条正弦曲线,那么振子的运动轨迹也应是正弦曲线,结合水平方向的弹簧振子想一下,这种说法对吗?为什么? 【答案】不对,因为振动图像不是运动轨迹。例如,水平方向的弹簧振子振动时,振子的运动轨迹是一条直线。 ( 0 4 题型精讲 ) 【题型一】弹簧振子 ( 【点拨】 1. 对平衡位置的理解 (1)弹簧振子的平衡位置是振子不振动时，小球静止的位置， ①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。 ②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的拉力与重力平衡时的位置。 ③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧拉力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。 弹簧振子有多种形式,对于不同形式的弹簧振子,在平衡位置处,弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子),但运动方向上的合外力一定为零。 (2)弹簧振子的平衡位置是振动过程中，小球的速度最大的位置。 2.弹簧振子的振动分析 (1)当振子从平衡位置向最大位移处移动时,位移在增大,速度在减小;当振子向平衡位置移动时,位移减小,速度增大,平衡位置处位移为零,速度最大;最大位移处速度为零。 (2)从合力的变化分析加速度的变化水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振 子受到 的合力,竖直弹簧振子所受的重力与弹力的矢量和是振 子受到 的合力。不管是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子,在平衡位置所受的合力为零,加速度为零,而在最大位多处所受的合力最大,加速度最大。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·河南南阳·期中）如图所示，做简谐振动的小球，平衡位置为O点，关于小球，下列说法正确的是（    ） A．从O点向右边运动，速度逐渐增大 B．从左边向O点运动，加速度越来越小 C．从O点向左边运动，位移越来越小 D．从右边向O点运动，位移越来越大 【答案】B 【详解】AC．小球远离平衡位置，速度减小、加速度和位移增大，故AC错误； BD．小球靠近平衡位置，速度增大，加速度和位移减小，故B正确，D错误。 故选B。 【对点训练1】（23-24高二上·江苏南京·期末）如图甲所示，水平弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．t=0.2s，振子的速度方向向右 B．t=0.6s时，振子在O点右侧6cm处 C．t=0.4s和t=1.2s时，振子的加速度相同 D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小 【答案】A 【详解】A．由图可知，振子从平衡位置出发向正方向运动，t=0.2s时，振子的速度方向为正方向，即速度方向向右，故A正确； B．根据乙图可知振动方程为 则t=0.6s时，振子的位移为 可知振子在O点右侧处，故B错误； C．t=0.4s和t=1.2s时，振子分别在B点和A点，加速度大小相等，方向相反，故C错误； D．t=0.4s到t=0.8s的时间内，振子从B向O运动过程，速度逐渐增大，故D错误。 故选A。 【题型二】振动图像 ( 【点拨】 由振动图像( x-t 图像)获取的信息 1．位移及变化 (1)确定某一时刻的位移 ： 如图所示，质点在 t 1 、 t 2 时刻的位移分别为 x 1 和－ x 2 。 (2)质点位移的变化情况：靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 2．速度及变化 (1)运动方向的确定。根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的 a 点，下一时刻质点离平衡位置更远，故 a 点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 (2)质点速度大小的变化情况 ①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 ②根据 x-t 图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则 速度沿负方向 。 ) 【典型例题1】（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）如图，滑块在、两点之间做简谐运动，其平衡位置为点。已知、相距。从小球经过点时开始计时，经过首次到达点。取向右为正方向，滑块的振动图像可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，滑块做简谐运动的振幅为 从小球经过点时开始计时，经过首次到达点，若时刻小球经过点时的速度方向向右，为正方向，则有 可得周期为 若时刻小球经过点时的速度方向向左，为负方向，则有 可得周期为 故选C。 【对点训练1】（22-23高二下·福建龙岩·期中）（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，周期T=1.8s，它的振动图像如图所示，图线上的P点对应的时刻为，下列说法正确的是（　　） A．时刻振子的运动方向沿x轴负向 B．内振子所经过的路程为45cm C． D．内振子运动的位移为3cm 【答案】BC 【详解】A．由图可知，时刻振子的运动方向沿x轴正向，故A错误； B．由图可知，内振子所经过的路程为 故B正确； C．由图可知 又 联立解得 故C正确； D．内振子运动的位移为 故D错误。 故选BC。 ( 0 5 强化训练 ) 【基础强化】 1．（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）下列运动中属于机械振动的是（　　） A．人趴在地上做俯卧撑 B．水塘里的芦苇在微风作用后的左右摆动 C．五星红旗迎风飘扬 D．乒乓球在乒乓球桌上上下跳动 【答案】B 【详解】AC．物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，人趴在地上做俯卧撑和五星红旗迎风飘扬都缺少确定的平衡位置，所以不属于机械振动，AC错误； B．水塘里的芦苇在微风作用后的左右摆动，其平衡位置是无风时芦苇静止时的竖直位置，则芦苇的摆动是在平衡位置附近的往复运动，属于机械振动，B正确； D．乒乓球静止时在桌面位置，那么乒乓球在乒乓球桌上上下跳动不是在平衡位置附近的往复运动，与机械振动的定义不符，D错误。 故选B。 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）根据图中各图像可以判断出物体可能做简谐运动的是（　　）    A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【详解】简谐振动的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，由图可知，只有①、③为正弦规律图像，故①、③所示均为简谐运动的图像。 故选C。 3．（23-24高二下·北京怀柔·期中）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动是最基本的振动 B．所有的振动都可以看作简谐运动 C．简谐运动一定是水平方向的运动 D．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线 【答案】A 【详解】A．简谐运动是最基本的振动，选项A正确； B．并非所有的振动都可以看作简谐运动，只有当回复力满足F=-kx时才是简谐振动，选项B错误； C．简谐运动不一定是水平方向的运动，可以是任意方向的运动，选项C错误； D．物体做简谐运动时振动图像是正弦或者余弦线，并不是运动轨迹是正弦曲线，选项D错误。 故选A。 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）关于简谐运动，以下说法正确的是（　　） A．简谐运动的平衡位置就是物体振动速度为零的位置 B．简谐运动的位移是以平衡位置为起点的位移 C．简谐运动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大 D．简谐运动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移 【答案】B 【详解】A．简谐运动的平衡位置是回复力为零的位置，是物体振动速度最大的位置，故A错误； B．简谐运动的位移是以平衡位置为起点的位移，故B正确； C．简谐运动的物体运动的路程越大，位移不一定越大，故C错误； D．简谐运动的振幅是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移，故D错误； 故选B。 5．（22-23高二下·陕西西安·阶段练习）下列选项中的x-t图像中，不属于简谐运动的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】简谐运动的图线应该是正弦函数图线，故ABC正确，D错误。 本题选不是简谐运动的，故选D。 6．（21-22高二·全国·课时练习）说说机械振动的运动特征。如下图所示为某质点运动的位移x与时间t的关系，判断该质点是否在做机械振动，为什么？ 【答案】机械振动是指物体或质点在其平衡位置附近做来回的往复运动。由图可看出，该质点在其平衡位置附近做来回的往复运动，所以该质点在做机械运动。 7．（21-22高二·全国·课后作业）小朋友在水平地面上拍皮球，皮球上上下下往复运动。皮球的运动是不是简谐运动？ 【答案】不是 【详解】皮球的运动不是简谐运动，因为除了拍球瞬间、落地瞬间多受到手、地面的作用力外，皮球始终受到恒定的重力作用，因此皮球在空中运动过程为匀变速直线运动，其位移与时间不可能按正弦（余弦）规律变化，故皮球的运动不是简谐运动。 【素养提升】 8．（2024·北京昌平·二模）如图所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在水杯中。将木筷竖直提起一段距离，然后由静止释放并开始计时，木筷就在水中上下振动，在一段时间内木筷在竖直方向可近似看做简谐运动。若取竖直向上为正方向，图中描述木筷振动的图像正确的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】木筷在水中做简谐运动，位移随时间图像是正弦或余弦曲线，木筷竖直提起一段距离，然后由静止释放并开始计时，取竖直向上为正方向，则初始时刻，木筷的位移为正向最大。 故选A。 9．（23-24高二下·新疆吐鲁番·期中）如图所示是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，回答下列问题： （1）质点在30s末的位移是多少？35s末向什么方向运动？ （2）质点在前50s内的位移和运动路程是多少？ 【答案】（1）﹣20cm，正方向；（2）20cm，100cm 【详解】 （1）根据图像，可知30s末质点的位移为 35s末质点向正方向运动。 （2）根据振动图像，可判断知质点在50s末位于正向最大位移处，所以质点在前50s内的位移为 运动的路程为 【能力培优】 10．（23-24高二下·河南南阳·开学考试）如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像判断下列说法正确的是（　　） A．末到末振子的路程为20cm B．末和末振子的位移相等，速度也相同 C．振子在内完成一次往复性运动 D．振子偏离平衡位置的最大距离为10cm 【答案】D 【详解】A．末到末振子的路程为s=4A=40cm 故A错误； B．末和末振子的位移相等，速度方向相反，故B错误； C．振子在4s内完成一次往复性运动，故C错误； D．由图知，振子偏离平衡位置的最大距离为10cm，故D正确。 故选D。 11．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示的振动图像上有a、b、c、d、e、f 6个点，其中： （1）与a点位移相同的点有哪些； （2）与a点速度相同的点有哪些； （3）b点离开平衡位置的最大距离有多大。    【答案】（1）b、e、f；（2）d、e；（3）2 cm 【详解】 （1）位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，由题图可知与a点位移相同的点有b、e、f。 （2）速度是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a点速度相同的点有d、e。 （3）b点离开平衡位置的最大距离即为振动物体最大位移的大小，由题图知最大距离为2 cm。 ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$